Краевые задачи для полианалитических функций Чан Куанг Выонг

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Краевые задачи специального вида 27

1 Формула Гурса 27

2 Задача линейного сопряжения 31

3 Канонические матрицы- функции 38

4 Частный случай для бианалитических функций 46

5 Односторонние краевые задачи 53

Глава 2. Краевые задачи общего вида 62

6 Представление решений аналитические функции

8 Задача линейного сопряжения для производных (n - 1)-го порядка

9 Общая краевая задача 77

Литература

• Канонические матрицы- функции
• Частный случай для бианалитических функций
• Представление решений аналитические функции
• Задача линейного сопряжения для производных (n - 1)-го порядка

Введение к работе

Актуальность работы. В современном комплексном анализе важную роль играют краевые задачи теории аналитических функций и различные их обобщения - задачи нахождения аналитической в некоторой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Более точно, требуется найти аналитическую в области D функцию ф по краевому условию

Re Сф⁺ = /,

где ф⁺ означает граничное значение ф и заданная функция G всюду отлична от нуля.

Эта задача была поставлена Б. Риманом в 1857 г., однако он не указал каких-либо способов ее решения. Впервые ее исследование было дано Д. Гильбертом, который свел эту задачу к решению двух задач Дирихле для гармонических функций. По этой причине данную задачу называют задачей Римана - Гильберта (иногда просто задачей Гильберта).

Задача Римана - Гильберта тесно связана с так называемой задачей линейного сопряжения, постановка которой также восходит к Б. Риману. Пусть гладкий контур Г ограничивает область D и D' есть дополнение к D на комплексной плоскости. Пусть функция ф аналитична на D U D' и непрерывно продолжима на Г со стороны D и D', соответствующие граничные значения обозначаем ф⁺ и ф~. В этом случае ф также называют кусочно аналитической функцией с линией скачков Г. Задача линейного сопряжения состоит в определении такой функции с конечным порядком на бесконечности по граничному условию

ф⁺{і) = С{ї)ф~(ї) + git), і є Г,

где G(t) и g{t) - заданные функции.

Можно показать, что при помощи аппарата интегралов типа Коши эта задача имеет решение, которое используется для исследования сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши на контуре Г. Теория этих задач, как и сингулярных

интегральных уравнений к середине прошлого столетия приобрела практически законченный вид, итог подведен в известных монографиях Ф.Д. Гахова и Н.И. Му-схелишвили, где приведена также подробная библиография.

Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного z = x-\-iy являются полианалитические (или п— аналитические) функции u(z), которые в области D комплексной плоскости удовлетворяют уравнению

д^пи

^— = 0. (1)

Отметим, уравнение (1) при п = 2 называется также уравнением Бицадзе. При разделении действительной и мнимой частей этого уравнения получается эллиптическая система второго порядка, рассмотренная в известной работе А.В. Бицадзе.

Краевым задачам для полианалитических функций и их обобщений посвящены многочисленные исследования. Интерес к этим задачам объясняется связями с другими математическими областями (например, теорией дифференциальных уравнений с частными производными, теорией приближения функций), а также многообразными приложениями в математической физике и механике (см., например, Т. Рева, А. Юденков). Систематическое исследование краевых задач для полианалитических функций началось с работ В.С. Рогожина и М.П. Ганина, в которых рассматривалась задача нахождения 3-аналитической функции по трем краевым условиям. В дальнейшем эта теория развивалась многими авторами, большой вклад в нее внесли Ф.Д Гахов, И.А. Бикчантаев, В.А. Габринович, В.И. Жегалов, СВ. Ле-винский, В.И. Показеев, И.А. Соколов, К.М. Расулов и др.

Цель работы.

1. Исследовать задачу линейного сопряжения и односторонную краевую задачу для полианалимтических функций с помощью теории функций и интегралов типа Коши.

2. Построить явно по рекуррентной процедуре каноническую матрицу-функцию и с помощью нее исследовать задачу линейного сопряжения.

3. Дать описание полианалитических функций через J - аналитические функции.

4. Исследовать общую краевую задачу для полианалитических функций с помощью обобщенных интегралов типа Коши, связанных с J— аналитическими функ-

циями.

Научная новизна.

1. Дано решение задачи линейного сопряжения и найдена формула ее индекса с помощью интегралов типа Коши.

