Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с ортотропными сжатиями Тасевич Алла Львовна

Содержание к диссертации

Введение

1 Сильная эллиптичность функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями 16

1.1 Оператор ортотропного сжатия и его свойства 16

1.2 Геометрические построения, связанные с оператором ортотропно-го сжатия 22

1.3 Проблема коэрцитивности функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями 25

1.4 Другой подход к проблеме коэрцитивности 39

2 Разрешимость первой краевой задачи и гладкость обобщенных решений 47

2.1 Разрешимость и спектр краевой задачи 47

2.2 Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями

2.2.1 Гладкость обобщенных решений в подобластях 53

2.2.2 Гладкость обобщенных решений вблизи границ подобластей 53

2.3 Специальный случай краевой задачи 58

3 Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений в весовых пространствах 61

3.1 Весовые пространства Кондратьева 62

3.2 Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями в шкале весовых пространств 64

Список литературы

• Геометрические построения, связанные с оператором ортотропно-го сжатия
• Проблема коэрцитивности функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями
• Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями
• Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями в шкале весовых пространств

Введение к работе

Актуальность темы. Эллиптические функционально-дифференциальные операторы, ассоциированные с группой диффеоморфизмов многообразия, рассматривались в рабо-тах^,,,,. Были доказаны теоремы об однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева, получена формула индекса, при этом методы и результаты существенно зависели от свойств группы.

В теории упругости, теории многомерных диффузионных процессов, а также в связи с нелокальными краевыми задачами типа А. В. Бицадзе, А. А. Самарского возникают эллиптические функционально-дифференциальные уравнения, в которых преобразования аргументов могут отображать некоторые точки границы внутрь области. Так, например, упругие модели конструкций, содержащих многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем, могут быть сведены к сильно эллиптическим системам дифференциально-разностных уравнений. Необходимость исследования краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений появляется и в современной нелинейной оптике при построении оптических систем с вращением поля в контуре обратной связи.

Впервые эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сдвигами по пространственным переменным в ограниченных областях рассматривались А. Л. Скубачев-ским^,, создавшим теорию краевых задач для дифференциально-разностных уравнений. Им были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Гординга, исследованы вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева, а также весовых пространствах, изучена гладкость обобщенных решений. Было показано, что даже при бесконечно дифференцируемой правой части гладкость может нарушаться, при этом обнаружен эффект появления степенных особенностей у производных решений на некотором множестве точек, находящихся как на границе, так и внутри области. В дальнейшем исследование теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений продолжалось в

¹Антоневич А. Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1973. — 37, № 3. —С. 663–675.

²Рабинович В. С. О разрешимости дифференциально-разностных уравнений на R и в полупространстве// Докл. АН — 1978. — 243, № 5. —С. 1134–1137.

³Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Мн.: Университетское, 1988.

⁴Antonevich A. B., Lebedev A. V. Functional Differential Equations. V.1. ^*-theory. Harlow, England, 1994.

⁵Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Об индексе эллиптических операторов для группы растяжений// Матем.сб. — 2011. — 202, № 10. —С. 99–103.

⁶Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела// Прикл. мех. — 1979. — 15, № 5. — С. 39–47.

⁷Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// Докл. акад. наук СССР. — 1989. — 307, № 2. — С. 287–292.

⁸Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation// Chaos, Solitons, and Fractals. — 1994. — 4. — P. 1701–1716.

⁹Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом// Мат. замет. — 1985. — 38, № 4. — С. 587–598. ¹⁰Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations// J. of Differential Equations. — 1986. — 63. — P. 332–361.

работах его учеников Е. Л. Цветкова, В. В. Подъяпольского, М. А. Скрябина, В. А. Попова и др.

В работах Л. Е. Россовского^11, исследовались функционально-дифференциальные уравнения со сжатиями, одинаковыми по всем координатам. При этом краевые задачи рассматривались в ограниченных областях, содержащих неподвижную точку оператора сжатия, что создавало принципиальную трудность в их изучении и приводило к ряду новых свойств. Так, ядро краевой задачи могло быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции, а гладкость решения равносильна его единственности.

Стоит отметить, что в одномерном случае функционально-дифференциальные уравнения со сжатием аргумента моделируют самые разные явления. Так, уравнение пантографа

() = () + ()

возникает в астрономии, в электротехнике и в биологии. В работе Като Т. и Маклео-да Дж. Б. было исследовано асимптотическое поведение решений уравнения пантографа.

Данная диссертация посвящена изучению линейных функционально-дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих в старшей части ортотропные сжатия координат, т.е. сжатия с разными коэффициентами по разным координатам, в том числе сжатие по одной переменной и растяжение по другой.

Значительное место уделяется вопросу сильной эллиптичности рассматриваемого уравнения, или проблеме коэрцитивности, решенной для дифференциальных операторов в работах М. И. Вишика и Л. Гординга. Проблема коэрцитивности для дифференциально-разностных уравнений и функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями была изучена в работах А. Л. Скубачевского и Л. Е. Россовского, соответственно.

Цель работы заключается в изучении принципиально нового класса функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями, а именно таких его свойств, как сильная эллиптичность, разрешимость краевых задач в соболевских пространствах и в пространствах с весом, структура спектра и гладкость обобщенных решений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Подробное изучение эллиптического функционально-дифференциального уравнения, содержащего ортотроп-¹¹Кук К, Россовский Л. Е., Скубачевский А. Л. Краевая задача для функционально-дифференциального уравнения с линейно преобразованным аргументом// Дифференц. уравнения. — 1995. — 31, № 3. — С. 1366–1370.

