Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача о стационарном распределении тепла в плоскости, составленной из двух полуплоскостей, состоящих из неоднородных материалов с различными коэффициентами внутренней теплопроводности, имеющими экспоненциальный вид 20
1. Сведение к обобщенным задачам Построение решений обобщенных задач 20
2. Доказательство существования решения у задачи (0.5)-(0.8) 24
Глава 2. Асимптотики компонентов решения задачи о распределении тепла в плоскости, состоящей из двух различных неоднородных материалов, с трещиной 45
3. Представление граничных функций в виде суммы гладких функций и функций специального вида 45
4. Задача о распределении тепла в плоскости, состоящей из двух полуплоскостей с полу ограниченной трещиной на их стыке 47
5. Задача (0.12)-(0.14) при j = 1. Свойства обобщенного решения задачи (ОЛ)-(О.З) 57
6. Вспомогательные асимптотические леммы 62
7. Асимптотические представления компонентов решения задачи (0.1)-(0.3) и их первых производных 83
Глава 3. Задача трансмиссии о стационарном распределении тепла в области с трещиной 86
8. Свойства решения вспомогательной задачи (0.27)-(0.30) 86
9. Задача (0.31)-(0.35) при j =1. Асимптотические представления компонентов ее решения и их первых производных вблизи концов трещины 94
10. Асимптотические разложения компонентов решения задачи (0.31) (0.36) при j =2 и их первых производных 107
Список литературы
- Доказательство существования решения у задачи (0.5)-(0.8)
- Задача о распределении тепла в плоскости, состоящей из двух полуплоскостей с полу ограниченной трещиной на их стыке
- Асимптотические представления компонентов решения задачи (0.1)-(0.3) и их первых производных
- Задача (0.31)-(0.35) при j =1. Асимптотические представления компонентов ее решения и их первых производных вблизи концов трещины
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Несколько последних десятилетий усилия исследователей были сосредоточены на изучении математических моделей, описывающих характеристики материалов с трещинами. Одним из направлений в изучении подобных задач является исследование тепловых процессов в материалах с трещинами. Количество таких моделей велико и во многом определяется свойствами материалов, геометрией областей, заполненных материалами, количеством трещин и их расположением. Так, например, ранее изучались следующие задачи: краевая задача для эллиптического уравнения и начально-краевая задача для параболического уравнения в области, являющейся плоскостью с разрезом (указанные задачи моделируют стационарное и нестационарное распределение тепла соответственно в функционально-градиентном материале, заполняющем всю плоскость, с конечной трещиной); краевые задачи для эллиптических уравнений в различных областях, в некоторых из которых разрез ортогонален границе области.
В настоящей работе изучен ряд задач трансмиссии (сопряжения) для эллиптических уравнений, описывающих распределение тепла в двумерной области с трещиной на стыке двух неоднородных материалов (в частности, в качестве области может рассматриваться плоскость, составленная из двух полуплоскостей с различной теплопроводностью).
Основными особенностями рассматриваемых задач являются:
сама постановка краевых задач сопряжения для систем уравнений эллиптического типа является неклассической;
наличие сингулярных составляющих в компонентах производных решений вблизи границы ведет к неклассическим постановкам граничных условий.
Все это, а также очевидная практическая направленность подчеркивает актуальность изучения поставленных задач.
Цель работы. Основной целью работы является формирование и применение методики изучения качественных свойств компонентов решения задач трансмиссии для эллиптических уравнений в области с разрезом на границе. Для задачи для уравнений с постоянными коэффициентами, с математической точки зрения, это, в первую очередь, влечет необходимость четкой формулировки понятия ее решения (так как специфика постановки задачи не предполагает существования классического решения). Во-вторых, возникает цель сведения исходной задачи к обобщенной, построение решения обобщенной задачи. Наконец, заключительной является изучение сингулярных компонентов реше-
ния (и его производных) в окрестности концов разреза-трещины на границе области. Последнее также относится и к задаче для уравнений с переменными коэффициентами.
Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы получения асимптотических оценок интегралов, зависящих от внешнего параметра, интегральные преобразования, метод ВКБ, метод Фурье, метод построения функции Грина.
