Качественные свойства решений анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях Никитина Анна Александровна

Содержание к диссертации

Введение

I. Формулировка результатов 16

1.1. N-функции и пространства Орлича 16

1.1.1. Определение и свойства N-функций 16

1.1.2. Пространства Орлича 18

1.1.3. Пространства Соболева-Орлича 21

1.2. Содержание результатов 24

II. Решения задачи Дирихле для анизотропных эллиптических уравненийссуммируемыми данными 35

2.1. Существование и единственность решения задачи Дирихле 35

2.2. Ограниченность решения

2.2.1. Решения уравнений с нестепенными нелинейностями 40

2.2.2. Решения уравнений со степенными нелинейностями 42

2.3. Оценки скорости убывания решения на бесконечности 43

2.3.1. Экспоненциальные оценки 43

2.3.2. Степенная оценка для уравнений со степенными нели-нейностями 48

III. Решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений в локальных пространствах Соболева-Орлича 56

3.1. Вспомогательные леммы 56

3.2. Существование решения 60

3.2.1. Подготовительные сведения 60

3.2.2. Доказательство теоремы существования 66

3.2.3. Примеры 70

3.3. Оценки поведения решения при х — оо 74

3.3.1. Экспоненциальная оценка 74

3.3.2. Степенная оценка 81

3.3.3. Примеры 83

3.4. Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения 85

3.4.1. Доказательство теоремы 86

3.4.2. Примеры 89

Заключение 95

Список условных обозначений и сокращений 97

Список литературы

• Пространства Орлича
• Решения уравнений со степенными нелинейностями
• Степенная оценка для уравнений со степенными нели-нейностями
• Доказательство теоремы существования

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Исследование, представленное в диссертационной работе, относится к одному из актуальных и интенсивно развиваемых направлений в современной теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Это направление включает в себя изучение анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными (и в том числе степенными) нелинейностями в неограниченных областях.

В диссертации для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами

п п

У (а_а(х,и, \7и))_Ха — <2о(^х, и, Vit) = — /о(^х) + / (/«(^х))ж_а (1)

а=\ а=\

исследуется корректность задачи Дирихле и изучается поведение ее решений при |х| —> оо в неограниченных областях Q С K_n, п > 2. Ограничения на рост каратеодориевых функций а_а(х, So,s) по s = (so,s) Є М_п+ь ^а = 0,... ,п, формулируются в терминах специального класса выпуклых функций.

Начиная с работ М.И. Вишика, J.P. Gossez, T. Donaldson, A. Fougeres, В.С. Климова ведутся интенсивные исследования качественных свойств решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями как второго, так и высокого порядков. Однако, решения краевых задач для уравнений вида (1) с функциями <2о(^х,s), &i(x, s),... , <2_n(x,s), имеющими не обязательно полиноминальный рост по переменным So, Si, ,sn, рассматривались, в основном, в ограниченных областях¹²³.

Специфика краевых задач в неограниченных областях состоит в том, что если данные задачи суммируемы, то обобщенное решение будет принадлежать соответствующему пространству суммируемых функций, что естественно накладывает существенное ограничение на поведение решения на бесконечности. В диссертационной работе на каратеодориевы функции, входящие в уравнение (1), наряду с условием монотонности наложены требования, которые позволяют установить существование единственного обобщённого решения задачи Дирихле в произвольной неограниченной области Q С Ш_п.

Ограниченность решений для некоторого класса эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в ограниченных областях установлена В.С. Кли-

¹ Benkirane A., Bennouna J. Existence of entropy solutions for some elliptic problems involving derivatives of nonlinear terms in Orlicz spaces / // Abstr. Appl. Anal. - 2002. - V. 7. - № 2. - P. 85 - 102.

²Aharouch L., Bennouna J., Touzani A. Existence of renormalized solution of some elliptic problems in Orlicz spaces // Rev. Mat. Complut. - 2009. - V. 22. - № 1. - P. 91 - 110.

³Gwiazda P., Wittbold P., Wroblewska A., Zimmermann A. Renormalized solutions of nonlinear elliptic problems in generalized Orlicz spaces / // Preprints of PhD Programme: Mathematical Methods in Natural Sciences. - 2011. - no. 2011 - 013. - P. 1 - 32.

мовым⁴ и А.Г. Королёвым⁵. В диссертации найдены условия на структуру уравнения (1), достаточные для ограниченности решений в неограниченных областях.

