Эволюционные задачи с нелипшицевыми нелинейностями Зубелевич Олег Эдуардович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Предварительные сведения из теории локально выпук лых пространств 17

1. Определения и примеры 17

2. Метризуемые пространства 20

3. Теорема Шаудера — Тихонова в метризуемом пространстве 22

4. Компакты в метризуемых пространствах 24

5. Теорема Шаудера — Тихонова в задачах с параметрами 25

6. Шкалы банаховых пространств 27

7. Приложения к некоторым шкалам аналитических функций 30

Глава II. Абстрактная задача Коши — Ковалевской 34

8. Введение 34

9. Основная теорема 39

10. Доказательство основной теоремы 41

Глава III. Абстрактные параболические уравнения 46

11. Введение 46

12. Основная теорема 47

13. Сведения из функционального анализа 51

14. Доказательство теоремы 12.1 53

15. Приложения 61

Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелип шицевой правой частью 71

16. Введение 71

17. Основная теорема 73

18. Уравнение переноса 75

19. Пример 77

20. Доказательство теоремы 17.1 78

ГлаваV. Мажорантный метод 81

21. Пространства Фреше с базисом Шаудера 81

22. Компактные множества в пространствах Фреше с базисом Шаудера 86

23. Неподвижные точки отображений: мажорантный метод 89

24. Дифференциальные уравнения в пространствах Фреше 90

25. Другая версия мажорантного метода 94

26. Основные теоремы 94

27. Приложения 97

28. Доказательство основных теорем 102

29. Конечномерный случай 105

Глава VI. Об одном приложении мажорантного метода 107

30. Описание метода непрерывного усреднения 107

31. Мажоранты 111

32. Усреднение быстрой фазы 113

33. Аналитические свойства усредняющей процедуры 117

Заключение 127

Литература

• Теорема Шаудера — Тихонова в метризуемом пространстве
• Доказательство основной теоремы
• Сведения из функционального анализа
• Неподвижные точки отображений: мажорантный метод

Введение к работе

Актуальность темы.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений имеются две классические теоремы существования: теорема Коши для уравнений с липшицевой правой частью и теорема Пеано для уравнений, в которых правая часть лишь непрерывна. Теорема Коши основана на принципе сжимающих отображений и дословно обобщается на бесконечномерный случай. Теорема Пеано основана на компактности шара в Rⁿ и в бесконечномерных пространствах, вообще говоря, неверна¹.

Таким образом, возникает вопрос о нахождении условий, при которых имеют решения эволюционные задачи с нелипшицевой правой частью. Первые результаты в этом направлении были получены В.М. Миллионщиковым ². Он доказал теорему существования для задачи Коши в локально выпуклом пространстве. Правая часть этой задачи является суммой равномерно липшицева и компактного отображений.

Одним из источников уравнений в локально выпуклых пространствах является абстрактная теория задачи Коши–Ковалевской в шкалах банаховых пространств, построенная в работах Л. В. Овсянникова³, Л. Ниренберга ⁴, Т. Нишиды ⁵, И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова ⁶, T. Яманаки ⁷, Ж. Ф. Трева ⁸. В этих работах рассматриваются задачи с липшицевой правой частью специального вида и получены теоремы существования и единственности. Липшицевость в этих задачах не является равномерной, поэтому данные результаты не вытекают из работ

¹Годунов А.Н. Теорема Пеано в банаховых пространствах.// Функц. анализ и его прилож. — 1974. — No 9, Вып.1 — C. 59-60, Dieudonne J. Deux exemples singuliers d’equations differentielles// Acta. Scien. Math. (Szeged)

— 1950. — No 12 — P. 38-40, Yorke J. A. A continuous differential equation in Hilbert space without existence//
Funkcjalaj Ekvacioj — 1970. — No 13 — P. 19-21.

²Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах// Математический сборник — 1962. — No 4, т. 59(99) — C. 385-406.

³Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств.// ДАН — 1965. — 163 — C. 819-822.

⁴Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.:Мир, 1977, Nirenberg L. An abstract form of the nonlinear Cauchy — Kowalewski theorem// J. Differential Geometry — 1972. — 6 — P. 561-576.

⁵Nishida T. A Note On A Theorem Of Nirenberg// J. Differential Geometry — 1977. — 12 — P. 629-633.

