К теории задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения Шарафутдинова, Гюзель Галимзяновна

Введение к работе

Актуальность темы. Возникшая в начале XX века теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмо-ментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и в других областях.

Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми. Он доказал существование и единственность регулярного решения задачи Трикоми при условии ортогонального подхода эллиптической границы смешанной области к линии изменения типа (вырождения).

Одно из направлений исследований, связанных с задачей Трикоми, заключается в ослаблении условий геометрического характера на эллиптическую часть границы области. Актуальность этой проблемы была отмечена в работах [ 1, 2 ].

Проблемой снятия ограничений геометрического характера на эллиптическую часть границы области в случае уравнения смешанного типа с одной линией вырождения занимались Ф.И. Франкль, А.В. Бпцадзе, P. Germain, R. Bader, М. Protter, К.И. Бабенко, A.M. Нахушев, Ю.М. Крикунов, А.П. Солдатов, Е.И. Моисеев, К.Б. Сабитов и другие.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов, В.Ф. Волкодавов, В.В. Азовский, М.М. Смирнов, A.M. Ежов, Хе Кан Чер, И.А. Макаров, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, А. Хаса-нов, Б. Исломов, С.С Исамухамедов, Ж. Орамов, СИ. Макаров и другие авторы. В работах этих авторов теорема существования решения задачи Трикоми получена при ортогональном подходе эллиптической границы к линиям изменения типа.

Цель работы. Целью данной работы является обоснование однозначной разрешимости решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа при произвольном подходе эллиптической границы к линиям типа (вырождения).

Методы исследования. При доказательстве принципа мак-

симума для общих линейных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения, из которого следует единственность решения задачи, используются известные принципы экстремума для эллиптических, гиперболических и смешанных уравнений с одной линией вырождения, метод барьерных функций. Доказательство существования обобщенного решения задачи Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения проводится с помощью альтернирующего метода Шварца. При доказательстве существования регулярного решения задачи Трикомл для модельных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения используется метод сведения краевой задачи к сингулярному интегральному уравнению, которое методом регуляризации Кар-лемана - Векуа сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, и аппарат специальных функций.

Научная новизна.

1. Установлены экстремальные свойства решений общих ли
нейных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными
линиями вырождения в областях эллиптичности, гиперболично
сти и в целом смешанной области в классе регулярных и обобщен
ных решений при более слабых условиях на коэффициенты урав
нения и класс решений, чем в [ 3, гл.1 ], и показаны их применения
при доказательстве единственности решения задачи Трикоми в
классе регулярных и обобщенных решений при произвольной эл
липтической границе смешанной области.

2. Доказано существование обобщенного решения задачи
Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с дву
мя перпендикулярными линиями вырождения при произвольном
подходе эллиптической части границы области к линиям измене
ния типа, за исключением случаев касания и осцилляции.

1. Доказаны теоремы существования регулярных решений задач Дарбу для модельного уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения.

2. Доказана теорема существования регулярного решения задачи Хольмгрена для модельного уравнения эллиптического типа с негладкой линией вырождения.

5. Доказано существование регулярного решения задачи Три-коми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа при произвольном подходе эллиптической части границы области к линиям изменения типа, за исключением случаев касания и осцилляции.

6. Доказано существование регулярного решения задачи Три-коми для модельного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения в случае, когда "нормальная" кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института (научные руководители, профессора К.Б. Сабитов и Ф.Х. Мукми-пов, 1995 - 2000 г.);

на научном семинаре кафедры математического анализа Самарского государственного педагогического университета (научный руководитель, профессор В.Ф. Волкодавов, ноябрь 2000г.);

на научном семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института Механики УНЦ РАН (научные руководители, профессора СВ. Хабиров, А.В. Жибер, ноябрь 2000 г.),

а также следующих конференциях.

1. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции", посвященная 90 - летию со дня рождения профессора СП. Пулькина (г. Самара, 1997);

2. Всероссийская научная конференция "Физика конденсированного состояния" (г. Стерлитамак, сентябрь 1997);

3. Международная научная конференция "Спектральная те-

ория дифференциальных операторров, смежные вопросы", посвященная юбилею академика В.А. Ильина (г. Стерлитамак, май 1998);

4. Всероссийская научно - практическая конференция "Проблемы физико - математического образования в педогогических вузах России на современном этапе" (г. Магнитогорск, март 1999);

5. Международная научная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Уфа, июнь 2000);

6. Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", посвященная 40 - летию механи-ко - математического факультета КГУ (г. Казань, октябрь 2000).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [ 6 ] - [ 16 ], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 131 странице и состоит из введения, трех глав и библиографии, содержащей 65 наименований.