2. Получено представление решения задачи линейного сопряжения и односторонней краевой задачи Римана - Гильберта через каноническую матрицу-функцию, которая построена в явном виде.

3. Найдено представление полианалитических функций через J - аналитические функции.

4. Исследована фредгольмова разрешимость общей краевой задачи для полианалитических функций с помощью J— аналитических функций и найдена формула ее индекса.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы методы теории функций и функционального анализа, сингулярных интегральных уравнений, теория интегралов типа Коши, канонических матриц функции и J-аналитических функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для последующего развития общей теории краевых задач для эллиптических систем.

Апробация работы. Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2015); на первой междууниверситетской конференции среднего Вьетнама, (Вьетнам, 2015), на научно- исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям (рук. проф. А.П. Солдатов), Белгород, 2014-2016, на Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2016).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1]-[3], рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. Статьи выполнены совместно с научным руководителем А. П. Солдатовым. Здесь научному руководителю принадлежит постановка задач и выбор методик ис-

следования, а соискателю - реализация указанных методик.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации составляет 91 страниц, библиография - 47 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А. П. Солдатову за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

Канонические матрицы- функции

Пусть область D является окрестностью бесконечно удаленной точки оо, т.е. содержит внешность {\z\ R} некоторого круга. Предположим, что в обозначениях (1.5) полианалитическая функция u(z) при \z\ R удовлетворяет оценкам \Uj(z)\ C\z\ J, j = l,...,n, (1-8) с некоторым целым / или, что равносильно, Uj(z) = 0{\z\l ) при z — оо. В силу (1.6), (1.7) для компонент фк вектор- функции ф имеем выражения tyk(z) = у — v\;Uj\z)i з=к которые показывают, что аналогичные (1.8) оценки справедливы и для этих компонент. Верно и обратное - наличие поведения (f)j(z) = 0(\z\ 3) при z — оо, j = 1,..., n, (1-9) влечет (1.8) с некоторой другой постоянной С. Пусть некоторая аналитическая в D функция ifj(z) в области \z\ R удовлетворяет оценке 1 ( )1 C\z\m с некоторым натуральным т. Эта оценка означает, что в ее разложении в ряд Лорана ifj(z) = у (ijZJ (1-Ю) по целым степеням z число коэффициентов aj с положительными j конечно. Поэтому существует такое целое s, что as ф 0 и суммирование в (1.10) ведется по j s. Целое число s называем порядком ф на бесконечности и обозначаем s = degф. Очевидно, при s = 0 функция ф ограничена в окрестности оо и существует предел Итф ) = ф(оо) при z — оо, который совпадает с а$. При deg 0 этот предел равен нулю, в этом случае говорим, что ф исчезает на бесконечности. Заметим, что если ф является многочленом, то deg1 представляет собой степень этого многочлена.

В принятых обозначениях условие (1.9) можем выразить в форме deg(j)j I — j.

Лемма 1.1. Пусть вектор- функции ф = (фі,..., фп) иф = (фі,... ,фп) аналитичны в окрестности оо; имеют конечный порядок и связаны соотношением ф = Аф, где аналитическая матрица -функция A(z) имеет порядок нуль на оо; причем det А(оо) ф 0. Тогда deg0 = deg .

Доказательство. Пусть deg = s, тогда функция фо ) = z si\){z) ограничена и при z — оо стремится к некоторому ненулевому вектору фо(оо) Є Сп. Следовательно, функция фо ) = z sф(z) = A{Z)II)Q{Z) об ладает этим же свойством, причем фо(оо) = А(оо)гро(оо). Поскольку по условию det А(оо) ф О, вектор 0о(оо) ф О, так что deg0 = s.

Пусть на комплексной плоскости задан ориентируемый гладкий контур Г, состоящий из простых контуров Гі,...,Гт. Тогда дополнение к нему открытое множество D = С \ Г состоит из некоторого числа областей Do, Di,... , DTO, из которых область Do бесконечна и содержит окрестность бесконечно удаленной точки оо, а остальные области конечны. Не ограничивая общности в дальнейшем считаем, что 9Do = Гі U ... U ГТОо, 1 то т. (2-1)

Обозначим C(D) класс функций ір Є C(D), которые в каждой области Dj непрерывны продолжимы на ее границу. Очевидно, тогда можно ввести в точках t Є Г односторонние граничные значения этой функции (t) = \im (f(z), когда точка z — t, оставаясь слева (справа) от Г при верхнем (нижнем) знаке. Ясно, что как функции на Г эти граничные значения непрерывны.

