Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Трёхмерные вырождающиеся неклассические системы уравнений первого порядка 13
1.1. Вспомогательные сведения 13
1.2. Формулы представления общего решения трёхмерных неклассических систем уравнений первого порядка 27
1.3. Начально-краевые задачи в полупространстве 33
1.4. Видоизменёные начально-краевые задачи 40
1.5. Задачи типа задачи Римана-Гильберта в ограниченных областях трёхмерного пространства 45
Глава II. Вырождающиеся неклассические системы урав нений первого порядка в пространстве четырёх неза висимых переменных 69
2.1. Задачи в полупространстве 73
2.2. Задачи в ограниченной области четырёхмерного пространства 80
2.3. Начально-краевая задача для системы уравнений с младши ми членами 81
2.4. Начальные и смешанные задачи для одного класса неклас сических систем уравнений 87
Заключение 102
Литература
- Формулы представления общего решения трёхмерных неклассических систем уравнений первого порядка
- Видоизменёные начально-краевые задачи
- Задачи в ограниченной области четырёхмерного пространства
- Начальные и смешанные задачи для одного класса неклас сических систем уравнений
Формулы представления общего решения трёхмерных неклассических систем уравнений первого порядка
В этой главе основное место занимает исследование граничных задач для трёхмерных вырождающихся неклассических (составных) систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, обобщающих трёхмерную модельную систему рассмотренную в [38, 50]. В неограниченных областях типа полупространства исследуются начально - краевые и видоизменнённые начально-краевые задачи, а в ограниченных областях исследуются смешанные и граничные задачи типа задачи Римана Гильберта.
Вспомогательные сведения В данном параграфе приведены необходимые сведения и известные факты, используемые в дальнейшем. Задача Римана - Гильберта для аналитических функций. Пусть G - многосвязная область, ограниченная замкнутыми непересекающимися кривыми Ляпунова Го, Гі, Гто, из которых Го охватывает все остальные. Через Г обозначим их совокупность. Задача отыскания голоморфной в области G функции Ф(г), непрерывной в G по граничному условию [27] заданные комплекснозначные функции класса Гёльдера HV{T), 0 v 1, причем X(t) т 0 на Г, называется задачей Римана
Гильберта. Сопряженной к (1.1.1) однородной краевой задачей Римана-Гильберта называется аналогичная задача с краевым условием:
Тогда имеют место следующие утверждения (см. [8]). Однородная задача (1.1.1) ( (t) = 0), а также сопряженная однородная задача (1.1.2) могут иметь лишь конечное число к (соответственно к ) линейно независимых решений, а разность к — к вычисляется по формуле к — к = 2к, + 1 — т.
Для разрешимости неоднородной задачи (1.1.1) необходимо и достаточно, чтобы её правая часть j{t) удовлетворяла равенствам
Если к, 0, то однородная задача (1.1.1) не может иметь более чем 2& + 1 линейно независимых решений. Если к 0 , то однородная задача не имеет нетривиального решения (k = 0), а соответствующая сопряженная задача (1.1.2) имеет к = т — 2к — 1 решений; если же к, т — 1, то однородная задача (1.1.1) имеет к = 2к, + 1 — т решений, а задача (1.1.2) не имеет нетривиального решения.
4. В частности, в случае односвязной области (т = 0) отсюда следует утверждение: при к 0 однородная задача (1.1.1) не имеет нетривиального решения (к = 0), а сопряженная задача (1.1.2) имеет ровно к = —2к — 1 решений. При к, 0 однородная задача (1.1.1) имеет ровно к = 2K, + 1 решений, а сопряженная задача (1.1.2) не имеет нетривиального решения (к = 0). В частности, при к, = 0 однородная задача (1.1.1) имеет одно линейно независимое решение, причем оно не обращается в нуль нигде в G + Г.
Таким образом, в случае, когда к т — 1 или к 0 мы получаем наиболее полную информацию о числе решений однородных задач (1.1.1) и (1.1.2) и о разрешимости или неразрешимости неоднородной задачи (1.1.1).
Первое из этих равенств является комплексной записью системы Коши-Римана, а второе представляет собой производную от аналитической функции по комплексному аргументу. Если w Є Cl(G), а Ф голоморфная функция, то очевидно, (ФИ ) = Фд и, дг{Ф\) = Фдгги (1.1.7)
Пусть G Є С, a w Є Cl{G). Тогда с помощью известной формулы Грина легко выводятся формулы где G = G П \( — z\ є, причем G С G. Переходя в этом равенстве к пределу при є — 0, получим формулу Коши-Грина
Если it (z) - решение неоднородной системы Коши-Римана (1.1.4) с непрерывной в G правой частью, то из (1.1.9) следует, что
Теперь мы вернёмся опять к неоднородной системе Коши-Римана (1.1.4). Как мы заметили выше, решение системы (1.1.4) представляется по формуле (1.1.10):
Если область G односвязна, то не умаляя общности, можно считать её единичным кругом: \z\ 1, ибо задача конформно-инварианта. Тогда общее решение задачи (1.1.11) можно записать с точностью до мнимого постоянного слагаемого в виде интеграла Шварца [8] (см. также [12], с. 50) Первое слагаемое правой части этого равенства представляет собой граничное значение голоморфной вне круга \z\ 1 функции, исчезающей на бесконечности, а второе слагаемое есть граничное значение голоморфной в круге \z\ 1 функции
Задача Римана-Гильберта для обобщённых аналитических функций. Обобщёнными аналитическими функциями в области G С С называется множество обобщённых комплекснозначных решений обобщённой системы уравнений Коши-Римана
Полная систематическая теория обобщённых аналитических функций с многочисленными применениями к различным вопросам анализа и геометрии изложена в фундаментальной монографии И.Н.Векуа [8].
