К теории уравнений типа Дюффинга с «гомоклинической восьмеркой» Костромина Ольга Сергеевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Системы, близкие к двумерным нелинейным гамильтоновым 25

1.1 Двумерные гамильтоновы системы 25

1.2 Автономные возмущения двумерных гамильтоновых систем

1.2.1 Метод усреднения 27

1.2.2 Проблема предельных циклов 29

1.2.3 Поведение решений в окрестности невозмущенных сепаратрис 31

1.3 Периодические по времени возмущения двумерных гамильтоновых систем 32

1.3.1 Вспомогательные преобразования в резонансном случае 33

1.3.2 Усреднение системы в окрестностях индивидуальных невырожденных резонансных уровней 36

1.3.3 Прохождение инвариантного тора через резонанс 40

1.3.4 Глобальный анализ 42

1.3.5 Формула Мельникова 43

2 Проблема предельных циклов в уравнении типа Дюффинга с «гомоклинической восьмеркой» 45

2.1 Постановка задачи 45

2.2 Порождающие функции Пуанкаре-Понтрягина 47

2.3 Анализ областей внутри «восьмерки» 50

2.4 Анализ области вне «восьмерки» 54

2.5 Анализ окрестности «восьмерки» 55

2.6 Глобальный результат 57

3 Проблема резонансов в периодически возмущенном асимметричном уравнении Дюффинга–Ван-дер-Поля 61

3.1 Процедура усреднения 62

3.2 Изучение топологии резонансных зон в областях внутри «восьмерки»

3.2.1 Вычисление усредненной системы 63

3.2.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой через резонансную зону 68

3.3 Изучение топологии резонансных зон в области вне «восьмерки» 76

3.3.1 Вычисление усредненной системы 76

3.3.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой

через резонансную зону 79

3.4 О глобальном поведении решений вне окрестности «восьмерки» 85

4 Бифуркационные и хаотические явления в окрестности «гомоклинической восьмерки» 88

4.1 О гомоклинических бифуркациях 88

4.1.1 Гомоклинические структуры Пуанкаре 89

4.1.2 Бифуркационная диаграмма. Численный анализ 94

4.1.3 Детализация гомоклинических зон с негладкими границами 96

4.2 О фрактальных свойствах границ областей притяжения 101

4.2.1 Анализ областей притяжения неподвижных точек 102

4.2.2 Анализ областей притяжения периодических точек 107

Заключение 114

Список литературы 116

Приложения 126

• Автономные возмущения двумерных гамильтоновых систем
• Анализ области вне «восьмерки»
• Вычисление усредненной системы
• Бифуркационная диаграмма. Численный анализ

Введение к работе

Актуальность исследования. Рассматриваемый в настоящей работе круг вопросов относится к области качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, близких к нелинейным консервативным интегрируемым. Системы такого класса играют фундаментальную роль в теории колебаний. Несмотря на большое число работ, посвященных исследованию таких систем, по-прежнему остаются проблемы, которые далеки от решения и требуют рассмотрения новых примеров. Один из таких примеров является объектом изучения данной диссертационной работы.

Степень разработанности проблемы. Общий подход к исследованию систем, близких к нелинейным консервативным интегрируемым, связан с использованием метода малого параметра А. Пуанкаре, метода определения устойчивости А.М. Ляпунова, метода усреднения Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, ЮА. Мит-ропольского. При анализе усредненных систем применяются методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем, разработанные В.В. Степановым, В.В. Немыцким, А.А. Андроновым, ЕА. Леонтович, Н.Н. Баутиным, Л.П. Шильниковым и другими. Отметим также работы Н.П. Еругина, В.А. Плис-са и В.И. Зубова, в которых разработан принципиально новый метод исследования устойчивости решений в рамках метода функций Ляпунова с использованием общих методов качественной теории дифференциальных уравнений.

До настоящего времени в теории колебаний наиболее популярны и разработаны методы исследования квазилинейных систем, с их помощью решены многие нелинейные задачи. При исследовании подобных систем весьма эффективным является метод усреднения. Один из первых и простейших вариантов метода усреднения - метод Ван-дер-Поля. Этот метод был разработан Б. Ван-дер-Полем для исследования различных автоколебательных процессов в ламповом генераторе. Его теоретическое обоснование было получено Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Дальнейшее развитие метода усреднения связано с именами Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, ЮА. Митропольского, А.А. Андронова, А.А. Витта, Б.В. Булгакова и других.

Что же касается существенно нелинейных систем, то большая часть работ по их исследованию посвящена вопросам существования и устойчивости периодических решений, инвариантных торов, наличию нерегулярной динамики и другим вопросам, восходящим к работам А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова. Меньшая часть работ посвящена изучению глобального поведения решений и связана в основном

с численным анализом исходных систем.

Среди нелинейных систем важную роль играют автоколебательные системы (системы, у которых на фазовой плоскости существует, по крайней мере, один устойчивый предельный цикл Пуанкаре). До сих пор отсутствуют общие теоретические методы (для систем какого-то узкого класса, например, для случая, когда правые части представляют собой полиномы некоторой фиксированной степени и зависят от конечного числа параметров), позволяющие решить вопрос о существовании предельных циклов, их числе и месте расположения (за исключением случая квазилинейных систем). Как известно, методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем позволяют решить задачу о предельных циклах «с точностью до четного числа предельных циклов», что не является удовлетворительным при решении прикладных задач.