¹²Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. замет. — 1996. — 59, № 1. — С. 103–113.

¹³Амбарцумян В. А. К теории флуктуаций яркости в млечном пути// Докл. акад. наук СССР. — 1944. — 44. — С. 244–247.

¹⁴Ockendon J. R. and Tayler A. B. The dynamics of a current collection system for an electric locomotive// Proc. R. Soc. Lond. A. — 1971. — 322. — P. 447–468.

¹⁵Hall A. J. and Wake G. C. A functional differential equation arising in the modelling of cell growth// J. Austral. Math. Soc. Ser. B. — 1989. — 30. — P. 424–435.

¹⁶Kato T. and McLeod J. B. The functional-differential equation () = () + ()// Bull. Am. Math. Soc. — 1971. — 77. — P. 891–937.

ные сжатия аргументов искомой функции, проводится впервые. Среди представленных результатов можно выделить следующие:

1. получен ряд необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями;

2. доказана теорема о фредгольмовой разрешимости и о структуре спектра первой краевой задачи для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями;

3. исследована гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями;

4. получены достаточные условия однозначной разрешимости функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах В. А. Кондратьева на плоскости;

5. получены достаточные условия обратимости конечно-разностного оператора с переменными коэффициентами на прямой.

Все полученные в диссертации результаты являются конструктивными, условия теорем выражаются непосредственно через коэффициенты уравнений и легко проверяются для конкретных примерах.

Методика исследования. Изучение функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями основано на комбинации методов, развитых для дифференциально-разностных уравнений и для функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями, в том числе на сведении к сильно эллиптическим системам дифференциальных уравнений, на методе аппроксимации обобщенных производных конечными разностями, на теории функциональных пространств и методах гармонического анализа. В то же время стоит отметить, что ни те, ни другие подходы напрямую не переносятся на рассматриваемый случай. Новым элементом исследования является преобразование уравнения, основанное на виде орбит точек области под действием ортотропного сжатия. Хорошо известно, что свойства краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения во многом определяются структурой орбит точек области под действием группы, порожденной присутствующими в уравнении преобразованиями. Для преобразований вида

v(x\₎X2) і—>v(qxi,qx2)- (1)

орбиты располагаются на лучах, выходящих из начала координат. Для функционально-дифференциальные уравнения, содержащие преобразования вида

v{x\,X2) і—> v(q~ Х\,рх2) q,p > 1, (2)

орбиты лежат на “гиперболах” |₁|^ln |₂|^ln = , и естественно предположить, что задачи с ортотропными сжатиями вида () по своим свойствам должны отличаться от задач с изотропными сжатиями вида ().

Теоретическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер и ее результаты дополняют теорию краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Наличие в старшей части уравнения преобразований, отображающих точки границы внутрь или во внешность области, порождающих при этом бесконечное число конечных орбит, приводит к принципиальным отличиям от теории краевых задач для уже изученных дифференциально-разностных уравнений или функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями. Кроме того, полученные результаты позволяют выделить новый класс сильно эллиптических уравнений, для которых имеет положительный ответ известная гипотеза Т. Като о совпадении квадратных корней из -аккретивного оператора и сопряженного к нему.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы излагались в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова: на семинаре “Спектральная теория дифференциальных операторов” под руководством академика В. А. Садовничего, на семинаре под руководством А. А. Шкаликова, на семинаре под руководством А. С. Ша-маева; в Вычислительном центре РАН на семинаре “Методы решения задач математической физики” под руководством А. А. Абрамова и В. И. Власова; в Московском Энергетическом университете на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством А. А. Амосова и Ю. А. Дубинского; в Российском университете дружбы народов на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством А. Л. Скубачевского; в Свободном университете г. Берлина (Германия) на семинаре под руководством Б. Фидлера; в Гейдельбергском университете (Германия) на семинаре под руководством В. Егера; на Шестой и Седьмой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2011, 2014); на Международной конференции “Differential Equations and Related Topics”, посвященной И. Г. Петровскому (Москва, 2011); на Международных конференциях “Science and Progress” (Санкт-Петербург, 2012, 2013); на Международной конференции “Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.”, посвященной 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2013); на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2013); на Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения - XXV” (Воронеж, 2014); на Международной конференции “Спектральная теория и дифференциальные уравнения”, посвященной 100-летию Б. М. Левитана (Москва, 2014); на XXV Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Судак, 2014); на Международной конференции “Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования.” (Москва, 2014); на Воро-¹⁷Kato T. Fractional powers of dissipative operators// J. Math. Soc. Japan. — 1961. — 13, № 3. — P. 246–274.

нежской зимней математической школе “Современные методы теории функций и смежные проблемы.” (Воронеж, 2015), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (Воронеж, 2016).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 16 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [-], 13 — в тезисах докладов [-].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 90 страниц с 3 рисунками. Список литературы содержит 67 наименований.