Научная новизна. В изучаемых ранее задачах подобного типа рассматривался материал, заполняющий плоскость с трещиной, что приводило к изучению краевой задачи для скалярного эллиптического уравнения с граничными условиями специального вида типа скачка решения на трещине. В настоящей работе изучаются задачи, моделирующие процессы теплопроводности в области, состоящей из двух подобластей, заполненных различными материалами, что приводит к системам уравнений с классическими условиями типа трансмиссии. Условия на границе сформулированы таким образом, что моделируется трещина на границе материалов. При отсутствии дополнительных условий сглаживания это приводит к краевым задачам, вообще, не имеющим классических решений. Показана возможность перехода к подобной задаче с правыми частями граничных условий специального вида с сохранением асимптотических свойств вблизи трещины. При изучении последней задачи работы разработан новый подход, основанный на применении метода ВКБ, изучении спектральных свойств задачи и построению на этой основе функций Грина. Как изученные задачи, так и некоторые из примененных в их исследовании методов, являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Однако, ее результаты могут быть полезны для понимания процессов распределения тепла в современных неоднородных материалах с наличием трещины. Разработанная в ней методика и полученные результаты могут быть использованы при исследовании подобных задач.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались на конференциях «Современные методы теории краевых задач «Понтря-гинские чтения»» на Воронежских весенних математических школах 2012 г., 2013 г., 2014 г. и 2015 г.; всероссийской научно-практической конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций, нелинейный анализ и оптимизация» (Москва, 2013 г.); международных научных конференциях: «40-ые Гагаринские чтения» (Москва, 2014 г.), «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях» (Воронеж, 2014 г.), «Современные методы прикладной математики, теории управления и компью-
терных технологий (ПМТУКТ-2014)» (Воронеж, 2014 г.); научных семинарах под руководством проф. А. В. Глушко (Воронеж, 2013 г. - 2015 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[14]. Работы [8], [10], [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [3], [9], [10] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 50 наименований. Объем диссертации составляет 117 страниц.
Доказательство существования решения у задачи (0.5)-(0.8)
Задача (ОЛ)-(О.З) моделирует стационарное распределение тепла в двух связных полуплоскостях Ж2 и Ж2 с трещиной / = [-1;1]х{0}, находящейся на границе этих полуплоскостей, при условии, что в 12+ и 12_ отсутствуют тепловые источники. Условия (0.2), (0.3) задают скачки температуры и тепловых потоков на трещине I. Предполагается, что на границе полуплоскостей К2+ и 12_ - прямой Г = Ж х {0], вне трещины / температурные поля и тепловые потоки совпадают. В дальнейшем будем придерживаться обозначения: и(х,±0) = 1іти(х,±0 е-нО Во введении говорилось, что с помощью замен (0.4) задача (ОЛ)-(О.З) может быть сведена к задаче (0.5)-(0.8) относительно функций v,(x) и z(x). Приведем определение решения задачи (0.5)-(0.8).
Определение 1.1. Решением задачи (0.5)-(0.8) будет пара функций v,(x) и z(x), заданных на Ж2+, таких что v x), z(x)e С2 (Ж2+) п С1 (ж2), которые в обычном смысле удовлетворяют уравнениям (0.5), (0.6), а также условиям (0.7), (0.8), и такие, что функции v,(x), z(x), — , , — , ограничены на Ж;, существуют и принадлежат пространству (Ж) Обозначим V1(x) и V2(x) четное продолжение функций v1(x) и z(x) на ниж нюю полуплоскость, то есть
Из определения решения задачи (0.5)-(0.8) следует, что функции VJ(x) и У2(х) являются функциями медленного роста (см. [40]). Таким образом, их можно рассматривать как регулярные обобщенные функции в S\R2) (см. [40]).
Вычислив обобщенные производные от функций V x) и У2(х) (см. [40]), получим, что в S (Ж2) они являются решениями уравнений Следовательно, от функций УДх), УДх +0), р v , где р = 1;2, су 2 ществует преобразование Фурье в смысле замечания 0.5, причем ДУДх)], где р=1;2, можно вычислять при помощи сведения к повторному интегралу.
