Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обобщенная система Коши-Римана с сингулярными и со сверхсингулярными многообразиями 32
1.1. Обобщенная система Коши-Римана со сверхсингулярными многообразиями 32
1.2. Интегральные представления и граничные задачи для обобщенной системы Коши-Римана со сверхсингулярной линией 58
1.3. Интегральные представления для обобщенной системы Коши-Римана с однородными коэффициентами и со сверх сингулярным многообразием 70
1.4. Представление многообразия решений и краевые задачи для системы Коши-Римана с одной сингулярной линией 74
1.5. Представление многообразия решений для системы Коши Римана с двумя сингулярными линиями 80
1.6. О некоторых фактах применения обобщенной системы Коши-Римана 90
Глава 2. Уравнения с оператором Бицадзе и с сильными особенностями в младших коэффициентах 93
. 2.1. Интегральные представления в случае различных корней определяющего уравнения 93
2.2.Интегральные представления в случае кратных корней определяющего уравнения 105
2.3. Интегральные представления в сингулярном случае для раз личных корней определяющего уравнения 106
2.5. Интегральные представления модельного уравнения 112
2.5. Интегральные представления эллиптической системы вто рого порядка с комплексно- сопряженной функцией 115
2.6. Граничные задачи 117
2.7 Поведение решений в особой точке 122
2.8. Граничные задачи для уравнения с оператором Бицадзе и с сверхсингулярной окружностью 124
Глава 3. Интегральные представления и граничные задачи для эллиптического уравнения третьего порядка с сильными особенностями в коэффициентах 130
3.1. Интегральные представления для уравнения третьего порядка в случае различных корней определяющего уравнения. 130
3.2. Случай, когда корни определяющего уравнения различные, но 0() = 0,0() = 0 и 0() = 0,0() = 0 139
3.3. Интегральные представления в случае кратных корней определяющего уравнения 142
3.4. Интегральное представление в случае сингулярной точки 147
3.5. Интегральные представления модельного уравнения 152
3.6. Интегральные представления эллиптической системы третьего порядка с комплексно- сопряженной неизвестной функцией 154
3.7. Граничные задачи. 158
Глава 4. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений высшего порядка с регулярными и сингулярными коэффициентами 160
4.1 Интегральное представление для уравнения с аналитически ми коэффициентами и его формула обращения 160
4.2 Граничные задачи для уравнения с аналитическими коэффициентами 163
4.3. Интегральные представления уравнения высокого порядка с сингулярным отрезком 167
4.4.Представление решений в виде рядов для уравнения высокого порядка с сингулярной линией 170
4.5. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса дифференциальных уравнений с сингулярным многообразием 176
4.6.Интегральные представления и граничные задачи для уравнения высокого порядка c сильными особенностями в начало координат 179
Список литературы
- Интегральные представления для обобщенной системы Коши-Римана с однородными коэффициентами и со сверх сингулярным многообразием
- Интегральные представления модельного уравнения
- Интегральное представление в случае сингулярной точки
- Граничные задачи для уравнения с аналитическими коэффициентами
Интегральные представления для обобщенной системы Коши-Римана с однородными коэффициентами и со сверх сингулярным многообразием
В частности, при = 0 уравнение (0.22) однозначно разрешимо. При 1 в зависимости от корней определяющего уравнения j и от значений о, о, в случаях аналогичных, рассмотренным в 3.1, задача интегрирования уравнения (0.20) сведена к интегральным уравнениям Фредгольма со слабой особенностью, к которым применима альтернатива Фредгольма.
В четвертый главе рассматривается уравнения и системы уравнений высокого порядка с оператором Коши-Римана с регулярными и сингулярными коэффициентами.
Пусть область содержит точку = 0 и ограничена простым ляпу-новским контуром = , ориентированным против часовой стрелки, = С \ -внешняя область по отношению области . В этой области рассмотрим уравнение n . ,п-1 , S , \--\[) г + ... + n() = (), (0.23) где коэффициенты k{) аналитичны в области и предполагается, что все корни = () определяющего уравнения n + \n l + ... + п = 0 однозначны в этой области, так что + j[) J = \ — \[) ... \ — n\) . (0.24) /_ j=l J У У КЛІ v л В этих предположениях найдем интегральное представление общего решения уравнения (0.23) через произвольных аналитических функций и выведем формулу его обращения.
В монографии И.Н.Векуа [11] найдено общее представление решений одного класса дифференциальных уравнений высшего порядка главной частью которого является оператор Лапласа степени , которая при = 2 встречается при изучении изгиба пластинок. а также в теории упругих пологих оболочек.
Общее представление регулярных решений однородного уравнения (0.25) при определенных ограничениях на коэффициенты указано в работе [15] В. И. Жегалова , а при общих предположениях найдено в работе [56] К. М. Расулова, где исследованы некоторые задачи типа линейного сопряжения для этой системы при = 2.
При = 2ио = і = = 0 уравнение (0.23) переходит в систему А. В. Бицадзе zz = 0, для которого однородная задача Дирихле имеет бесконечное число решений. В связи с этим в 4.2 изучим вопросы корректной постановки граничных задач типа Дирихле, Римана-Гильберта, линейного сопряжения в областях и .
Исходя из аналитических функций ъ . ..,n в (0.24), составим аналогичные (0.23) дифференциальные операторы ( \ ( \ k = — i . . . — к , 1 — 1. (25) Соответствующий оператор n, очевидно, совпадает с левой частью (0.23). Удобно также ввести обозначения k() = k(), к = ак( ак). (0.26) Теорема 4.1. Пусть () Є (), 2, и функции ь...,п Є (). Тогда любое решение = Є n l() уравнения (0.23), обобщенная производная которого n/n Є P(), однозначно представимо в рекуррентном виде k-i = акк + kk, 1 — 1, n-\ = апп + п, (0.27) где функции к Є () аналитичны в области и k = \. Рассмотрим уравнение (0.23) в области = С\ , предполагая, что в разложении (0.25) аналитические функции j однозначны и в окрестности бесконечнo удаленной точки удовлетворяют условию j() = (\\ ), 1 . (0.28) Обозначения (0.27) сохраняем неизменными с той разницей, что интегральный оператор понимается по отношению к области . В этом случае роль () играет введенное И.Н. Векуа( [10]) пространство pq( ) = P{ ) П q( ), 1 2 . Смысл его в том, что оператор ограничен pq( ) — ( ), где здесь и ниже ( ) означает пространство функций, ограниченных и непрерывных в замкнутой области . Легко видеть, что этот оператор также ограничен (q П )( ) — ( ).
Теорема 4.2. Пусть () Є pq( ), 1 2 , и аналитические функции j в разложении (0.24) непрерывны в и удовлетворяют условию (0.27). Тогда в обозначениях (0.26) любое решение = Є ( ) уравнения (0. 23), для которого /z Є ( П q)( ), 1 — 1, (0.28) однозначно представимо в рекуррентном виде (0.27) с аналитическими в функциями к Є ( ) и k = k. Рассмотрим теперь задачу линейного сопряжения для уравнение (0.23) предполагая выполненными для их коэффициентов условия теорем 4.1 и 4.2. Эту задачу естественно рассматривать в классе Гельдера функций , для которых k ТҐ , Є (), 0 — 1. (0.29) k Пусть ( ) означает класс ограниченных функций, принадлежащих классу Гельдера () на любом компакте С .
