Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ' ТЕШ. Диссертация посвящена разработке нового подхода к изучению глобальных аналитических свойств решений широкого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которому, в частности, принадлежат все шесть типов классических уравнений Пенлеве. Предлагаемая в работе схема основана на привлечении з традиционную теорию обыкновенных дифферен-циальных уравнений математических приемов и идей, возникших в современной математической физике под влиянием широко известного ныне метода обратной задачи и уже успешно зарекомендовавших себя в теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Среди них естественно выделяются гамильтонов подход к нелинейным эволюционным уравнениям, современное изложение которого содержится в монографии Л.А.Тахтаджяна и Л.Д.Фаддеева1; и аналитический аспект метода обратной задачи, более тесчо связанный с предметом диссертации. Последний включает в себя формализм матричной задачи Римана, созданный в работах В.Е.Захарова, А.Б.Шабата, С.В.Манакова и А.В.Михайлова, а такяе аппарат теории конечнозонного интегрирования, развитый исследованиями С.П.Новикова, Б.А.Дубровика, В.Б.Матвеева, А.Р.Итса и И.М.Кричевера. Перечисленные работы касались в основном теории точных решений нелинейных уравнений. Параллельно с этим в рамках метода обратной задачи интенсивно изучались вопросы асимптотического анализа общих решений, то есть решений соответствующих задач Коши. Решающие шаги здесь были сделаны в работах С.В.Манакова, В.Е.Захарова, А.Б.Шабата и Е.Я.Хруслова. В дальнейшем соответствующие результаты были уточнены, строго обоснованы и обобщены в различных направлениях в статьях B.C.Буслаева, М.Абловица и Х.Сегура, А.Р.Итса и автора диссертации. Полученные на этом пути явные , асимптотические формулы представляют собой нелинейные аналоги формул классического метода Фурье и, как отмечено в 2' "наиболее ярко демонстрирует эффективность метода обратной задачи".
'Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. - М.: Наука, 1986.
'Захаров В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Питаевский Л.П. Теория солитонов (метод обратной задачи), - М.: Наука, 1980.
Новый импульс как в теоретико-групповом, так и в аналитическом плане был придан методу обратной задачи в конце 70-х годов известной серией работ киотской группы (М.Сато, М.Дзимбо, Т.Мива, К.Уено) ' и работой Г.Флашки и А.Ньюэлла ; Предает исследования этих статей восходит к классической задаче Римана--Гильберта о восстановлении системы обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами по ее группе мо-нодромии. Последняя задача связана с лаксовой парой дифференциальных операторов метода обратной задачи следующим образом. Если в качестве потенциала 14.(.^) в jL -операторе выбрать какое-либо автомодельное решение исходного нелинейного уравнения, то соответствующая ~Цґ -функция будет удовлетворять третьему уравнению - уравнению по спектральному параметру вида
ЦТ -A(l,*,u,u )У, (I)
А ,
где А - рациональная матричная функция по Я , коэффициенты которой зависят от ее , и. , тл , ... . Матрицы монодромии
системы (I) естественным образом связаны с матрицей рассеяния L -оператора, причем динамика данных монодромии по ее и ~L остается тривиальной ("изомонодромность" деформации системы (I)).
Это важное наблюдение, развитое в дальнейшем А.Р.Итсом, легло в основу метода изомонодромных деформаций в теории интегрируемых уравнений с частными производными и позволило, к примеру, "внутренним"образом провести процесс построения временных асимптотик, не апеллируя к априорной информации об их структуре.
Отвлекаясь от автомодельных редукций эволюционных уравнений, можно изначально сузить класс деформационных уравнений, рассмо-
З'Сато М., Дзимбо М., Мива Т. Голономные квантовые поля. - М.:
Мир, 1983. 'Plaachka Н. deformations. - Сопи,Math.Phys., 1980, т.76, р.65-116.
^'Plaachka Н., Hfcwell A. Monodromy- and spectrum preserving
трев однопараметрические деформации, зависящи от одной независимой переменной ос, . Тогда, полагая группу монодромии системы (I) не зависящей от ос. , получаем обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию и. Ок.') . В общем случае оно записывается в виде известного уравнения нулевой кривизны
где рациональная по Я матрица L, определяет динамику W -функции по ее : "^ = Z У . Существование последнего уравнения для изомонодромной "^ -функции гарантируется теоремой Флашки-Ныоэлла4;
Предметом диссертации служит исследование аналитических свойств решений нелинейных уравнений вида (2), описывающих изо-монодромные деформации системы (I). Класс таких уравнений содержит, в частности, все шесть типов уравнений Пенлеве3: Первыми интегралами их решений являются по определению матрицы монодромии системы (I). Это обстоятельство позволяет изучать аналитическую структуру общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2) (существенное отличие от метода изомонодромных деформаций в теории уравнений с частными производными).