⁶Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. — M.:Гостехиздат, 1958.

⁷Yamanaka T. Note on Kowalevskaja’s system of partial differential equations// Comment. Math. Univ. St. Paul.

— 1960. — No 9 — P. 7-10.
⁸Treves J.F. Ovsjannikov theorem and hyperdifferential operators// Notas Mat.,Mimeographed notes — 1968. —

46,1 — 238.

Миллионщикова.

Развёрнутое исследование корректности различных линейных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в шкалах банаховых пространств аналитических функций содержится в работе Ю.А. Дубинского ⁹.

Результаты Ниренберга и Нишиды основаны на быстро сходящемся итерационном методе ньютоновского типа, и в идейном отношении берут свое начало от работ А.Н. Колмогорова ¹⁰ и Ю. Мозера ¹¹.

М.В. Сафонов в своей работе ¹² упростил доказательство Нишиды и показал, что абстрактная теорема Коши–Ковалевской может быть получена с помощью принципа сжимающих отображений в подходящем метрическом пространстве. Этот результат устанавливает аналогию между теорией задачи Коши–Ковалевской и теорией обыкновенных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве. Для полной параллельности этих теорий не хватает теоремы типа Пе-ано для задачи Коши–Ковалевской. Решению этой давно стоящей задачи посвящена одна из глав диссертационной работы.

В диссертационной работе построены два метода получения теорем существования решения эволюционных задач с нелипшицевой нелинейностью.

Первым методом доказываются теоремы существования для эволюционных задач с нелипшицевой правой частью в шкалах банаховых пространств с компактными вложениями. Такие шкалы порождают локально выпуклые пространства со свойством Монтеля. С помощью данного метода доказана теорема, дающая ответ на давно стоящий вопрос об обобщении классической теоремы Коши–Ковалевской в части существования, а также теорема, обобщающая результаты А.Н. Карвальо ¹³ и Ф. Дикштейна ¹⁴.

⁹Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной плоскости. — Издательство МЭИ, 1996.

¹⁰Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона// ДАН — 1954. — No 4, B.98 — C. 527-530.

¹¹Moser J. A rapidly convergent iteration method and nonlinear partial differential equations/ I,II // Ann. Scuola Norm. Sup. Piza — 1966. — 20 — P. 265-315, P. 499-535.

¹²Safonov M.V. The Abstract Cauchy — Kovalevskaya Theorem in a Weighted Banah Space// Сommunications on Pure and Applied Mathmatics — 1995. — V. 48 — P. 629-643.

¹³Carvalho A.N., Cholewa J.W., Dlotko T. Abstract parabolic problems in ordered Banach spaces// Colloq. Math. — 2001. — No 90 — P. 1-17.

¹⁴Dickstein F. On semilinear parabolic problems with non-Lipschitz nonlinearities// Mat. Contemp. — 2000. — V. 18 — P. 111-121.

Второй метод представляет собой обобщение классического мажорантного метода Коши–Вейерштрасса–Ковалевской, использовавшегося при доказательстве классической теоремы Коши–Ковалевской. Данный метод позволяет не только получать теоремы существования в задачах с нелипшицевой правой частью, но и находить эффективные оценки времени существования решения для уравнений в частных производных типа Коши–Ковалевской. Основным приложением данного метода является система уравнений метода непрерывного усреднения Д.В. Трещёва, которая представляет собой счётную систему дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, данный метод позволил обобщить результаты П. Волкмана ¹⁵, Р. Уля ¹⁶, М. Мюллера ¹⁷. С помощью данного метода решена давно стоящая задача о получении новых глобальных по времени теорем существования для уравнения Смолуховского. Также доказана общая теорема существования периодических решений и, как следствие, получен ответ на до сих пор не решенный вопрос о существовании периодических решений уравнения Смолуховского. В рамках данного метода получена теорема о равномерной непрерывности одного класса операторов на пространстве Фреше, которая обобщает результаты Линденштраусса и Цафрири ¹⁸.

Оба метода позволяют получать теоремы существования не только для дифференциальных, но и для функционально-дифференциальных уравнений; в частности, для уравнения типа Блэка–Шолза ¹⁹.

Цель и задачи исследования.