2. Задача линейного сопряжения. Найти решения уравнения (0.23) в областях и , соответственно, принадлежащих классам (0.29) и (0.28), где символ 0 надо заменить на , краевым условиям: (k\ (k\ , — k _, = к, 0 — 1. (0.30) zk k где ± означают соответствующие односторонние предельные значения на и k{),k Є (), причем k() Ф 0, Є , = l,. Пусть Indk - индекс Коши функции k, т.е. деленное на 2 приращение непрерывной ветви arg k на контуре . Теорема 4.4. Пусть в дополнение к условиям теоремы 4.1 и 4.2 функции j принадлежат в областях и классам Гельдера () и ( ) соответственно. Тогда задача (0.30) фредгольмова в рассматриваемых классах и ее индекс ае дается формулой ае = + Indi + ... + 1псп. Для уравнения (0.23) также исследованы задачи линейного сопряжения, граничные задачи типа Римана-Гильберта, смешанные задачи и задача Римана для полуплоскости.
Рассмотрим односвязную область , ограниченную гладким контуром , который пересекает (некасательно) вещественную прямую Im = 0 в двух точках 0 \. Пусть + и - части , лежащие, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях, и аналогичный смысл имеют области ±.
Интегральные представления модельного уравнения
1. В дальнейшем, если специально не оговорено, будем считать, что область содержит точку = 0 и ограничена простым ляпуновским контуром , ориентированным против часовой стрелки. В области рассмотрим систему () 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 -2+ - \ 2 2 2 п 2 2 ( 2 \\ 1—— Н—г ( i i - o o) = 4 1, (2.1.1о) n J 2n 2 2 2 І 2 І \ 2 \ ) + 1 + 2 2 дх п 2 \ ( 2 \\ 4 Н Ь— Н—г [ о + 2 і) = 4 о; п 2nU где \( , ) и 2( , ) - искомые функции, коэффициенты k{ , ), и k( , ) Є 1( \{0}), = 1,2 и ограниченные в начале координат, 0, = \ 2 + 2, k( , ) Є P( ), = 1,2 (где всюду в дальнейшем 2). Введем обозначения Ui(x,у) + іІІ2{х,у) = U(z), /і(ж,у) + і/2(ж,у) = f{z), z z2 а\(х,у) + іоь Лх у) = —am, ЬАх у) + іМж, у) = т— biz). \z\ \z\l Тогда система (2.1.1о) эквивалентна следующему уравнению с сверхсингулярной точкой с оператором Бицадзе: d2U za(z)dU z2b(z) „ +———h іrs = t(z), (2.1.1) OZ 7 n+1 /jy \z\ где a(z), &(z) - заданные комплекснозначные функции, причем a(z),6(z) Є Cl{G) П C{G). Такая форма записи системы (2.1.1о) имеет много преимуществ, поэтому в дальнейшем мы будем ею пользоваться.
Уравнение (2.1.1) при 0 п 1 называется уравнением со слабой особенностью, при п = 1 - уравнением с сингулярной точкой, а при п 1 - уравнением c сверхсингулярной точкой.
Объектом нашего исследования являются случаи, когда особая точка z = 0 является сингулярной (п = 1) и сверхсингулярной точкой (п 1). Случай п 1 также рассмотрен в диссертации, но здесь не приводится.
Как известно, любая эллиптическая система уравнений второго порядка с двумя искомыми функциями от двух переменных с постоянными коэффициентами приводится к одному из комплексных уравнений U% = О или U2 = 0 [78].
Класс, составляющий первое уравнение хорошо изучен, что нельзя утвердить про класс составляющий второе уравнение.
Еще в 1948 г. А.В. Бицадзе доказал некорректность постановки задачи Дирихле для уравнения U2 = 0, (в настоящее время его называют уравнением Бицадзе), которое в вещественном случае принимает вид U\xx - Щуу - 2U2xy = О, 2U\xy + U2XX — U2yy = 0. Действительно, непосредственной проверкой убеждаемся, что для любой круговой области G = {(х,у) : г R оо}, г = ух2 + у2 и при любом целом положительном т функции гт — )cos(m — 1)0, Rz rm y )sin(m — 1)6 Rz являются регулярными решениями этой системы, исчезающими на границе , т.е. однородная задача Дирихле имеет бесконечное множество решений (см. [4]). Это еще не означает, что нет правильно поставленных задач для этого уравнения.