Геометрические построения, связанные с оператором ортотропно-го сжатия

Данный параграф посвящен построению специальных геометрических конструкций, связанных с преобразованием ортотропного сжатия и зависящих от исходной области, а также обсуждению их свойств. Схема построения основывается на подходе, разработанном для дифференциально-разностных уравнений А.Л. Скубачевским [61,62], и поэтому дается без доказательств. Здесь рассмотрен случай, когда q\ 1, q 1, т.е. преобразование осуществляет сжатие по одной и растяжение по другой переменной. Этот случай представляет особый интерес, поскольку принципиально отличается от случая изотропных, т.е. одинаковых по всем переменным, сжатий.

В этом параграфе также будем рассматривать для наглядности открытый круг В радиуса г с центром в начале координат. Опишем в В геометрические конструкции, связанные с отображением (жі,Ж2) — ( 1/ 1, 2/ 2), Ц\ 1, ?2 1. Через кВ обозначаем множество В = {(х\,Х2) Є Ж. \(q1Xi,q2X2) Є В}, а через Вг — открытую связную компоненту множества В \ I (J д(кВ) ) . Определение 2. Множество Вг будем называть подобластью, а множество К всех подобластей Вг назовем разбиением области В. На рис. 1.2 мы видим разбиение 1Z круга Б, рассматриваемое в первой координатной четверти. Легко убедиться, что К счетно. Будут справедливы следующие леммы. Мы можем разбить множество 1Z на непересекающиеся классы следующим образом: подобласти ВГ1,ВГ2 Є 1Z принадлежат одному классу, если Эк Є Z, что кВГл = ВГо. Обозначим подобласти Вг через Вчі, где s является номером класса, а / — номером подобласти в s-ом классе, / = 1,N(s). Здесь N(s) —число подобластей в s-ом классе. В силу ограниченности круга каждый класс состоит из конечного числа подобластей. Количество классов будет счетным, поскольку область В содержит начало координат — неподвижную точку оператора Р.

Замечание 1. Для круга В в каждой координатной четверти возможно упорядочить классы подобластей таким образом, что номер класса совпадет с числом его элементов, т.е. N(s) = s. В этом можно убедиться на рис. 1.3. Введем множество /С по следующей формуле /С = М {В Г\ (d(klВ)) Г\ (д(2В))}. к\,к2&Ъ к\ кч Можно заметить, что для круга выполняется следующее условие (1.8) Условие 2. [і(К П дВ) = 0, где fi - одномерная мера Лебега. Обозначим через р компоненты множества дВ \ /С, являющиеся открытыми и связными в топологии дВ. Мы можем разбить множество {mp : mp с В,р Є N,m Є Z} на классы следующим образом. Множества тР1 и т2„9 принадлежат одному классу, если существует к Е Z такое, что Ш1П1 = Ш2/„„.

Очевидно, что множество тр может содержаться только в одном классе. Обозначим множество mp через rj, где г —это номер класса, а j — номер элемента в данном классе (1 j J = J (г)). Для круга В возможно упорядочить множества элементов класса так, чтобы гі с дВ, Г2,... ,rj с В.

Заметим, что для каждого гі с дВ существует подобласть Bsi такая, что гі с dBsi и гі П dBSli1 = 0, если (si,/i) = (s,/)- Также для каждого класса г Є N существует единственное число s = s(r) такое, что J (г) = N(s) и после перенумерации г/ С dBsi (I = 1,s). Отсюда, в свою очередь, можно получить, что для каждого rj С В существуют подобласти BSlix и BS2i2 такие, что BSlix = BS2i2,rj с dBSlh П dBS2h и rj П dBSoj3 = 0, если ($3,) = («іЛ№2,) 25

В рассматриваемой задаче числа qu q2 0, коэффициенты уравнения a ijo, aij,±i Є С (і J = 1,2), а функция / є (П) является комплекснозначной. Также, мы предполагаем, что если для некоторой точки (хі ) Є Q преобразованная точка (xi/q /q 1) оказывается вне области, то v(x\/ q 1 ,Х2І q 1) = 0. Сформулируем теперь определение сильной эллиптичности следующим образом.

Определение 3. Уравнение (1.9) будем называть сильно эллиптическим уравнением, а соответствующий оператор AR — сильно эллиптическим оператором, если существуют такие постоянные с\ 0, С2 0, что для любой функции и Є Со(Г2) выполняется неравенство типа Гординга

Задачу о нахождении алгебраических условий на коэффициенты уравнения (1.9), при которых оператор AR будет сильно эллиптическим, называют проблемой коэрцитивности. Рассмотрим неравенство типа Гординга (1.11) и проинтегрируем его слева по частям. Тогда получим эквивалентное неравенство / j V «JІ ХІ V Xj /Z/2 (fi) 1 II I I 11Z/2 C ) l/ II ІІЬ2(0) Если сделать в интегралах замену переменных (2/1,2/2) = {txi tx ), t 1, при этом обозначив через Ш область { (2/1,2/2) Є Ж2 : (yi/t,y2/t) Є Г2} , то получим неравенство Е , ч ... і 110 \ О м 11 о Н1ь2(Ш) - (С2 -Ci)t Мь2(Ш), (1.12) справедливое уже для произвольной функции v Є С0(Ш). Переобозначим обратно переменные (2/1,2/2) через (Ж1,Ж2). Поскольку область Q содержит начало координат, то из (1.12) следует, что для произвольной функции и Є С0(М2) выполнено неравенство 2 -Ке / J{iijUxi,Uxj)L2(M.2) Cl l Ml IIL2(R2) В силу плотности Со(М2) в Н1 2), оно распространяется на все функции и из пространства Н1 2). Кроме того, заменяя в этом неравенстве функцию и Є Н1 2) на комплексно сопряженную функцию й, приходим к