Основной целью работы является получение общих методов для доказательства теорем существования решений и эффективных оценок времени существования решений в эволюционных задачах с нелипшицевыми нелинейностями. А именно:

¹⁵P. Volkmann, Ausdehnung eines Satzes von Max Muller auf unendliche Systeme von gewohnlichen Differentialgleichungen. Funkcial. Ekvac. 21 (1978), no. 2, 81-96. ¹⁶R. Uhl An Extension of Max Muller’s Theorem to Differential Equations in Ordered Banach Spaces. Funkcialaj

Ekvacioj, 39 (1996) 203-216.

¹⁷M. Muller Uber das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen, Math. Z., 26

(1927), 551-559.

¹⁸Lindenstrauss J., Lior Tzafriri. Classical Banach Spaces I. — New York, 1977.

¹⁹Barles Guy, Halil Mete Soner. Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black-Scholes equation // Finance Stochast. — 1998. — No 2 — P. 369–397.

получить аналог теоремы Пеано для абстрактной задачи Коши–Ковалевской в нелипшицевой постановке;

получить теорему существования для абстрактного квазилинейного параболического уравнения с нелипшицевой нелинейностью в шкале банаховых пространств;

обобщить мажорантный метод Вейерштрасса–Ковалевской на системы счётного числа дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах;

применить мажорантный метод для получения неулучшаемых оценок времени существования решения в пространствах Фреше с базисом Шаудера и построить классы систем, для которых решение существует;

доказать теорему существования решений для системы уравнений метода непрерывного усреднения;

получить теорему существования и эффективные оценки времени существования решения в уравнении Смолуховского.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы действительного, комплексного и функционального анализа, теории меры, теории пространств Соболева, а также методы, разработанные автором.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и соcтоят в следующем:

доказан аналог теоремы Пеано для абстрактной задачи Коши–Ковалевской в нелипшицевой постановке;

доказана теорема существования для абстрактного квазилинейного параболического уравнения с нелипшицевой нелинейностью в шкале банаховых пространств; обобщены результаты А.Н. Карвальо;

мажорантный метод Вейерштрасса–Ковалевской обобщён на системы счётного числа дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах; в частности, получено обобщение результатов Волкмана, Уля, Мюллера, а также обобщение результата Линденштраусса и Цафрири о равномерной непрерывности одного диагонального оператора в пространстве Фреше с базисом Шаудера;

с помощью мажорантного метода получены неулучшаемые оценки времени существования решения в пространствах Фреше с базисом Шаудера и построены классы систем, для которых решение существует;

доказана теорема существования решений для системы уравнений метода непрерывного усреднения;

получена теорема существования и эффективные оценки времени существования решения в уравнении Смолуховского.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории функционально-дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах.

Результаты диссертации могут найти применение в научных исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Математическом институте им. Стеклова, Московском энергетическом институте, Воронежском Государственном Университете.

Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов высших учебных заведений и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация диссертации.

Результаты диссертационной работы неоднократно излагались на следующих семинарах:

в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН под руководством ака
демика РАН С. М. Никольского,чл.-корр. РАН О.В. Бесова и чл.-корр. РАН

Л. Д. Кудрявцева (2005);

на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова

под руководством профессора М. И. Вишика (2004),

под руководством профессора В. А. Кондратьева (неоднократно 2003–2004);

под руководством академика РАН В. В. Козлова и чл.-корр. РАН Д. В. Тре-щева (неоднократно 1997–2015);

под руководством профессора Е. В. Радкевича , профессора В.В. Жикова, профессора Т.А. Шапошниковой, профессора А.С. Шамаева (неоднократно 1997–2015);

на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессоров И.В. Асташовой, А.В. Боровских, Н.Х. Розова, И.Н. Сергеева (2014),

на семинаре под руководством академика РАН, профессора В. А. Садовни-чего (2015);

на семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ под руководством профессора А. В. Фурсикова (2015)

на семинаре факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН В. А. Ильина и академика РАН Е.И. Моисеева (2005);

на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством профессора А. Л. Скубачевского (неоднократно 2003–2008);

на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством профессора Ю. А. Дубинского (неоднократно 1997–2015) .