Точные оценки скорости убывания решений задачи Дирихле с финитными данными для квазилинейных эллиптических уравнений со степенными нелиней-ностями второго порядка установлены Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримовым⁶, Л.M. Кожевниковой, A.A. Хаджи⁷. Для уравнений с нестепенными нелинейно-стями исследование скорости убывания решений на бесконечности в неограниченных областях ранее не проводилось.

Следует отметить, что обобщенное решение эллиптической задачи в неограниченной области с несуммируемыми данными принадлежит соответствующему пространству локально сумммируемых функций. Как правило, для обеспечения единственности решения соответствующей краевой задачи в неограниченной области необходимо наложить условие на рост решения на бесконечности, а для существования решения из выделенного класса единственности обычно требуются ограничения на рост входных данных. Результаты такого характера для квазилинейных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями в неограниченных областях были установлены А.Л. Гладковым, А.Ф. Тедеевым, А.Е. Шишковым.

В 1984 году Х. Брезис⁸ на примере полулинейного уравнения показал, что имеются эллиптические уравнения, для которых существуют единственные решения краевых задач без предположений на их поведение и рост входных данных на бесконечности. Обобщение результатов Х. Брезиса на уравнения высокого порядка было проведено Ф. Бернисом⁹.

О.А. Олейник и Ж.И. Диаз¹⁰, пользуясь методом интеграла энергии и устанавливая априорные оценки решения, доказали существование, единственность и исследовали асимптотическое поведение решения краевой задачи с однородными граничными условиями первого и второго типа для полулинейных уравнений с переменными коэффициентами.

⁴Климов В.С. Теоремы вложения для пространств Орлича и их приложения к краевым задачам // Сибирский математический журнал. – 1972. – Т. 13. – № 2. – С. 334 – 348.

⁵Королев А.Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических уравнений с нестепенными нели-нейностями // Математические заметки. – 1987. – Т. 42. – № 2. – С. 244 – 255.

⁶Кожевникова Л.M., Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимский математический журнал. – 2010. – Т. 2. – № 2. – С. 53 – 66.

⁷Кожевникова Л.M., Хаджи A.A. Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях / // Вестник Самарского государствнного технического университета. Серия: Физ.-мат. науки. – 2013. – № 1(30). – C. 90 – 96.

⁸Brezis H. Semilinear equations in R_N without condition at infnity// Appl. Math. Optim. – 1984. – V. 12. – № 3. – P. 271 – 282.

⁹Bernis F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infnity // Arch. Rational Mech. Anal. – 1989. – V. 106. – № 3. – P. 217 – 241.

¹⁰Diaz J.I., Oleinik O.A. Nonlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solution // C. R. Acad. Sci. Ser. I Math. – 1992. – V. 315. – № 7. – P. 787 – 792.

Cуществование решений квазилинейных эллиптических изотропных и анизотропных уравнений (1) со степенными нелинейностями во всем пространстве Ш_п без дополнительных ограничений на рост функции /о на бесконечности (fa = 0, а = 1,..., п) установлено в работах Л. Боккардо, Т. Галуа, Ж. Вазке-за¹¹, Г.Г. Лаптева¹², М. Бендамана, К. Карлсена¹³ и др.

Таким образом, имеется широкий круг работ, в которых установлены существование или единственность решений краевых задач для эллиптических уравнений в неограниченных областях без ограничений на рост решений и данных задач на бесконечности. Соответствующие результаты для уравнений c нестепенными нелинейностями в неограниченных областях автору диссертации не известны. В диссертационной работе удалось выделить некоторый класс эллиптических уравнений, имеющих не обязательно степенные нелинейности, и получить результаты близкие к процитированным выше.

Цель и задачи работы:

изучение вопросов существования, единственности и непрерывной зависимости от данных решений задачи Дирихле в неограниченных областях для анизотропных эллиптических уравнений со степенными и нестепенными нелинейностями;

исследование поведения на бесконечности решений задачи Дирихле в неограниченных областях для анизотропных эллиптических уравнений.

Научная новизна работы. Результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы исследований представляют научный интерес и могут быть использованы в качественной теории краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений.

Методология и методы диссертационного исследования. В диссертационной работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, специального класса выпуклых функций и пространств Соболева-Орлича.