Проблема коэрцитивности функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями

Итак, точка Л = 0 является резольвентной точкой оператора AR, и оператор Лд компактен в силу компактного вложения Н (Q) в (П). Отсюда следует, что оператор Лд имеет дискретный спектр, т.е. спектр, состоящий из изолированных собственных значений конечной кратности. Чтобы в этом убедиться, достаточно записать оператор XI — AR для произвольного Л Є С в виде XI — AR = — (/ — АЛд ) AR, сводящем вопрос о разрешимости к уравнению с оператором „тождественный плюс компактный“. Из этого представления очевидным образом вытекает и фредгольмовость оператора XI - AR.

Убедимся теперь, что все собственные значения лежат в угле, охватывающем положительную вещественную полуось. Пусть ARU = Хи при ненулевой функции и Є V(AR), которую можно нормировать: и г1/„, = 1. Имеем Полагая теперь = , будем иметь 1 + (,) fr1(Q, = (A,) fr1(Q, + (А,) й1(п,, (2.7) где и обозначают действительную и мнимую части числа . Отметим, что сужение оператора Л на пространство \П) (будем обозначать о 1 это сужение Ло) является положительным и компактным оператором в (Q). Действительно, по определению, (Ао,У 1(п] = \\\\L /Q-, 0, Ф О, о 1 а компактность Ло следует из компактности вложения (Q) в 2(f2). Приравняем действительные и мнимые части равенства (2.7): 1 = (Ao,y 1(Q,, (,) fr1(Q, = (Ао,) ъ1(п,. Отсюда следует, что действительная и мнимая части собственного значения удовлетворяют соотношениям Поскольку лежит на единичной сфере, имеем 12 выводим \\/ /\. Теорема доказана.

Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями

Доказательство. В интегральном тождестве (2.3) возьмем в качестве пробной функции функцию v Є С0(Б,) и перепишем его. (H-\-\4Q4UTl,Q4Vr,)Tsm \ + (Ri2sQs Ti,PsKOrs/д \ + (2.8) (R 21s PsUx.2iQ,sVXl)LS B л + (R 22sPs x2? PSKC2)L«(B ) = (РУ)ьЧВ ) Поскольку V — произвольная функция из C s(Bsi), получается, что вектор-функция U Є Hl,s(Bsi) есть обобщенное решение системы AgU = F (ж Є Вsi), (2.9) где F є Hk,s(Bsi). Из (1.44) получаем, что эта система сильно эллиптическая. Согласно результатам о гладкости решений для сильно эллиптических систем вектор-функция U Є tff+2,s(Bsi), а тогда и Є Hkof(Bsl) для всех s, I (см. [?,8]). Теорема доказана.

Теперь мы изучим гладкость обобщенных решений вблизи множества dBsl \ 1С. Доказательство базируется на известном подходе, связанным с аппроксимацией дифференциальных операторов разностными операторами [9, Глава XIV, пункт 3, Лемма 50], [12, Глава III, 3, Теорема 4]. Однако, рассматриваемый класс операторов отличается от эллиптических операторов нелокальностью.

Пусть уравнение (1.9) является сильно эллиптическим в В, а также qi = q l, l/q2 = р 1. Предположим, что функция и является обобщенным решением краевой задачи (1.9), (1.10), а функция f Є L2(B) П Hk(Bsi) (s Є N, / = l,s). Тогда и Є Hk+2(Bsi \ Kf) для всех є 0 (s Є N, / = l,s), где Kf = {x Є M2 : р{х)Ю) є}.

Доказательство. В силу теоремы 4, нам достаточно показать, что для произвольной фиксированной точки у = (уиу2) Є dBsl \ /С найдется окрестность Ss(y) такая, что и Є Hk+2 (Bsi П Ss(y)). Без ограничения общности, у Є Гг/ С dBsi П dBs+ij и 9 s+i;S+i П дВ ф 0.

Построим последовательность {ук} : ук = (ql ky\,pk ly2), к = l,s + 1. Тогда у1 = у, ys+l Є дВ, уг є В Vi = l,s.

Мы можем выбрать 5 0 такое, что 4 тіпр(гД/С) и множества dBsk П $ 4:б(ук) являются связными и принадлежат классу С00, (к = l,s). Также верно, что S4 5(?/S+1) П 5s__i;S__i = S4s(yS+l) Г\ В и S4s(yk) С -BSA; U В8+\ , (к = l,s). В качестве пробной функции в интегральном равенстве (2.3) возьмем функцию v = г , где v Є Н1(В), „ fc-i s / \ 2 V I Q\ А--1 1-А С(ЖЬЖ2) = / Т7Ш Ь_Р 2), к=1 Г функция т? є С (М2), 0 г](х) 1 (ж Є S2s(y1) ) , ту (ж) = 1 (ж є Ss(y1) ) , т?(ж) = 0 (ж S2s(y1) )Используя формулу Лейбница, мы получим т 2 т / Г 2 \ / , / , ( RjjBUxi ,УХі ) s =Z К 2_ RijBUx Xi ,v (2.10) /г=1 «J=l m /г=1 J=1 L2{Bsmk) Здесь и далее Б = Bpk П S (yh)] суммирование идет по т = s,s + 1. Используем отображение (1.36). В силу того, что оператор перехода к вектор-функциям коммутирует с оператором умножения на функцию , мы получаем следующую формулу

Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями

Коэффициенты і(), = 0,2, являются непрерывными функциями, имеющими на бесконечности конечные пределы и сходящимися к ним экспоненциально. Здесь предполагается выполненным условие 3 и имеем о() = 1.

