Краевые задачи для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений Бравый Евгений Ильич

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Задача о существовании и единственности решений краевых задач — одна из важнейших в теории обыкновенных дифференциальных уравнений^1,2. Для уравнений высших порядков и даже в линейном неавтономном случае нахождение эффективных условий существования решения краевой задачи представляет значительную проблему и требует информации о фундаментальной системе решений однородного уравнения^3,4, без которой нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости, по-видимому, невозможно. Основным методом получения достаточных условий существования решений краевой задачи в линейном и нелинейном случаях стали различного вида априорные оценки⁵ в сочетании с методом верхних и нижних решений².

Математические модели различных явлений, использующих дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом^6,7,8 начали широко применяться уже с середины XX века. В первых работах, как правило, отклонение аргумента было постоянным^9,10, но впоследствии стали применяться произвольные непрерывные или измеримые отклонения¹¹, а также функционально-диффе-ренциальные^7,8,12 уравнения, в которых значения старшей производной могут зависеть от поведения исследуемого процесса на всем заданном промежутке времени.

Важнейшей задачей теории функционально-дифференциальных уравне-¹Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси. 1975. 351 с.

²Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне. 1978. 183 с.

³Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969. 528 с.

⁴Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т. 30. С. 3–103.

⁵Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т. 30. С. 105–201.

⁶Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional diferential equations. Springer Netherlands. Mathematics and Its Applications. V. 463. 1999. 648 p.

⁷Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to functional diferential equations. Springer-Verlag New York. Applied Mathematical Sciences. V. 99. 1993. 450 p.

⁸Wu J. Theory and applications of partial functional diferential equations. Springer New York. Applied Mathematical Sciences. V. 119. 1996. 429 p.

⁹Эльсгольц Л. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 1964. 127 с.

¹⁰Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонениями // Математика. 1961. Т. 5. №. 6. С. 73–98.

¹¹Мокейчев В.С. Об интегрировании дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Изв. вузов. Матем. 1977. № 10. С. 109–121.

¹²Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

ний, наряду с изучением устойчивости решений^13,14, является исследование краевых задач^15,16, которые оказываются значительно сложнее аналогичных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений^{17,18,19,20,21} в связи с отсутствием свойства локальности операторов, входящих в уравнения, например, в краевых задачах, возникающих в теории управления и в вариационных задачах. Кроме того, даже в простейших случаях размерность фундаментальной системы решений однородного уравнения^9,13 может быть отлична от порядка уравнения.

Общие методы априорных оценок^22,23 вместе с применением метода положительных операторов^12,24 и теорем о неподвижных точках^25,26 (в частности, метода сжимающих отображений) стали основными при исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Во многих работах, например^12,25, выделяется линейное «модельное» уравнение, допускающее достаточно полное исследование, включающее вопросы разрешимости краевой задачи, знакоопределенности решения и оценки решения. Результаты для «модельного» уравнения используются при изучении краевой задачи для более общих уравнений^12,25,27. Это исследование краевой задачи для «модельного» уравнения, предшествующее применению метода априорных

¹³Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.

¹⁴Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 2001. 229 с.

¹⁵Скубачевский А.Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом // Матем. заметки. 1985. Т. 38. № 4. С. 587–598; Неклассические краевые задачи. I // СМФН. 2007. Т. 26. С. 3–132; Неклассические краевые задачи. II // СМФН. 2009. Т. 33. С. 3–179; Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // УМН. 2016. Т. 71. № 5(431). C. 3–112.

¹⁶Бекларян Л.А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений и их приложений. Групповой подход. СМФН. 2004. Т 8. С. 3–147.

¹⁷Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения ⁽⁾ +₁()^(-1) ++() = 0 // УМН. 1969. Т. 24. № 2(146). С. 43–96.

¹⁸Дерр В.Я. К обобщенной задаче Балле Пуссена // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 11. С. 1861–1872.

¹⁹Дерр В.Я. Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2014. № 11. С. 46–89.

²⁰Дерр В.Я. Дифференциальные уравнения в алгебре -обобщенных функций // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 22. № 3. С. 62–75.