Оценка скорости убывания решений задачи Дирихле с финитными данными для анизотропных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями получена модифицированным итеративным методом Ю. Мозера. Абстрактная

¹¹Boccardo L., Gallouet T., Vazquez J.L. Nonlinear elliptic equations in Rn without growth restrictions on the data // Differential Equations. - 1993. - V. 105. - № 2. - P. 334 - 363.

¹²Лаптев Г.Г. Существование решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений в R_n без условий на бесконечности // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - V. 12. - № 4. - С. 133 -147.

¹³Bendahmane M., Karlsen K. Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equations in Rn with advection and lower order terms and locally integrable data // Potential Analysis. - 2005. - V. 22. - № 3. - P. 207 - 227.

теорема Ж.-Л. Лионса для монотонных операторов лежит в основе доказательства теоремы существования решений задачи Дирихле для анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями. Единственность решения задачи Дирихле доказана методом априорных оценок с помощью срезающей функции введенной Х. Брезисом. Для получения экспоненциальной оценки, характеризующей поведение решений на бесконечности эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями, установлен аналог неравенства Фридрих-са на сферическом сегменте в терминах N-функций.

Положения выносимые на защиту.

1. Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с нестепенными (и в том числе степенными) нелинейностями установлены существование, единственность и ограниченность обобщенных решений задачи Дирихле с суммируемыми данными в неограниченных областях. В неограниченных областях, расположенных вдоль выделенной оси, для решений задачи Дирихле с финитными данными получены оценки скорости убывания на бесконечности.

2. Доказано существование обобщенного решения задачи Дирихле в локальных пространствах Соболева-Орлича с локально суммируемыми данными для анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нели-нейностями без дополнительных ограничений на рост данных на бесконечности в неограниченных областях. Установлена единственность без дополнительных ограничений на поведение решения на бесконечности и непрерывная зависимость решения рассматриваемой задачи от правой части уравнения. Построены примеры уравнений, демонстрирующие, что класс рассматриваемых уравнений шире, чем уравнения со степенными нелинейностями.

3. Для анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями получены оценки, характеризующие поведение решений задачи Дирихле на бесконечности в неограниченных областях. Оценка степенного характера установлена для решений анизотропных уравнений в произвольных неограниченных областях. А для неограниченных областей, имеющих ограниченный диаметр сечения со сферой, на основе аналога неравенства Фри-дрихса на сферическом сегменте получена экспоненциальная оценка решений изотропных уравнений.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты докладывались автором и обсуждались семинаре по дифференциальным уравнениям Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета (Стерлитамак, руководитель семинара – д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов), кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара – д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов). Результаты диссертации были представлены в хо-

де выступлений на следующих конференциях: "Математическая физика и её приложения" (Самара, 2012, 2014), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2013), "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013), "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ"(Уфа, 2015), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Белгород, 2013), "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2013, 2015), "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций -2014" (Казань, 2014), "Спектральная теория и дифференциальные уравнения" (Москва, 2014), "Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам" (Симферополь, 2015), "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование" (Улан-Удэ, 2015), "Лобачевские чтения - 2015" (Казань, 2015).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в работах [1] - [25], из них 7 статей в российских изданиях перечня ВАК [1] - [7], в том числе статьи [3, 5] входят в международные библиографические и реферативные базы данных Web of Science, Scopus.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [2, 6] выполнены самостоятельно, работы [1, 3, 4, 5, 7] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, Л.М. Кожевниковой, где ей принадлежит постановка задач и общее руководство, а диссертанту — доказательство основных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка условных обозначений и сокращений, введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 91 наименование. Общий объем диссертации - 112 страниц.

Пространства Орлича

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы исследований представляют научный интерес и могут быть использованы в качественной теории краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений.

Методология и методы диссертационного исследования. В диссертационной работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, специального класса выпуклых функций и пространств Соболева-Орлича.

Оценка скорости убывания решений задачи Дирихле с финитными данными для анизотропных эллиптических уравнений со степенными нелиней-ностями получена модифицированным итеративным методом Ю. Мозера. Абстрактная теорема Ж.-Л. Лионса для монотонных операторов лежит в основе доказательства теоремы существования решений задачи Дирихле для анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями. Единственность решения задачи Дирихле доказана методом априорных оценок с помощью срезающей функции введенной Х. Брезисом. Для получения экспоненциальной оценки, характеризующей поведение решений на бесконечности эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями, установлен аналог неравенства Фридрихса на сферическом сегменте в терминах N-функций.