Уравнение (2.1.1) в случае регулярных коэффициентов (т.е. в случае = 0) было исследовано А.В. Бицадзе [2,4] , Р.С. Саксом [58,59], Н.Е.Товмасяном [72] и другими. Существенный вклад в развитие общих эллиптических систем с регулярными и сингулярными коэффициентами внес А.П. Солдатов ( см., например, [62]- [64], [133]).
Важность исследования уравнения с главной частью 2 и с особенностями в коэффициентах было подчеркнуто еще в 80-х годах А.В. Бицадзе. Но исследование в случае 1 было связано некоторыми трудностями принципиального характера, особенно когда сингулярная точка является внутренней точкой рассматриваемой области.
Преодолевая эти трудности, построена обобщенная система решений уравнения (2.1.1) из класса непрерывных функций в случае обычной сингулярности ( = 1) и в сверхсингулярном случае ( 1), а также выяснены корректные постановки краевых задач для этого уравнения.
2. Под обобщенным решением уравнения (2.1.1) здесь понимается функция Є ( \{0}), имеющая первую производную по в обычном смысле и вторую обобщенную производную по , принадлежащую классу ( Є) для любого 0, где e = П {\ \ }. C (2.1.1) свяжем так называемое определяющее уравнение ( ) + ( ) ( ) + ( ) = 0, (2.1.2) имеющее своими корнями 2 i( ) = — { ) + \ 2( ) — 4 ( ); 2 г( ) = — ( ) — \ 2( ) — 4 ( ). Как показывает дальнейшее исследование, эти корни вместе со степенью сингулярности играют большую роль в формировании структуры решений уравнения (2.1.1). Предположим сначала, что ( 2 — 4 )( ) 0 всюду в замкнутой области и непрерывная ветвь корня л 2 — 4 фиксируется условием (л 2 — 4 )(0) = (0). В частности, корни і Ф i для всех Є . Кроме того, предположим, что г.—г\ [ ) — [0) Є M ), (0) = 0, (2.1.3) и в обозначениях одна из функций j( ) = \ \ n j( ), = 1,2, (2.1.4) функция \ аналитична в области . Смысл принятых предположений в том, что уравнение (2.1.1) можем переписать в форме ( \ ( \ TI 2 Г 1 = . (2.1.5) Убедимся далее, что QA ) = ,—T\ J{ ) — ЛО) Є [ ). (2.1.6) В самом деле, это утверждение достаточно установить в окрестности точки = 0. Поскольку по условию (л 2 — 4 — )( ) ф 0 всюду в некоторой окрестности нуля, то в этой окрестности A { ) (л/ 2 — 4 )( ) — ( ) + ( ) — (0) = — \- { ) — (0). {у 2 — 4 )( ) + { ) Так как = 1 2 и по предположению функция \ в (2.1.4) аналитична, то = l\ \n+l i 2 и, следовательно, с учетом (2.1.3) отсюда следует (2.1.6). Из (2.1.6) и теоремы 1.1 ( 1.1.п.3) следует, что сингулярный интеграл lj( ) = lim( oj)( ) є— 0 существует и представим в виде lj( ) = — ( ) j(0) + j( ) (2.1.7) с соответствующими функциями 2 ?(0) f 1 { ) = :г, ji j = ( o ji ) ——т , ( — l)\ \n L ( — 1) QQ \ \п — где j Є ( ), = 1,2. Вспоминая, что і(0) = 0 и г(0) = — (0), имеем соотношение ± 2а(0) z = (1), 2 z = (1) («- и 1 при — 0. (2.1.8) Всюду в дальнейшем, если не говорено противное 1. 