Вопрос о спектре оператора взвешенного сдвига был подробно изучен в работах Антоневича А.Б. [2]. На прямой им были получены необходимые и достаточные условия обратимости для случая двух слагаемых. В этом же параграфе получены достаточные условия для трех слагаемых, причем тот же подход позволяет получить результат для произвольного числа слагаемых в (3.16). Для произвольного вещественного N обозначим / = (—oo,N] и рассмотрим С(1)— банахово пространство непрерывных ограниченных функций на / (с супремум-нормой), а также T-Ld(C(I))— пространство всех аналитических в круге {Л Є С : Л d} функций со значениями в С(1).

Введем алгебру Ad операторов В(т,Т) с переменными коэффициентами. Опираясь на интегральную формулу Коши, легко показать, что функции &(т,Л) из T-Ld{C{I)) есть суммы степенных рядов Хд о С7") с коэффициентами bk Є С(I), удовлетворяющими условию: для любого d! d найдется постоянная M(d ) 0 такая, что

Более того, Ьк(т) = (1/к\)Ьх (ж,0), а в качестве постоянной M(d ) можно взять величину M(d ) = max &(-,A)cm \\\=d K Каждой функции Ь(т,Х) из T-Ld(C(I)) сопоставим (пока формальный) операторный ряд YlT=o Ьк(т)Тк. Лемма 15. Пусть Ъ Є Hd(C(I)), где d 1. Тогда формулой В(т,Т)и(т) = У (l/k\)(b)x(x,0)u(r — kh) (3.18) определен ограниченный оператор В(т,Т) : 1 2(1) — (-О Доказательство. Если Ь есть полином от А, то оператор В(т,Т) корректно определен, и утверждение очевидно. Докажем сходимость ряда (3.18) по операторной норме. Заметим, что норма оператора Тк в B(L/2(I)) равна 1. Из принадлежности Ь Є l-Ld(C(I)) и оценки (3.17) получаем оценку члена ряда

Операторы, соответствующие функциям из Ud(C(I)), по лемме 15 образуют некоммутативную алгебру Ad- Перемножая соответствующие ряды, мы получим формулу композиции. Если

Тогда существует обратный оператор BQ1(T,T) Є Ad Доказательство. Построим обратный оператор в виде ряда J2T=ork(r)Tk, используя формулу В Во = BQBQ1 = I. Равенство В0В = I приводит к системе Го (г) = 1, v (3.20) rk{T) = — 7l(r)rA;-l( 7" — h) — г)2{т)гк-2{т 2/i), к Є N, а равенство 0- 10 = дает систему го(т) = 1, гк{т) = — 7i(r (к )h)r k-i(т) — 72( г {к — 2)/г)г/г_2(т), к Є N, (3.21) Можно показать, что системы (3.20) и (3.21) определяют одну и ту же последовательность коэффициентов Гк(т), к Є N. Мы утверждаем, что функции Гк(т), к = 1,2,..., из (3.20), (3.21) можно вычислить по формуле гк{т) = (—1) det М&(т), (3.22) где матрицы Mk(r) имеют порядок к х к, к Є N, и задаются формулой 7i(r) 72 С7") 0 ... 0 » 1 7i(r — ) {т — h) ... 0 Мк(т) = 0 1 7i(r — 2/г) ... 0 0 0 ... 7i(r ( 1) ) Докажем равенство (3.22) и, следовательно, эквивалентность формул из (3.20) и (3.21) по математической индукции. При к = 1 равенство очевидно. Предположим, что равенство (3.22) выполняется вплоть до некоторого к. Докажем, что оно справедливо и для к + 1. Раскроем определитель det Mk+i(r) по первому столбцу. Тогда получаем уравнение из (3.20) гк+\{т) = (—1) + (7i(r) det М (т — h) — 72(т) det М&_і(т — 2/г)) = = —7і(т)(—1) det М (т — h) — 72(т)(—1) det М&_і(т — 2/г) = = — / lj{T)rk+i-j{T — jh). 3=1 Если же мы раскроем определитель det Mk+i (г) по последней строке, то получим гк+\{т) = (—1) + (7i(r kh) det MJ (T) — 72(7" — (к — l)h) det М&_і(т)) = = — 7і(т — kh){—1) det MJ (T) — 72(7" — (к — 1)/г)(—1) det M/;_i(r) = 2 = — 7J(T" — (A; + 1 — j)h)rk+i-j(r). 3=1 и убедимся в том, что это уравнение из системы (3.21). Введем матрицы Gkij), к = 0,1,2,..., порядка 2x2: I 7i(r — {к + l)h) — 72(7" — ) Gk{T) = 0 и вектор-столбцы Sk(r) = (гк+і{т),Гк{т)) , & = 0,1,2,.... Тогда будут справедливы рекуррентные соотношения Sk = Gk-iSk-i, или формула общего члена Sk = Gk-\ GQSQ (к = 0,1,2,...). Оценка (3.17), которую нам осталось установить для коэффициентов Гк(т), сводится к проверке неравенств sup (Grfc_i... GO)(T) c(d )d (к = 1,2,...) тЄІ (здесь . есть матричная норма). Обозначим 7 = /U{-oo} одноточечную компактификацию I. Тогда функции из С(1), сходящиеся на — оо, можно отождествить с непрерывными функциями на компакте I. Пусть Б есть банахова алгебра непрерывных на компакте I матричных функций порядка 2x2. Понятно, что последовательность д = Gk принадлежит Б. При этом она сходится в Б к элементу д = G(—oo) так, что выполняется оценка

Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями в шкале весовых пространств

Оценим спектральный радиус () элемента Є В. Он совпадает с большим по модулей собственных значений постоянной матрицы (-oo). Характеристическое уравнение для определения этих собственных значений имеет вид + i(—oo) + 2(—оо) = 0. (3.25) Делая замену l = , мы получаем уравнение (—оо,) = 0. Условие теоремы 7 означает, что все корни уравнения (3.25) не превосходят _1, а значит и спектральный радиус () l. Поскольку в условии (3.17) , то l l (). Положив в (3.24) = l, получим, что max (fc_i... o)() = \\k-i . . . о\\в { ) ( = 0,1,2,...) ТЄІ Теорема доказана. Из Леммы 15 и теоремы 7 вытекает Следствие 3. Пусть для оператора о выполнено условие і о{—оо,) := У j(—oo)J Ф 0 ( 1). (3.26) з=о Тогда оператор BQ(T,T) есть изоморфизм пространства - (-О-Мы показали, что уравнение и{т) + ji(r)u(r — h) + г)2{т),и{т — 2h) = f(r) (3.27) имеет единственное решение +00 и(т) = / гк(т)/(т — к1г), (3.28) к=0 причем ряд в правой части (3.28) сходится в (і) для любого N, а коэффициенты rk(r), к = 0,1,2,..., определяются системой (3.20) или (3.21). Тогда справедлива оценка \\и\\ь2(і) c\\f\\L2(i)- (3.29)

Покажем, что на самом деле функция, задаваемая формулой (3.28), принадлежит Ь2(Ж) и непрерывно зависит от / є L2(M). Для этого нам понадобится другое представление функции и. Рассмотрим уравнение (3.27) на полуинтервале [N, + оо) с начальными условиями и(т) = фо(т\ при г Є \N — 2h,N — /її, v ruv ;, L J (3.30) м(г) = фі(т), при г Є [N — h,N].