Положения выносимые на защиту.

1. Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с нестепенными (и в том числе степен-13 ными) нелинейностями установлены существование, единственность и ограниченность обобщенных решений задачи Дирихле с суммируемыми данными в неограниченных областях. В неограниченных областях, расположенных вдоль выделенной оси, для решений задачи Дирихле с финитными данными получены оценки скорости убывания на бесконечности.

2. Доказано существование обобщенного решения задачи Дирихле в локальных пространствах Соболева-Орлича с локально суммируемыми данными для анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями без дополнительных ограничений на рост данных на бесконечности в неограниченных областях. Установлена единственность без дополнительных ограничений на поведение решения на бесконечности и непрерывная зависимость решения рассматриваемой задачи от правой части уравнения. Построены примеры уравнений, демонстрирующие, что класс рассматриваемых уравнений шире, чем уравнения со степенными нелинейно-стями.

3. Для анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями получены оценки, характеризующие поведение решений задачи Дирихле на бесконечности в неограниченных областях. Оценка степенного характера установлена для решений анизотропных уравнений в произвольных неограниченных областях. А для неограниченных областей, имеющих ограниченный диаметр сечения со сферой, на основе аналога неравенства Фридрихса на сферическом сегменте получена экспоненциальная оценка решений изотропных уравнений.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты докладывались автором и обсуждались семинаре по дифференциальным уравнениям Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета (Стерлитамак, руководитель семинара – д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов), кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара – д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов). Результаты диссертации были представлены в ходе выступлений на следующих конференциях: "Математическая физика и её приложения" (Самара, 2012, 2014), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2013), "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013), "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ"(Уфа, 2015), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Белгород, 2013), "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2013, 2015), "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014" (Казань, 2014), "Спектральная теория и дифференциальные уравнения" (Москва, 2014), "Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам" (Симферополь, 2015), "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование" (Улан-Удэ, 2015), "Лобачевские чтения - 2015" (Казань, 2015).

Публикации и личный вклад автора. Материалы диссертации опубликованы в работах [66] - [87], из них 7 статей в российских изданиях перечня ВАК [66] - [86], в том числе статьи [70, 81] входят в международные библиографические и реферативные базы данных Web of Science, Scopus. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [71, 85] выполнены самостоятельно, работы [66, 70, 78, 81, 86] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, Л.М. Кожевниковой, где ей принадлежат постановка задач и общее руководство, а диссертанту — доказательство основных результатов.

Решения уравнений со степенными нелинейностями

В этой главе будет рассматриваться решение уравнения (1.36) с функциями аа(х, So,s), OL = 0,1,...,п, удовлетворяющими условиям (1.33)–(1.35), (1.45), (1.46), поэтому для неотрицательных функций /?(х),Ф(х) существуют положительные числа а, А такие, что а /?(х), Ф(х) А для п.в. х Є Г2. В качестве примера можно рассмотреть уравнение со степенными нели-нейностями п Е (\ит \Ра ит + фа(х))г — \и\Ро и — ФоЫ) = 0 (2.1) а=\ с функциями фа{х) Є - ра/(ра-і)( ), а = 0,1,...,п. Условия (1.33 ), (1.34 ), (1.35) выполнены с функциями п / п , , ч v- (ра — 1) . , , ч 1п ,/ _лл т , ч \- , , / чТ1 /{„ _-п 7/1 ["V") X /7) I "V I г a V-FCK J-,) ш/у I / \ /7) I "V" I -ra/ V-гск J-,) r V / _ Irav, /І і \ J /_ \Ya\ )\ 2.1. Существование и единственность решения задачи Дирихле В этом параграфе считаем Q С Q (Q может совпадать с Q). Здесь будет доказана Теорема 1.1. Функция и(х) Є W (Q), удовлетворяющая тождеству (1.44) о для любого v(x) Є W (Q), является обобщенным решением задачи (1.36), (1.32). Если выполнены условия (1.33)–(1.35), (1.45), (1.46), то такое решение существует, единственно и подчиняется неравенству \\u\\w1(Q) — - Ь c константой ЛЛ\, зависящей только отп,а, \\ф\\і. Теорема 1.1 является следствием следующего утверждения. Утверждение 2.1. Пусть выполнены условия (1.33) - (1.35), (1.45), (1.46), о 1 тогда существует единственная функция и(х) Є W (Q), удовлетворяющая интегральному тождеству (А(м), V)Q = 0 (2.2) о 1 для любой функции г (х) Є W (Q), и справедлива оценка В(гі)і;д М\. (2.3) Доказательство утверждения 2.1 основано на абстрактной теореме Ж. Л. Лионса [50, гл. II,2, теорема 2.1], приведем ее в следующей формулировке.