Особое место в исследовании нелинейных колебательных систем занимают резонансы. Изучение резонансных явлений проводилось во многих работах, ведущих свое начало от классических работ А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова. Отметим работы В.М. Волосова и Б.И. Моргунова, в которых был предложен метод, позволяющий находить стационарные резонансные режимы, а также определять их устойчивость. В книге Дж. Гукенхеймера и Ф. Холмса рассматривались вопросы о нерегулярной динамике и бифуркациях в нелинейных системах; проводился анализ основных математических моделей (таких как уравнения Ван-дер-Поля и Дюффинга с периодическим возбуждением, система Лоренца) физических процессов, демонстрирующих сложное (хаотическое) поведение решений. Тот же круг вопросов, включая исследование резонансов, рассматривался в работах С. Уиггинса. Отметим работы Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова, работы Р.А. Страбла. Теория нелинейного резонанса для двухчастотных систем с 3/2 степенями свободы наиболее полно изложена в монографиях А.Д. Морозова.

Исторически резонансы в нелинейных динамических системах изучались в первую очередь в гамильтоновых системах, которые благодаря задачам небесной механики привлекали внимание математиков на протяжении многих десятилетий. Cущественные результаты по исследованию таких систем были получены А. Пуанкаре, Дж.Д. Биркгофом. В XX веке А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом, Ю.К. Мозером была разработана теория малых возмущений интегрируемых гамильтоновых систем, получившая впоследствии название КАМ-теории. Вопросы интегрируемости и неинтегрируемости гамильтоновых систем изучались в работах М. Эно и К. Хейлеса, В.В. Козлова, Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.

Основной причиной неинтегрируемости систем является наличие в них го-моклинических траекторий. Начало систематическому изучению таких траекторий было положено в работах А. Пуанкаре и Дж.Д. Биркгофа. Идеи А. Пуанкаре получили дальнейшее развитие в работах С. Смейла, Ю.И. Неймарка, Л.П. Шильникова. Первое математически строгое описание структуры окрестности гомоклинической кривой (контура) седлового периодического движения

было проведено Л.П. Шильниковым. Им было установлено, что в достаточно малой окрестности гомоклинической кривой (контура) существует нетривиальное гиперболическое множество, траектории которого полностью описываются на языке символической динамики. Существование подобных множеств (с конечным числом символов) для диффеоморфизмов было доказано С. Смейлом. Отметим также работы Н.К. Гаврилова и Л.П. Шильникова, указавших на возможность возникновения таких множеств до момента первого гомоклинического касания инвариантных многообразий седловой периодической орбиты. Наконец, в работах СВ. Гонченко, Л.П. Шильникова и Д.В. Тураева не так давно установлено, что большинство моделей нелинейной динамики не поддаются полному анализу: бифуркации систем с гомоклиническими касаниями принципиально не допускают полного исследования.

В теории нелинейных колебаний крайне важным является анализ основных (эталонных) уравнений и систем, к которым относятся уравнения типа Дюффин-га, маятниковые уравнения, системы лоренцевского типа. К таким уравнениям принято относить уравнение Дюффинга-Ван-дер-Поля вида

х + ах + (Зх = ef2{x)x₁ (1)

где /2(ж) =7i+ l'ix + 7з^², ^а = il, /3 = ±1, 7ь 72, 7з – параметры, є - малый положительный параметр.

Наряду с уравнением (1) в теории колебаний фундаментальную роль играет соответствующее неавтономное уравнение

х + ах + /Зх = є [/2(ж)ж + g(vt)] , (2)

где v - параметр (частота возмущения), функция g{yt) - непрерывная и периодическая по t с периодом 2-7T/V, например, g{yt) = sinvt.

Если уравнение (2) при /3 = 0 было изучено в 30-х годах XX века А.А. Андроновым и А.А. Виттом'¹', то при /3^0- лишь во второй половине XX века А.Д. Морозовым и Л.П. Шильниковым'²'''³'' '⁴Ь'⁵'. В последних работах рассматривались случаи, когда а = 1, /3 = ±1, 72 = 0. Эти работы посвящены изучению поведения решений в окрестности резонансных уровней, в достаточно малой окрестности гомоклинической кривой (гомоклинического контура), а также вопросам глобального поведения решений. Результаты работ'²^'³^ были

Ш Андронов, А.А. Собрание трудов / А.А. Андронов. - М.: Изд. АН СССР, 1956. - С.51-64.

I²' Морозов, А.Д. К вопросу о полном качественном исследовании уравнения Дюффинга / А.Д. Морозов // ЖВМ и МФ. - 1973. - Т. 13, № 5. - С. 1134-1152.

I³'Морозов, А.Д. К математической теории синхронизации колебаний / А.Д. Морозов, Л.П. Шильников // ДАН СССР. - 1975. - Т. 223, № 6. - С. 1340-1343.

I⁴' Морозов, А.Д. О полном качественном исследовании уравнения Дюффинга / А.Д. Морозов // Дифференциальные уравнения. - 1976. - Т. 12, № 2. - С. 241-255.

l⁵'Morozov, A.D. On the global behavior of self-oscillatory systems / A.D. Morozov // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1993. - V. 3, № 1. — P. 195-200.

распространены Ф. Холмсом на случай а = — 1, /3 = 1 и вошли в совместную с Дж. Гукенхеймером книгуI⁶'. При а = — 1, /3 = 1 фазовая плоскость невозмущенного уравнения имеет две петли сепаратрисы седла 0(0,0), образующие «восьмерку».

Асимметричный член 72^^ в возмущении играет существенную роль лишь в случае а = — 1, /3 = 1. Действительно, если говорить об автономном уравнении (1), то случаи а = 1, /3 = ±1 принципиально не отличаются от случая, когда 72 = 0. А именно, при /3 = 1 и 7i > 0 существует единственный устойчивый предельный цикл; при 71 < 0 предельные циклы отсутствуют. При /3 = — 1 и 7і Є (0, 0.2) существует единственный устойчивый предельный цикл, а вне этого интервала предельные циклы отсутствуют.