Наряду с этим классом введем также соответствующий класс Гель-дера. Пусть C (G) означает класс функций, удовлетворяющих на множестве G условию Гельдера, т.е. оценке v?( zi) — ( 2) C\z\ — 2ІМ, Zj Є G, с некоторым показателем 0 /І 1. Ясно, что условия ір Є C (G) и (f Є C {G) равносильны. В этих обозначениях запись (р Є CM(D) по определению означает, что ір Є CM(Do) для каждой ограниченной подобласти Do Q D. Таким образом, (р Є CM(Dj), 1 j т, и р Є CM(Do П {\z\ R}) для любого R 0. Пусть задана п х п— матрица- функция B(t) = (Bij(t))i на контуре Г из класса Ом(Г), определитель которой всюду отличен от нуля. Рассмотрим для полианалитической функции и из класса U j = ._-, є CM(D), 1 j n, (2.2) Uj(z) = 0{\z\l ) при z — oo, j = 1,..., n, задачу линейного сопряжения o--_i / ij o- _i = Jb 1 Ї n. (2-3) i=i

При подстановке U = Рф эта задача перейдет в задачу линейного сопряжения Ф+ Оф = д, (2-4) для аналитической в D вектор- функции ф Є C (D) с матричным коэффициентом G = Р 1ВР и правой частью д = P lf. При этом аналогично (2.2) вектор - функция ф = (фі,..., фп) подчинена условию deg фj I — j, 1 j n, (2-5) на бесконечности. C помощью интеграла типа Коши 1 f (p(t)dt (I(fi)(z) = / (2-6) 2тгі Y t — z эту задачу обычным образом (см., например, Н.И. Мусхелишвили [4]) можно редуцировать к эквивалентной системе сингулярных интегральных уравнений. Напомним хорошо известные свойства [4] этого интеграла.

Частный случай для бианалитических функций

Запишем уравнение (1.1) в форме д д — і— и = О, ду дх д . д ду дх или, в развернутом виде д и v- д и CLh ri—7Т, і—7 = 0 (6.1) Ап,п / J Ап,к — ІАгрП—к-\-і У k=l У с коэффициентами п ( / -\п—к-\-\ п — к + 1 Qjh. = — п — к + 1 Рассмотрим п— вектор U, составленный из частных производных (п — 1)— го порядка решения уравнения (6.1), т.е. U = (U-\,..., U„), Uh = т —тт - (6.2) An,k — YArr n—k Очевидно, компоненты вектора U удовлетворяют очевидным соотношениям к— = U, 1 к п — 1. \Р-д) ду дх

Следующее общее утверждение показывает, что верно и обратное.

Лемма 6.1. Пусть п— вектор- функция U непрерывно дифференцируема в односвязной области D на плоскости и удовлетворяет соотношениям (6.3). Тогда найдется такая скалярная функция и Є Cn{D), что ее частные производные (п — 1)— го порядка связаны с U равенством (6.2).

Доказательство. Пусть в области D задана пара функций tp = ( Pi, fi2) Ck(D), к 1, удовлетворяющая условию dtpi dtp2 ду дх и точка ZQ Є D фиксирована. Тогда поскольку область D односвязна, криволинейный интеграл Po(z) = / tpidx + tp2dy, z Є D, не зависит от пути интегрирования и определяет функцию іро Є Ck+l(D), для которой dtpo dtpo — = (/?і, —— = (fi2, ox oy причем po(zo) = 0. Эту операцию обозначим po = X _1)(v?i, V ). Исходя теперь из п—вектора U, построим семейство функций Ukj Є Cn k+1(D), 1 j к n, полагая Unj = Uj, 1 j n, и далее по индукции Ukj = Т) (Uk+ij, Uk+ij+i), 1 j к. (6-4) Утверждается, что функция и = U\\ Є Cn(D) является искомой, т.е. удовлетворяет соотношениям (6.3). В самом деле, по определению (6.4) и операции Т 1 последовательно имеем: dn lU\\ dn 2 U2i Г = 7Г = = Un] , Aq n—Y АгрП—1 dn lU\\ dn 2 U22 дхп 2ду дхп 2 = ... = Un%} dn lU\\ dn 2 U22 9п_3 зз дхп ъду2 дхп ъду дхп ъ дп lU\\ дп 2 U2\ дхду--2 = дГ = " = щп ъ dn lU\\ dn 2 U22 fiyn—l Ап,п—2 n,ni что завершает доказательство леммы. Построенную в лемме операцию обозначим и = (!-«)[/. Очевидно, она переводит класс Cl{D) вектор- функций U со свойством (6.3) на класс Cn(D) скалярных функций, причем все частные производные функции и до (п — 2)— го порядка включительно в точке ZQ обращаются в нуль: д ( (!-«) [Л :( о) = 0, 1 J s п — 2.

