Содержание к диссертации
Введение
1 Характеризация обобщённого преобразования Радона 27
1.1 Основные определения и постановка задач 27
1.2 Непрерывность и характеризация 35
1.3 Формула коплощади и следствия из неё 39
1.4 Доказательство теорем 1.1 и 1.2 43
1.5 Доказательство теорем 1.3 и 1.4 48
2 Обращение обобщённого преобразования Радона 53
2.1 Основные результаты 53
2.2 Доказательство теоремы 2.1 58
2.3 Аналоги тауберовых теорем Винера 60
2.4 Доказательство теорем 2.2 и 2.3 64
2.5 Доказательство теорем 2.4, 2.5 и предложений 2.1, 2.2 67
3 Обратная задача Дирихле—Неймана и её приложения в акусти ческой томографии 75
3.1 Основные определения и постановка задач 75
3.2 Приложения к акустической томографии 81
3.3 Доказательство теорем 3.1, 3.2 и 3.5 85
3.4 Доказательство теорем 3.3 и 3.4 87
4 Сведение обратной задачи Дирихле—Неймана к обратной задаче рассеяния 94
4.1 Случай нулевых фоновых коэффициентов 94
4.2 Случай известных фоновых коэффициентов 97
4.3 Доказательство теоремы 4.3 101
4.4 Доказательство теоремы 4.4 110
5 Решение обратной задачи рассеяния 120
5.1 Нелинеаризованный алгоритм 120
5.2 Алгоритм в борновском приближении 127
5.3 Вывод нелинеаризованного алгоритма 134
5.4 Доказательство теорем 5.2, 5.3 и 5.4 142
5.5 Доказательство предложений 5.2 и 5.3 146
Заключение 153
Список обозначений 155
Список литературы
- Формула коплощади и следствия из неё
- Доказательство теоремы 2.1
- Доказательство теорем 3.1, 3.2 и 3.5
- Случай известных фоновых коэффициентов
Формула коплощади и следствия из неё
В заключительной части 1.2 мы обращаемся к задаче характеризации оператора П из формулы (5) в случае, когда q = qa, a qa определено в формуле (6). Мы решаем задачу характеризации, указывая интегро-дифференциальный оператор Fa, композиция которого с оператором ПЧа является преобразованием Лапласа, и комбинируем этот результат с теоремой характеризации для преобразования Лапласа. Важным преимуществом оператора Fa по сравнению с Т является то, что в нём дифференцирование и интегрирование ведётся только по одной переменной. Этот результат приведён в теореме 1.4. Идея получения оператора Fa была приведена в работе [41] в случае а = 1. Эта идея была обобщена на случай произвольных а в работе [86].
Во второй главе рассматриватся задача обращения для обобщённого пре 15 образования Радона Rq и для интегральных операторов типа Радона Щ, включая случай оператора прибыли П в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена. Основные результаты главы 2 приведены в параграфе 2.1, а доказательство этих результатов проводится в параграфах 2.2—2.5.
Заметим, что формулы (13) и (14) могут использоваться для обращения операторов Rq и Rhq. В случае оператора Rq, например, требуется выразить Mf через MRhqf и воспользоваться формулой обращения для преобразования Мел-лина М. Однако этот подход требует вычисления несобственного интеграла и не может использоваться на практике. Если же несобственный интеграл заменить собственным интегралом, то мы получим приближённую формулу обращения. Соответствующая ошибка восстановления приводится в теореме 2.1.
Затем мы переходим к рассмотрению вопроса характеризации тех функций q и /г, для которых операторы Rq, Uq и Rq являются обратимыми. Для получения критериев обратимости операторов Rq и Rq мы доказываем и используем аналоги тауберовых теорем Винера для случая, когда вместо преобразования Фурье используется преобразование Меллина. Тауберовы теоремы Винера позволяют связать полноту в Lr(M.n) линейной оболочки множества аддитивных сдвигов вида fa = /( — а), а Є Шп, некоторой функции / с величиной множества нулей её преобразования Фурье. Мы переносими эти результаты на случай гармонического анализа BR". Соответствующие обобщения теорем Винера приводятся в леммах 2.3 и 2.4 из 2.3.
Для краткости будем говорить, что множество S является 1-тощим в плоскости Н С Сп, если SПН нигде не плотно в Н; 2-тощим в Н, если SПН имеет меру нуль в Н; и оо-тощим в Н, если S П Н = 0. С помощью аналогов теорем Винера мы доказываем следующую теорему.
