Введение к работе
Актуальность темы. Однини из основных вопросов, изучавшее в на тематической теории упругости, являются вопросы существования, единотвенйости и устойчивости решений краевых задач. Одной из первых;работ, положивших начало систематическому изучению этих проблем, была классическая работа Фред-
гольма [І] , в которой первая краевая задача для линейной теории упругости в случае однородных изотропных тел изучалась методом интегральных уравнений.
Вторую краевую задачу для теории упругости изеледовал
Корн 2] . В этой работе применяится интегральные уравнения
и в первый раз появляются неравенства, которые сейчас известны под названшм неравенств Корна. Вслед за работой Корна появилось иного работ, в которых доказывали^ различные модификации неравенств Корна и предлагались их приложения к исследованию различных вопросов теории упругости. В связи з этим отметим работу К.Фридрихса СЗД , в которой автором доказаны неравенства Корна и вариационным методом исследованы
первая и вторая краевые задачи теории упругости. Отметим так-ке работу Г.Фикера С43 , в которой с использованием неравенств
I.Fredholm J. Solution d'un probleae fundamental de la theorie d*elaeticite. Ark. Mat. Astron. Fys., 2. 28 (1906).
2.Е0ГП A. Solution generale du problems d%equilibre dana la theorio d*elaatioite dan? la cas ou les offorta sont donaeo a la surface. Ann. Toul. Univ. (1908).
3.Eriedrichs K.O. On the boundary value prpblems of..theorl of elasticity and Korn*s inequality. Ann. Math. 48 (1947).
Ї.Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
Корна и функциональных методов изучаются различные краевые задачи .для системы теории упругости. Новым этапом е исследовании краевых задач для системы теории упругости, в частности, в изучении вопросов единственности, устойчивости и существования решений е неограниченных областях, являются работы В.А. Кондратьева и О.А.Олейник С53 - М В этих работах для широкого класса неограниченных областей установлены неравенства Корна, а также и другие важные неравенства, и с их помощью исследованы краевые задачи для системы теории упругости.
Настоящая работа тесно примыкает к работам 5} - C8J . В ней устанавливаются неравенства Корна и другие важные для приложений неравенства, для неограниченных областей с липшицевой границей, а также для областей,содержащихся в слое. При помощи
-
Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. - I9dd. - Т.43, » 5. - С.55-98.
-
Kondratiev V.A.,01einik О.А. Horn's type Inequalities for в class of unbounded domains and applications to boundary-value problems in elasticity//Elasticity,.Matematical metnodE and applications.Ed. by O.Eason and R.W.Ogden.West Sussex, England,1990,211-233.
-
V.A.Kondratiev, Q.A.Oleinik. Hardy's and Korn's type inequalities and their applications.,
Hendiconti di Matematica, Serie 711,Vol.10, 641-666.
d. Кондартьев В.А., Олейник О.А. Новый подход к задаче Бус-" синеска и Черрути для системы теории упругости. // Вестник [ЛГУ, сер. I. Матем., мех. - 1991. - » I. - С. 12-33.
этих неравенств исследуются краевые задачи для системы теории. упругости в неограниченных областях.
Цель работы. Исследование вопросов единственности, устойчивости и существования решений второй краегой задачи, а так-«е задачи со смешанными условиями для линейной системы теории упругости в неограниченных областях.
Научвая новизна. В диссертации получены обобщения неравенств Корна и Харди для неограниченных областей с липшице-вой границей, а также для областей, содержащихся в слое. Даны приложения этих неравенств к исследованию второй краевой задачи, а такке задачи со смешанными краевыми условиями для линейной системы теории упругости в рассматриваемых областях.
Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
Методы исследования. В диссертации используются функциональные и вариационные методы исследования краевых задач, а также методы теории пространств Соболева.
Приложение. Результаты диссертации являются продвижением в области теории краевых задач для эллиптических систем в неограниченных областях. Они представляют самостоятельный инте-рас и имеют применение в математической теории упругости и в задачах механики твердого тела.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации цокладыЕались на ХШ -ХІУ совместных сессиях семинара имени Л.Г.Петровского и Московского математического общества (1990, [991гг.),на научно-исследовательских семинарах механико-мате-иатического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в ДЕух работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Глава I состоит из четырех, глава П - из трех, глага Ш - из двух параграфов. Список литературы содержит 18 наименований. Общий объем диссертации 112 стр.