Таким образом, любая функция и Є Cn(D) единственным образом пред-ставима в виде u = V{l n)U + р, (6.5) где п— вектор- функция [/ Є Cl(D) удовлетворяет условию (6.3), а скалярная функция p(z) является многочленом двух переменных ж, у степени не выше п — 2. Класс таких многочленов обозначим 7- -2, его размерность легко вычисляется по формуле п{п — 1) dim ря_2 = . (6.6) Особо отметим случай, когда область D ограничена простым контуром и бесконечна, т.е. лежит вовне этого контура. Эта область не является односвязной, однако если в дополнение к (6.3) вектор функция U подчинена условию U(z) = 0(\z\ n) при z — оо, (6-7) то лемма сохраняет свою силу. В этом случае в качестве точки ZQ в определении операции Т ( 1 можно взять ZQ = оо, понимая криволинейный интеграл как несобственный. В обозначениях (6.2) уравнение (6.1) запишется в форме дип v- OUk — У 2;— = 0. ду 2-— дх у к=\ Совместно с (6.3) в результате приходим к векторному равенству dU dU — А— = 0 (6-8) ду дх с матрицей О 1 о о О 0 1 о А = О О О 1 a1 a2 a3 an Эта матрица имеет так называемую фробениусовую нормальную форму (см. А.И. Мальцев [42]) и ее характеристический многочлен дается равенством detiz — А) = z — ahZ , или, с учетом выражения для ak в (6.1), равенством det(z-A) = (z-i)n. Таким образом, CLhZ = Z — [Z — І) . (6.9) Убедимся, что жорданова форма этой матрицы состоит из одной клетки Жордана

Другими словами, найдется обратимая матрица T, приводящая A к жор-дановой форме J т.е. удовлетворяющая соотношению Т AT = J. (6.11) Условимся под T(k) понимать k-ый столбец матрицы B, он представляет собой вектор (T1k, . . . , Tnk). Лемма 6.2. Соотношению (6.11) удовлетворяет матрица T со столбцами (6.12) k n (І), T(i) = h(i), Т(2) = h (i),... ,T(n) = (n - 1)! где положено h(z) = (1, z,z2, . . . , zn-1), которая, очевидно, треугольна и обратима. В явном виде т = 0 ... о і 1 0 ... о А 2 2г 1 ... о іп 1 (п — 1)га 2 [(п — 1)(п — 2)/2]іп 3 1 Доказательство. Согласно (6.9) можем написать Ah(z) = zh(z) - g(z), g(z) = (0, . . . , 0, (z - i)n). Воспользуемся очевидным тождеством z 1 л-іґАЛ 1 /г \z) + — h (z), к 1. — [г/гтГ ; = /с! к\ (к — 1)! Поскольку g(k)(i) = 0, 1 k n - 1, отсюда 11 i Ah(k)(i)= h(k-1)(i)+ h(k)(i). k! (k-1)! k! В обозначениях (6.12) эти соотношения как раз означают матричное равенство AT = TJ, т.е. соотношение (6.11).

Представление решений аналитические функции

Рассмотрим подробнее систему (6.14), которая эллиптична и которая в случае скалярной матрицы J = і определяет обычные аналитические функции. Для ганкелевой матрицы J в рамках так называемых гиперкомплексных чисел эта система впервые была изучена в [32]. Интерес к ней вызван главным образом тем, что решения эллиптических систем второго порядка очень просто выражаются через вектор- функции ф. Как показано в [38], все основные факты теории аналитических функций, основанные на интеграле Коши, распространяются и на функции, аналитические по Дуглису. Основной принцип распространения заключается в замене комплексного числа z = х + гу на матрицу Zj = xl + у J, (7.1) где 1 означает здесь единичную матрицу и J - клетку Жордана (6.10).