Применив к (1.4) обобщенное преобразование Фурье по переменным х19 х2 и воспользовавшись свойствами обобщенного преобразования Фурье (см. [40]), получим следующие уравнения, эквивалентные уравнениям (1.4) в (М2): -(s 2 + 0,25k 2 p)FXi s 2[Vp(x)] = 2Fx Si р "+ ,р = 1;2, sf = sf + s 2 2. (1.5) В [40] доказано, что если функция У(х) принадлежит пространству L M"), то преобразование Фурье от регулярной обобщенной функции, порожденной функцией У (х), также будет регулярной обобщенной функцией, которая порождается преобразованием Фурье функции У(х), вычисленной в смысле замечания 0.5. Таким образом, равенство (1.5) можно рассматривать как равенство для функций.
Отметим, что если у функций, стоящих под знаком обратного преобразования Фурье, будет существовать обычное обратное преобразование Фурье (в смысле определения из замечания 0.5), то решения уравнений (1.4) будут регулярными обобщенными функциями, заданными этими обратными преобразованиями Фурье.
Доказательство существования решения задачи (0.5)-(0.8) Для доказательства существования решения у задачи (0.5)-(0.8) сформулируем и докажем несколько вспомогательных лемм. Лемма 2.1. Для функций Рр(5х), где р = 0;1, заданных в (1.8), найдется такая положительная константа с, что будут справедливы следующие оценки:
Доказательство. Так как suppq0(x)c[-l;l], suppq(x)c[-l;l], то для функций PQ(s{) и PCsJ) будут справедливы представления P0(s1) = f eix sq.ix dx,, P1(s1) = f e ix slqx(x,)dxl. (2.1) Из условий на функции q x,) и qx(xx) следует, что найдется такая положительная константа c, что при s1 є Ж выполнены оценки Pp(s) c, p = 0;1. (2.2) Если s 8, где 8 - некоторая положительная константа, то при помощи интегрирования по частям получаем, что PU) = eix s ( is, fqox) 1 - ( isі Ґ Ґ eixsq (x)dx. p _і J -і при p = 0;1. Используя последние представления и оценки (2.2), получим, что найдется такая константа о О, что при s є Ж выполнено Pp(sХ) c(l + s1) 1,p = 0;l. (2.3) Воспользовавшись интегрированием по частям при p = 0;1, аналогично оценкам (2.3) можно получить следующие оценки: Pp(s) c(1 + s)"2, если qp(-l) = qp(l) = 0; (2.4) Pp s) c(1 + s)"3, если qp{-\) = qp{\) = qp{-\) = q pQ) = 0 . (2.5) Докажем оценки для функций Pp\s,) и Pp\sx), где p = 0;1. С учетом (2.1) получаем представления Pp(sl) = J eixls ixlqp(x dx,, Pp(s,) = J eix s(-xfqp(x dx,. Отметим, что если при p = 0;1 функции qp(x,) обращаются в нуль при x, = ±1, то функции xflpixj и xfq x,) также обращаются в нуль при х, = ±1, если же при Xj=±l в нуль обращаются функции q (хх) и их первые производные, то при х, =±1 в нуль также обращаются функции х р{х,) и xfq x,) и их первые производные. Таким образом, действуя так же, как при получении оценок (2.3)-(2.5), при помощи представлений функций Pp\sx) и Pp\sx), при р = 0;1 и є Ж можно показать, что найдется такая константа о 0, что будут выполнены оценки
Задача о распределении тепла в плоскости, состоящей из двух полуплоскостей с полу ограниченной трещиной на их стыке
Пусть / - конечный или бесконечный интервал, а функция g(x) определена на /. В дальнейшем через 0(g(x)) при хєі будем обозначать всякую функцию f(x), для которой существует положительная константа с такая, что при хєі выполнена оценка f(x) dg(x). Лемма 2.11. Пусть функция /( ) непрерывна на Ж за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода. Тогда для любого S 0 где к - произвольная положительная константа, а Kx(z) - функция Макдональда (см. [41]).