Теорема 3. Пусть q удовлетворяет (3) и (7). Пусть с Є К и р Є {1, 2, оо}. Тогда Uq инъективен в Lj_c(IR") тогда и только тогда, когда Rq инъективен в LPj_c(W ). При этом Rq инъективен в LPj_c(W ) тогда и только тогда, когда множество нулей функции (Me q)(z) является р-тощим в плоскости Rez = с. Аналогичная теорема справедлива для операторов Rt1 общего вида. В приложении к обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена указанная теорема единственности характеризует отрасли, для которых агрегированная функция прибыли Uqf однозначно определяет распределение мощностей по технологиям /. Мы также показываем, что инъективность "распространяется" по отношению к частичной композиции (8). Комбинируя это свойство с теоремой 3, мы показываем, что оператор прибыли П , отвечающий вложенной CES-функции q, является инъективным в любом пространствеLj_c(K"), р Є {1, 2, оо}, с Є К.
В заключительной части 2.1 мы изучаем задачу обращения для оператора П в случае, когда q = qa, а Є [—оо,1], где qa определено в формуле (6). В теореме 2.4 мы показываем, что оператор прибыли П является инъективным при а О, а при а = 0 мы описываем его ядро. Затем мы рассматриваем более сложную задачу нахождения функций q = qa и / по функции прибыли Hqf. Мы указываем достаточные условия, при которых из представимости функции F в двух разных формах F = Т1ЧіЦі И F = Т1Ч2ц2, где qx = qai, q2 = qa2 и q\ Ф q2, следует, что F = 0. Эти условия приведены в теореме 2.5.
Основная идея получения этих условий заключается в том, что еслиП /іі = П(?2/І2, то оператор, переводящий функцию ПдіЦі в преобразование Лапласа некоторой меры, также должен переводить функцию Пд2/Х2 в преобразование Лапласа некоторой меры. Мы показываем, что это невозможно, если меры/Іі и ц2 достаточно быстро убывают на бесконечности. Если же отказаться от требования быстрого убывания мер, то можно привести пример двух разных мер/іі и /І2, для которых ПдіЦі = Пд2/Х2 при q\ = qai, q2 = ga2, (i\ ф (i2. Такой пример приводится в предложении 2.2.
В третьей главе мы формулируем обратную задачу Дирихле-Неймана для калибровочно-ковариантного оператора Шрёдингера и указываем некоторые приложения этой задачи в акустической томографии сред с течениями. В параграфе 3.1 мы приводим основные определения и постановки задач. Мы рассматриваем следующее уравнение в частных производных: ЬАуф = -Аф -2i 2 ААХ) + у(Ф = Ег х є А (18) .7=1 3 д д А = —; + + где А = (А\,... , An), Aj и V — достаточно регулярные Мп(С)-значные функции в ограниченной области D С M.d {d 2) с границей 3D, Е Є С, а МП(С) обозначает множество комплексных матриц размера п х п. Оператор ЬАу иногда называют оператором типа Шрёдингера во внешнем поле Янга-Миллса (см., например, [27]). В случае п = 1 оператор ЬАу называют оператором типа Шрё 17 дингера в магнитном поле. Оператор Дирихле-Неймана Лду = Кду(Е) для уравнения (18) в области D сопоставляет функции / на 3D функцию Лду/ на 3D, которая определяется следующим образом: ЛАУ/=( + »5 =ИЛЛ1 Ш, (19) где v — единичный внешний вектор нормали к 3D, а ф определяется как решение уравнения (18) с граничным условием ф\эв = /5 при предположении, что соответствующая задача Дирихле имеет единственное решение (иными словами, Е не является собственным значением Дирихле для оператора Ьду в области D). Оператор Лду инвариантен по отношению к следующим калибровочным преобразованиям: Aj - А] = дА3д 1 + 9 \ j = l,...,d, (20а) V V = gVg-1 - дАд-1 - 2г - -, (20Ь) где д - достаточно регулярная (7Ьп(С)-значная функция в замкнутой области D, g\dD = Idn, GLn(C) обозначает множество невырожденных матриц размера п х n, a Idn обозначает единичную матрицу. Обратная задача Дирихле-Неймана для уравнения (18) формулируется следующим образом. Задача 3. Пусть задан оператор ААУ(Е) при фиксированном Е (или при Е из фиксированного множества). Найти А и V по модулю калибровочных преобразований (20а); (20Ь).