Очевидно, матрицу zj можно представить в виде суммы скалярной матрицы z = z\ и у А, где А означает клетку Жордана, отвечающую нулевому собственному значению. Поэтому если скалярная функция f(u) аналитична в окрестности точки z - единственного собственного числа матрицы zj, то матрицу f(zj) - значение этой функции от матрицы zj, можно определить по формуле (см. А.И. Мальцев [42]): f(zj) = f(z) + yf (z)A + ... + y n-lf n-l\z) (nl)\ A n1 или, в явном виде, f(z) yf (z) y2f"{z)/2 yn lf(n l {z)/{n — 1)! 0 f(z) yf (z) yn-2f{n-2\z)/(n-2)\ f(zj) = (7.3) 0 0 yf (z) f(z)

В частности, для f(u) = u l это равенство дает выражение для обратной матрицы zj . Отсюда легко вывести, что для любого целого к имеет место равенство 2тгі / dtjt[ \t\=\ 1, к = —1, О, к Ф —1. (7.4) Роль интеграла типа Коши для J— аналитических функций играет ин теграл (7.5) (IjLp)(z) = / dtj(t — z) j (p(t), z Є D, 2ni Y где аналогично (7.1) выражение dtj означает матричный дифференциал d(Ret)l + d(lmt)J. Соответственно матричное выражение под интегралом, действующее на п—вектор tp = ((/?i, ...,(рп), стоит впереди этого вектора. Напомним [38] основные сведения, касающиеся системы Дуглиса. Для любое-го ее решения 0, непрерывного в замкнутой области D (и допускающее поведение ф(г) = o(\z\ l) при z — оо в случае бесконечной области) справедливо равенство / dtj(f)+(t) = О, г которое служит аналогом теоремы Коши для обычных аналитических функций. Отсюда обычным образом с использованием формулы (7.4) выводится, что любое решение ф системы (7.1), непрерывное в замкнутой области D (и исчезающее на бесконечности в случае бесконечной области) представляется обобщенной формулой Коши ф(г) = (7j0+)(z), z Є D. (7-6) Как и для классических аналитических функций отсюда следует, что в окрестности каждой точки ZQ Є D функция ф раскладывается в равномерно сходящийся обобщенный ряд Тейлора

По этой причине решения системы (6.13) называем кратко J—аналитическими функциями.

Если область D бесконечна и J—аналитическая функция ф имеет поведение O( 83-1) при z — оо, то в окрестности бесконечности эта функция раскладывается в аналогичный степенной ряд ф ) = У ZjCk, Ck Є Cn. к эг-1 Конечные суммы аналогичного вида ж—1 p(z) = У ZjCk к=0 естественно назвать J— аналитическими многочленами степени degp ае — 1. Класс таких многочленов обозначим "Pj -i, очевидно, его размерность вычисляется по формуле dimT ae-i = nse. (7-7) Как обычно, многочлены отрицательной степени полагаются равными нулю. Легко убедиться, что для интеграла типа Коши (7.5) справедливо аналогичное (2.9) разложение оо _, V -А--1 1 / к (Ij(fi)(z) = } Zj Ck, Ck = / tjdtjlfiit). 2-— 2тгі r к=0 Граничные свойства этого интеграла в классе Гельдера См подробно изучены [43, 44] и для них справедлив результат, аналогичный теореме 2.1. Теорема 7.1. Пусть контур Г принадлежит классу Cl,v и D = С\Г. Тогда если вектор- функция tp Є СМ(Г), 0 /І v, то J— аналитическая в D функция ф = IjLp исчезает на бесконечности, принадлежит классу C (D) и для ее граничных значений справедливы формулы Сохоцкого - Племеля 2ф = ±tp + Sj p, (7-8) с сингулярным интегралом Коши 1 / і (Sjifjuo) = — / dtjit — to) т (f{t)} to Є Г. («-9)