Доказательство. Выберем 5 0 такое, что О к х-у,)2 + є2 1 при всех !-у З и при всех достаточно малых є. Из свойств функций Макдональда (см. [41], [46]) следует, что при х1,у1, принадлежащих некоторому фиксированному отрезку, функция К1 [o,5k (x1-y1)2+e2)f(y1) ограничена при xi Уі 5p тогда
Из ограниченности функции olo,5k (x-yl)2+2Y((x-yl)2+2) 5f(yl) при є (jCj - dl;xl + Sj) следует, что
Доказательство. Пусть к 0 - произвольная константа. При любом фиксированном N и фиксированном х2 0 найдется такая константа с, что при s є [0;iV] выполнена оценка ехр (-ад)-ехр (-х2фї + 0,25к2) с, тогда из тео ремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получим, что для лю бого фиксированного N: lim j"(exp (-зд)-ехр (-x sf + 0,252)W Следовательно, при произвольном положительном N lim Г (е- -e-Xl )ds1 = lim Г[е -e )dSl. (2.36) Воспользовавшись разложением функции ТЇТ в ряд Тейлора, при х 1 имеем, что vl + x = 1 + х 0(1). Из последнего равенства получаем, что существует такая константа N1, что при s1 Перейдем к доказательству выполнения условия (0.7). Лемма 2.13. Если при /? = 0;1 выполнены равенства ?р(-1) = р(1) = 0, то функции V,(x) и V2(x), заданные равенствами (1.14), удовлетворяют условию (0.7). Доказательство. Ранее было доказано (см. (2.19) и лемму 2.7), что при выполнении условий qp(-l) = qp(T) = 0, где р = 0;1, справедливы представления причем функции Vp(x)e С (М2+) и ограничены на множестве R2.. Следовательно, при фиксированном положительном х2 и при /7 = 1; 2 функции Ур(х) бесконечно дифференцируемы и ограничены по переменной хх на всей вещественной оси.
В лемме 2.2 было доказано, что при выполнении условий q (-Ї) = q (1) = 0, где р = 0;1, выполнены оценки пространству (R), следовательно (см. [43]), Fs x [w4 )]e (R). По скольку функция wp(Sl) дифференцируема в R, то (см. [43], [47])
Пусть х2 О - фиксированное число, тогда из (2.44) получаем, что функции "wp isj)" принадлежат простран Є Х2 Wp{Sl) , (e -X2 + 25klWp(sl)y, (в Х2 ству (Ж), следовательно, Vp(x)e (Ж). Используя (2.43), получаем, что Из свойств функций Макдональда следует, что при фиксированном поло жительном х0 функции (2л-)"1 крх2(xf + х\Г 5Кх1О,5kp Jxf + х\), где /? = 1;2, непрерывны, ограничены віи принадлежат пространству L, (Ж) по переменной хх (см. [41], [46]). Тогда при р = \;2 функции
Поскольку функция е х +0 25к2р бесконечно дифференцируема, ограничена и при надлежит пространству Ц(Ж) при фиксированном х2 0, то (см. [43], [47]) XJ-MJ
Представление граничных функций в виде суммы гладких функций и функций специального вида Во введении было указано, что при помощи представлений (0.9) компоненты решения (MI(JC),M2(JC)) исходной задачи (ОЛ)-(О.З) можно представить в виде (0.11). Следовательно, от задачи (ОЛ)-(О.З) перейдем к изучению задач (0.12)-(0.14) при j = 1;2, но прежде докажем справедливость представлений (0.9). Рассмотрим некоторую функцию g(xl):suppg(xl) = [-l;l]; gixje C3([-l;l]). Построим функцию gl(xl) = g(xl)-e- +l)e(xl+l)[g(-l) + (xl+l){g\-l) + alg(-l)) + +0,5(xl+l)2 ( g\-l)+a2g (-l) + a3g(-l) ) +(xl+lf( gm(-l)+ (3.1) +a4g"(-l) + a5g\-\) + a6g(-l))], где коэффициенты ак,к = їїб находятся из условий g(lk\-l) = 0, к = 0J3, то есть 1(л1)єС3([ о;і]). Воспользовавшись равенством (3.1), можно получить представления g OO к = 1;3, при подстановке в которые х1=-1, имеем
Задача (0.12)-(0.14) при j = 2 описывает стационарное распределение тепла в плоскости, состоящей из двух полуплоскостей, заполненных различными неоднородными материалами. В данной задаче трещина на границе является полу ограниченной, в отличие от задачи (ОЛ)-(О.З), и моделируется лучом при р = 0;1. Первые слагаемые правый частей представлений (4.14) обнуляются в силу условий на функции qp2(s1), для оставшихся интегралов снова применим интегрирование по частям (данная процедура повторяется трижды). В результате, воспользовавшись оценками (4.13), имеем: есть такая константа С 0, что при є Ж выполняется оценка
Асимптотические представления компонентов решения задачи (0.1)-(0.3) и их первых производных
По аналогии с леммой 2.3 может быть доказана следующая лемма.