²¹Кокурин М.Ю. Об асимптотическом поведении периодических решений одного класса операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 8. С. 1400–1407.

²²Kiguradze I., Puza B. On boundary value problems for systems of linear functional diferential equations // Czechoslovak Mathematical J. 1997. V. 47. No. 2. P. 341–373.

²³Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1731–1747.

²⁴Nieto J. J., Rodriguez-Lуpez R. Periodic boundary value problem for non-Lipschitzian impulsive functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2006. V. 318. No. 2. P. 593–610.

²⁵Gaines R.E., Mawhin J.L. Coincidence Degree and Nonlinear Diferential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Springer. 1977. 262 p.

²⁶Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975.

²⁷Jiang D., Nieto J. J., Zuo W. On monotone method for frst and second order periodic boundary value problems and periodic solutions of functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2004. V. 289. No. 2. P. 691–699.

оценок и теорем о неподвижных точках, — один из основных элементов исследования общих краевых задач для функционально-дифференциальных уравне-ний^12,14,24,27. В качестве модельных используются не только обыкновенные дифференциальные уравнения^28,27, но и функционально-дифференциальные (обычно с постоянными или линейными²⁹ отклонениями). Функционально-дифференциальные уравнения с произвольным отклонением в качестве «модельных» применяются редко³⁰, так как их изучение само представляет нетривиальную проблему. Однако природе рассматриваемой задачи может соответствовать и более сложное «модельное» функционально-дифференциальное уравнение со сложным (или неизвестным) законом отклонения аргумента.

Таким образом, актуальна общая проблема — исследование краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений, имея в виду использование такого уравнения в качестве «модельного», то есть нахождения необходимых и достаточных условий разрешимости и сохранения знака решений краевой задачи. Актуальность этой проблемы определяется всё большим распространением функционально-дифференциальных моделей³¹ и необходимостью применения методов неподвижных точек, которые требуют полной информации о свойствах линейной части краевой задачи.

По-видимому, для широкого круга уравнений исследование с нахождением необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи и сохранения знака решений невозможно. В абсолютном большинстве работ о существовании решений краевой задачи результаты получены в условиях сжатия для некоторого оператора или непосредственного применения теорем о неподвижной точки (Шаудера, Красносельского и т.д.)^32,33,34,35. В распространенном случае, когда краевая задача может быть сведена к уравнению второго рода с оператором, спектральный радиус которого меньше единицы¹², это условие дает и условие существования решения, и оценки решения, а при некоторых дополнительных условиях могут быть получены и условия знакоопределенности решений. Однако это условие на спектральный радиус часто не является

²⁸Li Q., Li Y. Existence and multiplicity of positive periodic solutions for second-order functional diferential equations with infnite delay // Electronic J. of Diferential Equations. 2014. V. 93. P. 1–14.

²⁹Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции // СМФН. 2014. Т. 54. С. 3–138.

³⁰Nieto J. J., Rodrшguez-Lopez R. Remarks on periodic boundary value problems for functional diferential equations // J. of Computational and Applied Mathematics. 2003. V. 158(2). P. 339–353.

³¹Richard J.P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. 2003. V. 39. No. 10. P. 1667–1694.

³²Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием: численное решение // Изв. ИМИ УдГУ. 2006. № 2(36). С. 185–188.

³³Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. Киев: Наук. думка. 1980. 286 с.

³⁴Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Изв. вузов. Матем. 2016. № 10. С. 14–28.

³⁵Ponosov A., Zhukovskiy E. Generalized functional diferential equations: existence and uniqueness of solutions // Electron. J. Qual. Theory Difer. Equ. 2016. No. 112. P. 1–19.

необходимым для присутствия требуемого свойства (например, разрешимости).