При этом Ij как линейный оператор ограничен СМ(Г) — C (D). Верно и обратное - любая J — аналитическая в D функция ф Є C (D), имеющая поведение ф ) = 0(2ж_1) при z — оо с некоторым целым ее, единственным образом представима в виде ф = Ijtp + р с плотностью tp Є СМ(Г) и J— аналитическим многочленом p(z) ком плексной переменной z, подчиненным условиям V Є Pj,as-i, / dtj(p(t)q(t) = 0, q Є Vj-аг-і- (7-Ю)

Заметим, что подинтегральное выражение во втором условии (7.10) понимается как скалярное произведение двух п— векторов dtjtp(t) и q(t). При эз 0 это условие вообще отсутствует, а при зз 0 оно сводится к равенству нулю интегралов tjdtj(p(t) = 0, 0 А; эз — 1. г

Следующая лемма показывает, что для сингулярного оператора Sj справедлив результат, аналогичный лемме 5.1. Ее доказательство осуществляется совершенно аналогично лемме 5.1. Лемма 7.1. Пусть контур Г принадлежит классу С1,г/. Тогда оператор Kj = Sj — S представим в виде 1 [ kj(to,t)(p(t) (Kjifjuo) = — / dt, ( -11) 7ГІ T t — to где матрица- функция kj(to,t) принадлежит классу CV{T х Г) и обращается в нуль при t = to. Доказательство совершенно аналогично лемме 5.1. Рассмотрим на Г некоторую дугу Го с естественной параметризацией 7(s)? 0 s /, где / - длина всей дуги. По условию производная 7/(s) С [0, Z], так что имеет место (5.11). Поскольку функция q(so,s) ограничена по модулю снизу положительной постоянной и при s = So совпадает с 7/(s), функция ryf(s)/q(so s) также принадлежит C QO, /] х [0, /]) и равна 1 при s = So. Очевидно, аналогичным свойством обладает и матрица- функция b (s)]Mso,s)]-/.

Задача линейного сопряжения для производных (n - 1)-го порядка

Таким образом, первое слагаемое в левой части (9.4) можем представить в форме Re N Ckij (е\д\ + Є2 92)п кд\д32и +Re у Ckij{d\d2u)+ i-\-j=lk — 1 i+j n—2 с некоторыми коэффициентами Ck,ij Є CV(T). Введем функции Bkj с помощью тождеств п / Ck,ij (ell + Є2« 2)П кСіСІ = / BkjCl JСІ і 1 — — П5 относительно вещественных переменных i, 2, или, что равносильно, с помощью тождества п / Ck,ij [(еі + Є2 )п fc ] = / BkjZJ , 1 к п, (9.5) относительно комплексной переменных Z. Тогда задачу (9.4) можем записать в форме Re у Bkj(di Jd и)+ + Re у Ckij(d[d2,u)++ ,7=1 i-\-j n—2 (9.6) +Re / . . — / Ckij{oi02u) d\t = jk, 1 к n. Воспользуемся далее подстановкой (8.3) и введем ограниченные линейные операторы Rk:ij C {D) — С1,И(Г) и ограниченные линейные функционалы Lk,ij C {D) — С по формулам В к,ізФ = (9[д2)(Т пТф)к , Ї + J — 2, І кііФ = / СА;гЛ( 1 )(- П 10)А;] + 1 + І 4 — 1 Sp г Здесь под CM(D) понимается соответствующее пространство вектор- функций, .]—аналитических в области D. В этих обозначениях задача (9.6) редуцируется к краевой задаче Re (Вф+ + Иф + Lp) = f (9-7) относительно пары (ф,р), где линейные операторы Иф и Lp, определены на, соответственно, пространстве CM(D) вектор- функций, J— аналитических в области D, и пространстве скалярных многочленов р переменных ж, у степени не выше п — 2, и действуют по формулам (ЯФ)к=/ С] іііїкііФ+/ киФі {Lp)k=y Ckij{d\dJ2p)+ +/ / С/;у[( 9} 92)p]+ ii. Поскольку вложение С1,М(Г) С СМ(Г) компактно, этим свойством обладают и Д - как операторы CM(D) — СМ(Г). Следовательно, вместе с ними компактен и оператор R в (9.7). Совместно с теоремами 2.2(c) и 8.2 отсюда приходим к следующему результату.