Лемма 2.1. Пусть V — рефлексивное сепарабельное банахово пространство. Пусть оператор А : V — V обладает следующими свойствами: оператор A ограничен, семинепрерывен, монотонный и коэрцитивный т.е. (А(и), и) пп (2.4) \\и\\ при и — оо. Тогда отображение А : V — V сюрьективно, т.е. для всякого F Є V существует такой и Є V, что А{и) = F. Прежде чем перейти к проверке условий леммы 2.1 приведем вспомогательные оценки и замечания. о 1 Для функций гі(х),г (х) Є Wj$(Q), используя неравенство Юнга (1.2) и условие (1.34), выводим а(х, it, Vit) (г , Vt ) п 2_, [Ва(йа(хі ui и)) + Ba(vXaj\ + о( з.о(х, w, Vit)) + BQ{V) (2.5) а=1 ЛВ(гі) + В(г ) + Ф(х). Замечание 2.1. Из неравенств (1.12), (1.13) следует, что, если N - функция M(z) удовлетворяет -условию, то ограниченность множества функций в пространстве LM{Q) равносильна ограниченности в среднем. Поэтому ограниченность множества О С W (Q) по норме равносильна ограниченности совокупности чисел B(it)i;Q, и Є О. о Замечание 2.2. Определим пространство V(Q) как множество сужений о о на Q функций из пространства W (Q). Пространства W (Q), W (Q), о V(Q) являются рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами. Доказательство утверждения 2.1. Сначала установим неравенство (2.3). Применяя (1.33) выводим соотношение aB(it)i;Q H llijQ + (A(W),W)Q. (2.6) Далее, полагая в равенстве (2.2) v = и, применяя (2.6), получаем (2.3). Пусть и1(х), и2(х) Є Wj$(Q) удовлетворяют тождеству (2.2). Запишем его дважды для и1, и1 и вычтем из первого второе, положим v = и1 — и2, в результате устанавливаем / (а(х,м1, Vw1) — а(х,м2, Vw2)) ((и1 — и2), \7(и1 — и2)) dx = 0. Q Последнее равенство противоречит (1.35), следовательно и1(х) = и2{х) для п.в. х Є Q. Покажем, что оператор А, заданный равенством (1.42) для u,v Є W (Q), удовлетворяет условиям леммы 2.1. Оператор А можно рассматривать как отображение W (Q)) Его ограниченность вытекает из оценок (1.43), (1.41), а монотонность обеспечивается условием (1.35). Докажем коэрцитивность оператора А. Пользуясь (2.6), выводим (А(и),и)п 1 — (а Вш) і п — \\ц) і п) = (2.7) \\и і \\и і 1 Ни"1 (Q) II Н-Во, ( п \ а / 2_, Ва (иХа) + Во (и) скх. — С\ Поскольку функции Ba(z), а = 0,1,... ,п удовлетворяют А2 - условию, то (см.(1.9)) для любого / 1 найдется со 0 такое, что для мв0,д со, мжЛва,д со, OL = 1,..., п, справедливы неравенства B0(w) Ш0 (ТГ-Й ) \\U\\B0,Q, (2.8) IFIIBO,Q Ва{\иХо\) 1Ва I т: ур ) иЖава;д, а = 1,..., п. Пусть 11 11 1(0) — оо при і —о. Можно считать, что ; вь 5 + + \\ux \\BU,Q + м во, 3 {п + 1)со, і іо- (2.9) МЖ При каждом і іо найдется хотя бы одно слагаемое больше с. Пусть для определенности при фиксированном і іо наибольшим является первое слагаемое \\игх \\B1,Q со. Соединяя (2.7), (2.9), получаем А(иг) иг)п _ 1 [ С\ 7! — а/ \пЛ Bi(\u Пах — . Н Ни Ю) v1 + l)llMa;illBi,Q г {JI + 1)CQ Далее, применяя (2.8), выводим ґ-i І і I 2 / II II D lMa;ll А(иг),иг)п С і / \\U P l— «X — 63 = Wi(Q) Q = /C2 ivr dx — C3 = /C2 — C3. MxillSi,Q Таким образом, ввиду произвольности /иг, і го, установлено (2.4). Докажем семинепрерывность оператора А. Рассмотрим скалярную функцию А(т) = (A (it + ти ), V)Q = / а(х, и + ти , VM + rVw) (-и, Vi )rfx (2.10) Q о 1 для функций u,v,w Є Hg(Q), покажем ее непрерывность в точке т = 0. Применяя оценку (2.5) и неравенство (1.10), для т 1 получаем а(х, it + rw, Vw + rVw;) (г , Vi ) AB(it + ти ) + В(г ) + Ф(х) C4(B(it) + тВ(и )) + В(г ) + Ф(х) є L\{Q). Пользуясь непрерывностью вектор-функции а(х, so,s) по (so,s) и применяя теорему Лебега можно осуществить предельный переход в (2.10): lim \{т) = (A(u),v)n = А(0). о 1 Согласно лемме 2.1 существует и Є Hg(Q) такая, что A (it) = О. Таким о образом, для любого v Є W (Q) справедливо тождество (2.2).