Обозначим отрезок S = [N — 2h,N — h] и Uk{r) = u(r + kh),fk{r) = f(r + kh), 7i;fc(т) = 7I(T + /с/г), 72,/г(т) = 72( Т" + ) при т E S, где /с = 0,1,2, Заметим, что элементы с индексом /с = 0,1 рассматриваются далее только для последовательности {uk} =0 . Учитывая введенные обозначения, перепишем исходное уравнение и начальные условия ик+2{т) + гУі,к+2{т)ик+і{т) + гУ2,к+2{т)ик{т) = fk+zij), (3.31) щ(т) = фо(т), щ(т) = ф\ (т + h). Здесь г Є S, к = 0,1,2,.... Определим пространство f{) последовательностей функций {к}=0 со скалярным произведением N-h „ [,)L (S) = У ()к(). k-N-2h С задачей (3.31) связывается ограниченный оператор W : () — () х 2() х 2(), действующий по формуле W { j o = { {k+2 + 1, +2+1 + 2,A;+2A;} L0 , , } В силу того, что функции «(!, = 1, стабилизируются на бесконечности, мы можем положить і,к{) = «(+) + м,і,к{), = 1,2; = 0,1,2,...; Є . По любому наперед заданному 0 выберем так, чтобы иметь l/v,», ;)! при = 1,2; = 0,1,2,...; Є . В соответствии с этим представлением, разложим оператор W в сумму двух операторов W = + , где оператор является оператором с постоянными коэффициентами, { } 0 = {{к+2 + l(+ )A;+l + 2(+ )A;} Lo , $,l} , а коэффициенты оператора малы равномерно по , {k}T=0 = \{N,l,k+2()k+l + М,2,к+2()к}Т=0 , О, О} . Оценим норму оператора . Поскольку 00 00 У \tN,l,k+2(T)uk+l + N,2,k+2(T)uk\2dT 2ff2 K+i2 + wfc2 rfr, (3.32) то W 2є. Теперь перейдем к рассмотрению неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, характеризующего действие оператора W, Uk+2 + 7l(+ )MA;+l + 72(+ )MA; = fk+2, (3.33) где Щ = фо,иі = ф\{. + h). Его характеристическое уравнение имеет вид, аналогичный уравнению (3.25), А + 7і(+оо)Л + 72(+оо) = 0 (3.34) и его корни вычисляются по следующей формуле 7i + /2 72 7i 7? 72 Лі = , Л2 = . 2 2 Если Лі т 2, т. е. 72(+оо) т (7і(+)/2)2, решение соответственного однородного уравнения имеет вид а решение уравнения (3.33) находится по формуле л к \к \ А — Л«—1 Л« — 1 Uk = ф\ 0о72—л л Ь У fk+2-i—; ; (3.35) Лі — Лг Лі — Лг 2-- Лі — Лг Если же Лі = Л2 =: Л, т. е. 72(+оо) = (7і(+оо)/2)2, решение имеет вид Uk = ф\к\ — фо 2(к — 1)Л + У fk+2-i (3.36) i=2 Тогда имеем оценку А )/у!г+2-г( 7") г=2 -\щ(т)\ к Л 0і(т+/г) +(&—!) Л 0о(т) + / А \fk+2-i( )\ Здесь Л = max{Ai,A2}. Нетрудно убедиться в том, что для последнего слагаемого выполняется оценка У \М \fk+2-i(T )\ г=2 к к А \fk+2-i(T )\ 2 у Л J\fi(T)\\fj(r)\. i=2 j=i Просуммируем по / \uk(r)\ \Фі(т + ) / А + 0о( 7") / (к — 1) А + fv =A fv =A fv =A (3.37) оо к к 2 у у у Л +-7 /«(T)/J(T) /г=2 i=2 j=i Условием сходимости рядов в правой части неравенства (3.37) является оценка А 1. Рассмотрим отдельно последний ряд со к к оо оо оо / / / А l J\fi\\fj\ = / А_г/г / lAI I/jl У А = к=2 i=2 j=i i=2 j=i k=j _, 00 00 _, 00 00 1 —v —v 1 v i fi V uimif / A \ji\ } \X\J \jj\ = У \ji\ У A \ji+m\ = 1 — IAI2 1 — IAI2 - 1 i=2 j=« «=2 m=0 oo oo oo / oo oo \ V 1 v uimV ifiif 1 V lMm V I n2V l l2 TTTo / А У \ji\\ji+m\ ГТТо /A Ш \ji+m\ 1 — AM - 1 — AM 2-— 2-— 2-— 1 m=0 i=2 m=0 i=2 «=2 _, 00 00 1 —v —v о ГТЇ9 / А У \ji\ 1 — \Xr 2-— 2-— 1 m=0 i=2 Таким образом, правую часть (3.37) можно оценить через 2А2(А4 — ЗІАІ2 + 4) о А2 + 1 2 —v о 0l(r + /l) ЬкУоГЛ 9 о + lo ГТТл / / (1 — \л\А)6 (1 — \л\А)6 (1 — А )(1 — А ) 2-- 78 Проинтегрируем (3.37) по отрезку S N-h _ , _ N+(k+l)h ,, 00 +00 / / \ukij)\ dr = У / \u(r)\ (IT = \\u\\L (ш+00) N-2h k=2 k=0 N+kh N-h N-h 3A2(A4 — ЗІАІ2 + 4) f о 3(A2 +1) f ,2 \фі{т + h)\ dr + кЫ П dr+ {1-\\\гУ {і-\\\гу N-2h N-2h n л oo D / TTT / \f(r + )l r (1 — A2)(1 — A) - N-2h г=2 r(\\rh\\ -LlU II + ІІЛІ2 rl L2([-/V—/I,-/V]) r Y OL2([-/V—2h,N—h]) т H/HL2([./V +OO) Получаем, что при тах{Аі,А2І} 1 выполняется оценка " L2([-/V,+OO)) Сфі L2([—-/V,—_/V+/i]) r \\(rO\\L2([N—2h,N—h]) r /L2([-/V,+oo))J (3.38) причем константа не зависит от N. Таким образом, мы убедились в том, что норма оператора W l не зависит от N. В силу этого мы можем взять такое N, что норма оператора W будет достаточно мала для обратимости оператора W + W. Действительно, і / і —і / і —і і (VK + И- )- = (W (/ + VK- И- )) = {і + w м є) м -, значит для обратимости оператора W + W достаточно выполнения оценки VK_1W 1, или W l/HVK-1!!