Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем Казакова Татьяна Георгиевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Граничные условия, совместимые с уравнением нулевой кривизны 19

Глава 2. Конечномерные дискретные системы, интегрируемые в квадратурах 45

2.1. Конечномерные редукции и интегралы движения 47

2.2. Дифференциально-разностные симметрии 48

2.3. Мастер-симметрии и уравнение нулевой кривизны 53

2.4. Теорема об интегрировании конечномерных дискретных систем 56

Глава 3. Дискретные уравнения Пеилеве 66

Заключение 75

Литература 76

• Конечномерные редукции и интегралы движения
• Дифференциально-разностные симметрии
• Мастер-симметрии и уравнение нулевой кривизны
• Теорема об интегрировании конечномерных дискретных систем

Введение к работе

В современной теории динамических систем важную роль играют интегрируемые дискретные системы, т. е. системы временная динамика которых описывается разностными или дифференциально-разностными уравнениями, допускающими точные методы решения. Дискретные уравнения имеют многочисленные приложения в различных областях науки. Они возникают при описании нелинейных феноменов различной природы (физической, химической, биологической, социальной, экономической и т. д.), а также как разлост-ные приближения дифференциальных уравнений и как по следователь]:! ости преобразований Бэклунда.

Развитие аналитических методов исследования интегрируемых дискретных систем существенно отстает от аналогичной теории дифференциальных уравнений. Применение разностных уравнений чаще всего ограничивается рамками численного анализа дифференциальных уравнений и изучением хаоса и фракталов. Между тем, дискретные уравнения, в некотором смысле^ можно рассматривать как обобщение дифференциальных. Следует отметить, что в последнее десятилетие ситуация несколько изменилась. Значительно расширились сфера применения и методы исследования дискретных систем. Появилось большое количество работ посвященных изучению симметрии и законов сохранения дискретных систем [32, 46, 65, 77], дискретных аналогов преобразований Дарбу [82, 83, 93] и инвариантов Лапласа [2], дискретных уравнений типа Пенлеве [58, 89, 91, 92], клеточных автоматов [56, 98], дискретной геометрии [8, 50, 71], применения дискретных систем в статистической и квантовой физике [19, 73, 87, 45, 55], математической биологии [39] и т. д. Отдельной строкой можно выделить серию работ, в которых рассматриваются проблемы поиска интегрируемых разностных аналогов солитонных уравнений и классификации дискретных систем.

Примеры дифференциально-разностных цепочек появились еще в кон-

це XIX века в работах Г. Дарбу [48]. В современном контексте интегрируемая модель на решетке впервые была рассмотрена в работе М. Тоды [95]. Цепочка Тоды

3»,« = e^q^~^q" - е<ь-^ (0.1)

описывает ангармонические колебания одномерной кристаллической решетки. Полная интегрируемость системы (0.1) в случае п частиц доказана СВ. Манаковым [24] и Г. Флашкой [53, 54], которые для построения точного решения применили метод обратной задачи. Обобщенные цепочки Тоды, связанные с системами корней произвольной простой алгебры Ли, были введены в [42] О.И. Богоявленским. После этого с помощью методов теории групп уравнения движения для непериодического случая были проинтегрированы М.А. Ольшанєцким, A.M. Переломовым [86] и Б. Костантом [72]. Уравнения движения периодичекой цепочки Тоды были сведены к квадратурам в работе М. Каца и П. ван Мербеке [68] и проинтегрированы в тета-функциях методами алгебраической геометрии И.М. Кричевером [20]. Метод, основанный на применении обратной спектральной задачи для классических якоби-евых матриц, предложен Ю.М. Березанским для интегрирования полубесконечных систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений [6]. Этот метод был применен также при изучении неабелева аналога цепочки Тоды [7]. Ранее уравнения неабелевой цепочки Тоды исследовались в [21], где были найдены явные формулы для периодических решений, и в [44], где применялась обратная задача рассеяния. А.Н. Лезновым и М.В. Савельевым были получены явные решения для двумеризованиой цепочки Тоды

в терминах теории представлений алгебр и групп Ли [23]. Следует сказать, что альтернативный способ интегрирования серий А„, Б_п и С_п предложен еще в работах Г. Дарбу [48]. Отметим также несколько более поздних работ, посвященных исследованию цепочки Тоды [35, 22, 75, 74, 69].

Задача построения дискретных аналогов солитонных уравнений, сохраняющих свойство интегрируемости, возникла и развивалась одновременно с теорией солитонов. Современная теория солитонов насчитывает более тридцати лет. За это время в ее рамках выделились различные течения и направления, каждое из которых имеет определенный практический интерес. В соответствии с ними возникали различные подходы к дискретизации интегрируемых систем и к изучению дискретных уравнений.

Одним из признаков интегрируемости системы является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (условия нулевой кривизны). Переформулировка условия нулевой кривизны для решеточных моделей была осуществлена М. Абловицем и Дж. Ладиком в работе [33]. Ими предложено дискретизировать одно или оба из линейных уравнений, при этом дискретизация может быть проведена различными способами (например, таким образом получено несколько разностных аналогов нелинейного уравнения Шредингераи уравнения sine-Gordon [14, 67, 33, 34]). При построении дискретных моделей авторами [28] использовалась также г-матрица соответствующего непрерывного уравнения.

Наиболее универсальный метод, разработанный Р. Хиротой [63].. основан на билинейном представлении интегрируемой системы. В рамках данного метода получено большое количество дискретных уравнений [47]. Наиболее интересным результатом этого подхода является билинейное уравнение Хи-роты [64, 84]

jfc-i = О- (О-²)

Дискретные аналоги многих солитонных уравнений (например, таких как уравнений Кортевега-де Фриза и Кадомцев а-Петвиашвилл и, двумеризован-ной цепочки Тоды, уравнения sine-Gordon) могут быть получены из уравнения Хироты при соответствующем выборе замены переменных [13].

В работе Веселова А.П. и Мозера Ю.М. [85] была показана важная роль, которую при построении дискретных аналогов интегрируемой систе-

мы классической механики играет факторизация матричных многочленов. Это позволило, в частности, с единой точки зрения рассмотреть дискретные аналоги задачи Неймана о движении точки на сфере и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде, а также их многомерных обобщений. Анализ метода факторизации с точки зрения групп петель предложен в [49]. С помощью данного метода найдены многочисленные примеры интегрируемых лагран-жевых систем с дискретным временем [11, 27, 88, 96].

Дискретизация дифференциальных уравнений, сохраняющая точечные симметрии Ли, рассмотрена В.А. Дородницыным и др. [12, 46, 51, 52]. Изучение точечных симметрии разностных уравнений было начато в работах С. Маеды [80, 81].Симметриям Ли дискретных моделей посвящены и более поздние работы [78, 76, 90].

В соответствии с различными трактовками понятия интегрируемости существуют и различные подходы к классификации дискретных уравнений [36, 37, 40, 99]. Один из них был предложен А.Б. Шабатом и В.Э. Адлером в [3] при изучении интегрируемых дифференциально-разностных уравнений

вида

d²q_n __,, ddq_n±i,

di? ^_Д&,вп±1' dt> dt ^} и затем применен в чисто дискретном случае [1] для систем типа релятивистской цепочки Тоды

(Т_т - l)f{q_m,_n - Чт-1,п) + [Тп - l)ff(«m,n - q,n-i) + +{T_mT_n - l)h(q_m,_n - q_m-i,n-i) = 0. Здесь q_m{n является дискретной функцией размерности 1+1, т. е. функция q_m>n зависит от одной пространственной и одной временной переменной, а Т_ш и Т_п - сдвиги по первому и по второму индексам соответственно, а именно, T_mq_m>n ='5Wi,« и !T_ng_ro,„ = q^n+i- Присутствие слагаемого {T_mT_n-l)k(q_m,_n-<Ьг-і,п-і) в уравнении (0.3) позволяет определить пару преобразований Ле-жандра

і— . (Ут,ті—1 Ч,т— 1,ті—її 4Олп^пчЧт.п Ч'гп,їі—і)ї

где отображение 7^і : (ж, у) —* (-^,^) задается формулами

X = g(y) + h(x + y), Y = -f(x)-h{x + y).

Инвариантность интегрируемых цепочек вида (0.3) относительно указанных преобразований позволила авторам [1, 3] ввести следующее определение.

Определение 0.1. [1] Уравнение (0.3) интегрируемо, если обобщенные преобразования Лежандра Т_, Т+ обратимы и переводят, его в уравнение того oice вида.

В [1] представлен исчерпывающий список уравнений (0.3), интегрируемых в смысле определения 0.1. Кроме того, в [36] показано, что итерации преобразований Бэклунда 2] = Т_ 7+ для цепочек (0.3) описываются нерелятивистскими цепочками типа цепочки Тоды

Список цепочек вида (0.4), представленный в [36], состоит из восьми уравнений, не переводимых друг в друга точечными преобразованиями_f

(Т_т - 1) Ї = (Т_п - 1) ^ , (0.5)

{T_m - і)_ЄЇ-»,»-Ї-1.« = (T„ - 1)е^.»-«'».'¹-¹, (0.6)

(T_m - 1) - = {Т_п - 1) і -, (0.7)

(T_m - 1) ln(_?m,_n - q_m-i,n) = (T_n - 1) bi(q_m,n - g_m,_n-i), (0.8)

(Г_т - 1) In f 1 - —~^ ) = (T_n - 1) In (l - —L ) (0.9)

V 5m,n ^— 4m-l,n/ \ 4m,n 4m,n-l /

{T_m - 1) \_n(e^qm^'^qm-^ - 1) = (7¹_n - 1) lnfe^"-^"-¹ - 1), (0.10)

(Гт - l)fom,« - ff-l,_n) - № - 1) ІП(Є^-^- + 1), (0.11)

^-~ )=(Г_я-1)Ы(^е _г M. (0.12)

Он содержит в себе дискретные аналоги известных уравнений, таких как модель Гейзенберга и цепочка Тоды (подробности см. в [36, 94]). Возможно, данный список является полным (ср. [25, 27, 63, 94]).

Основной целью настоящей работы является построение условий обрыва цепочек (0.5)-(0.12), сохраняющих свойство интегрируемости, и изучение полученных конечномерных систем.

В работе используются основные методы симметрии ного подхода к исследованию интегрируемых систем: построение симметрии и законов сохранения, поиск интегрируемых условий, обрыва. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Полученные теоретические и прикладные результаты являются новыми.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена задаче отыскания интегрируемых граничных условий для разностных цепочек типа цепочки Тоды (0-4). Построение конечномерных редукций динамических систем является одним из наиболее эффективных способов получения их частных решений. В первую очередь, рассматривается периодическое замыкание [28, 27]. Однако, существуют и другие способы обрыва цепочек, сохраняющие их интегрируемость. Для моделей размерности 1+1 найдены эффективные алгоритмы поиска таких граничных условий, использующие, например, законы сохранения и гамильто-нову структуру [26, 27] или высшие симметрии уравнения [59, 60, 38]. В частности, с точки зрения интегрируемых обрывов рассмотрены цепочки Тоды и Вольтерра. Конечнозонные решения цепочки Вольтерра, удовлетворяющие интегрируемым граничным условиям на полуоси, изучены в работе [9].

Мы используем альтернативный подход, основанный на существовании представления нулевой кривизны для цепочки (0.4). Данный метод был предложен в работе И.Т. Хабибуллина и А.Н. Вильданова [62] и применен к уравнениям в частных производных типа КдФ. Основное преимущество метода заключается в том, что для поиска интегрируемых граничных уело-

вий требуется только L,A пара исходного уравнения. Такой способ нахождения условий обрыва можно применять и для изучения многомерных задач [30]. Использование эквивалентности уравнения условию совместности двух линейных уравнений позволяет также редуцировать 2+1-мерные модели к 1+1-мерным [41].

Предположим, что уравнение (0.4) эквивалентно условию совместности (уравнению нулевой кривизны)

WWA) (0-13)

системы двух линейных уравнений

_т,_п+1(Х) = і_т,_п(А)У_т,_я(А), (0.14)

Пн-і.» W = Л_т,_и(А)У_т,„(А), (0.15)

где Ьт_>п и Ат_іП - квадратные матрицы размерности 2x2, зависящие от конечного числа сдвигов переменной q_mtn и параметра Л. Определение 1.1. Мы называем граничное условие

_miN+i,q_m-i_iN+i,...,q_mfN+M,qm-UN+M) (0.16)

совместимым с уравнением нулевой кривизны (0ЛЗ)_} если уравнение (0.15) в пространственной точке п = N

Ym+uNW = ^(А)|_М=^Л(А) (0-17)

обладает, дополнительной точечной симметрией eucta

Г_тііУ(Л)=Я(т,М,А)Г_тііУ(Л), X = h(X). (0.18)

Матрица ff(m, [q], A) = H(m,q_myN+i, g_m_i,^+i, -,M+b qm-i,N+k, A), определяющая преобразование (0.18) зависит от конечного числа сдвигов переменной q_mn. В главе 1 для цепочек (0,5)-(0.7) и (0.9)-(0.12) найдены

граничные условия, исходя из предположения, что матрица Н(т, А) не зависит от динамических переменных, т. е. зависит только от временной переменной га и от параметра А. Для цепочек (0.6), (0.10) построены также условия обрыва, которым соответствуют матрицы Н(т, A) — #(m, q_m-i,N+i-> X), зависящие от динамической переменной qv-i^+i- А для цепочки (0.11) рассмотрен случай, когда матрица ff(m, Л) = Я(т, д_т_і^_у+ь^т,л>ь А) зависит от двух динамических переменных q_m__lt^₊i и q_m^+i- Отметим, что некоторые виды граничных условий для цепочки (0.11) найдены ранее в [27]. К сожалению, нам не удалось найти примеры интегрируемых граничных условий для уравнения (0.8).

Граничное условие (0.16) сводит бесконечную цепочку (0.4) к задаче на полуоси. Для того чтобы получить конечномерную систему, необходимо наложить два граничных условия

которые, вообще говоря, не зависят друг от друга. Мы предполагаем, что обрывы (0.19) совместимы с уравнением нулевой кривизны (0.13). Согласно определению 1.1, в точках щ — 0 и п₂ = N + 1 существуют дополнительные точечные симметрии вида (0.18), которые определяются матрицами #i(m,A) = Яі(т,[д], А), ff₂(m, A) = i?₂(m, [?],А) и инволюциями Л\ = /ti(A), А₂ = Дг(Л) соответственно. При этом инволюции А\ и Аз могут быть как одинаковыми, так и различными. Случай, когда инволюции Ai и А2 совпадают (т. е. Ai = А2 = А), рассматривается в главе 2.

В 2.1 для конечномерной системы (0.4), (0.19) построена производящая функция интегралов движения, аналогичная функции, найденной в [26] для нелинейных уравнений, интегрируемых в рамках ультралокальной ї-мат-ричной схемы.

Теорема 2.1. Пусть задана конечномерная система (0-4), (0.19) такая, что инволюции А і и \і на обоих концах совпадают, т, е, Х\ = Хч = А.

Тогда функция

g{X) = tr (р(т, А)Я₁~¹(т, Х)Р-¹(т, Л)Я₂(т, А)) , (0.20)

где .Р(т, A) = L_m^(X)... Ь_тд(А) является производящей функцией интегралов движения конечномерной цепочки. Здесь irA обозначает след матрицы А.

Интегралов движения, найденных с помощью теоремы 2.1, недостаточно для интегрирования системы (0.4), (0.19). В случае дифференциально-разностных цепочек дополнительные первые интегралы удается найти при наличии определенного набора высших симметрии.

Теорема 0.1. [31] Пусть заданы коммутирующие векторные поля

д ^xi -^ЗзАяъ-^)^;* j = l,...,W

*=1

ft: ,JfH fl\A

удовлетворяющие условию rank[g^^) = N', и функционально независимые первые интегралы Ij(gi, ...,##), j = 1,..., N — N' такие, что

^-(/,-)=0, j = l,...,JV', * = 1,..., 7\T-JV\ Тогда каждая из N' динамических систем

интегрируема в квадратурах.

В 2.2-2.4 показано, что теорему 0.1 можно распространить и на чисто дискретный случай. 2.2 посвящен изучению дифференциально-разностных симметрии цепочки (0.4) с условиями обрыва, совместимыми с уравнением нулевой кривизны. Интегрируемая цепочка (0.4) обладает бесконечным множеством высших симметрии

Т7 ⁼ Q\4m,n—ki Я.т~1,п—кі ! 4*ra,«+fe) Qm— 1,п+к) (U.ZlJ

При обрыве с помощью граничного условия (0.16) условие коммутирования T_mg([q\) = А(/(Ы)) сохраняется только для определенного набора потоков

(0.21). Совместимость граничного условия (0.16) с уравнением нулевой кривизны позволяет выделить такие симметрии.

Пусть уравнение (0.21) эквивалентно условию совместности

D_tL_n{t,X) = V_n+1(t,X)L_n(t,X) - L_n{t,X)V_n{t, А) (0.22)

следующей пары линейных уравнений

Y_n+i(t,X) = L_n(t,\)Y_n(t,X),

D_tY_n{t,X) = V„{t,\)Y_n(t,\). (0.23)

Определение 2.1. Граничное условие

q_m,N = F (m,g_m,7V+i,m-i,JV+i,«-,em,j\r+Af ,qm-i_tN+M)

называется совместимым с уравнением нулевой кривизны (0.22), если уравнение (0.23) в точке п = N

D_tY_N(t, A) = V_N(t, X)\_qmiN=FY_N(t, А)

обладает дополнительной точечной симметрией вида

Удг(*,А)=Я(*,М₅А)У^,А), А = Л(А). (0.24)

Поскольку уравнение (0.21) рассматривается в качестве симметрии дискретного уравнения (0.4), то функции H(m,[q],X) и А для дополнительных преобразований (0.18), (0.24) предполагаются одинаковыми.

Определение 2.1 позволяет установить следующие утверждения.

Предложение 2.1. Пусть для конечномерной системы (0.21) с граничными условиями (0.19)₇ совместимыми со свойством интегрируемости цепочки, инволюции на обоих концах совпадают. Тогда функция (0.20) является производящей функцией интегралов движения данной системы.

Предложение 2.2. Пусть на бесконечные цепочки (0.4) и (0,21) в точке п~ N накладывается граничное условие (0.16), совместимое с уравнениями нулевой кривизны (0.13) и (0.22), причем граничному условию соответствуют матрица H(rn, [д], А) и инволюция X, и в точке т — 0 для

любого t выполнено равенство

Тогда коммутирование потоков, задаваемых рассматриваемыми уравнениями, сохраняется.

В конце 2.2 приведены примеры дифференциально-разностных симметрии для полу бесконечных цепочек (0.6) и (0.11), полученных с помощью обрывов, найденных в главе 1. Цепочки (0.6) и (0.11) интересны тем. что связаны с известной дифференциально-разностной цепочкой Тоды (0.1). Уравнение (0.6) является суперпозицией преобразований Бэклунда для цепочки (0.1). Конечномерные редукции (0.6), насколько известно автору, ранее не изучались. Уравнение (0.11) впервые появилось в работе [27] и является примером гамильтоновой системы с дискретным временем. Его часто называют дискретной цепочкой Тоды. Дискретная цепочка Тоды (0.11) является двумерной редукцией билинейного уравнения Хироты (0.2) [13, 97], имеющего многочисленные физические приложения [19, 73]. В [27] изучено несколько конечномерных систем, полученных из (0.11) с помощью обрывов. Для некоторых из них доказана интегрируемость по Лиувиллю. В настоящей работе представлены новые виды граничных условий и доказана интегрируемость найденных конечномерных систем в квадратурах.

Иерархия высших симметрии бесконечной цепочки (0.21) может быть найдена рекуррентно с помощью мастер-симметрии [57]

~\ ⁼ Р\р") Q_m,n~ji Ч_т~ 1,ti—j і ) Qm,n+jt #m,n+.j /

В 2.3 рассматриваются мастер-симметрии цепочки (0.21), которые позволяют строить дифференциально-разностные симметрии дискретной цепочки (0.4), сохраняющие свойство коммутирования после обрыва.

Предположим, что уравнение (0.25) является условием совместности двух линейных уравнений

У_п+1М) = Ыг,А)У_п(т,А),

D_TY_n{T,\)=W_n{r,\)Y_n(T_y\),

где спектральный параметр А зависит от времени т, причем ^ = А⁵,

Предложение 2.3. Пусть граничное условие q_m^y = F(m,[q]) совместимо со свойством интегрируемости систем -^j~ = g([q]) и —f~ — p{n,{q\)_} тогда оно совместимо и с уравнением нулевой кривизны,

*-)фп ⁼ миг At ~- L_nV_n,

dq _г . dg dp

V = [[V, W]\ = D_TV - D_SW + [V,W] + ~D_XV.

Таким образом, при построении иерархии симметрии дискретной системы (0.4), (0.19) необходимо найти только одну дифференциально-разностную симметрию, для которой граничные условия (0.19) совместимы со свойством интегрируемости, и ее мастер-симметрию. Мастер-симметрии дискретных цепочек (0.6) и (0.11) приведены в конце 2.3.

Задача интегрирования конечномерной системы (0.4), (0.19) решена в 2,4. Аналогично непрерывному случаю (см. теорему 0.1), мы можем построить решение конечномерной системы при наличии определенного количества функционально независимых первых интегралов и дифференциально-разностных симметрии. Отметим, что для интегрирования дискретной системы требуется на одну симметрию больше (см. теорему 0.1 и теорему 2,2 ниже).

Итак, пусть конечномерная система (0.4), (0.19) коммутирует с N' дифференциально-разностными симметриями

сохраняющими свойство интегрируемости при обрыве с помощью граничных условий (0.19). Пусть, помимо этого, даны 2N ~ N' интегралов движения

A' = ^(ffm,lj ff-l,ls --J ffm.JVs «m-l,Jv), * = I,-.., 2iV - JV' (0.27)

такие, что

(T_m - I)/,- = 0, D_tjIi = 0, і = 1,..., 27V - N'J = 1,..., N'. (0.28)

Теорема 2.2. Если конечномерная система (0.4), (0.19) обладает N' функционально независимыми симметриями (0.26) и функционально независимыми 2N — N^! интегралами движения (0.37), удовлетворяющими условиям (0.28), то она интегрируема в квадратурах.

Для дискретных аналогов цепочки Тоды (0.6) и (0.11) построены решения конечномерных редукций.

Б работе [38], посвященной изучению интегрируемых граничных условий для дифференциально-разностной цепочки Тоды (0.1), найдены граничные условия с явной зависимостью от временной переменной х. Показано, что с помощью таких обрывов цепочка Тоды сводится к уравнениям Пенлеве. В главе 3 показано, что аналогичные редукции могут быть получены и в чисто дискретном случае. В качестве примера рассматривается дискретная цепочка Тоды (0.11) с граничными условиями вида

_e-g_m,o ^ _a/i-2"»_ew + Ър-^т, (0.29)

_е~Чт,0 _. if^im j !_ і |_

gG^^m~¹>¹(u?^m /(2g?_ra,l+(?_m-l,l\

-, _kU.oUJ

ц2т _ д2_етд+д_т_і_іі '

