Введение к работе
Актуальность темы. Квазиквадратичные системы имеют прикладное значение. Они встречаются, например, в теории синхронизации нелинейных колебательных систем. Между тем качественная теория квазиквадратичных систем до сих пор не разрабатывалась. Настоящая работа в известной мере компенсирует этот пробел.
Целью работы является глобальное качественное исследование одного 3-параметрического семейства квазиквадратичных систем дифференциальных уравнений и, в частности, нахождение условий существования у систем семейства асимптотически устойчивого состояния равновесия или предельного цикла и выяснение структуры границ областей их притяжения.
Методы исследования. В процессе исследования применялись различные методы разрешения сложных особенностей плоских систем дифференциальных уравнений, метод топографической системы и контактной кривой, методы теории вращения векторных полей при изменении параметров системы, методы теории бифуркаций, а также компьютерные вычисления.
Научная новизна. В диссертации для рассматриваемого семейства систем получены следующие результаты.
-
Построена бифуркационная диаграмма особых точек. Решена проблема различения центра и фокуса для особой точки 0= (0,0). Исследованы сложные бесконечно удаленные особые точки
-
Найдены условия на параметры, обеспечивающие а) отсутствие у системы предельных циклов, б) наличие у нее устойчивого предельного цикла, в) отсутствие у системы сепаратрисных циклов, г) наличие у нее единственного сепаратрисного цикла.
-
Построены глобальные фазовые портреты системы для всех возможных значений параметров (86 топологически различных портретов (иногда с точностью до единственности предельного цикла, окружающего точку О)).
-
В случаях, когда система имеет асимптотически устойчивое состояние равновесия О или единственный орбитально асимптотически устойчивый предельный цикл а, указаны границы области его притяжения.
Теоретическое и практическое значение. В работе впервые проводится полное глобальное качественное исследование семейства квазиквадратичных систем. Отмечаются принципиальные отличия их теории от теории чисто квадратичных систем. Полученные результаты могут быть полезны для приложений.
Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры математического анализа Санкт-Петербургского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена и на 1 Международной научно-практической конференции 'Дифференциальные уравнения и их применения" (Санкт-Петербург, 1996г.)
Публикации. Основное содержание работы опубликовано (см. ниже список публикаций).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, атласа бифуркационных диаграмм, атласа таблиц фазовых портретов и списка публикаций. Нумерация параграфов — сквозная во всей диссертации. Нумерация формул, а также теорем, лемм, следствий — своя в каждом параграфе: номер параграфа, точка, номер формулы или соответствующего утверждения в этом параграфе. Общий объем диссертации 135 страниц.