К теории вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами Мирсаубов, Мирахмат

Введение к работе

Актуальность темы. Теория вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений берет свое начало от фундаментальных работ Г.Дарбу, Е.Хольмгрена, и С.Геллгрстедта, опубликованных, соответственно, в 1894, 1927 и 1936 годах.

Для уравнения смешанного типа

Т{и) = уи„ + и_п = 0 (1)

первые фундаментальные исследования были выполнены итальянским математиком Франческо Трикоми в 1920 году. Ему принадлежит постановка и решение следующей оадачп, носящей в настоящее время название задачи Трикоми: в области D, ограниченной дугой Жордана Г\ лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках Л(0,0), (1,0), и отрезками АС и ВС характеристшс х - (2/3)(-у)³/² = 0, х + (2/3)(-у)³'* = 1 уравнения (1), выходящих из точки С(1/2, -(3/4)^2/3), ищется регулярное решение и(х,у) этого уравнения непрерывное в D и удовлетворяющее условиям

«(*. У) = А*, У), (*. У) Г, (2)

и(х,у) = ф(х), (х,у)еАС, (3)

где (р(х,у), ф(х)- заданные непрерывные функции.

После этой работы теория краевых задач для уравнений смешанного типа стала развиваться в основном в двух направлениях.

Первое направление - это исследование задачи Трикоми для более общих уравнений второго порядка, среди которых следует отметить работы С.Геллерстедта (для уравнения y⁷ⁿ~^lu_zz+u_m-cu = F(x,y), n N); А.В.Бпцадзе (для уравнении u_tx + signyu^ = О, y²ⁿu_zz + yu_vv +fatly = 0, h e N); К.К.Бабенко (для уравнений A'(y)u,_r+tiyy = 0, »/и„+«_го+с(х,y)u = 0); Н.И.Кароля (для уравнения второго рода ti„ + signy\y\^mUy,, = 0, 0 < m < 1); С.П.Пулькпна (для уравнения v_zz + signyu_n + a{x,y)u_z + b(x,y)u_v+c(x,y)u = 0). В работах А.М.Нахушева, М.МЗайнулабпдова, М.С.Салахитдинова, А.Толппова и других авторов задача Трикоми исследуется для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения.

Второе направление - это различные модификации оадачп Трикоми, средп которых отметим работы Геллерстедта для уравнения

У⁷"'¹^: + U_w = О, П Є JV

Геллерстедт исследовал видоиомененную задачу Трикоми, когда наряду с (2) носителями данных вместо (3) являются определенным образом подобранные отрезки характеристик этого уравнения. Ф.И.Франкль пришел к важному обобщению оадачи Трикоми для уравнения К{у)и_Х1 + и_ю — 0, когда граничные значения искомой функции задаются на Г и некоторой нехарактеристпческой дуге АЕ, расположенной внутри характеристического треугольника и пересекающей каждую характеристику второго семейства не более одного раза. Точка Е лежит на характеристике ВС уравнения К(у)и_Т1 + u_vv = 0.' В дальнейшем .чту задачу будем называть обобщенной задачей Трикоми. Ф.И.Франкль для уравнения (1), затем А.В.Бицадзе для уравнения и_гх + signyu^ = 0 доказал единственность и существование обобщенной задачи Трикоми. Эту задачу для уравнения гпперболо- параболического типа исследовал Т.Д.Джураев. Г.Каратопраклпев обобщил задачу Трикоми для уравнения (1) на случай, когда при переходе Через линию параболического вырождения решение «(х,у) и его производная и_у могут иметь разрыв первого рода и на этой линии удовлетворяют условиям склеивания

u(x,-0) = o(j:)u(x, +0) +7(*), х є /,

В работах Л.Е.Востровой, Ю.М.Крикунова, М.М.Смирнова исследованы оадачп для уравнения смешанного типа, когда на Г вмё-' сто условия Дирихле (2) задаются производные искомой функции..

Решающим моментом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа является принцип экса ремума А.В.Бицадзе, который широко используется при доказательстве единственности решения задач и дает возможность применить альтернирующий метод Шварца для решения задачи Трикоми при довольно общих предположениях на кривую Г.

Исследованию различных модификаций задачи Трикоми для ура-В1 'зний высокого порядка посвящены работы А.В.Бицадзе в М.С.

Салахптдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова, А.И.Кожанова, С.А.Абдпназарова, весьма исчерпывающая библиография по таким задачам содержится в монографиях М.С.Салах~тдинова, Т.Д.Джураева, А.И.Кожанова.

К началу семидесятых годов многие вопросы теории краевых задач для уравнений смешанного типа уже приобрели математически законченный вид, и дальнейшие успехи в этом направлении во многом определялись качественно новыми задачами.

В 1969 году А.В.Бицадзе и А.А.Самарскпй сформулировали и исследовали новую задачу для равномерно эллиптического уравнения. Своеобразие этой задачи состоит в том, что граничные значения искомого решения повторяются во внутренних точках области, где искомая функция должна удовлетворять уравнению. После этой работы в математической литературе появился ряд работ, посвященных задачам типа задачи Бицадзе-Самарского для многих видов уравнений в различных формулировках, среди которых следует выделить работы А.В.Бицадзе , М.С.Салахптдинова, А.Толипова, А.М.Нахушева, В.А.Нлыгаа, Е.И.Моисеева и многих других.

Характерной особенностью этих задач для уравнений смешанного типа является то, что в эллиптической части смешанной области условие Бицадзе-Самарского связыв^т значения искомого решения на части границы и на внутренней кривой, параллельно отодвинутой этой части границы во внутрь области, а в гиперболической части области нелокальное условие поточечно связывает значения искомого решения на обеих характеристиках. Здесь в отличие от задачи ТЬикомп обе характеристики равноправны как носители граничных данных.