Результаты диссертации также докладывались на всероссийских и международных научных конференциях:

конференции по дифференциальным уравнениям «Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of Vladimir Lazutkin», посвящённая памяти В.Ф. Лазуткина (18-20 августа 2002, Санкт-Петербург) – полученные результаты опубликованы в сборнике трудов конференции;

4-й международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям «DFDE–2005» (июнь 2005, Москва) – полученные результаты опубликованы в сборнике тезисов конференции;

международной конференции «Математическая теория управления и механика» (1-5 июля 2011, Суздаль) – полученные результаты опубликованы в сборнике тезисов конференции;

международной конференции «Научное наследие Владимира Михайловича Миллионщикова» (19 декабря 2014, Москва)

Материалы диссертации были использованы в курсе "Математические методы механики сплошной среды прочитанном автором в 2006/2007 учебном году в Российском университете дружбы народов.

В осеннем семестре 2007/2008 года в Научно-образовательном центре Математического института им. В. А. Стеклова РАН по материалам диссертации автором был прочитан курс "Функциональные методы в нелинейных задачах математической физики".

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах автора [1–18], 16 из которых входят в список изданий, рекомендованных ВАК. В работе [8], написанной совместно с Д.В. Трещевым, автору диссертации принадлежит глава, посвященная теоретико-функциональным вопросам, а также доказательство ряда теорем существования, содержащихся в главе о методе непрерывного усреднения. В работе [9], написанной совместно с Д.В. Трещевым, автору диссертации принадлежат определение обобщенного решения системы уравнений Лагранжа и доказательство корректности соответствующей задачи Коши для системы уравнений Лагранжа с неинтегрируемыми связями.

Структура и объем работы.

Теорема Шаудера — Тихонова в метризуемом пространстве

Пусть О {В R)- пространство голоморфных функций и : BR -+ С. Введем в этом пространстве локально выпуклую топологию с помощью полунорм \\и\\к = тах2Єх \u(z)\, где К С BR произвольный компакт. Такая топология называется топологией компактной сходимости.

Пример 1.2. Рассмотрим семейство нормированных пространств {Еф,\\ф}, занумерованных индексом ф из некоторого множества Ф. Напомним, что прямым произведением ПіЛєФ Е-ф называется пространство отображений и : Ф — LLG таких, что и(ф) Є .

Предположим, что в каждом из пространств Еф задан компакт Кф. Тогда по теореме Тихонова [51] множество ПІЛЄФ ф компактно в ГХЛЄФ Еф. Рассмотрим два локально выпуклых пространства (Х,{-4 ЄФ), (УЛІ-кЬєг) и линейный оператор Определение 1.5. Линейный оператор А называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные. Линейный оератор А называется компактным, если он переводит ограниченные множества в относительно компактные.

Предложение 1.1. Линейный оператор A:X Y непрерывен тогда и только тогда, когда для любого 7 Є Г найдутся гр Є Ф и константа с такие, что для любого х Є X имеет место следующая оценка

\Ах\у с\\х\\ф. Из этого утверждения следует, в частности, что всякий непрерывный оператор ограничен. Oбратное, вообще говоря, неверно. Локально выпуклое пространство, каждое ограниченное линейное отображение которого непрерывно, называется борнологическим.

Предложение 1.2 ( [27]). Пусть Е - векторное пространство, и v1 для каждого индекса 7 Є Г есть его линейное отображение в локально выпуклое пространство Е1, причем Pkerv7 = {0}. 7ЄГ Тогда в Е существует слабейшая топология, в которой все г?7 непрерывны; пространство Е, наделенное этой топологией, локально выпукло.

Если V7 - базис абсолютно выпуклых окрестностей1 в Еу, то всевозможные конечные пересечения множеств v 1{V1): Ут є VT образуют базис абсолютно выпуклых окрестностей этой топологии в Е. В этом случае говорят, что Е является проективным пределом пространств Е1 относительно отображений v7.