К уравнениям вида (1) и (2) при а = —1, /3 = 1 приводят многочисленные прикладные задачи'⁶!''⁷'''⁸': колебания продольно изогнутого упругого стержня под осевой нагрузкой; колебания изогнутой консольной балки в неоднородном поле двух постоянных магнитов; задача о провале упруго-пластичной арки с шарниром, вызванном колебаниями; некоторые задачи динамики плазмы и др.

Отметим также и чисто математическую задачу'⁹' о бифуркациях векторных полей на плоскости, инвариантных относительно поворота на угол тт. В этой задаче в уравнении (1) имеем 72 = 0, и коэффициенты перед линейными членами ах + sjix являются параметрами деформации. Бифуркационная диаграмма на плоскости параметров деформации и фазовые портреты приведены в книге В.И. Арнольда (см. также'⁶!). К уравнению такого вида сводится задача о флаттере панели'¹⁰'' I¹¹', которая изначально описывается нелинейным уравнением в частных производных со многими параметрами.

Работа'¹²' посвящена изучению гомоклинических бифуркаций и хаоса в параметрически возмущенном уравнении типа Дюффинга с линейным диссипатив-ным членом. Тот же круг вопросов рассматривался в работе'¹³' при изучении влияния периодических и квазипериодических возмущений на уравнение типа

1⁶'Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

1⁷'Мун, Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер. с англ. / Ф. Мун. - М.: Мир, 1990.

1⁸'Стокер, Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. - М.: Иностранная литература, 1952.

I⁹'Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1978.

l¹⁰'Holmes, P.J. Bifurcation to divergence and flutter in flow-induced oscillations: A finite dimensional analysis / P.J. Holmes // Journal of Sound and Vibration. - 1977. - V. 53, N^a 4. - P. 471-503.

lⁿ'Holmes, P.J. Bifurcation to divergence and flutter in flow-induced oscillations: An infinite dimensional analysis / P.J. Holmes, J. E. Marsden // Automatica. - 1978. - V. 14. - P. 367-384.

l¹²'Litvak-Hinenzon A. Symmetry-breaking perturbations and strange attractors / A. Litvak-Hinenzon, V. Rom-Kedar // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 55, N^a 5. - P. 4964-4978.

'¹³'Ravichandrana, V. Homoclinic bifurcation and chaos in Duffing oscillator driven by an amplitude-modulated force / V. Ravichandrana, V. Chinnathambia, S. Rajasekarb // Physica, ser. A. - 2007. - V. 376. - P. 223—236.

Дюффинга.

Первой работой, в которой теоретически рассмотрен вопрос о возникновении нетривиальных гиперболических множеств в неконсервативных уравнениях типа Дюффинга при а = 1, /3 = — 1, является, по-видимому, работа А.Д. Морозова". Следуя работам Н.К. Гаврилова и Л.П. Шильникова'¹⁴'' '¹⁵', им была показана возможность возникновения таких множеств до момента первого гомоклиниче-ского касания соответствующих инвариантных кривых (сепаратрис).

Особо отметим следующие работы, которые касаются систем общего вида, имеющих «гомоклиническую восьмерку» седлового состояния равновесия. Полная бифуркационная диаграмма двухпараметрической деформации векторного поля с двумя гомоклиническими кривыми седла впервые была построена Д.В. Тураевым в 1984 году'¹⁶' (см. также'¹⁷'). Основные бифуркации в окрестности «восьмерки» с ненулевой седловой величиной для двухпараметрических семейств отображений рассмотрены в последнее время в работе'¹⁸'.

Этот список можно продолжить, однако до сих пор не было работ, в которых проводился бы подробный анализ асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля вида (2), имеющего при отсутствии возмущения «гомоклиническую восьмерку» седлового состояния равновесия. Из трех параметров 71, 72, 7з можно исключить один. В результате придем к уравнению

х — х + х = є [(pi + Р2Х — х )х + рз sinp4^] , (3)

где pi, Р2, рз, Pi – параметры, которое является объектом исследования данной диссертационной работы.

Цели и задачи диссертационной работы. Основной целью работы является изучение периодически возмущенного асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля (3), которое служит хорошей моделью для решения многих задач теории бифуркаций. Основные задачи исследования состоят в следующем.

Для возмущенного автономного (рз = 0) уравнения:

/решить проблему предельных циклов;

/построить разбиение плоскости параметров на области с разными топологическими структурами и установить эти структуры.

I¹⁴'Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем. сб. - 1972. - Т. 88, № 4. - С. 475-492.

1¹⁵'Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой II / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем. сб. - 1973. - Т. 90, № 1. - С. 139-156.

1¹⁶ІХураев, Д.В. Об одном случае бифуркаций контура, образованного двумя гомоклиническими кривыми седла / Д.В. Тураев // сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений. - Горький: ГГУ, 1984. - С. 162-175.

I¹⁷'Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. - М.-Ижевск: РХД, 2009.

l¹⁸'Gonchenko, S.V. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic “figure-eight” / S.V. Gonchenko, C. Simo, A. Vieiro // Nonlinearity. - 2013. - V. 26, N^a 3. - P. 621-678.

Для возмущенного неавтономного (р% = 0) уравнения:

/провести исследование поведения решений в резонансных зонах;

/установить глобальное поведение решений в областях, отделенных от невозмущенных сепаратрис;

/исследовать и описать основные гомоклинические бифуркации в малой окрестности невозмущенных сепаратрис;

/изучить фрактальные свойства границ областей притяжения устойчивых режимов.