Заметим, что наряду с задачами типа задачи Бицадзе-Самарского развиваются и задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром, это работы Е.И.Мопсеева, Т.Ш.Каль-менова, С.М.Пономарева и др. Задачи со спектральным параметром в краевом условии исследованы в работе Н.Ю.Капустина, Е.И.Мопсеева.

Несмотря на большое количество работ, посвященных задачам типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнении смешанного (эллпптшсо- гиперболического) типа, в математической литературе не встречаются работы, в которых исследовались бы задачи

с условиями, связывающими значения искомого решения на части границы эллиптичности и на произвольной внутренней кривой (не параллельной границе) или на линии вырождения, а также задачи с условиями в виде поточечной связи значений искомого решения на характеристиках одного семейства.

Также не встречаются задачи типа задачи Бицадзе-Самарского, для вырождающихся гиперболических уравнений с условием Бицадзе-Самарского на характеристике и на произвольной монотонной кривой с концами на отрезке вырождения и на характеристике, лежащей в характеристическом треугольнике.

Долгое время вопрос о корректных постановках таких задач оставался открытым, и настоящая диссертация посвящена исследованию вышеуказанных актуальных вопросов теории краевых задач для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа.

Цель работы. Исследовгнпе вопросов существования и единственности решения новых задач с аналогами условия Бицадзе-Самарского для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами.

Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач доказывается методом принципа экстремума. Существование решения рассматриваемых задач доказывается методом интегральных уравнений. При этом широко используется теория линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода, теория Нетера сингулярных интегральных уравнений. Для решения пнтегро-фунтеционального уравнения используется обычные методы итерации и последовательных приближений. В эллпптичг -кой части области используется интегральное представление решений задачи Дпрпхле и видоизмененной задачи Хольмгрена с помощью функции Грина, а в гиперболической части области используется формула Дарбу, дающая решение видоизмененной задачи Коши. При решении задачи с у< лоиием Бицадзе-Самарского на характеристиках одного семейства для уравнения смешалного типа исследуются интегральные уравнения Трикоми со сдвигом в несуммируемой части ядра, получены формулы обращения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Впервые исследована задача Бицадое-Самарсхого для выро
ждающегося гпперболпчесхого уравнения с сингулярными хоэф-
фициентами

-(-у)^т«« + % + (a₀/(-y)¹-^ra/2)«x + (A>/j/K = 0. (5)

Задача изучена в зависимости от изменения параметров 0 и

2. Построены примеры, ухазывающие существенность выпол
нения определенных требований, налагаемых на заданные фун-
хции в храевых условиях и существенность выбора хласса где ищется
решение задач.

1. Исследовано интегральное уравнение Вольтерра со слабой особенностью, содержащей сдвиг.

2. Впервые исследовано сингулярное интегральное уравнение с переменным верхним пределом и с нехарлемановсхим сдвигом, отображающим отрезох интегрирования в себя.

5. Для вырождающегося эллиптического уравнения с сингулярным хоэффпцйентом, построена теория потенциала, с помощью хоторой решена оадача Дирихле и впдоизменная задача Хольмгрена,

6. Изучен аналог задачи Бпцадзе^Самарсхого для вырождающегося эллиптичесхого уравнения с сингулярным хоэффпцйентом, где нелохальное условие связывает значения исхомого решения на части границы области и на несхольхих внутренних разомхнутых кривых .

7. Исследована задача Бпцадзе-Самарсхого для вырождающегося внутри области эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом, где условие Бпцадзе-Самарского связывает значения искомого решения на части границы области и на отрезке вырождения.

8. Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом исследована нелокальная задача, хоторая отличается от задачи Трпхоми тем, что на первой части характеристики задается значение искомой функции, а на второй части той же характеристики и параллельной ей характеристике, лежащей внутри области, поточечно связываются значения искомой функции.

9. Найдены формулы обращения сингулярных интегральных уравнений Трпхоми со сдвигом. Исследованы свойства оператора обращения.

10. Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом исследована оадача, которая отличается от задачи Три-коми тем, что здесь на определенных частях границы эллиптичности вместо условия Дирихле задаются условия, которые поточечно связыгакп значения искомого решения на этих частях границы и на частях отрезка вырождения. При этом на линии вырождения условия сопряжения задаются в общем виде.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Постановки задач новые. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач типа задачи Бицадзо-Самарского для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами на линии вырождения, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по дифференциальным уравнениям "Современные проблемы теории дифференциальных уравнении в частных производных" Института Математики АН РУз (Руководители академики Т.Д.Джураев и М.С.Салахитдинов); на семинаре "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" НУУ имени Мирзо Улугбека (Руководитель: член-корр. АН РУз Ш.А^Алимов); на семинаре "Оптимальные процессы и дифференциальные игры" НУУ имени Мирзо Улу-гбека (Руководитель: член-корр. АН РУз Н.Ю.Сатимов); на научно-исследовательском семинаре МГУ им. М.В.Ломоносова (Руководитель: член-корр. РАН Е.И.Мопсеев); на международных конференциях "Вырождаю'циеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993г.; г.Фергана, 1998г.); "Дифференциальные ура-, вненпя и их приложения" (г. Ашгабат, 1995 г.); "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (г.Нальчик, 1996г.); на I-съеоде математиков Казахстана (г.Шымкент, 1996 г.); на Ш-Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г.Новосн-бпрск, 1998г.).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве-