Введение к работе
Актуальность темы. Одним из вахнеиших разделов современной теории іифференциальньїх уравнений с частными производными является иссле-ювание краевых задач для уравнений смешанного типа. Значение этой еории определяется многочисленными приложениями в современной физике и технике.
фундаментальными работами являются работы С.А.Чаплыгина, 1>.Трикохи, М.Чибрарио, С.Геллерстедта, Ф.И.Фралкля. Из современных исследований по краевым задачам отметим работы А.В.Бицадзе, ^.М.Нахушева, М.М.Смирнова, В.Н.Врагова, В.И.Жегалова. В.Ф.Волко-іавова, К.Б.Сабитова и многих других математиков.
Для уравнений гиперболического типа были поставлены новые фаевые задачи профессором В.Ф.Волкодавовым. Особенностью постано-зок задач является то. что для некоторых краевых задач искомое решение задается на характеристической части границы области, а цлч других как на характеристической, так и на нехарактеристичес-кол линии со специальными условиями сопряжения. Ниле эти условия будут приведены. Подобные задачи исследовались также Н.Я.Николаевым. Е.И.Томиноя, В.З.Вагаповым, И.М.Сергиевской и другими авторами.
В работе рассматриваются новые краевые задачи для уравнений
L л ( и) = и + ^ и = 0 , t Ln )
О ?r) f-n Г) О
I.iuls u.<;<+signy uyy—2-sign у (u^- uy>= 0 , (L)
0 - or < 1 ,
Sf-.ііз u *sl>rnyu + ^u = 0 , p>l , (SI
<< У У xx v
на ограниченных и неограниченных множествах.
Цоль работы. Обоснование существования и единственности решения некоторых краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов.
Методы исследовании. Единственность решения краевых задач для уравнений смешанного типа доказываются на основе принципов локального экстремума для гиперболических и эллиптических уравнений, леммы Хопфа. При доказательстве существования решения краевых задач использовались метод Римана, метод Римана-Адамара, теория интегральных уравнений Вольтерра первого рода, теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода и теория полного сингулярного уравнения.
Научная новизна. Доказаны принципы локального экстремума для уравнения Пулькина is». Для уравнения
Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты является новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа.
На защиту выносятся:
-
Доказательство существования и единственности решения пяти новых краевых задач для уравнения tL0>.
-
Доказательство единственности решения двух задач 1 и 2 для уравнения смешанного типа
-
Доказательство существования решения задачи 2 для уравнения ( L).
4. Доказательство существования и единственности решений
задач д1^, д^ для уравнения is> в области гиперболичности с зада
нием краевого условия с весом на бесконечно-удаленной характерис
тике.
5. Доказательство существования и единственности решения
задачи v.
Аіірооаиня работы. Результаты диссертации докладывались на:
-Международной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" ( г. Ташкент, 1993г),
-Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск,1994г.),
- Пятой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г.Самара,1995г.j,
-Областном семинаре по дифференциальным уравнениям при Самарском государственном педагогическом университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Волкодавова <Самара, 19944995г. ),
-Семинаре по дифференциальным уравнениям при Стерлитамакском
государственным педагогическим институте под руководством доктора
физико-математических наук, профессора К.Б.Сабитова (Стерлитамак,-
1995г. ). ."'
^Ш">ШМШ^. По .материалам диссертации опубликовано' восемь работ.
Объем и структура диссертации. Работа изложена на 79 страницах машинописного текста и еосоит из- введения, двух глав и библиографического списка, содержащего 115 наименований.