Теорема 9.1. Пусть простой контур Г принадлежит классу Cn l,v и ограничивает конечную область D. Пусть функции Ck:ij в (9.1) принадлежат классу Сп 1к,И(Т), 0 /І и, и матрица В, определяемая из равенства (9.5), обратима.

Тогда задача (9.1) фредгольмова в классе Cn_1 M(D) и ее индекс зз дается формулой ае = —2Ind В + п . (9-8) Проиллюстрируем теорему на примере задачи „ (дк 1и\+ = jki 1 А; п, (9.9) где а = а\ + Ш2 представляет собой комплекснозначную функцию на Г и положено (дк 1и\+ п nk, ,, = [(аіС і + CL2O2) и\ .

Таким образом, в рассматриваемом случае 4 = к и в предположении а Є Сп_2,г/(Г) условия теоремы 9.1 выполнены. Теорема 9.2. Пусть конечная область D ограничена простым контуром Г Є Cn l,v и и функция а\ + іа,2 Є Cn 2,v, п 2. Тогда в предположении (ei 22 — 2(11)(t) ф 0, t Є Г, (9.10) задача (9.9) фредгольмова в классе Cn l {D) и ее индекс зз дается формулой зз = —п(п — l)Ind (ЄІЙ2 — Є2 2і) + п . (9-11) Доказательство. По отношению к задаче (9.9) выражение (9.5) переходит в тождество п У BkjZJ = (ei + ze i)n (сц + za i) , 1 k n, 3=1 которое можно записать в форме действия п х п—матрицы В на вектор h{z) = (1, z,... , zn l\ т.е. в виде векторного равенства і Й1 + ZCL2 Bh(z) = (ei + ze2) h(w), w = . (9.12) Є\ + ze2 Зафиксируем n различных точек z\,..., zn в верхней полуплоскости Im z и введем так называемую матрицу Вандермонда 1 1 1 » Zi 2 Zn W(zi,. . . , Zn) = n-l n-l n-l Zl Z2 Zn столбцы которой составлены из векторов h{z\),..., h(zn). Хорошо известно [42], что определитель этой матрицы вычисляется по формуле det W(z\,..., zn) = I I (zi — Zj). (9.13) i j Полагая в (9.12) переменную z = Zj, j = 1,..., п, в принятых обозначениях получим матричное соотношение BW(z\,..., zn) = W(w\,..., ifn)diag[(ei + Z\e2)n ,..., {e\ + zne i)n ]. С учетом (9.13) отсюда п det -В=М [( « zj) (wi — wj)\ I I (еі + zk&i)n i j k=l Как легко видеть, (Zi — Zj){e\(l2 — Є2 2і) Wi — Wj = , (Єї + Zie2)(ei + Zje2) так что n det B = (Єі 22 — Є2 2і)П( П І І [(Єї + Zie i){e\ + Zje2)] I I (ei + Zk&l)n i j k=l Полагая e\ + Zk&2 = (к, имеем очевидное равенство п п п 11 С«0 = I I (к II Cs = I I (k і i j k=l s=k+l k=l откуда окончательно det В = {e\(i2 — Є2а\) На основании теоремы 9.2 отсюда следует заключение теоремы.

Если функции 2і, 22 вещественны, то условие (9.10) равносильно тому, что вектор а\ + Ш2 некасателен контуру Г в каждой точке. В этом случае поскольку функция Є\(і2—Є2 2і вещественна, ее индекс Коши равен нулю, и формула (9.11) переходит в равенство ае = п2. Например, к рассматриваемому типу относится задача „ (дк 1и\+ л = jki 1 А; п, с нормальной производной. Особо рассмотрим случай постоянных функций а\ = 1/2, 22 = і/2, когда (9.9) переходит в задачу „ (дк 1и\+ л , ле = jki 1 к п, рассмотренную в главе 1. Более точно, она соответствует задаче (5.1), (5.2) для единичной матрицы В. Поэтому на основании теоремы 5.2 эта задача фредгольмова и ее индекс равен п, где учтено, что в рассматриваемом случае простого контура следует в формуле индекса (5.12) положить т = 1. С другой стороны, функция еі 22 — Є2 2і равна іе/2 и ее индекс Коши равен п, так что формула (9.11) дает равенство ае = —п(п — 1) + п2 = п. Таким образом, теорема 9.2 полностью согласуется с теоремой 5.2.