Доказательство теоремы 2.1
Теперь мы перейдём к задаче характеризации таких функций h и q, при которых операторы Rq, R и П являются обратимыми. Нахождение таких условий позволит получить характеризацию отраслей в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена (в терминах их производственных функций на микроуровне), для которых функция прибыли однозначно определяет распределение мощностей по технологиям.
Следующая теорема показывает, что инъективность операторов Rq и П характеризуется малостью множества нулей преобразования Меллина функции e q. Для краткости, мы будем говорить что множество S в плоскости Н С Сп является: 1. 1-тощим, если S П Н нигде не плотно в Н, 2. 2-тощим, если S П Н имеет меру нуль в Н, 3. оо-тощим, если S П Н = 0. Теорема 2.2. Пусть q удовлетворяет (1.8), (1.10) и пусть с Є 1Щ_, г Є {1,2,оо}. Тогда оператор Uq инъективен в Lj_c(IR") тогда и только тогда, когда Rq инъективен в Lrj_c(W ). При этом Rq инъективен в Lrj_c(W ) тогда и только тогда, когда множество нулей функции (Me q)(z) является г-тощим в плоскости Re z = с.
Отдельно отметим, что в теореме 2.2 в случае г = оо операторы Rq и П рассматриваются на функциях, преобразование Меллина которых в общем случае не определено, так что для обращения операторов Rq и П не могут быть использованы формулы (1.21) и (1.23). Аналогичная теорема справедлива для операторов Rhq.
Теорема 2.3. Пусть q удовлетворяет (1.8), (1.10) и пусть с Є 1Щ_, а = С\ + + сп, г Є {1,2,оо}. Пусть h Є L ,(IR _) (а при г = 2, кроме того, h Є Ь2а{Ш}+)). Тогда оператор Rhq инъективен в LrI_JJkv+) тогда и только тогда, когда множество нулей функции (Me q)(z) является r-тоищм в плоскости Rez = с, а множество нулей функции (Mh)(s) является r-тоищм на прямой Res = а.
Теперь обратимся к случаю, когда q = qa, а Є [—оо, 1], где qa определено в формуле (1-9). Напомним, что в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена такие функции q описывают технологии с постоянной эластичностью замещения производственных факторов, см. 1.1. Мы приведём теоремы единственности для случая оператора П , так как именно этот случай представляет наибольший интерес с практической точки зрения.
Нам потребуется ввести одно обозначение. Обозначим через (жі,. .. , хп) стандартные координаты в Ш.п, а через (уі,.. . , yn-ii h) — координаты той же точки в ортонормированном базисе, первые (п — 1) векторов которого лежат в плоскости Х\ + хп = 0. Для произвольной функции /: К — К. положим по определению fh(yi,---,yn) = f(e i,...,e )e i е , (2.6) где 2i, ..., ап определены в формуле (1.9). Теорема 2.4. Пусть q = qa, где qa определено в формуле (1.9). Тогда: 1. Пусть а Є (0,1]. Тогда Iiq инъективен в классе борелевских мер (со знаком), интегрируемых с весом ш(х) = ехр(—А\х\а), А 0. 2. Пусть а = 0. Тогда ядро оператора Uq на пространстве Ll(W ) П С(К") состоит из всех f таких, что jRn-i fh(y)dy = 0 для всех h Є Ж, где fh определено в формуле (2.6). 3. Пусть а Є (—оо,0). ТогдаИч инъективен в Ь\_с{Жп+)С\С{Жп+) для любого с Є Щ. 4- Пусть а = —оо. Тогда Uq инъективен в Ь1{Ш _) П С1 (К). Как следует из теоремы 2.4, при предположении о постоянной эластичности замещения ресурсов, функция прибыли в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена однозначно определяет распределение мощностей по технологиям во всех случаях, кроме случая q = q$, который соответствует производственной функции Кобба-Дугласа на микроуровне. Тем не менее, в этом исключительном случае возможно явно описать ядро оператора прибыли. Теорема 2.4 доказывается в 2.5.