- В силу (3.32), выбираем N так, чтобы є l/(2\\W l\\). Таким образом, из (3.29) и (3.38) получаем IMU2(R) с/ь2(м). (3.39) Тогда сформулируем достаточные условия обратимости оператора В0. Теорема 8. Пусть для оператора B0 выполнено условие &0(±оо,А) := У r fj(±oo)\J Ф О (Л 1). (3.40) з=0 Тогда существует ограниченный обратный оператор В0 1(т,Т). Замечание 5. Доказательство обратимости оператора В0 справедливо и в случае, когда м В0 = У 7j(r) 1 7? М є N, М оо. (3.41) 3=0 Теперь все готово для формулировки основного результата этой главы Теорема 9. Пусть для оператора AR : Щ+2(№2) -+ Щ(Ш2) из (3.7) выполнены условия &111 71е lT =t (a121q1 + 0211 72) e 1_ + (І2(і221е 2T 7 0 (т G l) ; (3.42) 2111 + ct110A + 211,_1A 7 0 (A g1 + /л/ 1 2); (3.43) Й221 + Q.220A + Й22,-1А т 0 (A q2+ /y/q 1Q2)- (3.44) Тогда существует ограниченный обратный оператор Aj1. Доказательство. Пусть выполнено условие (3.42), тогда перейдем к рассмотрению оператора 71(T)m 72( Г)т2 і Н т\Т -\ тТ . 70(т) Т0! 7") Его обратимость нам дает теорема 8 при условии, что корни уравнений 71(±оо) 72(±оо) 2 1 Н А Н А = U 70(±оо) 70(±оо) лежат вне круга единичного радиуса. Подставляя значения пределов 7«(±оо), і = 0,1,2, мы получаем два уравнения О11 _1 2(s+1) 1 л 2 а110 «+1 1 ——о1 А Н q1 А + 1 = 0, «-111 q1q2 с111 \/q1q2 Q-22-1 2(s+1) 1 л 2 a220 s+1 1 —q2 A H q2 A + 1 = 0. Q-221 q1q2 Q.221 \/q1q2 После замен Л = q{+ X/y/qiq2 и Л = qs2+ л/y/qiqz мы получаем условия (3.43), (3.44). Подставим в (3.39) функции и{т) = e7 l l2 (K(T))S/2+1 w{p,r) и f(r) = р-2ет(і1-і2)/2 туу/ + х т _ щу д р — / являющиеся как функции переменного г элементами пространства (М) при почти всех р 0, тогда S+2 ет л 2 (к,(т)У \w(p,r)\ dr 00 с р eJ x 2 (к(т)У (к(т — h)) \д(р,т — h)\ dr. Умножим обе части неравенства на 2p2s+3 и проинтегрируем по р от 0 до +оо. Получаем оценку Il2 и 2 или, что равносильно и\\ ттО /Ш2\ С / W Теорема доказана. Замечание 6. Важным результатом является наличие параметра s в условии разрешимости уравнения (3.7). В случае, когда q\ 1, 2 1, увеличение этого параметра позволяет нам ослабить условие на коэффициенты 222Ь к = 0, ± 1 : уменьшается круг, где не должны лежать корни выражения в (3.44). Но, в то же время, ужесточаются условия на коэффициенты аш, к = 0, ± 1, т. к. увеличивается круг, где выражение из (3.43) не должно обращаться в нуль. Замечание 7. Обратим внимание на то, что коэффициенты при смешанных производных входят лишь в условие (3.42), которое является значительно менее ограничительным по сравнению с (3.43) и (3.44). Можно также привести другие достаточные условия разрешимости. Потребуем, чтобы функция ац(т) ф 0, Vr Є R. Тогда можно свести вопрос об обратимости оператора AR к вопросу об обратимости оператора BQ = SQI + 5\Т + ( Т- : (К) — L2(K), где (іАт + h) (10(T + h)tbS + (т) O0{T) = , Ь1[т) = ——=, к, (г + h) л/о1Ш \r + h) (T) = (і-1{т + K)KS 2+1{T) цЩ2 іт + JI)K,S/2+1(T + 2h) Тогда для существования ограниченного обратного оператора В0 достаточно выполнения условий J1(±00) 52(±00) 2 ЛМ 1 + А + А ф U ( А 1). д0(±оо) о0(±оо) Подставим предельные значения и сформулируем результат Теорема 10. Пусть для оператора AR : Щ+2(Ш2) -+ Щ(№2) из (3.7) выполнены условия &11,-1 72Є lT і (а12;-1 2 + &21,-1 71) e 1_ 2 + &22,-1 71Є 2T т 0 (т G l) ; (3.45) а111 + 2110А + а11;_1А т О (A g1 + /л/ 1 2); (3.46) (2221 + Й220А + &22,-1A 7 0 (A q2+ /\/Q1Q2)- (3.47) Тогда существует ограниченный обратный оператор Aj1. Из Теоремы 9 и Теоремы 10 вытекает следствие Следствие 4. Пусть для оператора AR : Щ+2(Ш2) -+ Щ(Ш2) из (3.7) одновременно выполняются условия a 111Q1 lT =t (а121 1 + 211 2) е 1_ 2 + (І2(і221е 2Т ф 0 (г Є і) , (3.48) &11,-1 72Є 1Т і (tt12;-1 2 + «21, —1 71) Є 1_ + 3.22,-1 1Є 2Т т 0 (т Є К) , (3.49) а также А 1, А2 — корни уравнения (2111 + 110А + 11 1А = 0. Если оба корня уравнения 0,221 + 2.220 + &22,-1A = О лежат в круге радиуса q 2+1/\/Q1Q2i когда \X12\ Q 1+1/\/Q1Q2i и лежат вне его, когда \\12\ q1+1 / /Ш, то существует ограниченный обратный оператор A R1 Рассмотрим теперь случай, когда одна из функций а1 или а.-1 тождественно равна нулю. Без ограничения общности, будем считать, что а1{т) = 0,Vr Є Ш. Тогда необходимо доказать обратимость оператора (3W(T) = J0{T)W(T) + J1(T)W(T — h) : L2(K) — L2(K). (3.50) Согласно [2, Теорема 11.1, параграф 11], справедлива следующая теорема Теорема 11. Пусть коэффициенты 70,71 принадлежат Ь Ж) и существуют пределы lim 701(т) = 701(±оо). Тогда оператор (3.50) обратим в простран Т— -±00 стве LP(R),1 р оо, тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия на коэффициенты: 1. существует номер к0 такой, что 7А;0(±ОО) 71-fc0(±oo); 2. существует 5 0 такое, что почти всюду 7&0 5. Замечание 8. Поскольку условия Теоремы 11 совпадают с условиями Теоремы 8 в случае вырождения одного из коэффициентов, то мы можем говорить о близости полученных в статье достаточных условий обратимости разностного оператора Б0 к необходимым.