В то же время, известны новые априорные оценки, дающие возможность получать условия существования решений краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения, не прибегая к поиску условий сжатия (или к оценке спектрального радиуса некоторого оператора)^36,37,38, причем эти оценки в некоторых случая дают возможность в несколько раз улучшить известные ранее условия разрешимости. Оказалось также, что условия разрешимости, полученные с помощью этих оценок^36,37,38 неулучшаемы в некоторых семействах уравнений. По-видимому, большинство применяемых в настоящее время условий разрешимости для линейных краевых задач можно улучшить при использовании аналогичных априорных оценок. Но для большинства актуальных краевых задач и уравнений (особенно уравнений высших порядков, систем уравнений, уравнений с промежуточными производными) такого рода условия еще не получены из-за трудностей в построении соответствующих априорных оценок. Универсального алгоритма получения таких оценок не существует (вообще, за редким исключением³⁹, общие методы получения априорных оценок решений неизвестны).

Мы предлагаем рассматривать краевую задачу для семейств уравнений (набор семейств гораздо более широкий, чем семейства, соответствующие условиям разрешимости работ^36,37,38), и предлагаем для таких семейств метод нахождения необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства. Более того, этот метод также дает необходимые и достаточные условия знакоопределенности решений краевой задачи для всех уравнений семейства и неулучшаемые в данном семействе уравнений оценки решений. Тем самым решается задача получения всей информации, требуемой для модельного уравнения, и находятся оптимальные в заданных семействах границы выбора таких модельных уравнений, так как найденные условия изучаемых свойств являются необходимыми и достаточными.

Актуальность работы определяется еще и тем, что необходимые и достаточные условия условия разрешимости краевых задач для естественным образом заданных семейств функционально-дифференциальных уравнений с регулярными операторами до сих пор неизвестны и имеют самостоятельное теоретическое значение¹².

Степень разработанности темы исследования. Уже к 1962 году ра-³⁶Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. On periodic solutions of second order functional diferential equations // Mem. Difer. Equ. Math. Phys. 1995. V. 5. P. 125–126.

³⁷Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. On a two-point boundary value problem for second-order functional-diferential equations. I.II // Mem. Diferential Equations Math. Phys. 1997. V. 10. P. 125–128, 150–152.

³⁸Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Some Boundary Value Problems For First Order Scalar Functional

Diferential Equations. Folia Facult. Scien. Natur. Masar. Brunensis. Mathematica, 10. Brno: Masaryk University,

2002.

³⁹Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и

неравенств в частных производных, Тр. МИАН, 234, 2001, 3–383.

бот по функционально-дифференциальным уравнениям было достаточно много. В обзоре⁴⁰ библиографический список состоит из 388 работ, авторы отмечают, что не включали работы чисто прикладного характера, работы по интег-ро-дифференциальным уравнениям, а также по уравнениям в частных производных, а основная часть работ до 1953 года включена в предыдущие обзоры.

Исследованиям краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений посвящено очень много работ: в том или ином виде в большинстве работ присутствуют утверждения о свойствах решений краевой задачи для линейных уравнений. В то же время неулучшаемым условиям разрешимости краевых задач для семейств функционально-дифференциальных уравнений уделено значительно меньшее внимание. Мы восполняем этот пробел, получая для многих краевых задач необходимые и достаточные условия наличия исследуемого свойства у всех уравнений рассматриваемого семейства.

Первой монографией, посвященной теории функционально-дифференциальных уравнений, была книга А.Д. Мышкиса об уравнениях с запаздывающим аргументом⁴¹. Как отмечает К. Кордуняну⁴², именно эта книга положила начало литературе по нетрадиционным функциональным уравнениям (non-traditional functional equations). Значительным продвижением в теории уравнений с запаздыванием, в частности, в теории устойчивости и в нелинейных задачах было введение Н.Н. Красовским⁴³ метода «функционалов Ляпунова», известных теперь как функционалы Ляпунова-Красовского.

В одном из первых обзоров работ, посвященных дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом, написанным А.Д. Мышкисом и Л. Э. Эльсгольцем в 1967 г.⁴⁴, авторы посвятили отдельный параграф краевым задачам для уравнений с отклоняющимся аргументом. Источником краевых задач, в основном, были вариационные задачи^45,46. Так как вариационные задачи с отклоняющимся аргументом приводят к краевым задачам для аналога уравнения Эйлера и с запаздыванием и с опережением, то уже тогда краевые задачи, в первую очередь, ставились именно для классов уравнений без специальных предположений о запаздывании. В упомянутом обзоре особо отмечались трудно-⁴⁰Зверкин А.М., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // УМН. 1962. Т. 17. № 2(104). С. 77–164.