3. Имеет место следующая Теорема 2.1. Пусть ( 2 — 4 )( ) 7 0 всюду в замкнутой области и непрерывная ветвь корня л 2 — 4 фиксируется условием (л 2 — 4 )(0) = (0); выполнено условие (2.1.3) и функция \ в (2.1.4) аналитична в области . Пусть кроме того Re (0) 0 и -a(0Mz) ( j є P( ), (2.1.9) так что функции В = Т(е TAi+i}2 и If B(t) — Biz) _Q „ F(z) = — (e 2j)U)d2t, z Є G, 7Г G t — Z принадлежат H(G). Тогда формула U = еТЛі[ф + Т(е ТЛі+П2ф) + F], (2.1.10) где функции ф, ф Є G(G\{0}) аналитичны в области G \ {0} и е 20 Є 1/(0), описывает некоторый класс решений уравнения (2.1.1). Обратное, любое решение U(z) Є C1(G\{0}) этого уравнение (2.1.1), для которого d\U Є LPi0C(G \ 0), при дополнительном предположение e 2(dz — A\(z))U Є C(G) представимо в виде (2.1.10), причем функции ф,ф Є G(G\{0}) восстанавливаются по формулам ф(г) = e Q2(dzU - Ai(z)U) + Т(е" 2/),
Интегральное представление в случае сингулярной точки
В настоящей главе для эллиптической системы третьего порядка с сильными особенностями в коэффициентах найдены интегральные представления решений, а также их формулы обращения. В формировании структуры этих решений играют большую роль степень сингулярности и так называемые корни определяющего уравнения, при различных значениях функций 0(),0()(функциональные соотношения между коэффициентами уравнения выраженные через корни определяющего уравнения). Полученные результаты дают возможность выяснить корректную постановку и исследовать граничные задачи типов Дирихле, Римана —Гильберта. Результаты данной главы опубликованы в работах [105], [107], [109], [118], [125], [127].
Интегральные представления для уравнения третьего порядка в случае различных корней определяющего уравнения.
1. Пусть – область, содержащая внутри точку = 0, и ограниченная простым ляпуновским контуром , ориентированным против часовой стрелки.
Как было подчеркнуто в [2], при исследовании первой краевой задачи для равномерно эллиптических уравнений и систем высокого четного порядка принципиальные трудности не встречаются. Однако существенно новые моменты по сравнению с эллиптическими системами второго порядка могут возникнуть лишь тогда, когда порядок входящих в систему уравнений является нечетными. Кроме того, аналогично уравнению Бицадзе 2 = 0 и для уравнения 3 = 0 однородная задача Дирихле в круге имеет бесконечно число линейно независимых решений. Поэтому, важность выяснение корректной постановки краевых задач для уравнения с оператором Коши–Римана третьего порядка с младшими членами была указана еще в [ [2],c.225].
В области рассмотрим систему где Ui(x,у), ІІ2(х, у) — искомые функции, коэффициенты a,k(x,y), bk(x,y), Ck(x,y) Є C2(G\{0}) ограниченные в начало координат, п 0, г = \Jx2jry2, fk(x,y) Є 17(0), р 2, & = 1,2 (где всюду в дальнейшем р 2).