Важным подклассом локально выпуклых пространств являются метризуемые локально выпуклые пространства. Это пространства, в которых топология может быть эквивалентным образом задана с помощью метрики. Этим свойством обладают те и только те локально выпуклые пространства, которые имеют счетный базис выпуклых окрестностей нуля, или эквивалентно, топология в которых может быть задана с счетным набором полунорм. Если у нас имеется локально выпуклое пространство Е со счетным набором полунорм { fc, к Є N}, то одна из возможных метрик, задающих топологию, вычисляется по формуле: оо d(x,y) = 2 тіп{1,\\х -у\\к}. к=і Важно отметить, что не всякое локально выпуклое пространство метризуе-мо. Проверим, что пространство примера 1.2, вообще говоря, не является мет-ризуемым. Множество V называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и и из того, что х Є V, следует, что Хх Є V при всех А, А 1 . Действительно, пусть, например, ЕФ=Ж при всех гр Є Ф = [0, 2тг]. Последовательность функций {sinr#}neN (I.1) содержится во множестве К = [-1,1][ 2 С М[0 Н По теореме Тихонова множество К компактно в топологии поточечной сходимости. Если бы пространство Ш было метризуемо, то последовательность (I.1) содержала бы сходящуюся подпоследовательность. Покажем, что это не так. От противного, пусть найдется подпоследовательность Ui(tp) = sinn , которая поточечно сходится к функции f(tp). Но тогда, по теореме Лебега [16] иг /вЬ2[0,27т]. Рассмотрим тождество IK - f\\b[0,2n] = ІНІ2[0,2,г] " 2(Ui J)Щ0,2п] + \\f\\h[0,2,] Поскольку w, 2[02 = 7Г, и по свойствам коэффициентов Фурье

получаем противоречие.

Этот пример показывает, в частности, что в случае неметризуемых пространств "языка последовательностей"недостаточно для описания топологических объектов.

Однако, если предположить, что количество сомножителей в прямом произведении счетно, т.е. Ф = N, то пространство ПА М- метризуемо. Метрика задается формулой

Определение 2.1. Локально выпуклое пространство Е называется пространством Фреше, если оно метризуемо и каждая последовательность Коши в нем имеет предел. В метризуемом пространстве топологические понятия можно формулировать в терминах сходящихся последовательностей. Определение 2.2. Говорят, что последовательность хп сходится к ж, если \\хп - х\\к - 0 при любом fceN. Последовательность {хп} называется последовательностью Коши, если для любого keN выполнено \\хт - Xj\\k -+ 0, т, j -+ оо. Легко видеть, что последовательность хп сходится к х тогда и только тогда, когдафп,ж)-Ю.

Свойство последовательности сходиться или быть последовательностью Коши не зависит от выбора системы полунорм в метризуемом пространстве. Действительно, пусть кроме системы полунорм { \\к} в Е имеется еще система полунорм { п}, и эти полунормы задают в Е одну и ту же топологию. Тогда тождественный оператор id : (Е,{\\ \\к}) -+ (Е, { п}) является линейным гомеоморфизмом, и независимость уакзанных свойств последовательности вытекает из предложения 1.1.

Предложение 2.1. В метризуемом пространстве Е множество К С Е компактно тогда и только тогда, когда всякая последовательность из К содержит подпоследовательность, которая сходится к элементу К.

Доказательство основной теоремы

Этот раздел посвящен квазилинейным параболическим уравнениям с нелипши-цевыми нелинейностями. В классической постановке квазилинейная начальная параболическая задача ставится следующим образом: ut = f{t,u,Vku)+Au, u\t=o = u. (III.1) Здесь А - линейный эллиптический оператор порядка п, а член Vku обозначает производные функции и до порядка к включительно. Кроме того, к уравнению (III.1) нужно добавить граничные условия.

Если функция и принадлежит подходящему пространству, отображение / является липшицевым (в некотором смысле) и к п, то задача (III.1) имеет единственное локальное по времени решение. Это легко выводится при помощи принципа сжимающих отображений.

Мы рассматриваем случай, когда функция / не является липшицевой. Хорошо известно (см. [4,47,93]), что в общем случае бесконечномерного банахового пространства начальная задача для дифференциального уравнения с нелип-шицевой правой частью не имеет решений. Тем не менее, начальная задача, как правило, ставится не в одном банаховом пространстве, а в шкале таких пространств. Более того, пространства в шкале вполне непрерывно вложены. Таковы, например, шкала соболевских пространств, шкала пространств анали тических функций. Это подсказывает нам, что искать решение надо, изучая задачу во всей шкале.

Отметим еще одно свойство уравнений вида (III.1). Если мы опустим предположение о липшицевости /, то получим класс систем, для которых теорема существования справедлива даже в случае к п. Системы такого типа остаются параболическими (в некотором обобщенном смысле).