Как следствие из теорем 2.2 и 2.4, мы можем получить следующий результат, касающийся инъективности оператора в случае вложенных CES-функций q. Напомним, что под вложенными CES-функциями мы понимаем функции, получающиеся в результате конечного числа частичных композиций вида (1.11) из CES-функций. В теории производства такие функции были предложены К. Са-то (см. [68]) как обобщение CES-функций, наследующее от последних простоту аналитических манипуляций и идентификации параметров по статистическим данным, и позволяющее учесть различную эластичность замещения между различными производственными факторами (в частности, это позволяет принять во внимание эффект комплементарности «капитал-квалификация», см. [35]).
Предложение 2.1. Пусть функция q построена из функций вида qa с а Є (0,1] (см. (1.9)) с помощью конечного числа частичных композиций (1.11). Тогда оператор q инъективен в Lrj_c(W ), г Є {1,2, оо}; с Є К. Предложение 2.1 доказывается в 2.5. Теперь рассмотрим задачу обращения функции прибыли qfi в более общем случае, когда допускается варьировать не только распределение мощностей по технологиям /І, но и функцию себестоимости q. Если qfi однозначно определяет q и /І, то можно сказать, что микроуровневое описание отрасли однозначно определяется макроуровневым описанием. При предположении о постоянной эластичности замещения ресурсов справедлива следующая теорема. Обозначим Ll(MJ ,n) = {/ измерима, JRn \f(x)\fi(dx) оо}. Теорема 2.5. Пусть q\ = qai, q i = qa2, где 0 tx i tx\ 1. Пусть fi\, /І2 — неотрицательные конечные борелевские меры на М такие, что \х\2аі Є Ь1(Ш}+)Ц2) и /ІІ = 92/І2- Тогда /ІІ = /І2 = 0.
Требование на рост мер в теореме 2.5 является существенным, как показывает следующий пример неединственности, доказательство которого основывается на теореме 1.4. Пусть 5 обозначает ( -функцию Дирака, а К\ — модифицированную функцию Бесселя второго рода: Ki(s) = - /exp(-f( + ±))eft, Res 0. (2.7) о Предложение 2.2. Определим функцию Ро s ЩРО,Р)= / ew{-j=t{VP i + Vp2))jds, po 0,peR 2 +. (2.8) о о Тогда П = Uqifi = Iiqi/2v, где q\ и qi/2 определены формулой (1.9) и Ii(dxi,dx2) = . К\ ( — ) dx\ dx2} (2.9) 7ГЖіЖ2 y/Xi + X2 V \/Ж1Ж2 / v[dx\ dx i) = jr exp(—\)8{x\ — X2) dx\ dx2. (2.10) Теорема 2.5 и предложение 2.2 доказываются в 2.5. Сделаем несколько замечаний относительно используемых в диссертации подходов к задаче обращения. Существуют три наиболее распространённых подхода к решению задачи обращения обобщённого преобразования Радона. Первый подход основан на сведении задачи обращения к обращению хорошо известных преобразований вроде преобразований Фурье, Абеля или Меллина. Этот подход, помимо прочего, позволяет получить явные формулы обращения. Однако этот метод применим, когда определение обобщённого преобразования Радона заключает в себе определённые симметрии. Отметим, что этот подход появился уже в первых работах по интегральной геометрии [32] и [65]. Мы используем этот подход в теоремах 1.1, 1.2 и 2.1, сводя задачу обращения для операторов Rq, Bh иП к задаче обращения преобразования Меллина.
Доказательство теорем 3.1, 3.2 и 3.5
В 3.1 мы сформулировали обратную задачу Дирихле-Неймана 3.1 и заметили, что одним из двух основных подходов к решению задачи 3.1 является её сведение к подходяшей многомерной задаче рассеяния. В 3.1 мы также сформулировали соответствующую многомерную обратную задачу рассеяния 3.3. В этом и следующем параграфах мы приведём формулы и уравнения, сводящие задачу 3.1 к задаче 3.3. Более точно, мы приведём формулы и уравнения для нахождения данных рассеяния SA,V(E) ПО оператору Дирихле-Неймана Кду(Е) из формулы (3.1).
Мы рассматриваем уравнение (3.9) при Е Є С и х Є D, где D — ограниченная область вШ (d Є {2,3},) с гранцей 3D Є С . (4.1) Пусть С " (D, МП(С)) обозначает множество Мп(С)-значных покомпонентно гёльдер-непрерывных с показателем а функций на М. с носителем в D. Кроме того, пусть Cl (dD} МП(С)) обозначает множество функций из пространства О ( 9D, МП(С)) с покомпонентно гёльдер-непрерывными с показателем [5 первыми производными. Мы предполагаем, что коэффициенты А,- и V уравнения (3.9) удовлетворяют следующему условию: Au...,Ad,VeC p(D,Mn(C)), а Є (0,1]. (4.2)
Мы считаем, что Е не является собственным значением Дирихле для операторов Ьду и Д из формулы (3.1) в области D, так что задача (3.2а), (3.2Ь) однозначно разрешима относительно ф Є C2(D,Mn(C)) П C1(D,Mn(C)) для всех / Є Cl,l3(dD, Mn(C)), /З Є (0,1) (мы докажем это утверждение в лемме 4.3 из 4.4). Пусть Аду(Е) обозначает оператор Дирихле-Неймана для уравнения (3.9) в области D. Этот оператор определяется формулой (3.4), где — решение задачи (3.2а), (3.2Ь).
Мы также рассматриваем уравнение (3.9) при х Є M.d (заметим, что определение (4.2) предполагает, что А = 0, V = 0 вне D). Для этого уравнения мы рассматриваем данные рассеяния SA,V(E), которые представляют собой одну из функций / или /г7, 7 S , определённых в формулах (3.14) и (3.18), если Е О, и функцию h из формулы (3.17), если Е Є С \ (0,оо). Мы сведём обратную задачу Дирихле-Неймана 3.1 к обратной задаче рассеяния 3.3 из 3.1, указав формулы нахождения данных рассеяния SA,V(E) ПО Лду.
Для формулировки основных результатов нам необходимо ввести несколько обозначений. Мы определяем множества Е, 7, 7 Є S , и + следующим образом: = {(єС \ К. уравнение (3.15) при к = ( не разрешимо однозначно относительно ф = elkxii, где /І Є W {Rd,Mn{C))}, 7 = {( Є Ж. \ 0 уравнение (3.15) при & = + Ю7 не разрешимо однозначно относительно Е+ = {( Є W1 \ 0 уравнение (3.12) при к = ( не разрешимо однозначно относительно (4.3) (4.4) (4.5) Свойства множеств Е, Е1 и Е+ изучались в литературе в случае п = 1, А = О, см. [59] и ссылки в этой работе. Положим А(Е) = ААу(Е), А(Е) = А0г0(Е), а через (Л - А)(х,у,Е), х, у Є dD, обозначим ядро (в смысле Шварца) оператора А(Е) — А(Е).
Теорема 4.1. Пусть D удовлетворяет (4.1) и Е Є С зафиксировано. Пусть коэффициенты А, V удовлетворяют (4.2) и Е не является собственным значением Дирихле для операторов ЬАУ и —А в D. Тогда справедливы следующие формулы и уравнения: h(k,l) = (2?r)-d / /e-Ux(A-A)(x,y,E)ijj(y,k)dydx, (4.6) dD dD гдек, leCd\{RdUE), lmk = lml, k2 = I2 = E, ф(х,к) = егкхЫп+ / А(х,у,к)ф(у,к)(1у, xedD, (4.7) 3D A(x,y,k)= J G(x-z,k)(A-A0)(z,y,E)dz, x,yedD, (4.8) dD где к Є Cd \ (M.d US), к2 = E, a G определено в формуле (3.16); h,(k, I) = (2n)-d J J e Ux(A - Л)(ж, у, Е)ф1{у) к) dy dx, (49) 3D 3D d-l и 1 r- TD)d \ (r\ і і с \ u2 _ /2 где 7 Є Sd l, k,leRd\(OU 7), k2 = I2 = E, il)1{x,k) = e%kxldn+ I Ar(x,y,k)ip1(y,k)dy, xedD, (4.10) 3D A (x,y,k) = / G (x-z,k)(A-A)(z,y, E)dz, x,yedD, (4.11) 3D G (x,k) =G(x,k + i(yy), xeRd, (4.12) где 7 Є Sd-\ keRd\{0U E , k2 = E; f(k, I) = (2n)-d J J e Ux(A - Л)(Ж, у, Е)ф+(у, к) dydx, (4.13) 3D 3D где k,l(ERd\(0U +), к2 = I2 = E, ф+(х к) = егкхЫп + J А+(х, г/, к)ф+(у, к) dy, хе 3D, (4.14) 3D А+(х,у,к)= G+(x-z,k)(A-A0)(z,y,E)dz, х,у Є dD, (4.15) 3D где к Є M.d \ (0 U Е+), к2 = Е, a G+ определено в формуле (3.13). Мы рассматриваем (4.6), (4.9) и (4.13) как явные формулы для нахождения /г, /г7 и / по оператору А(Е) — А(Е) и функциям ф, ф1 и ф+ соответственно. При этом функции ф, ф и ф+ находится по оператору А(Е) — А(Е) из интегральных уравнений (4.7), (4.10) и (4.14). В следующей теореме приводятся условия разрешимости этих уравнений.