Так как система уравнений (3.1.1о) является системой дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка, покажем, что она действительно является системой эллиптического типа. С этой целью для главной части этой системы составляем характеристической детерминант системы 2М 23 К ( 1, 2) = -Й + з 6 & - збй — С 1 Т Со Т Ос і Со Т Ос 1 Со —— ( С1 Т Со Отсюда следует, что коническое многообразие K(Cii 2) = (і + 2) = о не имеет действительных точек (корней), кроме і = 0, 2 = 0. Следовательно, уравнение (3.1.1о) в точках (ж, у) Є G является эллиптическим [2]. Используя оператор 9 , определяемый по правилу 2 9 = дх+іду и вводя комплекснозначные функции U(z) = U\(x,y) + іІІ2{х,у), z j(z) = /цж, у) + ij2\X} у)} ацж, у) + іа,2(х, у) =— a(z), \z\ z2 z3 b\ (ж, у) + ib2{x,y) =—b(z), ci(x, y) + ic2(x,y) =C(Z), z3 систему уравнений (3.1.10) приводим к виду + + 3 () 2 2() 3() + 9z3 n+l Я 2n+2 Я 3n+3 131 [/ = f(z), (3.1.1) где {),{),{) Є 2{). Всюду в дальнейшем 1, если не оговорено противное. Ниже мы убедимся, что такая форма записи системы (3.1.1о) имеет много преимуществ и хорошо отвечает существу дела. Поэтому в дальнейшем мы все время будем ею пользоваться. Под обобщенным решением здесь понимается функция Є 2(\{0}), = 1,2, а третья обобщенная производная 3 Є Pie) для любого 0, где e = П {\\ }. 2. Пусть j( = 1,2,3) корни определяющего уравнения + + + = О, (3.1.2) которые непосредственно связаны с коэффициентами уравнения (3.1.1) при помощи формулы Виета, т.е. следующим образом і + 2 + з = —, 12 + їз + 23 = , 123 = —. (3.1.3) ( Заметим, что % I \n 2 \\n+l \ I \n % \\n+ \ 2 2\2 + — — 2— 2 2 \ 2 п+ 3 2 \\n+l n+i \\nJr - \ \n ( \ ) \ 2 n+l \\n+l 2 2 2 2 22 2 22z i\2z z (\ + 2 + 3) 2 -\— = — + + \ I I n + \\n+l \\n+l 2 :i 2 % ( \ n+2 n+3 3 n+i z I\n lln i + 2\2 І I n+2 2\?, + ,:——Ь I n+i 2 \ \n-\-2 + In 2\\ 2 (12 + 13 + 23) — \\2nz ( \\ n l(2\ + 2) ) z 3\\ 3і2з + \\in ( jj{\\ n l\) — тр ( 2\\ 2n 2і2) її ± z, о її dz y l l ±y dz 1 1 ± 3n 132 + +zz n A3— (zz n Ai) U. oz Используя формулу Виета (3.1.3), получим dzU za(z) d2U z2b(z) дії z3c(z) тт + + — + и д , -„-1Л W 9U ( д . -„-і 5 , 2 -277-2 л \\ - ттг. (22 (2Аі + А2)) zzzr- TZZOI U Ai) - — (Z A1A2) (/ + c/z c/z oz oz +zz n A3— (zz n Ai) [/. 7Z Далее обозначим A = z — \zz (2Ai + A2) ) , 7-І 77 ( З2 -77-1 9 , о -277-2 Л \A 2т7-1 \ д ( \ -77-1 \ -D = И 7w?( Ai) - 7— (z z A1A2) - A37— z\z Ai)
Граничные задачи для уравнения с аналитическими коэффициентами
Рассмотрим односвязную область G, ограниченную гладким контуром L, который пересекает (некасательно) вещественную прямую Imz = 0 в двух точках TQ т\. Пусть L+ и L - части L, лежащие, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях, и аналогичный смысл имеют области G±.
В области G рассматриваем уравнение высокого порядка m I I (&z + A-k) U = /, (4.3.1) к=\ 167 с коэффициентами Ak(z) = z, CLk(z) Є 6(G), 1 к n, (4.3.2) z — допускающее сингулярность на отрезке / = [то,ті] С G. Под (обобщенным) решением этого уравнения понимается функция U: для которой все обычные производные к-го порядка d\U Є C(G \1),к = 1, 2, ...,n — 1a n-ная обобщенная производная dU Є Lploc(G \ І). Рассмотрим сначала общую ситуацию для уравнения dzU + Ak(z)U = F(z), (4.3.3) с коэффициентом, допускающую сингулярность на отрезке / = [то, т\] С G: ak(z) Aj (z) = z, (4.3.4) z — которая получится из (4.3.1) при m = 1. Согласно результатам полученных в 1.2 имеет место предложение: Пусть в обозначениях (4-3.4) существует такая аналитическая в области G функция al(z), что ЛО [ak(z) — CLu(z)] Тп і A(z) = Є i/(G), p 2, (4.3.5) z — z и ak(t) = Є H(L), I(TO) = I(T\) = 0. (4.3.6) t — t Тогда функция k(z) = —hk(z) — CLk(z) ln \z — z\, (4.3.7) где о 1 f a\(t) ln \t — \ ТТ(Т hk(z) = (TAk)(z) + at Є HG), 2ni і t — z обладает свойством dzk = Ak в областях G±.