Степенная оценка для уравнений со степенными нели-нейностями

Лемма 3.1. Если функции aa(x,s), а = 0,1,..., п, удовлетворяют условиям (1.33) - (1.35), /а(х) Є Ln inn(Q), а = 0,1,...,п, то функции аа(х.s) = аа(х, So,s) — /а(х), а = 0,1,... ,п, также удовлетворяют условиям (1.33) - (1.35). Доказательство. Действительно, применяя неравенства (1.33), (1.2), выводим оценку ТІ / \ П / \ ТЪ / г\ Р \ Е ух г (р(х) уг- — / 2ja\ аа(х, so, s)sa у Ba(sa) — 1рЫ) У BQ , 2 —( 2 —( w а=0 а=0 а=0 из которой следует условие (1.33) c п (f = tp/2 є Ьоодос(Г2), ф = ф + ір/2 2_ Ва (2fa/ip) Є Li;ioc( ) а=0 Далее, из неравенств (1.10), (1.34) получаем оценку п п п У Ba(da(x, so, s)) сФ(х) у. Ba(sa) + сФ(х) + с\. Ba(fa), а=0 а=0 а=0 из которой следует условие (1.33) c п Ф = сФ Є ЬооДос(Г2), Ф = сФ + С У Ba(fa) Є Ьцос(Г2). а=0 Очевидно, условие (1.35) для функций аа(х, so, s), о; = 0,1,... ,п, также выполнены. Лемма 3.2. Если функции B a(z) = ba(z), z 0, а = 0,1,..., п, непрерывны, хотя бы одна возрастает, р(х) неотрицательная, ер, 1/ср Є Ь0Одос(і7), 0 = (0о, фіі- і Фп) Lg ioc(f2), то функции aa(x, s) = aa(x, sa) = 2( (x) (sa) + фа{х) = = 2cp(x)ba(saI)signsa + 0«(x), a = 0,..., n, удовлетворяют условиям (1.33) - (1.35). Доказательство. Действительно, применяя неравенства (1.1), (1.2), выводим оценку п п п У аа(х, sa)sa = 2if{x) У ba(\sa\)\sa\ + У фа$а а=0 а=0 а=0 II II (р(х) У Ba{sa) — (р(х) У Ва а=0 а=0 Фс ср п " а из которой следует условие (1.33) c ф = (р Ва (Фа/ Р) 1,1ос( ). а=0 Используя неравенства (1.10), (1.7), (1.4), (1.8), устанавливаем п п п У Ва(аа(х, sa)) с . Ва (2(p(x)ba(\sa\)) + с у. В а{фа) а=0 а=0 а=0 п п С\(ір) У Ba(ba(\sa\)) + с \. Ва{фа) а=0 а=0 п п п п С\(ір) У \sa\ba(\sa\) + с \. Ва{фа) C2{tp) У Ba{sa) + с \. Ва{фа). а=0 а=0 а=0 а=0 Таким образом, условие (1.34) также выполнено c функциями Ф = С2 ((/?), п Ф = С 2 Ва(фа) 1,1ос( ). а=0 Поскольку ba(z), а = 0,1,...,n, z 0, неубывающие, то при условии возрастания хотя бы одной из функций неравенство (1.35) также выполнено. Лемма 3.3. Пусть N - функции Bo(z), Bi(z),..., Bn(z) подчиняются условиям (1.59), тогда Ba{z) - - Bo(z), а = 1, 2,..., п. (3.1) Доказательство. Поскольку N - функции B\(z),..., Bn(z) подчиняются А2 - условию, то, согласно (1.9), существует Со 0 такая, что для любого с CQ справедливы неравенства Ba(cz) BQ\z) , z Є R, а = 1,..., п. (3.2) 2с Зафиксируем произвольное / 0, положим в (3.2) с = zel (є из условия (1.59)). Тогда существует z$ 0 такое, что справедливы неравенства Ba(z) 1 Ba(lz1+e) 2lze Таким образом, установлено, что Ba(z) - - Ba{z +є), а = 1,..., п. (3.3) Соединяя (3.3), (1.59) выводим (3.1). —, z ZQ, ск = 1,...,п. Лемма 3.4. Пусть N-функции Bo(z), B\{z),..., Bn(z) подчиняются условиям (1.59); тогда для N-функций Ta(z) = Ва (Ma(z)) , (Ma(z) = B 1(BQ(Z)) существуют числа С 0, г 1 такие, что справедливы неравенства Ta{z) C\z\T, \z\ l, а = 1, 2,..., п. (3.4)