Заметим, что норма в пространстве Cl,l3(dD, МП(С)) определяется формулой и ,,, и ,,, \dkipij(xi) -dkipij(x2)\ wWc1 = wWc1 + maxmax sup J . -5 L, x 1 x 2 \Xl -X2\P где p(x) = ( fiij{x)) Є Mn(C), dk = д/дхк. Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4-ій пусть [5 Є (0,1). (A) Пусть к Є Cd \ M.d, к2 = Е. Тогда уравнение (4.7) является уравнением Фредголъма второго рода относительно ф Є Cl,l3(dD, Мп(С)), которое однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда к . (B) Пусть 7 Є Sd l, к Є Kd\0, к2 = Е. Тогда уравнение (4.10) является уравнением, Фредголъма второго рода относительно ф Є Cl,l3(dD, Мп(С)), которое однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда k Е1. (C) Пусть к M.d\0, к2 = Е. Тогда уравнение (4.14) является уравнением Фредголъма второго рода относительно ф+ Є Cl,l3(dD, Мп(С)), которое однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда k +. Теоремы 4.1 и 4.2 явлются частными случаями теорем 4.3 и 4.4, которые формулируются в следующем параграфе. 4.2 Случай известных фоновых коэффициентов На практике для решения уравнений типа (4.7), (4.10) и (4.14) из теоремы 4.1 используется метод последовательных приближений. Однако, для применимости этого метода требуется, чтобы норма интегральных операторов из этих уравнений была мала. Это соответствует случаю, когда коэффициенты А и V малы. На практике же часто возникает случай, когда коэффициент V близок к некоторому известному фоновому коэффициенту V0, см., например, [11, 61]. В настоящем разделе мы приведём обобщение теорем 4.1 и 4.2 на случай известного фонового коэффициента V0.
Случай известных фоновых коэффициентов
Мы рассматриваем уравнение (3.9) в М2 при фиксированном Е 0. Мы предполагаем, что коэффициенты А\, УІ2, V являются скалярными функциями, достаточно быстро убывающими на бесконечности. Для уравнения (3.9) мы рассматриваем решения рассеяния ф+(х, к), параметризованные вектором к Є Ш2, к = Е, которые определяются асимптотикой (3.10) с заранее неизвестной функцией /ду, где А = (Лі, A z). Функция /ду называется амплитудой рассеяния для уравнения (3.9). Амплитуда рассеяния /ду определена на торе Л4Е, который определяется в формуле (3.11). В этой главе мы решаем обратную задачу рассеяния 3.2, которая заключается в нахождении коэффициентов Л и V по амплитуде рассеяния /ду. Пусть р Є C2{R2) и ір = 0(\х\ 3/2), ж-юо. (5.1) Рассмотрим следующее преобразование коэффициентов А и V: A Aip = A + V p, (5.2а) V - Vі? = V - iAtp + {Vtp)2 + 2AVtp, (5.2b) и преобразование функций г[)+: ф+ -+ {ф+У = е г ф+. (5.3) Из асимптотического представления (3.10) для функцииф+ и из формулы (5.1) следует, что функция ( +) также обладает асимптотикой (3.10). Кроме того, прямой подстановкой проверяется, что справедливы следующие соотношения: LApy №+Y = Е(ф+У, LAvyv = e- LAye , где операторы LA,V И LAvyv определяются по формуле (3.1), а е±г{р обозначают операторы умножения на функции е v. Следовательно, JAvyv = /ДУ и задача нахождения А, V по /ду имеет неединственное решение. Мы будем называть множество всех пар коэффициентов (A V ), где ір Є С2(М.2) и ір удовлетворяет (5.1), калибровочным классом пары коэффициентов (А, V). Для определённости мы будем решать задачу восстанавливления пары коэффициентов (Adlv, Vdw) из калибровочного класса пары коэффициентов (А, V), обладающую тем свойством, что div А = 0.