⁴¹Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: Гостех-издат. 1951. 255 с.

⁴²Corduneanu C., Li Y., Mahdavi M. Functional diferential equations. Advances and applications. Hoboken NJ: John Wiley & Sons. 2016. 343 p.

⁴³Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.

⁴⁴Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1967. Т. 22. № 2(134). С. 21–57.

⁴⁵Каменский Г.А. Вариационные и краевые задачи с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. № 8. С. 1349–1358.

⁴⁶Каменский Г.А., Мышкис А.Д., Скубачевский А.Л. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 8. С. 1469–1473.

сти, связанные с постановкой краевой задачи и установлением для нее свойства фредгольмовости. Эти трудности впоследствии удалось преодолеть, в частности, с помощью подхода, разработанного Н.В. Азбелевым и его учениками (см., например, монографию¹²). Для этого пришлось пожертвовать «непрерывной стыковкой» и отказаться от рассмотрения зависимости решения от «начальной» функции как от главной задачи исследования. В результате появилась возможность применения классических методов функционального и операторного анализа. При этом в линейном случае стало возможным записывать краевую задачу в виде линейного уравнения в соответствующей паре функциональных пространств. Оказалось, что при естественных предположениях для линейных уравнений с «фредгольмовой главной частью»¹² размерность фундаментальной системы решений однородного уравнения конечна и не меньше порядка дифференциального уравнения.

Одним из первых, кто также свел задачи для функционально-дифференциальных уравнений к стандартным задачам функционального анализа, по-видимому, был Дж. Хейл⁴⁷. Подход Н.В. Азбелева дает возможность рассматривать линейное функционально-дифференциальное уравнение как стандартный объект с «фредгольмовой главной частью», что снимает множество трудностей, с которыми сталкивались исследователи ранее, в частности, позволяет рассматривать произвольные измеримые отклонения, а не только гомеоморфизмы¹⁶.

Общие теоремы функционального анализа стали основным инструментом при исследовании функционально-дифференциальных уравнений. Как отмечают Дж. Хендерсон и Р. Лука в предисловии к монографии по краевым зада-чам⁴⁸, «центральными результатами каждой главы являются применения теоремы Гуо–Красносельского о неподвижной точке для нерастягивающих и несжи-мающих конус операторов», «при доказательстве многих главных результатов применялись также теорема Шаудера, нелинейная альтернатива Лере-Шаудера и другие теоремы о неподвижных точках».

Результаты, полученные М.А. Красносельским и его сотрудниками^49,50, по настоящее время являются основополагающими для современных исследований краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Возможность применения универсальных методов функционального анализа оказалась решающей при исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Для применения общих методов неподвижных точек требуются, как правило априорные оценки решения, то есть оценки в предположении, что решение

⁴⁷Hale J.K. Theory of Functional Diferential Equations. Springer-Verlag New York. 1977. ⁴⁸Henderson J., Luca R. Boundary Value Problems for Systems of Diferential, Diference and Fractional Equations. Positive Solutions. Amsterdam: Elsevier. 2016.

⁴⁹Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений, М.: Физматгиз, 1962.

⁵⁰Красносельский М.А., Лифщиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. М.: Наука. 1985.

существует. Существует множество методов построения априорных оценок. Вид априорной оценки определяет и вид окончательного результата. Часто требуется только факт априорной ограниченности множества решений. Однако априорные оценки могут использоваться и для доказательства отсутствия нетривиальных решений линейной задачи, например, если показать, что если решение существует, то оно тривиально, таким образом, доказывается существование и единственность решений краевой задачи при произвольных правых частях в случае фредгольмовости. Насколько известно автору, алгоритма построения априорной оценки в сколько-нибудь общем случае не существует.