Доказательство. Согласно лемме 3.3 выполнено условие (3.1), поэтому справедливы представления TV-функции BQ{Z) = Ba(Ma(z)) в виде композиций двух N - функций Ma(z), Ba(z), а = 1,... ,п. Из (1.59) следует существование чисел / О, ZQ 0 таких, что Ba{z +е) Bo(lz), z zo, а = 1,2,...,п. (3.5) Очевидно, можно считать / 1. Благодаря (1.7) для функции BQ{Z) и вогнутости функций B l(z)} а = 1,..., п из (3.5) следуют неравенства z +е В (c(l)Bo(z)) c{l)B {BQ{Z)) = c(l)Ma(z), z zo, a = 1,2,...,п. Далее, из последнего легко выводим M-\z) сі/(і+Ю і/(і+в)? z Ma(zo), а = 1,2,..., п. Применяя неравенство (1.3), в свою очередь получаем M \z) с-і/(і+Ю /(і+е)? z Ma(zo), а = 1,2,..., п. В итоге имеем Ma{z) C\z + е, z z\ = Ма (Ma(zo)) 0, а = 1, 2,..., п. (3.6) Поскольку N - функции Ba(z) удовлетворяют А2-условию, то найдутся числа /3 1, C i 0 такие, что при z 1 справедливы неравенства Ba(z) C2Z13, а = 1,...,п. Тогда, согласно (3.6), существуют числа т 1,Сз О такие, что при z max(zi,l) выполнены неравенства Ta(z) CsZT, а = 1,... , п. Ввиду непрерывности и четности функций Ta(z), а = 1,..., п, за счет выбора константы С неравенства (3.4) имеют место при \z\ 1. Лемма 3.5. Пусть N-функции Bo(z), Bi(z),..., Bn(z) подчиняются условиям (1.63), (1.64), тогда для N-функций Ta(z) = Ва (Ma(z)) , существует число С 0 такое, что справедливы неравенства Ta{z) C\z\qa, \z\ l, qa = РаРоІРо — Pa) , OL = 1, 2,..., n. (3.7) Доказательство. Согласно условию (1.63), Co \ і ,„ „ — 1 \z\P0/Pa} \z\ z\} a = 1,..., n. C-a Поэтому, несложно вычислить, что Ma{z) = Ci\z\Po Po Pa , \z\ Z2 l, OL = 1,2,..., n. (3.8) Из (3.8) следуют равенства Ta(z) = C2\z\ia \z\ Z2 1, CK = 1, 2,... ,n. Ввиду непрерывности функций Ta(z), a = 1,..., n, за счет выбора константы С, неравенства (3.7) имеют место при \z\ 1. 3.2. Существование решения В этом параграфе будет доказана Теорема 1.5. Пусть выполнены условия (1.33) - (1.35), (1.39), (1.40), (1.59), тогда существует обобщенное решение и(х) задачи (1.36), (1.32). При доказательстве теоремы 1.5 для фиксированного г 0 будет использована срезающая функция г)г{%), х _ 0, такая, что Т]г(х) = г + 1 — х при г х г + 1, т]г(х) = 0 при х г + 1 и Г]г(х) = 1 при х г. 3.2.1. Подготовительные сведения Пусть Q — ограниченная область пространства Rn. Сначала приведем вспомогательную лемму (см. [41, гл. II, 13, лемма 13.2; 11, лемма 11.2]). Лемма 3.6. Пусть N - функция M(z) растет существенно бысрее N -функции P(z) {P{z) - M(z)). Тогда ограниченная в пространстве LM{Q) сходящаяся по мере последовательность функций сходится по норме пространства Lp(Q). На основе леммы 3.6 доказывается Лемма 3.7. Пусть, если выполнено условие (1.26), то P(z) произвольная N - функция, а если выполнено условие (1.24), то P(z) - B (z). Тогда о оператор вложения H#(Q) С Lp(Q) вполне непрерывен. Доказательство. Идея доказательства основана на [31, лемме 4]. Пусть G С о 1 H {Q) ограниченное множество. о Если выполнено условие (1.24), то, ввиду непрерывных вложений H#(Q) С РвХЯ) С PI{Q), L/Ba{Q) С Li(Q), а = 1,2,...,п, (см. (1.25), (1.17)), про 0 і странство Hft(Q) непрерывно вложено в Wl(Q). Множество G ограничено в пространстве LB (Q). о Если выполнено условие (1.26), то, ввиду непрерывного вложения Hft(Q) С L M{Q) (см. (1.28)), множество G ограничено в пространстве LM{Q) (М- произвольная N - функция такая, что P(z) - M(z) ). Кроме того, ввиду (1.28),

