Краевые задачи для систем с вырожденной матрицей при производной по времени Матвеева, Инесса Изотовна

Введение к работе

Актуальность темы. В диссертации изучаются краевые задачи для одного класса интегродифферешщальных систем следующего вида

AoD_tu + Ai{D_x)u + A₃(DT\D,)u = J(t,x), (1)

где Ло - числовая вырожденная матрица, Ai(D_x)_f A2{D^^l,D_x) - матричные интегродифференциальные операторы, D_{^-1 - оператор интегрирования по t: Dt^lu = /о «(а, х) de. Системы с вырожденной матрицей при производной по времени или, как их принято называть, системы не типа Коши-Ковалевской возникают в прикладных исследованиях. Примерами таких систем являются: линеаризованная система Навье-Стокса, система внутренних волн, система волн Россби и др. Наличие систем с вырожденной матрицей при производной по времени в реальных задачах обусловило повышенный интерес к ним как механиков, так и математиков. Начало большому циклу работ по этим системам положила статья С.Л.Соболева "Об одной новой задаче математической физики" (1954 г.), в которой рассматривалась система, возникающая при описании малых колебаний идеальной несжимаемой жидкости

(2) divu = О,

а = (0,0,а). Эта работа явилась первым систематическим исследованием системы не типа Копта-Ковалевской, вследствие чего система (2) и связанное с ней уравнение Ад^и/дІ² + а²&*и/дх1 = 0 получили названия системы Соболева и уравнения Соболева соответственно, а уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, в дальнейшем стали называть уравнениями соболевскогб типа.

После появления статьи С.Л.Соболева И.Г.Петровский указал на необходимость изучения общих уравнений и систем не типа Коши-Ковалевской. Впервые такое исследование было проведено в докторской диссертации С.А.Галъперна при построении L₂-теории задачи Коши для одного класса систем следующего вида

5(1(1,1),)11-1((,1),)11 = 0, detAf(f,i"O = 0, tERn.

В настоящее время существует большое число публикаций по системам не типа Коши-Ковалевской и уравнениям Соболевского типа. В частности, изучению этих систем и уравнений посвящены работы Р.А.Александряна, С.А.Габова, С.А.Гальперна, А.А.Дезина, Ю.А-Ду-бинского, Т.И.Зеленяка, А.М.Илыша, А.Г.Костюченко, О.АЛады-женской, В.Н.Масленниковой, А.ЛЛавлова, А.Г.Свешникова, В.А.Со-лонникова, Г.И.Эскина и др. В них затрагивались различные вопросы: изучались постановки краевых задач, исследовались качественные свойства решений, рассматривались спектральные задачи, выполнялись численные расчеты. Однако общей теории краевых задач для систем с вырожденной матрицей при производной по времени в настоящее время не существует.

Цель работы. Основной целью настоящей диссертации является исследование разрешимости задачи Коши и общих смешанных задач в четверти пространства 1 = {(t,x) : t > О, (х',а;_п) 6 й[} для одного класса интегродифферендиальных систем с вырожденной матрицей при производной по времени. Примерами таких систем являются системы Соболева, внутренних н гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска. Рассматриваемый класс задач включает классические постановки для этих систем, а также ряд новых.

Методика исследования. В диссертации используются методы современного анализу, в частности, теория Соболевских пространств, теория мультипликаторов, интегральные представления суммируемых функций. При построении решений рассматриваемых задач применяется метод, описанный в монографин С.В.Успенского, Г.ВДеми-денко, В.Г.Перепелкина "Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям" (1984 г.).

Научная новизна, практическая и теоретическая ценность. В диссертаций получен ряд новых результатов в теории краевых задач для систем с вырожденной матрицей при производной по времени. В частности, получены Lp-оценки решения задачи Коши, изучен класс смешанных краевых задач в четверти пространства, удовлетворяющих условию типа Лопатинского, установлены условия разрешимости рассматриваемых задач в весовых Соболевских пространствах и доказана их необходимость для конкретных задач.

Настоящая работа имеет теоретический характер. Результаты исследований могут быть использованы в теории краевых задач для дифференциальных уравнении с частными производными и, в частности, для систем гидродинамики в линейном приближении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Ульяновск, 1990 г.), на Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1996 г.), на семинаре отдела дифференциальных уравнений математической физики Института математики СО РАН под руководством академика С.К.Годунова, на семинаре под руководством профессора Т.И.Зеленяка в Институте математики СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем работы 168 страниц, библиография включает 33 наименования.