Введение к работе
Актуальность теми. Одним из основных направлений современной теории дифференциальных уравнений является установление коэрцитивных неравенств для соответствующих операторов. Наличие коэрцитивных оценок для дифференциальных операторов, позволяет сразу установить разделимость этих операторов и изучить свойства гладкости решения дифференциальных уравнений в терминах ее принадлежности некоторому весовому пространству дифференцируемых функций.
Термин «разделимость» впервые был введен в работе английских математиков В.Н. Эверитта и М. Гирца в 1971 году. Первые результаты по разделимости обыкновенных дифференциальных операторов также принадлежат этим математикам. В последствии проблемой разделимости занимались многие математики (F.V. Atcinson, A. Zettl, W.D. Evans, М.К. Kwong, М.О. Отел-баев, К.Х. Бойматов, Р. Ойнаров, К.Т. Мынбаев, Г.В. Розенблюм, С.А. Исхо-ков, А. Биргибаев, М. Байрамоглы, А. Абудов, А.С. Мохамед и др.). В большинстве из этих работ исследуются линейные дифференциальные операторы.
Существуют лишь отдельные работы (К.Х. Бойматов, А.С. Мохамед, А. Шарифов), в которых изучались нелинейные дифференциальные операторы, представляющие собой слабым нелинейным возмущением линейных операторов. В связи с этим, исследование коэрцитивных свойств дифференциальных операторов с более общими характерами нелинейности, является актуальным направлениеми теории разделимости дифференциальных операторов.
Цель работы. Исследовать коэрцитивные свойства широкого класса систем нелинейных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка, заданных во всем пространстве К", в весовом пространстве /..,(/?")'; установить разделимость этих дифференциальных операторов в /..,(«")'.
Метод исследования. Основными методами исследования являются современные методы функционального анализа и теории дифференциальных
2 уравнений в частных производных. Широко применяются известные теоремы о мультипликаторах, теоремы вложения различных классов дифференцируемых функций многих переменных.
Научная новизна. Новыми являются следующие результаты:
Изучены коэрцитивные свойства оператора Шредингера с нелинейным матричным потенциалом в пространстве L3(R")'. Доказана теорема о разделимости нелинейного оператора "Лредингера с матричным потенциалом;
Изучены коэрцитивные свойства нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с переменными старшими коэффициентами в пространстве вектор-функций;
Доказаны теоремы разделимости общих нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами. Теоретическая и практическая иенность. Результаты диссертации
носят теоретический характер и могут служить основой для дальнейших теоретических исследований в теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории пространств дифференцируемых функций'многих переменных, в спектральной теории дифференциальных операторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были обсуждены на международной конференции "Методы теории функции и их приложения"(Душанбе, 2000г); на научно-теоретическом семинаре отделов «Функционального анализа» и «Теории функций» Института математики АН РТ (рук., член-корр. АН РТ, доктор физ.-мат. наук, профессор Бойматов К.Х., доктор физ.-мат. наук Исхоков С.А.); на ежемесячных научных семинарах кафедры математического анализа ДГПУ им.К.Джураева (1997-2000гг); на научном семенаре кафедры теории функции и математического анализа ТГНУ(рук.член корр. АН РТ, доктор физ.-мат.наук, профессор Раджабов Н.Р.); на объединенном заседании кафедр математического анализа, алгебры и теории чисел, геометрии и математического факультета ДГПУ им. К. Джураева.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 научных статей и тезисов докладов список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 51 наименований.