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Для уравнений (2) в диссертации ставятся основные задачи аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений: вычисление асшлптотического поведения реиения задачи Коши по начальным данным, изучение особенностей общего решения и асимптотического распределения особенностей, а также параметризация классов общих решений их первыми интегралами. В диссертации разработаны асимптотические метода, позволяющие решить указанные задачи в рамках метода изомонодромных деформаций. Показано, что данный подход для уравнений (2) является прямым нелинейным аналогом метода интегральных представлений для классических спецфункций, удовлетворяющих линейным уравнениям второго порядка. В свою очередь, нелинейным аналогом последних уравнений выступают в работе уравнения Пенлеве, возникающие в различных задачах теоретической и математической физики.
На примере уравнений Пенлеве второго и третьего типов
HI: и. = эсгл +2 и3
РИ: и. + — u. + sin u. = о,
эсэс ОС. ^
в диссертации исследованы упомянутые выше аналитические свойства их одно- и двухпараметрических решений на вещественной оси. Асимптотическое поведение функций Пенлеве в окрестности существенных особых точек связывается явными формулами с данными моно-дромии, что позволяет написать формулы связи асимптотик в различных точках или областях.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты:
Для частного случая уравнения РШ - автомодельного уравнения синус-Гордон - доказано существование двухлараметрического семейства гладких вещественных решений на полуоси о -а =с ^ «з и найдены явные формулы связи их асимптотик в нуле и на бесконечности. Выделены классы однопараметрических решений, линейным пределом которых служат функции Бесселя 7 0*0 » К С*)*
Для уравнения РШ описано семейство комплексных мероморфных решений, заданных лорэновским разложением в нуле. Получены явные асимптотические формулы распределения полюсов этих решений на бесконечности. Аналогичные формулы предъявлены для вещественных мероморфных решений уравнения HI, заданных гладкой асимптотикой при эс. ~— - оо . Выделены однопараметрические классы гладких решений, экспоненциально убывающих при -. -* + «*> .
С помощью асимптотических свойств функций Пенлеве, установленных методом изомонодромных деформаций, построены временные асимптотики решений
а) дискретного нелинейного уравнения Шредингера,
б) системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающей динамику
импульса в длинном лазерном усилителе,
в) трехмерного нелинейного уравнения Шредингера в окрест
ности момента волнового коллапса.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Основными техническими средствами, используемыми в диссертации являются метод обратной задачи, матричная задача Римана и асимптотическая теория линейных дифферен-
циалышх уравнений в комплексной плоскости,
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Уравнения Пенлеве представляют собой классический объект качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и анализу их решений посвящено большое число работ. С другой стороны, значительный всплеск интереса к этим уравнениям вызван в последнее время их появлением в ряде задач теоретической и математической физики, связанных с нелинейными эволюционными уравнениями, квантовой теорией поля и статистической физикой. В этих задачах уравнения Пенлеве применяются для описания определенных переходных и автомодельных режимов, которые "сшивают" решение исходной задачи в различных характерных областях. Подобная составная структура асимптотических решений нелинейных систем является общей для обширного класса задач. При этом неважно, является исходная система интегрируемой или нет. Иными словами, из ряда моделей нелинейной теоретической физики можно сделать вывод о том, что трансцен-денты Пенлеве играют в них ту же роль, что и классические спец-функцш в линейных задачах. Полученные в диссертации результаты позволяют описать асимптотическое поведение функций Пенлеве о той же степенью полноты и явности, что и функций Бесселя, Эйра и др.
АПРОБАІВД РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинарах лабораторий математической физики и дифференциальных уравнений Башкирского филиала АН СССР, на семинаре им. И.Г.Петровского в МГУ (1983, 1984 и 1986 г.), на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Черноголовка, 1985 г.), на П Рабочем совещании "Теория солитонов и приложения" (Дубна, 1985 г.), иа семинаре ЛОМИ под рук. член.--корр. АН СССР О.А.Ладыженской (1984 г.), на семинаре в Харьковском гос. университете под рук. акад. АН УССР В.А.Марченко (1986 г.).
ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 6-ти статьях и 4-х главах монографии, написанной совместно с А.Р.Итсом.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на 4 главы кавдая, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 228 страниц, список лите-
- 8 -ратуры содержит 103 наименования,