C 1970-х годов в работах И.Т. Кигурадзе и его учеников для исследования краевых задач для обыкновенных и, позднее, функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) стали использоваться априорные оценки (в том числе и односторонние)^51,52,53,54. С помощью одного нового вида априорных оценок удалось перенести некоторые результаты о периодической краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений⁵⁵ на периодическую задачу для ФДУ, сохранив при этом наилучшие константы в условиях разрешимости³⁶. Затем подобные неулучшаемые условия были получены и для двухточечной задачи³⁷ и для задачи Коши^56,57. Известные на то время условиях разрешимости этих задач для ФДУ были ослаблены в несколько раз. После этого подобные оценки были использованы и при исследовании других краевых задач для ФДУ^58,38,59,60, а также для ФДУ в частных производных^61,62. Эти оценки явно учитывали знаковую ассиметрию входящих в функционально-дифференциальное уравнение

⁵¹Кигурадзе И.Т. Об априорных оценках решений нелинейных дифференциальных неравенств высших порядков // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 2. С. 198–213.

⁵²Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та. 1975.

⁵³Кигурадзе И.Т., Кусано Т. Об условиях существования и единственности периодического решения у неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1301–1306.

⁵⁴Кигурадзе И.Т., Кусано Т. О периодических решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 72–78.

⁵⁵Lasota A., Opial Z. Sur les solutions periodiques des equations diferentielles ordinaires // Ann. Polon. Math. 1964. V. 16. P. 69–94.

⁵⁶Bravyi E., Hakl R., Lomtatidze A. Optimal conditions on unique solvability of the Cauchy problem for the frst order linear functional diferential equations // Czechoslovak Mathematical J. 2002. V. 52(127). No. 3. 2002. P. 513–530.

⁵⁷Bravyi E., Hakl R., Lomtatidze A. On Cauchy problem for frst order nonlinear functional diferential equations of non-Volterra’s type // Czechoslovak Mathematical J. 2002. V. 52(127). No. 4. P. 673–690.

⁵⁸Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. Some two-point boundary value problems for second-order functional-diferential equations. Folia Facult. Scien. Natur. Masar. Brunensis. Mathematica, 8. Brno: Masaryk University, 2000.

⁵⁹Hakl R., Lomtatidze A., Puza B. On periodical solutions of frst order linear functional diferential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2002. V. 49. P. 929–945.

⁶⁰Ломтатидзе А.Г., Пужа Б., Хакл Р. О периодических краевых задачах для функционально-диффе-ренциональных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. Т. 39, № 3. 2003. С. 320–327.

⁶¹Lomtatidze A., Sremr J. On the Cauchy problem for linear hyperbolic functional-diferential equations //

Czechoslovak Mathematical Journal. 2012. V. 62. No. 2. P. 391–440.

⁶²Lomtatidze A., Sremr J. Caratheodory solutions to a hyperbolic diferential inequality with a non-positive

coefcient and delayed arguments // Boundary Value Problems. 2014. no. 52.

функциональных операторов. Полученные результаты значительно улучшили известные условия существования и единственности. Однако построение соответствующей априорной оценки было связано со значительными техническими трудностями. Не всегда удавалось получить априорную оценку, приводящую к неулучшаемым условиям существования (см., например, работу⁶³, где получены только достаточные, но не необходимые условия разрешимости, и ^64,65, где доказаны условия разрешимости только для младших порядков). Построение оценок для решений систем уравнений, уравнений с промежуточными производными, а также построение оценок при поточечных ограничениях на операторы было сопряжено со значительными техническими трудностями. Работ, посвященных таким оценкам, сравнительно мало⁶⁶, хотя подобные оценки могут существенно улучшить результаты многих современных работ по краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений, использующих итерационную технику монотонных операторов^{67,68,69,70,71,72}. В настоящее время такие аналоги оценок из работ^38,61,62 пока неизвестны из-за технических трудностей их получения.

Отметим наиболее крупную российскую школу по исследованию краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Работы школы профессора А.Л. Скубачевского (см., например, монографии^73,74) посвящены краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений, возникающих в различных приложениях математической физики и других наук. Как правило, рассматриваются уравнения в частных производных и не ставится задача

⁶³Sremr J., Hakl R. On the Cauchy problem for two-dimensional systems of linear functional diferential

equations with monotone operators // Nonlinear Oscillations. 2007. V. 10. No. 4. P. 569–582.