Рассмотрим весовую функцию еПк ) = \( — "—afe(C)e— fe(C)_ Подстановка V = eilkU приводит уравнение (4.3.2),(4.3.3) к Vz = е F, 168 так что формула = Qk [ + ( Qk )} (4.3.8) дает общее решение Є i0C( , ) уравнения (4.3.2),(4.3.3) c произвольной функцией Є i0C( , ), аналитической в областях ±.
Данное предложение можно рассматривать и отдельно в областях ± с заменой на ± в условии (4.3.5), однако функция \ по-прежнему должна допускать аналитическое продолжение в некоторую область с сохранением условия (4.3.6). Поскольку = \ на , функцию можно продолжить здесь на по правилу = к в T.
Положим для краткости
2. Теорема 4.5. Пусть в уравнение (4.3.1) коэффициенты k( ) Є ( ), 1 и \ — \ ai Є P , 2 и Є ( ), = l, - такие, что в достаточно малой окрестности сингулярного отрезка k+1 k 0, = 1, — 1, ( о) = k( i) = О, Тогда любое решение Є n l{ \ ) уравнения (4.3.1), для которого Є p{ \ ), однозначно представимо в рекуррентном виде = , k-i = к к + k k, 1 — 1, (4.3.9) n_i = "Qn n + те , где функции Є ( \ ) аналитичны в области . При этом — + \ ... I — + k , 1 — 1, (4.3.10) Z так что функции ) выражаются через решение и его производные k / zk, 1 — 1, линейным образом. Доказательство. Уравнение (4.3.1) записываем в виде \ / — + \ ... — + г = . z В соответствии с этим для заданного решения этого уравнения рассмотрим последовательность функций (4.3.10). Тогда полагая = , n = , приходим к соотношениям
Поэтому на основании (4.3.11), (4.3.12) функции k последовательно определяются формулами (4.3.9), т.е однозначно выражаются через . В соответствии с этим на (4.3.9) можно смотреть как на соотношения, определяющие аналитические функции .
Представление решений в виде рядов для уравнения высшего порядка с сингулярной линией 1. Пусть а = {( , ) : \ \ оо, \ \ }, где — . Через о( а) обозначим класс функций ( ), которые представимы в виде { ) = У s( )( — )s, (4.4.1) где s( ), = О,1,2,... аналитические функции комплексного переменного . В области Па рассмотрим следующие системы дифференциальных уравнений n —v d n k ( ) h т гггг ZT = =ЗГ, (4.4.2) n 2-— [ — )k a ( — )n где предполагается, что j ( ), ( ) Є о( а); = 1, . 170 Ряд частных случаев системы (4.4.1) был исследован в работах [54], [85]. Отметим, что было выявлено следующее важное свойство решения дифференциальных уравнений с сингулярной линией: оно в достаточно малой окрестности сингулярной линии может обращаться в бесконечность, иметь нуль или же остаться ограниченным, но неопределенным. Но с практической точки зрения не менее важное значение имеет нахождение тех классов решений, которые остаются достаточно гладкими во всей рассматриваемой области, включая сингулярную линию. Приведем результат, где для системы (4.4.2) найдено регулярное решение из класса Во(Ра) и исследована задача типа Коши [85]. Согласно предположению коэффициенты и правая часть уравнения (4.4.2) представимо в виде (4.4.1), т.е. Aj (z, z) = У Aks{z){z — z)s, к = 1,п; s=0 оо (4.4.3) f(z, z) = y fs(z)(z— z)s, s=0 где коэффициенты AkS) fs-, & = l,n,s = 0,l,2,..- аналитические функции комплексного переменного Z.