Общие методы исследования. В диссертации используются методы усреднения, а также методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем.

Научная новизна и основные результаты исследования. Все результаты, выносящиеся на защиту, являются новыми и состоят в следующем.

1. Проведено исследование автономного (рз = 0) асимметричного уравнения Дюффинга-Ван-дер-Поля (3): аналитически найдены бифуркационные множества параметров, отвечающие разным типам происходящих в системе бифуркаций; получены точные оценки числа предельных циклов; построено разбиение плоскости параметров на области с разной топологией фазовых портретов; установлено поведение фазовых кривых для каждой полученной области на плоскости параметров.

2. Исследованы резонансные явления при малом периодическом воздействии (Рз = 0) на асимметричное уравнение Дюффинга-Ван-дер-Поля (3): получены усредненные уравнения маятникового типа, описывающие поведение решений в индивидуальных невырожденных резонансных зонах; проведен анализ прохождения (при изменении расстройки) инвариантного тора через резонанс; установлено глобальное поведение решений в областях, отделенных от невозмущенных сепаратрис.

3. С помощью аналитического метода Мельникова и численного моделирования установлены основные гомоклинические бифуркации в малой окрестности невозмущенных сепаратрис. Построены бифуркационные кривые, соответствующие различным типам гомоклинических касаний сепаратрис седловой неподвижной точки отображения Пуанкаре. Проведена детализация обнаруженной на бифуркационной диаграмме гомоклинической зоны с кусочно-гладкими границами. Получены гомоклинические структуры с различными типами квадратичных и кубических касаний.

4. Рассмотрена задача о моменте возникновения сложного поведения решений системы и фрактальных границ областей притяжения установившихся режимов.

Теоретическая и практическая значимость диссертационного исследования. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории динамических систем, а также при исследовании

конкретных моделей.

Результаты диссертации вошли в составную часть результатов работ, выполненных при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (проект № 14.В37.21.0361 на 2012-2013 годы), Министерства образования и науки РФ (проект № 1410 на 2014-2016 годы), Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00356 на 2011 год, проект № 13-01-00589 на 2015 год, проект № 14-01-00344 на 2014-2016 годы), Российского научного фонда (проект № 14-41-00044 на 2015-2016 годы).

В 2014-2015 г. проведенные исследования были поддержаны стипендией имени академика Г.А. Разуваева для аспирантов, а также стипендией имени Н.И. Лобачевского.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль (2012 г., 2014 г.), IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» в г. Н. Новгород (2012 г.), Международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», посвященной памяти Л.П. Шиль-никова, в г. Н. Новгород (2013 г., 2015 г.), Международной конференции «Гамиль-тонова динамика, неавтономные системы и структуры в уравнениях с частными производными», посвященной 70-летию Л.М. Лермана и А.Д. Морозова, в г. Н. Новгород (2014 г.).

Также были сделаны доклады на научных семинарах «Нелинейная динамика: теория и приложения» (семинары им. Л.П. Шильникова) отдела дифференциальных уравнений Научно-исследовательского института прикладной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководитель: д.ф.-м.н. СВ. Гонченко).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 10 научных работах, указанных в конце автореферата, 4 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертаций. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с А.Д. Морозовым, автору принадлежат доказательства всех основных результатов, А.Д. Морозову принадлежат постановки задач, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Главы разделены на параграфы, параграфы - на пункты. Общий объем диссертации составляет 137 страниц. Работа содержит 38 иллюстраций, 1 таблицу и 95 наименований литературы.

Автономные возмущения двумерных гамильтоновых систем

Система допускает первый интеграл («интеграл энергии») Н(х,у) = h = const. Если Н(х,у) - аналитическая функция переменных х и у, то в системе (1.1.1) возможны простые состояния равновесия лишь двух типов: «центр» и «седло». Частным случаем системы вида (1.1.1) является уравнение х + f(x) = 0, (1.1.2) где х = d2x/dt2, функцию Гамильтона которого можно записать в виде Н(х, у) = у2/2 + U(x), U(x) = J f(x) dx, у = dx/dt. Здесь Т = у2/2 - кинетическая энергия системы, а и(х) - потенциальная энергия. Сумма Т + U определяет полную энергию системы. Наличие первого интеграла у /2 + U{x) = h (1.1.3) для уравнения (1.1.2) дает закон сохранения энергии: полная энергия движущейся в силу уравнения (1.1.2) материальной точки сохраняется.

Фазовый портрет системы (1.1.1) и уравнения (1.1.2) представляет собой совокупность фазовых кривых, определяемых интегралом энергии Н(х,у) = h при изменении h на соответствующем интервале.

Отсюда вытекает интегрируемость уравнения (1.1.2). Однако для построения решения x(t) необходимо обратить интеграл в (1.1.5). Эта задача легко решается лишь в линейном случае, когда f(x) = ж, и приводит к хорошо известному гармоническому решению. Для нелинейной функции f(x) обращение такого интеграла - это проблема. Ее удается решить лишь в некоторых частных случаях, например, когда f(x) является многочленом второй или третьей степени, либо простой трансцендентной функцией типа sin ж или cos ж. В этих случаях интеграл в (1.1.5) эллиптический, и его обращение приводит к эллиптическим функциям, которые представляют собой обобщение элементарных тригонометрических функций. Если f(x) представляет собой многочлен степени выше третьей, то интеграл называют гиперэллиптическим. Обращение в таком случае становится гораздо сложнее, при этом используется аппарат классической алгебраической геометрии.

В дальнейшем нас, прежде всего, будут интересовать решения уравнения (1.1.2), отвечающие замкнутым фазовым кривым, то есть периодические решения. 1.2 Автономные возмущения двумерных гамильтоновых систем Рассмотрим автономное возмущение гамильтоновой системы (1.1.1): дН(х,у) х = Ь єдо(х,у), оу (1 2 1) дН(х) у) У = о Ь є7о{х}у)} ох где гамильтониан Н(х,у) и функции go(x,y), fo(x,y) достаточно гладкие по переменным х и у из некоторой области DcK2 (либо D С М1 х S1), є - малый параметр. Предполагается, что при є = 0 система имеет хотя бы одну ячейку Do С D, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми и не содержащую малых окрестностей центров, сепаратрисных петель или контуров, параболических траекторий и «бесконечности». Фазовые кривые невозмущенной (є = 0) системы в этой ячейке определяет «интеграл энергии» Н(х,у) = h = const. Обозначим через (h , h+) интервал значений h для ячейки Do.

Основной вопрос, возникающий при исследовании систем вида (1.2.1) - это установление качественного поведения решений в ячейке Do. Если функции до и /о зависят от параметров, то практически важным вопросом является вопрос о разбиении пространства параметров на области с разной топологией поведения решений. Границы таких областей отвечают бифуркационным значениям параметров. Одной из основных проблем качественного исследования является проблема предельных циклов.

При исследовании движения как в невозмущенной, так и в возмущенной задаче полезны специальные симплектические координаты: переменные «действие-угол».

Прежде всего в невозмущенной системе (1.1.1) перейдем в ячейке Do от переменных ж, у к переменным «действие / - угол в» по известным формулам [7]: Mh х0 где Mh = {(х,у) : Н(х,у) = /і}, S(x,I) - производящая функция данного канонического преобразования. Преобразование (1.2.2) можно записать в виде x = X(I,$), y = Y(I,6), (1.2.3) где X, Y - периодические по в с периодом 2-7Г функции. Учитывая равенство единице якобиана канонического преобразования (1.2.3), система (1.1.1) в новых переменных, очевидно, запишется в виде

Отсюда I = Io = const, в = cu(Io)(t — to)(mod2ir). I = const определяет одномерный тор - замкнутую фазовую кривую; величину ш(1) называют частотой периодического движения фазовой точки по этой кривой.

Теперь обратимся к возмущенной системе (1.2.1). Используя (1.2.4), запишем систему (1.2.1) в переменных /, в: I = sF(I, в), (1.2.5) в = UJ(I) + eR(I, в), где F(I,6) = fo(X,Y)X e — go(X,Y)Yg, R(I,6) = —fo(X,Y)X j + go(X,Y)Y{. Функции F и Л, по определению, являются периодическими по в с периодом 2-7Г. В отличие от исходной системы (1.2.1) в системе (1.2.5) переменные разделены на «быструю» в и «медленную» /. Поэтому к этой системе можно применить принцип усреднения [7; 12; 43], в соответствии с которым вместо системы (1.2.5) можно рассмотреть усредненную систему

Усредненная (одномерная) система (1.2.6) определена на интервале А = (щ щ) С К1. Для обоснования процедуры усреднения необходимо установить соответствие между поведением траекторий усредненной системы (1.2.6) и поведением решений исходной системы (1.2.1). Для установления этого соответствия разложим функцию F(I, в) в ряд Фурье

Зная поведение траекторий усредненной системы (1.2.6), легко установить поведение решений системы (1.2.10). Фазовое пространство последней - это цилиндр (прямое произведение интервала А = (щ щ) С Ш1 на окружность S1). Поэтому, простому состоянию равновесия щ (В(щ) = 0, В {щ) ф 0) усредненной системы (1.2.6) отвечает грубый предельный цикл - изолированная замкнутая фазовая кривая - в исходной системе. Причем, предельный цикл будет устойчивым, если В {щ) 0, и неустойчивым в противном случае.

Анализ области вне «восьмерки»

Как мы показали, в окрестности точки р = 0 функция В 0(р) может иметь не более двух простых нулей (из фокуса может родиться не более двух предельных циклов). Представим функцию В 0(р) в виде: В {р]р\)р2) = f{p]Pi) +Р29ІР). Исследуем поведение функций / и д на отрезке [0,1]. Начнем с функции f(p]Pi). Из определения этой функции имеем f(0]pi) = 0, f(l]pi) = 5pi — 4, причем при малых р, согласно (2.3.2), находим f(p ,pi) [{р\ — \)р + 0(р )]. Представляются возможными три случая: 1) р\ 0.8, 2) 0.8 р\ 1, 3) р\ 1. В первом случае функция / не имеет нулей, либо их число четное. Во втором случае функция / имеет один нуль (с точностью до четного числа). Наконец, в третьем случае функция / не имеет нулей, либо их число четное. На рис. 2.2 представлено семейство функций f(p;pi) для р\ є [0.7,1.15]. Отсюда следует, что функция f(p,pi) на интервале (0,1) может иметь не более одного нуля3.

Функция д{р) = Ср2\/2 — р, С = 15л/2тг/16, монотонно возрастает на от резке [0,1] от нуля до С и выпукла. Тогда графики функций fиg могут иметь не более двух точек пересечения на интервале (0,1), и следовательно, функция / + д может иметь не более двух нулей. 3В [8] рассматривалась порождающая функция, аналогичная f(p). Однако в [8] отсутствует ее полное исследование. Из системы

Отметим, что седловая величина as = єрі может обращаться в нуль при Pi = 0. При as = 0 двукратный цикл может влипать в сепаратрису. При pi = 0 из (2.3.3) находим р2 = і -= ±0.9603374. Точка As+ с ко 15V27T ординатами (0,0.9603374) на плоскости (pi,p2) является крайней точкой линии двойных циклов для правой петли сепаратрисы, а точка As_(0, —0.9603374) для левой. 2.4 Анализ области вне «восьмерки» Поведение решений уравнения (2.1.1) в этой области не зависит от параметра Р2, что значительно упрощает задачу. Справедлива следующая

Из (2.2.6) следует 2о(0.5) = 1.5К(0.5) — ЗЕ(0.5), 2о(1) = Р\ — 4. Так как 2о(0.5) 0 и 2о(1) 0 при р\ 0.8, то на интервале (0.5,1) либо у функции 2о(р) нули отсутствуют, либо их число четное. Согласно [57], число нулей функции 2о(р) не превосходит трех. Отсюда следует справедливость теоремы 2.2 при pi 0.8.

При переходе параметра р\ через значение 0.8 в сторону увеличения у функ ции 2о(р) исчезает один нуль. С ростом р\ значение р, при котором 2о(р) = 0, уменьшается по величине и при р\ — оо стремится к 0.5 (предельный цикл стре мится к бесконечности). На рис. 2.3 показано семейство функций 2о(р;Рі) для находим бифуркационное значение р\ 0.75225564, которому на плоскости (рьРг) соответствует линия двойных циклов Ь%. Условие -82(1) = 0 определяет на плоскости (pi,p2) прямую р\ = 0.8. В случае р2 = 0 у уравнения (2.1.1) существуют две петли сепаратрисы, примыкающие к седловой точке 0(0,0). При р2 ф 0 бифуркация связана с образованием «большой» петли сепаратрисы, охватывающей оба состояния равновесия типа «фокус». Такая топологическая структура отсутствует как в невозмущенном уравнении, так и в симметрично (p2 = 0) возмущенном, и вообще говоря, требует дополнительного исследования поведения возмущенных сепаратрис в окрестности «восьмерки».

Из условий (2.5.4) находим бифуркационные значения параметров р\ = 0.8, Р2 = 0, при которых в возмущенном уравнении сохраняется «гомоклиническая восьмерка». Когда р = 0, прямая р\ = 0.8 соответствует существованию в возмущенном уравнении «большой» петли сепаратрисы. Здесь нам не удается применить формулу Мельникова, поскольку мы не знаем уравнение «большой» петли. В этом случае можем установить лишь численно, что при достаточно малых є линия pi = 0.8 отвечает существованию негрубых структур, показанных на рис. 2.4a и 2.4b. На рис. 2.4a изображена нижняя «большая» петля (имеющая место при положительных значениях параметра ръ), а на рис. 2.4b - верхняя «большая» петля (имеющая место при р 0). На рис. 2.4c и 2.4d показано взаимное расположение сепаратрис для значений параметров слева (c) и справа (d) от бифуркационной кривой L4 нижней «большой» петли.

Необходимо заметить, что в силу инвариантности системы (2.1.2) относительно преобразования (р2,х,у) — {—р2-,—х)—у), разбиение плоскости параметров (piiPo) симметрично относительно оси р\. Вследствие такой симметрии фазовые портреты из области р2 О получаются поворотом на угол 7Г соответствующего фазового портрета из области р2 0. Поэтому достаточно построить бифуркационную диаграмму, например, для области р2 0.

Разбиение плоскости параметров (pi,Р2) на области с разной топологией фазовых портретов. фокуса О+(1,0) (0_(—1,0)) в области G\ (Gj"). При соответствующем переходе через L\ (Lj ) рождается или исчезает предельный цикл в области G\ (Gj"). На кривой L\ (L2) имеем правую (левую) петлю сепаратрисы седла 0(0,0). Здесь бифуркация связана с рождением предельного цикла (устойчивого или неустойчивого в зависимости от знака седловой величины as = єрі) из петли Рис. 2.6: Схематичное изображение увеличенного фрагмента рис. 2.5. сепаратрисы, либо влипанием предельного цикла в петлю. Кривая L% соответствует наличию двойного цикла в области G2, появляющегося из «уплотнения траекторий». При соответствующем изменении параметров pi, Р2 из двойного цикла появляются два грубых предельных цикла - устойчивый и неустойчивый, причем неустойчивый предельный цикл располагается ближе к сепаратрисе (в силу положительной определенности седловой величины). На кривой L4 имеем нижнюю «большую» петлю сепаратрисы седла 0(0,0). При соответствующем переходе через L4 рождается или исчезает предельный цикл в области 6г2. Кривая, соединяющая точки А+ и As+, соответствует существованию двойного цикла в области G\. При соответствующем изменении параметров pi, р2 из двойного цикла появляются два предельных цикла разной устойчивости. В этом случае (в силу отрицательной определенности седловой величины) ближе к сепаратрисе находится устойчивый предельный цикл.

Вычисление усредненной системы

Рассмотрим вопрос о появлении и исчезновении инвариантного тора для уравнения (3.0.1) в областях Gl . Этому тору соответствует замкнутая инвариантная кривая уравнения (3.2.1) в области вращательных движений.

Сделаем в уравнении (3.2.1) замену B\{IV\) = /І71, где 71 определяет отклонение резонансного уровня / = 1р\ от уровня / = /о, порождающего предельный цикл автономного уравнения (2.1.1). В результате придем к системе

Здесь функции &i, (Т\ = (т1 и A\ = Al определяются формулами (3.2.2), (3.2.3) и (3.2.4) соответственно, 7i = 7i . Таким образом, система (3.2.6) расщепляется на две: одна из них с коэффициентами Ъ\, 7i , &\ и А , другая – с коэффициентами &i, 7f, аї и Т. Знак «+» отвечает области G , знак «–» - области G\. Рассмотрим невозмущенную (/І = 0) систему

Движению по сепаратрисе, разделяющей области колебательных и вращатель ных движений, отвечает /г± = ± . Область фазового цилиндра, в которой Р осуществляются колебательные движения, будем называть колебательной областью (ее образуют фазовые кривые, не охватывающие фазовый цилиндр); области вращательных движений - вращательными областями (их образуют фазовые кривые, охватывающие фазовый цилиндр).

Теперь обратимся к возмущенной (/І ф 0) системе (3.2.6). Перейдем в этой системе в областях, отделенных от невозмущенных сепаратрис, от переменных (v,u) к переменным «действие-угол» (J, #), в результате чего получим систему

Заметим, что при г)1 = 0 имеем Ф (1) = 2Ф]Ь±(1) и Ф] (1) = 2Ф _(1). В этом случае можно определить непрерывную глобальную порождающую функцию и применить принцип усреднения вплоть до сепаратрисы, соответствующей /с± = 1. При 7і Ф 0 равенства нарушаются, поэтому необходимо дополнительное исследование в окрестности невозмущенного сепаратрисного контура.

Для установления взаимного расположения возмущенных сепаратрис воспользуемся формулой Мельникова Дм = /І А і + О (/І2), которая с точностью до членов порядка /І2 определяет расстояние между возмущенными сепаратрисами. Cогласно п. 1.3.3, делая в системе (3.2.6) замену

Для значений расстройки 7± , принадлежащих интервалу (7±+,7±-), имеем непроходимый резонансный уровень. Когда 7± отклоняется от бифуркационного значения (7± 7±+ / 7± 7±-), из петли рождается предельный цикл, охватывающий (верхний / нижний) фазовый полуцилиндр, и резонансный уровень становится частично проходимым.

Фазовые портреты системы (3.2.6) при Ь\ = -2.16317765, р% = 0.5, А\ = -0.04075092, р = 2, /І = 0.31622777 и7І = 0.01822139, а = 0.12097857 (a); 7і" = 0, &1 = 0.08160331 (b); 7і = -0.00631303, а = 0.03700964 (c). Проиллюстрируем полученные выше результаты на примере. На рис. 3.4 показано поведение фазовых кривых усредненной системы (3.2.6) в полосе v Є (-7Г, 7г), соответствующее поведению инвариантных кривых отображения Пуанкаре для уравнения (3.0.1) в резонансной зоне с р = 2, q = 1, изображенному на рис. 3.2. Коэффициенты усредненной системы (3.2.6) определяются на резонансном уровне /21, расположение которого в области G\ устанавливается из условия резонанса. Далее, в зависимости от расположения предельного цикла (по отношению к зафиксированному резонансному уровню), определяемого расстройкой 7i", получаем различные фазовые портреты системы (3.2.6). При 7i" = 0 имеем точный резонанс (см. рис. 3.4b): для любых начальных условий из рассматриваемой области фазовая точка стремится к неустойчивому состоянию равновесия типа «фокус» при t — - оо. Частично проходимый резонанс показан на рис. 3.4a, 3.4c: имеются области, для начальных значений из которых фазовая точка стремится к состоянию равновесия типа «фокус» при t — - оо, а также области притяжения (при t — -оо) замкнутой фазовой кривой, охватывающей нижний (рис. 3.4a) / верхний (рис. 3.4c) фазовый полуцилиндр.

Вычисление коэффициентов усредненной системы (3.2.6) для данного случая приведено в разделе Приложения (см. Приложение А1). (a) (b) Бифуркационный случай, когда цикл на нижнем / верхнем полуцилиндре (a) (b) Рис. 3.6: Поведение инвариантных кривых отображения Пуанкаре для уравнения (3.0.1) при є = 0.1, р\ = 1, ps = 0.5, pi = 2.5 и p2 = —0.0511079 (a); P2 = —0.1029279 (b). усредненной системы (3.2.6) влипает в сепаратрису, образуя нижний / верхний контур, показан на рис. 3.5. Соответствующее поведение инвариантных кривых отображения Пуанкаре для уравнения (3.0.1) представлено на рис. 3.6.

В данном параграфе изучается уравнение маятникового типа (3.1.3), описывающее поведение решений уравнения (3.0.1) в окрестности индивидуальных невырожденных резонансных уровней I = Ipq в области 6г2. Устанавливаются бифуркации перехода от непроходимого резонанса к частично проходимому.

Бифуркационная диаграмма. Численный анализ

Разбиение плоскости параметров (pi, Р2) на области с разными гомоклини-ческими структурами построено с помощью программ WInSet и Maple 13 (см. Приложение Б) и представлено на рис. 4.3. Бифуркационная диаграмма получается симметричной относительно оси р\. По-видимому, это связано с существующей симметрией в автономном уравнении. Бифуркационные кривые в верхней полуплоскости р2 0 (они выделены жирным цветом) соответствуют существованию гомоклинических структур с касанием, показанных на рис. 4.2. На симметричных им бифуркационных кривых в нижней полуплоскости р2 О (они отмечены жирными пунктирными линиями) имеют место гомоклиниче-ские структуры с касанием, которые можно получить в результате поворота на угол 7Г соответствующей структуры из области р2 0. В силу симметрии дальнейшее описание динамики изучаемой системы будет в основном сосредоточенно на случае р2 0.

Линии L\ и L задают множество значений параметров, для которых автономное уравнение имеет правую и левую сепаратрисные петли седла 0(0,0) соответственно. Заметим, что «гомоклиническая восьмерка» имеет место при Р\ 0.800198294, р2 = 0, тогда как аналитически прогнозируемые значения -Р\ = 0.8, р2 = 0. Линия LA (Lf) соответствует наличию в автономном уравнении нижней (верхней) «большой» петли сепаратрисы седла 0(0,0): сепаратрисы Г" (Г") и Г (Г ) совпадают. В данном случае эти линии носят вспомогательный характер и не являются бифуркационными.

На бифуркационной кривой L\_ (Ь +) имеем гомоклинические структуры с квадратичным касанием сепаратрис W и W/ «изнутри» («извне»), см. рис. 4.2a (4.2b). На бифуркационной кривой L _ (L 2+) имеют место гомоклинические структуры с квадратичным касанием сепаратрис Wf и Wts «изнутри» («извне»), см. рис. 4.2c (4.2d).

Бифуркационные кривые L4+ (Lf+) и LA_ (Lf_) соответствуют квадратичным касаниям неустойчивой W (И7 ) и устойчивой Wf (W/) сепаратрис при расщеплении нижней (верхней) «большой» петли. На кривых L4+ и Щ+ имеем касание «извне» (см. рис. 4.2e), на кривых L4_ и Lf_ - «изнутри» (см. рис. 4.2f). Двойные квадратичные гомоклинические касания имеют место в точках a, b, c, d, e (см. рис. 4.2g, h, i, j, k), а также в точках b , c , e на бифуркационной диаграмме.

Полученные бифуркационные кривые выделяют на плоскости параметров (PiiPz) четыре гомоклинические зоны: в областях, ограниченных линиями L\_ и L 2+, ї 2_ и L +, L4+ и L4_, Lf+ и L _, имеет место трансверсальное пересечение сепаратрис W/ и И7,", Wf и W", Wf и И7,", W/ и Wf соответственно. Все эти гомоклинические зоны пересекаются в области, ограниченной отрезками бифуркационных кривых, соединяющих точки a, e, d, e . В этой области каждая ветвь устойчивой сепаратрисы пересекается трансверсально с обеими ветвями неустойчивой сепаратрисы. Для значений параметров из области, полученной в результате пересечения двух гомоклинических зон и ограниченной отрезками бифуркационных кривых, соединяющих точки а, 6, е (с, d, е), имеют место две гомоклиники: W/ f) W ф 0 (Wts f] Wf ф 0) и W/5 Р И7," т 0. В симметричных им (относительно оси pi) областях имеем Wts f] Wf ф 0 (W/ Р И7," т 0) и Wrs P Wf1 ф 0.

Отметим, что в работе [76] выделено два типа границ гомоклинических зон. Границы Морса-Смейла соответствуют существованию гомоклинического касания «изнутри» (L 2_, L2_, L4_ и Lf_ в нашем случае). Такие границы отделяют области с простой динамикой от областей со сложным поведением траекторий. Другой тип границ соответствует существованию гомоклинического касания «извне» (L 2+, L +, L4+ и Щ+ в нашем случае). В этом случае переход от простой динамики к сложной происходит еще до момента возникновения негрубой гомоклинической кривой.

Наибольший интерес при исследовании гомоклинических бифуркаций вызывают гомоклинические зоны, границы L4+ (Lf+) и L4_ (Lf_) которых представляют собой негладкие кривые. Подробное описание структуры таких границ приведено в работе [76]. В этой работе также отмечалась универсальность такой структуры в системах с «восьмеркой». Следуя [76], покажем, как устроена бифуркационная диаграмма для отображения Пуанкаре, порожденного уравнением (4.1.2), внутри указанных гомоклинических зон. Для этого выделим фрагмент интересующей нас области на плоскости параметров (рі,р2): р\ Є [0.686,0.9], р2 Є [—0.4,0.4]. С помощью программы WInSet, изменяя параметры Р\ и р2 определенным образом, находим гомоклинические структуры с касанием сепаратрис Wts и И7,", а также W/ и Wf. В результате получаем расслоение рассматриваемой области на кривые с различными типами гомоклинического касания (см. рис. 4.4, а также его увеличенный фрагмент на рис. 4.5; эти кривые отмечены разным цветом).

Как показано на рис. 4.4, каждая из граничных кривых изучаемых гомоклинических зон на самом деле образована двумя бифуркационными кривыми Pi

Структура бифуркационной диаграммы внутри гомоклинических зон, ограниченных кривыми L4+ (Щ+) и L4_ (Щ_). Бифуркационные кривые, соответствующие касанию сепаратрис Wf и W (W/ и W"), обозначены сплошными (пунктирными) линиями. Разным цветом показаны бифуркационные кривые с различными типами гомоклинического касания. с различными квадратичными гомоклиническими касаниями. Точки трансвер-сального пересечения этих кривых - точки, в которых нарушается гладкость кривых L4+, L4_, Lf+ и Lf_, - соответствуют двойным квадратичным гомо-клиническим касаниям. После пересечения эти кривые продолжаются внутрь гомоклинической зоны и заканчиваются в некоторых точках кубического гомоклинического касания. Как установлено в [76], кривые L4+ (Щ+) и L4_ (Lf_) имеют бесконечное число ступенек (интервалов гладкости), точками накопления которых служат расположенные на оси р\ точки aиd соответственно, отвечающие двойным квадратичным гомоклиническим касаниям.