Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых задач для вырождающихся эавнений с частными производными занимает важное место в обо-іщении результатами теории дифференциальных уравнений в частных роизводных. Это объясняется ее многочисленными приложениями в ізовой динамике, теории оболочек, магнитной гидродинамике, а ікже других областях науки и техники.
Основы этой теории заложены в хорошо известных работах Ф. Три-эми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко и других ученых НГ, а также зарубежных математиков.
В последнее время получен ряд интересных результатов в теории эаевых задач для уравнений третьего порядка в трехмерном евклидо-)М пространстве. Отметим работы В.И. Жегалова, В.Ф. Волкодавова, .М. Ежова, И.Н. Родионовой, В.Н. Захарова, Н.Я. Николаева, .М. Салтуганова и других математиков. Заметим, что в трехмерном эостранстве возможен более широкий спектр краевых задач, что эиводит к постановке новых краевых задач и поиску методов обос-эвания существования и единственности их решения.
Исследованиям постановки и однозначной разрешимости краевых дач для уравнений третьего порядка гиперболического типа в трех-ерном евклидовом пространстве и посвящена настоящая работа.
Целью работы является обоснование существования и единствен-эсти решения краевых задач для некоторых вырождающихся на тоскости z + у - х = 0 гиперболических уравнений третьего порядка ограниченных областях трехмерного евклидова пространства.
Методы исследования. Основные результаты диссертационной іботьі получены с использованием классических методов решения іфференциальньгх, интегральных уравнений и аппарата специальных
функций. При доказательстве существования решения краевых зад использовались методы общих решений, теория интегральных уравк ний Абеля с параметрами. При доказательстве единственности реп ния рассматриваемых в работе задач в тех случаях, когда она не сі дует из самого способа построения решения, используется одиозна ная разрешимость простейших функциональных, дифференциальн уравнений или обобщенного интегрального уравнения Абеля с пар метром.
Научная новизна. Для двух вырождающихся уравнений третье порядка решена задача Дарбу и для одного из них - задача Л с зах
нием производных первого порядка и второго порядка с весом на t характеристической плоскости в ограниченных областях трехмернс евклидова пространства. Для двух уравнений третьего порядка в тре мерном пространстве решены три задачи с интегральными локальным условиями.
Практическая и теоретическая'ценность. Диссертационная рабе носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использоваї для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнен третьего порядка с нехарактеристическим вырождением гиперС
лического типа в ограниченных областях пространства R", п> 3.
Апробация работы. Основные результаты исследований доклад вались и обсуждались на областном семинаре «Дифференциальн уравнения» (Самара, 1994-1997), на научном семинаре кафедры вь шей математики ПИИРС (Самара, 1994-1997), на пятой и шестой і учных межвузовских конференциях «Математическое моделирование краевые задачи» (Самара, 1995-1996), на международном семина «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 1995), второй международной конференции «Дифференциальные уравнен
и их приложения» (Саранск, 1996), на Российской научно-технической конференции (Самара, 1997).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, четыре из которых в соавторстве с В.Ф. Волкодавовым. Все результаты получены автором самостоятельно.
Объем и структура диссертации. Работа изложена на 123 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и библиографического списка, содержащего 55 наименований.