Сделаем одно замечание относительно физического смысла инвариантности амплитуды рассеяния /ду по отношению к калибровочным преобразованиям (5.2а), (5.2Ь). Уравнение (3.9) при п = 1 описывает описывает взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем. При этом — волновая функция заряженной частицы, А — магнитный потенциал, а функция г , определённая в формуле (3.8), — электрический потенциал. Инвариантность уравнения (3.9) относительно калибровочных преобразований (5.2а), (5.2Ь) является отражением принципа относительности Вейля, согласно которому конфигурации1 , А, V и ф , А , V описывают одну и ту же физическую ситуацию, см. [106]. Выбор из этого множества эквивалентных с физической точки зрения конфигураций конфигурации фАш, Adlv, Vdw с divAdlv = 0 называется кулоновской калибровкой магнитного потенциала. Амплитуда рассеяния /ду также имеет физическую интерпретацию. Величина \f(k, Е$)\2, # Є Sl, есть плотность вероятности обнаружить заряженную частицу в направлении $ после взаимодействия с электромагнитным полем, если до взаимодействия частица имела фиксированный импульс к (и если постоянная Планка /1=1). Кроме того, величина д/д\к\ arg/(&, /), называемая фазовым сдвигом, имеет смысл временной задержки, с которой заряженная частица проходит от источника до детектора, и связанной с взаимодействием частицы с электромагнитным полем.
Используемые обозначения Нам потребуется ввести несколько обозначений. Пусть функция if определяется как решение задачи JAifdh/(x) = -A(x), xeR2, (5.4а) \ipdiv(x) 0, ж-юо, (5.4Ь) а функции if — как решения задач Определим функции Adiv, l/div и А±, V± следующими формулами: Adw = А + V/iv, Vdw = V - iA(pd[v + (V(/iv)2 + 2AV/iv, (5.8a) A± = A + V , Vі = V - iA + (V )2 + 2AVtp±. (5.8b) Заметим, что функции Adiv, l/div и функции A±, V± связаны с функциями А, V калибровочными преобразованиями вида (5.2а), (5.2Ь). В силу калибровочной инвариантности амплитуды рассеяния / = /ду, мы будем рассматривать задачу восстановления коэффициентов А , V и А , У по /. В практических задачах часто доступна дополнительная информация, которая позволяет найти А, V по Adiv, Vd[v или Л±, V±, см. 3.2. Нам также понадобятся следующие обозначения: Z = Х\ + ІХ2, Z = Х\ — ІХ2, (5.9) А = E-l 2(h + ik2), X = E-V2(h + il2), (5.10) где х = (жі,ж2) Є R2, fc = (h,k2) Є E#, / = (Zi, Z2) Є E#, Ss = {m = (mbm2) Є С2: m\ + m22 = E], E 0. (5.11) В таких обозначениях fci A + A-1), к2 = Е1 2(\-1-\), (5.12а) /і = 1/2(V + A "1), h = г-Е1 2 - A ), (5.12b) ехр(ікх) = exp( E1/2(Xz + A_1z)), где А, А є С \ 0, z є С, к, І Є д. 123 Из формул (3.11), (5.10), (5.11), (5.12а) и (5.12Ь) следует, что я = С\0, яГШ2 = 5 = Т, (5.13) МЕ = ТхТ, где S} = {m Є М2: \т\ = г} и Т = {Л Є С: Л = 1}. С учётом введённых обозначений, функции ф+ и / из формулы (3.10) могут быть записаны как ф+ = ф+(г,Х,Е), / = /(А,А ,Я), (5.14) где Л, Л Є Т, z Є С, Е 0. Мы готовы к формулировке алгоритма приближённого решения задачи 3.2. Алгоритм восстановления Для приближённого нахождения коэффициентов А , V из формулы (5.8а) и коэффициентов А±, V± из формулы (5.8Ь) на М2 по амплитуде рассеяния / из формулы (3.14) на Л4Е МОЖНО использовать следующую схему: / 1± М М± Aippn Kippr Aippn Каррг (5.15) Схема восстановления (5.15) состоит из следующих шагов: Шаг 1. Найти функции /i±(A, Л , Е), А, Л Є Т, из следующих линейных интегральных уравнений: