Введение к работе
Актуальность теми. Развитее современной науки характеризуется проникновением математических методов ви осе новые отрасли наури. Наряду с физикой,происходит тахлее математизация химии, биологии, других естественных наук. Математическое описание процессоз и яи -.тений требует L-ce более полного учета факторов, оказывающих влияние на изучаемый феномен, что приводит к более сложным математическим моделям. Учет залаздыьахщэД обратной связи, т.е. алидниз прошлого состояния системы (предыстории, наследственности) на се поведение в настоящий момент времени приводит к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом. Больной вклад з теорию нелинейных колебании в системах с запаздыванием внесли Ю.А.Митрополь -ский, Дк.Хейл, В.И.Фодчук, Б.П.Рубаник, Д.И. Лзртышж, А.Халанай, С.Н.Шиманов.
Простейшими дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом являются уравнения с постоянным запаздыванием, т.е. дифференциально-разностные уравнения, которые находят широкое применение, например, в теории автоматического регулирования.
В последние 20 - 30 лет бурно развивалась теория обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. В этом направлении в первую очередь следует отметить работы киевской школы математиков и, прежде всего, Ю.А.Митропольского, А.М.Самойленко, Н.А.Перестюка и их учеников. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием позволяют описывать более широкий класс нелиней -ных колебательных систем,и к ним можно успешно применять асимптотические метода нелинейной механики» в частности, ставшие уже классическими метод усреднения и асимптотический метод Крылова-Боголюбо-ва-Митропольского.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных являются естественным обобщением как дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, так и дифференциальных уравнений с запаздывающий, аргументом, и возникают при учете процессов последействия и импульсного воздействия. Хотя до настоящего времени такие уравнения изучались мало, в связи с изложенным Еьлае можно сделать вывод, что изучение диф -ференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных является весьма актуальной задачей как в теоретическом7так и в практическом плане.
Настоящая диссертация посвящена изучению колебаний в системах, описываемых дифференциально-разностными уравнениями, подверженных мгновенной коррекции начальных данных в некоторые (фиксированные) моменты времени.
Объект исследования. Исследуются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом И с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени.
Цель работы - изучение систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных (существование и единственность решения, непрерывная зависимость реаений от параметра, наличие периодических peine -ний, асимптотитческое интегрирование).
Методика исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений о запаздывающим аргументом, теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием и асимптотические методы нелинейной механики.
Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. В частности,
сформулировано понятие дифференциально-разностного уравнения с мгновенной коррекцией начальных данных и дано определение его решения;
для дифференциально-разностного уравнения с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени доказаны теоремы о существовании и единственности решения и его непрерывной зависимости от параметров;
предложен алгоритм построения общего решения линейного однородного дифференциально-разностного уравнения с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени при условии непрерывности решения;
предложен, алгоритм построения асимптотических приближений для слабо нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого
и второго порядка и с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени с помощью метода Крылова-Боголюбова-Митропольского в нерезонансном и резонансном случаях.
Достоверность работы. Результаты диссертации сформулированы в виде теорем, для которых даны доказательства.
Теоретическая и практическая ценность. Работа в целом иоелт теоретический характер. В диссертации рассмотрена новая математическая задача, состояцая в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных. Автором ус -
тановлена корректность рассматриваемой задачи (доказаны теоремы о существовании и единственности решения и его непрерывной завис/ -мости от параметров), получены достаточные условия существования периодических решений, разработан алгоритм построения обіпего решения линейного однородного дифференциаоьно-раоиостного уравнения о мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени при условии непрерывности решения, изучен вопрос о применении асимптотического метода Крылова-Боголюбова-Митропольского для исследования рассматриваемого в диссертации класса задач,и на его основе развит алгоритм построения асимптотических приблимений для слабо нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого и второго порядка с мгновенной коррекцией начальных данных: в фик -сированные моменты времени в нерезонансном и резонансном случаях. Тем самым получена возможность применения данных результатов для исследования прикладных задач и для дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по нелинейным колебаниям и математическом физике в Институте математики АН Украины (руководитель - академик Ю.А.Митрополь-ский) и на семинаре по дифференциальным уравнениям з Киевском го -сударственном университете им.Т.Г.Шевченко (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Перестюк).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і - зЗ
Структура и объем работы. Диссертация, изложенная на III машинописных страницах, состоит из введения, трех глав и списка ис -пользованной литературы, включающего 118 наименований .