Этот эффект имеет место не только для параболических уравнений. Если рассмотреть задачу Коши — Ковалевской в нелипшицевой постановке (см. [94]), то найдутся такие уравнения, что порядок производных в их правой части выше, чем в левой, а решение тем не менее существует.

Такие задачи относятся не к теории классических уравнений в частных производных, а к теории функционально-дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с нелокальными членами.

Основные методы исследования, применяемые в данной работе, - это теорема Шаудера о неподвижной точке для локально выпуклых пространств и теория шкал банаховых пространств. Другие подходы к абстрактным параболическим задачам в липшицевой постановке можно найти в [37,45].

При выполнении условия (III.6) мы будем говорить, что оператор А является генератором полугруппы Sf и писать Sf = eAt. Пусть задача (III.7) -(III.8) - параболическая. Тогда существует такая постоянная Т 0, что эта задача имеет решение u(t) Є Е1 ), и для любой постоянной с Є (0,1) справедливо соотношение 1Н )1&/7 0 при t\0. (III.10) Функция u(t) удовлетворяет также и уравнению (III.5). Пусть задача (III.5) - параболическая. Тогда существует такая постоянная Т 0, что эта задача имеет решение u(t) Є Е(ТЛ. Замечание 12.2. Опишем неформально роль теоремы 5.1 в данной теории. Предположим, что правые части уравнений (III.5,III.7) непрерывно зависит от параметра р, принадлежащего некоторому польскому пространству. Поскольку в конечном счете доказательство теоремы 12.1 основано на теореме Шаудера - Тихонова, то в силу теоремы 5.1 мы можем утверждать, что существует решение и = u(t,p), являющееся измеримым по Борелю относительно второго аргуметна. Теорема 12.1 доказывается в разделах 13 и 14. Затем, чтобы продемонстрировать эффект, о котором говорилось во введении, теорема 12.1 применяется к нелокальным параболическим задачам. Чтобы сравнить наш результат с результатами, полученными ранее, мы также рассматриваем уравнение Навье - Стокса. Если А - это классический оператор Лапласа, а параболическое уравнение рассматривается в подходящей области, то 7 = 2, а неравенство из формулы (III.9) принимает вид 0 s2 т. Отметим, что, если Gs = Es = Mm, f = , s 0, А = 0, то теорема 12.1 обобщает классическую теорему Пеано на случай, когда правая часть уравнения удовлетворяет (III.4) с s =

Сведения из функционального анализа

Рассмотрим множества Кп = Рп{Ки). Образ Рп(Х) является конечномерным пространством Cn+1. Множества Кп С Рп(Х) замкнуты в силу замечания 21.1, и в силу непрерывности проекторов - ограничены. Следовательно, множества Кп компактны.

Зафиксируем є 0 и номер і. И пусть и - любой элемент из Ки. Введем обозначения Qn = idx - Рп. Представим Qnu в виде Qnu = MxQnU. Так же, как и выше, в силу теоремы 21.1 найдется константа с 0 и номер г (обе величины не зависят от п и U) такие, что \\Qnu\U = MAQnC/i cWQnUy. (V.4) В силу сходимости ряда (V.3) номер п выберем таким, что c\\QnU\\t/ є/2. Значит, по формуле (V.4) имеем Сформулируем условия, при которых компактное множество обладает мажорантной функцией. Эти условия в некотором смысле обращают теорему 22.1. Мы будем рассматривать пространство X над полем действительных чисел, на комплексный случай наши рассуждения обобщаются с помощью операции овеществления [17]. Пусть U = 2_] Uk k) V = 2_\ Vk&k Є X. keZ+ keZ+ Тогда по определению положим uWv=J2 max{uk,vk}ek. keZ+ Этот ряд, вообще говоря, может оказаться и расходящимся. Теорема 22.2. Пусть множество К а X компактно, уравновешено г и вместе с любыми своими элементами u v оно содержит и элемент и V v. Тогда найдется такой элемент U Є К, что К С Ки.

Пусть, например, X - гильбертово пространство с ортонормированным базисом {ек}. Легко видеть, что компакт {вк/л/к} не содержится ни в каком Кц. Доказательство теоремы 22.2. Введем в К отношение частичного порядка: какая-нибудь цепь в К. Из непрерывности функционалов е вытекает, что для каждого к выполнено supb{ubk} со, поэтому каждая цепь {щк}, будучи одновременно и направленностью, имеет предел Множество А называется уравновешеным, если вместе с любым элементом а оно содержит и Да, А 1.

