Введение к работе
Актуальность теми. Для дифференциальных уравнений гипер-
болического типа с двумя независимыми переменными основными задачами, наряду с задачей Коши и смешанной задачей, являются характеристическая задача Коши или задача Гурса и задача Дарбу. Для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными эти задачи достаточно хорошо изучен'-:. Научный интерес представляют правильная постановка и исследование .задач Гурса и Дарбу для гиперболических систем второго порядка с двумя и более независимыми переменными!.
для одного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными корректно поставлены задачи Гурса и Дарбу. Яри переходе к системам второго порядка появляются особенности, которые не имели места в случае одного уравнения. Впервые это показал А.В.Бицадзе. Лм оыли построены примерь: гиперболических систем второго порядка, для которых соответствующая однородная характеристическая задача имеет конечное и да:-7.е бесконечное множество линейно независимых решений, а так-::е показан эсМект влияния младших членов на корректность постановки характеристических задач с двумя независимыми переменными.
В качестве одного из построенных примеров служит система
dzi/f d*Uz д*и<
ч- г —— + -т— = о
дх а у ау
f- /. =Q
дх2- дхду ду1
(D
ІЗ области, ограниченной характеристиками системы Х-у=о , X-f-y=0 t х>0 характеристическая задача
Ц Сх,У), =Pi(*), Ui(x,y) =$.(х)
/У=Х /!/=х
(2)
Pi(Q)s$i(0), 1 = 1,2 х >0
поставлена некорректно, а именно, соответствующая однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений.
Достаточно полное исследование задачи Гурса с двумя неза-вмспмнми переменными для гиперболической системы второго порядка в общем виде провел С.С.ларибегашвили.
Для многомерного аналога сие теш (I) задача Гурса была исследована А.И.Янупаускасом. Для многомерного аналога упе не наблюдается столь существенного нарушения корректности задачи Гурса.
3 настоящее время характер корректности задачи Дарбу для гиперболических систем с двумя и многими независимыми переменными не исследован, такке мало исследована задача Гурса для систем с многими независимыми переменными, поэтому исследование этих задач является актуальным.
Цель работы. Целью работы является исследование характера корректности задач Дарбу и Гурса для гиперболических систем с двумя и многими переменными.
Методика исследования. Представление решений гиперболических систем уравнений второго порядка с двумя и r/логими независимыми переменными через решения более простых уравнений и классические методы исследования гиперболических уравнений.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации исследована корректность постановки задач Дарбу и Гурса для гиперболических систем второго порядка с кратными характеристиками, которые и выносятся на защиту:
1. Исследована задача Дарбу для гиперболической системы
с двумя независимыми переменными, обобщающей систему А.В.Бица-дзе.
-
Построены примеры многомерных гиперболических систем, для которых однородная задача Дарбу имеет бесконечное множество -линейно независимых решений.
-
Построены примеры многомерных гиперболических систем, для которых однородная задача. Гурса имеет нетривиальные решения.
Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при исследовании корректности задач Гурса и Дарбу для гиперболических систем уравнений второго порядка.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры интегро-дифференциальные уравнения ИГУ (руководитель кандидат физ-мат.наук, доцент В.Г.Трубин), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ТаджГУ (руководитель доктор физ.-мат. наук, член-корр. АН ТССР Н.Р.Раджабов), на семинаре по дифференциальным уравнениям в МИ АН СССР им.В.А. Стеклова (руководитель доктор физ.-мат.наук, профессор В.П.Михайлов), на семинаре Иркутского ВЦ АН СССР (руководитель доктор физ.-мат.наук, профессор Толстоногов А.А.), на 1-й и 2-й Всесоюзных школах "Математические проблемы экологии"(г.Чита,1988г., 1990г.), на научно-технических конференциях Читинского политехнического института (1986-1991гг.).
- б -
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і]4У.
Объём работы. Диссертация изложена на 76 страницах мааи-нописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 16 названий.