где a, 6, /і - произвольные постоянные. Отметим, что граничным условиям (0.29) и (0.30) отвечают инволюции вида Л — ^-. Граничные точки щ и п<у берутся таким образом, чтобы длина конечномерной системы была максимально короткой, т. е. 7V = 1. В точках п\ = 0 и п^ — 2 накладываются

граничные условия

m,0 = ^і(^тіЗт,Ь&7і-1,і), ,

Ят,2 = ^2("г,д_тд,д_т„1_Д), которым отвечают матрицы Hi(m,X) и 7 (яг, А). Соответствующие инволю-ции Ai = ^- и Аг = ^ различны, т. е. Лі ф Х<і. Следующее утверждение показывает, что конечномерная система (0.11), (0.31) обладает парой Лакса, типичной для дискретных уравнений Пенлеве.

Предложение 3.1. Система (0.11), (0.31) эквивалентна матричному уравнению

А_т (6Х) М_т(Х) = M_m+1(A)A_m(A),

которое является условием совместности следующих двух линейных уравнений

У_т+1(Л)-Л_т(Л)У_т(Л), Y_m (SX) - М_т(А)У_ш(А),

где М_т{\) = Яі (f_?m) L"¹ (f) Щ¹ (f ,т) L_m(X) и 5 = J.

В конце главы 3 показано, что при соответствующем выборе граничных условий F\ и F<2 дискретная цепочка Тоды редуцируется в одну из версий третьего, пятого или шестого дискретных уравнений Пенлеве

,„ и²_т + аа^ти_т + /3/*^2т

dPm: u_m+1u_m-_t= _{1< + 5um + 1} .

d/V : (^m+i^m - 1)(иго«га-і - 1) =

_ Pq{u_m - a) [u_m - V^а)(^wm - 0)(Щп - l/)

(u_m - p) (u_m - q)

[u_m+iU_m - pm+iPm)[v>mUm~l ~ PmPm-l) _

- 1) {u_mu_m-i - 1) (w_m - ap_m)(u_m - p_m/a)(w_m - pp_m)[u_m - p_m/P)

(Um - Т) (^um ~ I/7) {^Um ~ 8) (u_m - 1/5)

где p = РоР>^т, ? = 2о/^^{т и a}, ft, 7, ^, Po; 9o - некоторые постоянные, зависящие от параметров, входящих в граничные условия (0.29) и (0.30). На защиту выносятся следующие результаты:

метод построения условий обрыва дискретных нерелятивистских цепочек типа цепочки Тоды, сохраняющих свойство интегрируемости цепочки; классификация интегрируемых граничных условий для цепочек (0.5)-(0.12);

теорема об интегрировании в квадратурах конечномерной дискретной системы: построение интегралов движения конечномерной системы; критерий отбора дифференциально-разностных симметрии дискретной цепочки, сохраняющих свойство коммутирования после обрыва; метод построения иерархии симметрии конечномерной системы с помощью выбранной особым образом мастер-симметрии;

примеры граничных условий, редуцирующих дискретные системы к дискретным уравнениям тина Пенлеве.

Основные результаты работы опубликованы в работах [15, 16, 17, 18, 61, 70], из них работа [61] выполнена совместно с научным руководитэлем, которому принадлежат постановка задачи и указание возможных путей решения.

Результаты, приводимые в диссертации, докладывались

на конференции "Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(Уфа, 2001 г.);

на международной научной конференции " Ассимптотики решений дифференциальных уравнений'¹, посвященной 70-летию A.M. Ильина (Уфа, 2002 г.);

на конференции "Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(Уфа, 2003 г.);

на семинарах кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института под руководством профессора К.Б.Сабитова (Стерлитамак, 2001 г., 2003 г., 2004 г.);

на семинаре кафедры теоретической физики Башкирского государственного университета под руководством профессора М.А. Шамсутди-нова (Уфа, 2002 г.).

на семинарах института математики с ВЦ "УНЦ РАН под руководством профессора Л-А. Калякинаи профессора В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2001 г., 2004г.).