Лемма 4.4. Если qPt2{sx)є 3 при р = 0;1, то функции У12(х) и У22(х), заданные равенствами (4.11), являются непрерывными и ограниченными в!2 функциями, которые можно вычислять при помощи сведения к повторному интегралу, а функции У12(Хр+0) и У22(Хр+0) существуют и принадлежат пространству (Ж).
Лемма 4.5. Если qp2(Sl)e3 при р = 0;1, то функции У12(х) и У22(х), заданные равенствами (4.11), принадлежат пространству (Ж2).
Доказательство. Проведем его на примере функции У12(х), для функции V22(x) доказательство проводится аналогично.
Лемма 4.6. Если р2( )є 3 при р = 0;1, то функции У12(х) и У22(х) бесконечно дифференцируемы в12+ и являются решениями уравнений (4.2) и (4.3) соответственно. Доказательство этой леммы полностью повторяет доказательство леммы 2.7 с точностью до замены Ур(х) на Ур2(х) и w( ) на w2( ), где /? = 1;2 (применяются оценки из леммы 4.3). Воспользовавшись (4.20) и теоремой о дифференцируемости интеграла по параметру (см. [44]), получаем, что при х2 0 и р = 1;2 Эх, -(2 )-1 Г е -expl-Ust + OaSklV-isMMdb , (4-21) i = -(2 )-1J_ - exp(-x2 / 7o )- / 7o w 2(,1)A. (4.22) Из леммы 4.3 вытекает, что равномерно по х1 є R и х2 0 подынтегральные функции в (4.21) и (4.22) мажорируются функцией c(l + )"3, где с - некоторая положительная константа. Таким образом, если а 2( )єЗ при р = 0;1, то функ ЭУ12(х) ЭУ22(х) ЭУ12(х) ЭУ22(х)
Ограниченность функцийЩ±, Щ,1 , 2 при х2 д 0 следует из представлений (4.20). ЭУ12(х,+ 0) ЭК?(х,+ 0) Лемма 4.7. Если qv2{sx)& 3 при р = 0;\, то , су Эх, дх2 ществуют и принадлежат пространству Ц (Ж). Доказательство. Проведем его для функции (х), для функции У2(х) оно проводится аналогично. Воспользуемся представлениями (4.23) и покажем, что функции фї+0,25к? w2 (sl), ( f+0,25 2 w2 ( ) ) и ( f+0,25 2 w 2 ( ) ) принадлежат пространству (Ж), что и будет свидетельствовать о справедливости данной леммы (см. [43]).
Доказательство данной леммы аналогично доказательству леммы 2.12. Докажем, что функции Vl2{x) и V22{x), заданные равенствами (4.11) удов 56 летворяют граничным условиям (4.4), (4.5).
Лемма 4.9. Если q isje 3 при р = 0;1, то функции Vl2(x) и V22(x), заданные равенствами (4.11), удовлетворяют условиям (4.4) и (4.5).
Доказательство. При использовании представлений (4.20) и результатов леммы 4.3 аналогично тому, как сделано в лемме 2.13 может быть доказано, что при всех х1 будут справедливы равенства кпх7 2к \ +У, (0,5kpJ(Xl - Уі)2+ х\ \{{хх- Уі)2+ х\)" 5F-lyi [w0pa(Sl)]dyi .(4.24) Воспользовавшись представлениями (4.24) и леммой 2.11, получаем, что lim (Vh2(xl,+ є) -У2і2(Хр+ є)) = F \Xi [w is,) - w is,) є +0 Из последнего равенства, формул (4.9) и (0.15) следует, что (см. [43], [47]) lim (Vu(x19+ є) -V2a(xv+ є)) = F Xl [_Р,М)\ = FS X [F [«foW]] = %M)
Таким образом, выполнение граничного условия (4.4) доказано. Для доказательства выполнения условия (4.5) необходимо воспользоваться леммой 4.8. Лемма доказана.