Множество называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешено. В силу теоремы Банаха - Штейнгауза [30] линейные операторы idx - Рп равномерно сходятся к нулю на компакте К. Т.е. для любого і имеем

Следовательно, направленность {щ} сходится в топологии X, и ее предел лежит в К. Очевидно, этот предел является верхней гранью для {щ}.

Таким образом, по лемме Цорна множество К содержит максимальный элемент. Обозначим его U. В силу равенства U У и = U этот элемент сравним с любым и Є К. Для завершения доказательство остается заметить, что т. к. w, — и - /, то и U. Теорема доказана. В этом разделе мы сформулируем и докажем одну модельную теорему. Эта теорема иллюстрирует один из возможных путей обобщения метода мажорантных оценок, использованного СВ. Ковалевской при доказательстве ее знаменитой теоремы существования аналитических решений уравнений в частных производных.

Отметим, что классическая теорема Коши - Ковалевской в части существования следует из теоремы 23.1 как частный случай. Мы не будем на этом останавливаться, поскольку в главе VI мажорантный метод будет рассмотрен в более сложной ситуации.

На замкнутом выпуклом множестве D С X рассмотрим непрерывное отображение / : D —X. Определение 23.1. Будем говорить, что отображение F : D -+ X мажорирует /, и писать f F, если из того, что и v, следует, что f(u) F(v). Теорема 23.1. Пусть f «С F. Предположим, что существует элемент U такой, что F(U) С/, КцС D. (V.7) Тогда отображение f имеет неподвижную точку w Є Kv: f(w) = w. В ряде случаев мажорантное отображение F удается подобрать таким образом, что неравенство (V.7) легко решается, и мы находим элемент U. Тогда по теореме 23.1 неподвижная точка w отображения / существует, и мы даже получаем оценку для элемента w.

Доказательство теоремы 23.1 Легко видеть, что множество Ки выпукло и, по теореме 22.1, компактно.

Пусть и Є Ки тогда f(u) «С F(U) «С U, т. е. f{Kv) С Ки. По теореме Шаудера - Тихонова отображение / имеет неподвижную точку. Теорема 23.1 доказана. 24. Дифференциальные уравнения в пространствах Фреше

Как уже отмечалось в главе II, дифференциальные уравнения с нелипшицевой правой частью, вообще говоря, не имеют решений в бесконечномерном банаховом пространстве.

В работе [65] имеется ряд примеров и общих теорем о несуществовании решений нелипшицивых уравнений в локально выпуклых пространствах. В частности, там рассматриваются пространства последовательностей c различными системами полунорм. В этих пространствах строятся примеры несуществования, обобщающие задачу (II.2).

Однако, в пространствах с базисом Шаудера можно не только получать конструктивные результаты о существовании решений, но и эффективно оценивать промежуток времени, на котором решение определено. Мы приведем несколько примеров такого сорта, используя нелинейность типа задачи (II.2). Обозначим через (X, { ,}), j Є N пространство Фреше с безусловным базисом Шаудера {еп}пе . Это пространство состоит из элементов х = 2кещХкек. В частности, в качестве X можно брать Со, 1Т„ 1 р оо или пространства, перечисленные в начале этой главы. Пример 24.1. Рассмотрим следующую задачу

Неподвижные точки отображений: мажорантный метод

Многие физические модели представляются системами обыкновенных дифференциальных уравнений, которые содержат угловые переменные, меняющиеся значительно быстрее, чем остальные переменные, входящие в задачу. Принимая быструю фазу за новое время, мы можем переписать уравнения в следующем виде: здесь М - m-мерное фазовое пространство системы, а є - малый параметр. Этот параметр соответствует отношению типичного изменения медленной переменной к типичному изменению быстрой переменной. Векторное поле v считается гладким и зависит от времени 27г-периодически.