Доказательство теоремы существования

В первой главе диссертации приведены необходимые сведения из теории N-функций и пространств Орлича, для произвольных неограниченных областей обобщены теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича. Кроме того, в главе I дано определение обобщенного решения рассматриваемой задачи и сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Во второй главе изложены результаты для обобщенного решения задачи Дирихле в неограниченных облатях с суммируемыми данными. Выделен некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами, включающий в себя уравнения как со степенными, так и нестепенными нелинейностями. На кара-теодориевы функции, входящие в уравнение, накладывается условие совокупной монотонности, ограничения на их рост формулируются в терминах N-функций. Эти требования обеспечивают ограниченность, коэрцетивность, монотонность и семинепрерывность соответствующего оператора, что позволило применить теорему Ж.Л. Лионса и установить существование и единственность обобщенных решений в "узком смысле" задачи Дирихле в неограниченных областях.

В главе II доказана глобальная ограниченность решений задачи Дирихле для уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях. Для областей, расположенных вдоль выделенной оси, установлены оценки скорости убывания решений задачи Дирихле с финитными данными. Основываясь на аналоге неравенства Фридрихса в пространстве Соболева-Орлича, введена оригинальная геометрическая характеристика неограниченной области. В терминах этой характеристики получена оценка решений рассматриваемой задачи, для "нешироких" областей она гарантирует экспоненциальную скорость убывания решения на бесконечности. Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями в областях, расположенных вдоль выделенной оси, итеративным методом Ю. Мозера установлена степенная оценка.

Основные результаты главы II опубликованы в работах [63] - [74], [86].

Во третьей главе получены результаты для обобщенного решения задачи Дирихле с локально суммируемыми данными. Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями найдены условия разрешимости Дирихле в неограниченных областях в локальных пространствах Соболева-Орлича. Доказана теорема существования без ограничений на рост исходных данных при х — оо. Найдены условия на структуру анизотропных эллиптических уравнений, достаточные для единственности решения задачи Дирихле в произвольной неограниченной области без ограничений на рост решения на бесконечности. Построены примеры уравнений, демонстрирующие, что класс рассматриваемых уравнений шире, чем уравнения со степенными нелинейностями.

В главе III для эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями получены оценки, характеризующие поведение решений задачи Дирихле в неограниченных областях при х — оо. Оценка степенного характера установлена для решений анизотропных уравнений в произвольных неограниченных областях. На основе аналога неравенства Фридрихса в терминах TV-функций на сферическом сегменте получена экспоненциальная оценка решений изотропных уравнений в неограниченных областях, имеющих ограниченный диаметр сечения со сферой.