Полученные выше результаты сформулируем в виде утверждения. Утверждение 4.1. Если qpa(sx)E 3 при р = 0;1, то задача (4.2)-(4.5) имеет решение, причем для функций v12(x) и z2(x) справедливы следующие представления: J_ 1(0,5 ( x1-,1 )44).(( x1-),)4x? f 1(0,5t2V( x1-),) 2 + ).(( x1-,1 )4x - 3 где функции w10, 2 (s1) и w20,2 (s1) задаются равенствами (0.15). Замечание 4.4. Для того, чтобы восстановить решение задачи (0.12)-(0.14) при 7 = 2 достаточно воспользоваться утверждением 4.1 и равенствами (4.1).
Из вышеизложенного рассмотрения задачи (0.12)-(0.14) при j = 2 следует справедливость теоремы 0.2. 5. Задача (0.12)-(0.14) при j = \. Свойства обобщенного решения задачи (0.1)-(0.3) Во введении было указано, что функции Уп(х) и У21(х) являются четными, имеют следующие представления vu(x), х2 0, \Zl(x), х2 0, Vn(x) V?Ax) = \ l l (5.1) vu(x15-x2), x2 0; 2Д [ (x -x,), x2 0 и находятся из уравнений (0.18) в S\R2). Аналогично тому, как рассуждали при исследовании задач (0.5)-(0.8) или (0.12)-(0.14) при j = 2, можно получить, что компоненты решения задачи (0.18) имеют вид
Обозначим ( 1 2) = 2 ( 12 + 0,25fc12 ) 0 5( 2 + 0,25fc12)"1 w101( 1), то есть, согласно представлению (5.3), vu(x) = F s [C(svs2)] при х2 0. Заметим, что функция C(svs2) принадлежит пространству Ь2(Ш2+), поэтому ее преобразование Фурье также принадлежит пространству L IR2} (см. [44]). Рассмотрим последовательность функций k(svs2) = (svs2)j]k(svs2), принадлежащих пространству L2(M2)n (M2) (см. [48]), где
Аналогично тому, как показано в предыдущей лемме, можно доказать, что компоненты решения задачи (4.2)-(4.5) функции v12(x) и z2(x) принадлежат пространству Ь2(Ш2+). Следовательно, вернувшись обратно к исходной задаче (ОЛ)-(О.З) с помощью замен (0.11), (4.1) и (0.17), получаем, что функция е0 5кли1(х) принадлежит пространству Ь2(ш2+), а функция е 5кли2(х) - пространству Ь2(ш2_), где (щіхХщіх)) - решение задачи (0.1 )-(0.3).
Отказ от условий qp(-l) = qp(l) = qp{-\) = qp{\) = 0 при p = 0;1 не позволяет доказать выполнение граничных условий (0.2) и (0.3) по непрерывности аналогично тому, как это было сделано для задачи первой главы и задачи (0.12)-(0.14) при j = 2, однако, можно доказать, что они выполнены в L2(M).
Задача (0.31)-(0.35) при j =1. Асимптотические представления компонентов ее решения и их первых производных вблизи концов трещины
Так как выражение под преобразованием Фурье в равенстве (6.23) равномерно по XjGlR и Х2 0 мажорируются функцией с(1 + Ы) 2, где с - некоторая положительная константа, следовательно, третье слагаемое правой части равенства (6.23) является непрерывной и равномерно ограниченной функцией при хх є R и х2 0.