⁶⁴Hakl R., Mukhigulashvili S. On one estimate for periodic functions // Georgian Math. J. 2005. V. 12. No. 1. P. 97–114.

⁶⁵Hakl R., Mukhigulashvili S. A periodic boundary value problem for functional diferential equations of higher

order // Georgian Math. J. 2009. V. 16. No. 4. P. 651–665.

⁶⁶Sremr J. On the initial value problem for two-dimensional systems of linear functional diferential equations

with monotone operators // Fasc. Math. 2007. V. 37. P. 87–108.

⁶⁷Nieto J., Rodriguez-Lopez R. New comparison results for impulsive integro-diferential equations and applications // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2007. V. 328. No. 2. P. 1343–1368.

⁶⁸Nieto J., Rodriguez-Lopez R. Boundary value problems for a class of impulsive functional equations // Computers & mathematics with applications. 2008. V. 55. No. 12. P. 2715–2731.

⁶⁹Jiang D., Nieto J., Zuo J. On monotone method for frst and second order periodic boundary value problems and periodic solutions of functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2004. V. 289. No. 2. P. 691–699.

⁷⁰Nieto J., Rodriguez-Lopez R. Remarks on periodic boundary value problems for functional diferential equations // J. of Computational and Applied Mathematics. 2003. V. 158. No. 2. P. 339–353.

⁷¹McRae F.A. Monotone iterative technique and existence results for fractional diferential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2009. V. 71. No. 12. P. 6093–6096.

⁷²Liz E., Nieto J. Periodic boundary value problems for a class of functional diferential equations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1996. Vol. 200. No. 3. P. 680–686.

⁷³Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I // СМФН. 2007. Т. 26. С. 3–132; Неклассические краевые задачи. II // СМФН. 2009. Т. 33. С. 3–179.

⁷⁴Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // УМН. 2016. Т. 71. № 5(431). C. 3–112.

получения коэффициентных признаков разрешимости. Доказано существование решений и исследованы свойства решений многих неклассических краевых задач для актуальных классов функционально-дифференциальных уравнений.

Важные результаты по теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений и близким вопросам получены в работах Р. Агарвала, В.В. Власова, С.А. Гусаренко, В.Я. Дерра, Е.С. Жуковского, Г.А. Каменского, С.А. Кащенко, И.Т. Кигурадзе, В.Б. Колмановского, М.Ю. Кокурина, Дж. Мо-вена, С. Мухигулашвили, С.М. Лабовского, А.Г. Ломтатидзе, В.П. Максимова, С.Б. Норкина, В.Г. Пименова, Б. Пужи, Л.Ф. Рахматуллиной, А. Ронто, Л.Е. Россовского, А.Л. Скубачевского, А.Н. Сесекина, Е.Л. Тонкова, Дж. Хей-ла, Р. Хакла, Р.В. Шамина, Ю. Шремра, Л.Э. Эльсгольца и др.

Цель и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы — развитие методов исследования краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений на конечном промежутке и получение новых условий наличия некоторых важнейших свойств краевых задач, таких как, например, однозначная разрешимость и существование положительного решения. Для достижения поставленной цели было предложено рассматривать краевые задачи для семейств функционально-дифференциальных уравнений. Для этих семейств решены следующие задачи:

I. Разработка метода получения неулучшаемых в данном семействе уравнений условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства;

II. Нахождение необходимых и достаточных условий существования и единственности решения краевой задачи для всех уравнений семейства;

1. Разработка метода получения неулучшаемых в данном семействе уравнений условий сохранения знака решения краевой задачи;

2. Нахождение необходимых и достаточных условий сохранения знака решения краевой задачи для всех уравнений семейства;

V. Разработка методов построения оценок решений краевой задачи, неулуч-шаемых в данном семействе уравнений.

Научная новизна. В диссертации разработан новый метод исследования краевых задач, который в отличие от известных дает возможность получать условия разрешимости и знакоопределенности решений краевой задачи, оценки решений, неулучшаемые для данного семейства функционально-дифференциальных уравнений. Все результаты, полученные в работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Для широкого класса семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений и систем предложен метод получения необходимых

и достаточных условий однозначной разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства и сохранения знака решений краевой задачи для всех уравнений данного семейства. Метод эффективен: проверка необходимых и достаточных условий разрешимости или сохранения знака решения краевой задачи для всех уравнений семейства сводится к проверке отсутствия нулей (или сохранения знака) эффективно строящейся по параметрам семейства вещественной функции, заданной на некотором множестве конечномерного пространства. Для многих актуальных краевых задач и семейств получены условия разрешимости в аналитическом виде.