Хорошо известно, что заменой переменных можно ослабить зависимость в (VI.16) от времени.В частности, используя стандартный метод усреднения (см. например, [2]), легко построить 27г-периодическую по t замену переменных z н- z такую, что уравнения (VI.16) примут форму Здесь от t в правой части зависит только член порядка ev = 0(єк). Натуральное число К произвольно, и - среднее по времени от функции i)(z,t, 0). Теперь предположим, что функции -й зависят аналитически от фазовых переменных. Пуанкаре заметил, что в этом случае степенные ряды по малому параметру, представляющие замену переменных, которая убирает t из уравнений, формально существуют , но расходятся: коэффициенты при єк в этих рядах имеют порядок к\. В общем случае этот факт был доказан в работе [79].

Нейштадт [24,38] заметил, что в случае аналитической зависимости от фазовых переменных функции v в (VI.17) можно получить где а 0 - некоторая константа (параметр є считается неотрицательным). Таким образом, явная зависимость уравнений от времени может быть сделана экспоненциально малой. Метод, который использовал Нейштадт для доказательства этого утверждения, основан на большом (порядка І/є) числе последовательных замен переменных. Эти замены постепенно ослабляют зависимость уравнений от времени. Рамис и Шeфке [76] получили аналогичные результаты, анализируя расходящиеся ряды обычной теории возмущений.

Известно, что, вообще говоря, существует константа А а такая, что невозможно построить 27г-периодическую по t замену переменных

Это утверждение следует, например, из оценки величины расщепления сепаратрис в гамильтоновых системах типа (VI.16) с полутора степенями свободы. В этом разделе, следуя работе [84], мы получим реалистичные оценки “максимального” а, для которого оценка (VI.18) возможна. Пусть д - фазовый поток усредненной системы

Предположим, что многообразие М вещественно-аналитично. Зафиксируем его комплексную окрестность Мс. Пусть Q - компакт в М, и Уд С Мс - его комплексная окрестность. Например, можно положить, что М = М.т и Q -замыкание некоторой ограниченной области в Rm . Тогда естественно взять Мс = {z єСт :z = x + ia, ж є Мт, а є Мт, \а\ с} , VQ = {z єСт : = ж + 6, х GQ, 6єСт, 6 с} . Разумно предположить, что с мало. Предположим, что для любого действительного s Е(-а,а)и любой точки г Є VQ отображение gis аналитично в точке z, и более того, gis(z) Є Мс. Зададим множество

Теорема 32.1 выводится из теоремы 32.2. Это следует из следующего наблюдения. Усредняющая система, которую мы используем в доказательстве теоремы 32.2, определена независимо от окрестности V и точки z. Следовательно, отображения /, которые мы строим в теореме 32.2, склеиваются друг с другом и дают отображение F. Мы можем положить V = UzV (z), где z Є Q, и окрестности V (z) определены в теореме 32.2. Благодаря компактности Q, мы можем считать, что объединение берется по конечной системе окрестностей. Константа С в (VI.21) может быть взята максимальной среди констант С0, соответствующим множествам V (z) из этой системы.

Доказательство теоремы 32.2 основано на методе непрерывного усреднения. А именно, мы решаем задачу Коши (VI.8), где вместо иии пишем ev и ev: V6 = (v)t - [v,v], v\s=o = v(z,t,e). (VI.23) Оператор определяется так же, как и раньше. Пусть ф, ,М) = ( , М)еш. (ср. с (VI.11)). В соответствие с эвристическими рассуждениями, аналогичными тем, что приведены в разделе 30, можно надеяться, что система (VI.23)-(VI.24) действительно усредняет по t. Требуемая замена переменных соответствует значению 5 = а/є. Анализ решения системы (VI.23) на интервале 5 є [0,а/є] содержится в следующем разделе.

Замечание 32.1. В соответствие с определением, усредняющая процедура обладает следующим важным свойством. Предположим, что векторное поле v для каждых фиксированных t и є принадлежит некоторой подалгебре х в алгебре Ли всех векторных полей на М. Тогда для фиксированных t, є и 5 векторное поле v(z,t,e,6) тоже лежит в Х. Таким образом, диффеоморфизм f принадлежит соответствующей группе Ли. Более того, если v обратимо относительно некоторой инволюции I : М — М, то векторное поле v(z, t, є, 5) тоже I-обратимо. В частности, если начальное векторное поле і) - гамиль-тоново, то v = v(z,t,e,a/e) тоже гамильтоново, и соответствующая замена переменных F - симплектическая.