Применение лемм 6.4 и 6.8 завершает доказательство справедливости первого разложения доказываемой леммы. Заметим, что выражение под преобразованием Фурье в равенстве (6.24) равномерно по XjGR и х2 0 мажорируются функцией с(1 + Ы) 2, где с - некоторая положительная константа, следовательно, второе слагаемое правой части последнего равенства является непрерывной и равномерно ограниченной функцией при х1 є R и х2 0. Очевидно, что второе асимптотическое представление леммы 6.9, согласно лемме 6.6, справедливо. Лемма доказана. Лемма 6.10. Пусть х2 0 и Г _е- 4+о,25 рф2 + 25k2p (jsf + 0,25klp + (-iy0,5k3_p ) еыгщ
Легко заметить, что подынтегральные выражения третьего, четвертого, шестого и седьмого слагаемых правых частей последних равенств при т = 1; 2 равномерно на любом компакте мажорируются функцией сх2(1 + Щ) 2, где с - некоторая положительная константа, следовательно, суммы указанных слагаемых являются непрерывными и равномерно ограниченными функциями на любом компакте К cz Ж2+ . Изучение оставшихся слагаемых будем проводить для каждого из случа-евг = 1 иг = 2. где функции h"(x) и /г2 (x) являются непрерывными и равномерно ограниченными на любом компакте К cz Ж2 . Заметим, что подынтегральные выражения последних двух слагаемых правой части равенства (6.29) и второго и пятого слагаемых правой части равенства (6.25) равномерно по х1 є Ж и х2 0 мажорируются
функцией с(1 + ш) 2, где с - некоторая положительная константа, следовательно, соответствующие компоненты сумм являются непрерывными и равномерно ограниченными функциями при X! є Ж и х2 0. Из вышеизложенных рассуждений и представлений (6.25) и (6.29) следует, что равномерно по д є Ж и х2 0 мажорируются функцией с(1 + ш) 2, где с - некоторая положительная константа, следовательно, является непрерывными и равномерно ограниченными любом компакте К с Ж2 функциями.
Свойства решения вспомогательной задачи (0.27)-(0.30) Задача (0.27)-(0.30) может быть изучена аналогичным образом, что и задача (0.5)-(0.8). Для компонентов ее решения (v1(x),z(x)) будут справедливы следующие утверждения, аналогичные теоремам 0.1, 0.3 и 0.4. Утверждение 8.1. Если при /? = 0;1 выполнены равенства qp(-l) = qp(V) = q p(-l) = q p(l) = 0, то задача (0.27)-(0.30) имеет решение, причем для функций VJ(JC) и z(x) справедливы следующие представления:
Утверждение 8.2. Для компонентов вектор-функции (v1(x),z(x)), которая является решением задачи (0.27)-(0.30), справедливы следующие свойства: 1. функции і\(х) и z(x) принадлежат пространству L,(R ); 2. выполнены равенства lim [ (vAx)-z(x)-qJx)fdx=0, Um П М + М _„(х ) dx=0. Утверждение 8.3. Для компонентов вектор-функции (v1(x),z(x)), которая является решением задачи (0.27)-(0.30), и их первых производных справедливы следующие асимптотические разложения вблизи точек (±1;0):
Будем исследовать каждое из слагаемых правой части равенства (8.7) отдельно. Воспользовавшись оценками леммы 4.2, можно заметить, что I1(x) , I2(x) J+3V I (x) , где j = 0;3 и w = l;2, мажорируются cf (і + ШГ2 , где С некоторая положительная константа, а, следовательно, функции I1(x) , I2(x) , I І+3,и (x) являются непрерывными и равномерно ограниченными на D+, где + = {х = (хрх2) xj 2;0 х2 2}, j = 0;3 и и = 1;2. Таким образом, остается изучить поведение функций Ij+1 n(x), где j = 0J5 и п = 1;2. Замечание 8.1. В настоящей главе будут использоваться обозначения леммы 6.4, в которой вместо к2р записано кр. 1. Пусть j = 0 и далее будем считать п = 1;2, тогда, применив очевидное равенство sf (1 - is,) 1 = 1 + is, - (1 - Ц)"1, обозначения леммы 6.4 и замечание 8.1, функция /7я(х) примет вид x2\s\ +0,25] /(x)=F-1 il- Xj (-1)»»! 1 F -\ - Xj g- V +o c-i)"», _Л»(Х)_ (8_8) Ранее показали, что при Ы—»+о и х2 0 справедливы асимптотические разложения (см. (6.7))