Результаты дают новое представление о структуре необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства и знакоопределенности всех решений. И с теоретической и с практической точек зрения важно, что получаемые признаки и оценки неулучшаемы в данном семействе функционально-дифференциальных уравнений.

Результаты существенно улучшают известные условия разрешимости краевых задач и условия положительности (отрицательности) решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Они могут использоваться для анализа нелинейных функционально-дифференциальных уравнений и различных моделей, связанных с функционально-дифференциальными уравнениями. Неулучшаемые оценки решений в достаточно «узких» семействах могут использоваться для приближенных вычислений.

Методология и методы исследования. При исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений автор опирается, в первую очередь, на подход к функционально-дифференциальным уравнениям профессора Н.В. Азбелева и профессора Л.Ф. Рахматуллиной⁷⁵ и их учеников, изложенный, в частности, в монографии⁷⁶. При этом на операторы функционально-дифференциального уравнения накладываются только минимальные требования «регулярности» (представимости в виде разности двух операторов, положительных в смысле соответствующих конусов неотрицательных функций).

Второй основополагающий момент работы — использование семейств операторов. Регулярность операторов позволяет в заданном семействе найти оператор самого «плохого» поведения, для которого, например, разрешимость краевой задачи влечет разрешимость данной краевой задачи для всех уравнений семейства. Оказывается, что такой оператор часто обладает простой структурой, а именно, является конечномерным. Условия разрешимости краевой задачи для таких операторов могут быть получены точно в явном виде (или прибли-⁷⁵Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional diferential equations and applications // Mem. Difer. Equ. Math. Phys. 1996. V. 8. P. 1-102.

⁷⁶Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991. 280 с.

женно с любой заданной точностью, давая тем самым хорошие достаточные условия разрешимости).

Метод позволяет свести основные проблемы, связанные с краевыми задачами (однозначная разрешимость, положительность решений, оценки решений, описание спектра) к рассмотрению семейств простых задач, допускающих решение в явном виде. Насколько известно автору, такой подход к изучению краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений ранее не использовался. В некоторых случаях наилучшие условия разрешимости (которые эквивалентны необходимым и достаточным условиям разрешимости краевой задачи для семейств уравнений) были с получены с помощью построения априорных оценок решения. Однако стандартного метода построения нужной оценки не существует. В диссертации во всех случаях предлагается алгоритм решения задачи. Этот алгоритм сводит проблему, связанную с краевыми задачи для функционально-дифференциальных уравнений, к стандартной задаче конечномерной оптимизации.

Основные результаты диссертации. Положения, выносимые на защиту.

1. Связь однозначной разрешимости краевой задачи для всех уравнений заданного семейства линейных функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) с однозначной разрешимостью краевой задачи для всех уравнений из подсемейства ФДУ с конечномерными операторами простой структуры. Метод получения необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи и сохранения знака решений краевой задачи для всех ФДУ из заданного семейства.

2. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи и сохранения знака решений для всех уравнений семейства ФДУ при поточечных ограничениях на операторы (в том числе и в так называемом «резонансном» случае, когда исследуется возмущение однородной задачи, имеющей нетривиальное решение). Эффективные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости и знакоопределенности решений периодической краевой задачи для всех уравнений из различных семейств при поточечных ограничениях.

3. Метод построения оценок решений краевой задачи, неулучшаемых в семействах уравнений с поточечными ограничениями на функциональные операторы.

4. Общие и эффективные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости «нерезонансных» краевых задач для всех семейств ФДУ с интегральными ограничениями (в том числе, для задачи Коши для семейств ФДУ -го порядка).

5. Необходимые и достаточные условия существования решения краевой задачи в «резонансном» случае для всех уравнений семейств ФДУ с интегральными ограничениями.

6. Эффективные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для всех уравнений семейств ФДУ -го порядка с интегральными и поточечными ограничениями. Свойства последовательности наилучших констант в условиях однозначной разрешимости.

7. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для всех уравнений семейств сингулярных ФДУ -го порядка с интегральными ограничениями.

8. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости краевых задач для семейств ФДУ с промежуточными производными.

9. Общие и эффективные необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач (Коши, периодической, двухточечной) для всех систем из заданного семейства систем двух ФДУ первого порядка с интегральными ограничениями.

10. Необходимые и достаточные условия монотонности оператора Грина краевой задачи для всех уравнений семейства ФДУ при поточечных ограничениях на операторы.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации приведены в виде строгих математических утверждений и примеров, иллюстрирующих применение этих утверждений. Все результаты диссертации строго обоснованы. Достоверность и непротиворечивость исследований подтверждена строгостью применяемых математических методов доказательств, публикациями в ведущих рецензируемых изданиях и апробацией результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

Воронежская математическая школа «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2015 гг.); Международная конференция «Func-tional Differential Equations» (Ариэль, Израиль, 2010, 2012 гг.); Научная конференция-семинар «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008 г.); Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009 г.); Шестая Всероссийская конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009 г.); Международная конференция по дифференциальным уравнениям “Equadif 12” (Брно, Чешская

республика, 2009 г.); Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики — 2010» (Пермь, 2010 г.); Четвертая Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2013 г.); VII международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2014 г.); Международная конференция «Динамика систем и процессы управления», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского (Екатеринбург, 2014 г.); Всероссийская конференция с международным участием, посвященная памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 2015 г.); III международная конференция, посвященная 85-летию со дня рождения профессора чл.-корр. РАН В. И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2015 г.); Симпозиум, посвященный столетию Пермского государственного национального исследовательского университета «Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала» (Пермь, 2016 г.); Международная конференция «Diferential Equations and Applications» (Брно, Чешская республика, 2017 г.); Пермский семинар по функционально-дифференциальным уравнениям, руководители семинара — профессор Н.В. Азбелев, профессор Л.Ф. Рахматуллина, профессор В.П. Максимов (2002–2017 гг.); Семинар Лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей ПГНИУ, руководитель — профессор В.П. Максимов (2008–2017 гг.); Семинар Института математики Чешской академии наук (филиал в г. Брно), руководитель — профессор А.Г. Ломтатидзе (2009, 2013, 2017 гг.); Семинар кафедры вычислительной математики Челябинского государственного университета под руководством академика РАН А.М. Ильина (2011 г.); Семинар кафедры прикладной математики РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского (2012 г.); Семинар кафедры вычислительной математики Уральского федерального университета под руководством профессора В.Г. Пименова (2011, 2015 гг.); Семинар кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова, руководитель семинара — профессор А.С. Шамаев (2015 г.); Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова, руководители семинара — профессор И.В. Асташова, профессор А.В. Боровских, профессор Н.Х. Розов, профессор И.Н. Сергеев (2016 г.), Семинар отдела динамических систем Института математики и механики имени Н.Н. Красовского УрО РАН, руководители семинара — чл.-корр. РАН В.Н. Ушаков, профессор А.М. Тарасьев (2017 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 59 печатных работах, из них одна монография [], 31 статья в рецензируемых журналах, включенных список ВАК и в международные реферативные базы данных и системы цитирования Web of Science, Scopus, zbMATH [–], 5 статей в сборниках тру-

дов конференций [33-], остальные 22 работы — тезизы докладов [-.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Теорема 1.3 из совместной работы [4] принадлежит диссертанту и соавторам А. Ломтатидзе и Р. Хаклу в равной мере.

Исследования рассматриваемых в диссертации задач проводились при поддержке грантов РФФИ 10-01-96054-р-урал-а, 01–01–00511–а, 03 01 00255-а, 06-01-00744-а, 14-01-00338.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и библиографического списка. Общий объем диссертации 334 страниц. Библиография включает 267 наименований.