Задачей Римана-Гильберта для обобщённых аналитических функций называется задача отыскания в области G решений системы (1.1.13); удовлетворяющих краевому условию
При А = В = f = 0 мы получим известную задачу Римана-Гильберта для аналитических функций (задача (1.1.1)). Поэтому задачу (1.1.14) называют обобщенной задачей Римана-Гильберта или просто задачей А (см. [8]). Относительно данных задачи предполагается, что A(z), B(z), f(z) Є LP(G), р 2 и X(t), 7() Є HU(T), 0 v 1, причем X(t) 0,t Є Г. При этом доказывается, что
Видоизменёные начально-краевые задачи
Если функции г] Є C4(G), 9 Є C3(G), то обычным методом можно доказать, что ряд (1.5.7) и ряды, полученные дифференцированием до второго порядка включительно, сходятся равномерно относительно х,у Є Г2, z О и сумма ряда (1.5.7) является классическим решением задачи (1.5.5), (1.5.3) [20].
Зная s и w: из системы (1.5.1) находим две остальные компоненты и и v решения системы в виде (1.3.12), в котором произвольные функции ср и гр удовлетворяют неоднородной системе Коши-Римана на участке G плоскости z = 0, а в силу условия (1.5.4) - граничному условию {а(р + Ьф)\ъ = д{х,у). Таким образом, задача определения компонентов и и v решения задачи V сведена к задаче Римана-Гильберта для неоднородной системы Коши 49
Римана, которая, как известно [8], нётерова. Следовательно, имеет место следующее утверждение. характеристический определитель которой имеет вид где р, q - любые вещественные положительные числа. Следовательно система (1.5.12) для любого z Ф 0 является системой составного типа, а при z = 0 система вырождается.
Для системы (1.5.12) в цилиндре Q будем рассматривать задачу Задача VI. Найти в цилиндре Q решение (s,u,v,w) системы (1.5.12); удовлетворяющее условиям
Нетрудно заметить, что из системы (1.5.12) относительно компонентов s(x,y,z) и w(x,y,z) решения системы следуют соотношения
Следовательно, для определения функции s(x, у} z) необходимо решать задачу Дирихле с граничными условиями (1.5.13) для вырождающегося эллиптического уравнения (1.5.16), а для определения функции w(x,y,z) - задачу Коши с начальными условиями (1.5.14) для вырождающегося гиперболического уравнения (1.5.17).
Функцию s будем строить методом Фурье в виде ряда s(x,y,z) = 2фк(Фк(х,у), (1.5.18) соответствующее собственному значению Xk задачи (1.5.19). Решение уравнения (1.5.20) даётся формулой [15] Ф (т) = T[ClkIv(2pkTl v) + С2кК„{2ркт11»% Р+2 где Iv и Kv - модифицированные функции Бесселя и Макдональда [6], Сік и С2к - произвольные вещественные постоянные, а г = л/z, v рк = +2 fc. Ряд (1.5.18) запишем в виде
По условию задачи функция s должна стремиться к нулю на бесконечности, следовательно в (1.5.21) необходимо положить С\к = 0. Тогда s{x,y,r) = 2с2ктК1/(2ркт1/1У)6к{х,у). к=і
Для функций go Є C4(G), h Є C:i(G) ряд (1.5.22) и ряды, полученные дифференцированием до второго порядка включительно, сходятся равномерно относительно х,у Є Г2, z 0 и сумма ряда (1.5.22) является классическим решением задачи (1.5.17), (1.5.14).
Зная s и w: из третьего и второго уравнений системы (1.5.12) находим x v(x, y, z) = j(zqwy + zpsx — zqw — zps)dz + ф(х, у). о Для того, чтобы выражения (1.5.24) удовлетворяли остальным уравнениям системы и граничным условие (1.5.15), произвольные функции (p(x,y),ift(x,y) должны удовлетворят системе уравнений
Таким образом, задача определения компонентов и и v решения системы (1.5.12) с граничным условием (1.5.15) сведена к обобщенной задаче Римана-Гильберта (1.5.27) - (1.5.28), которая как известно [8], нётерова. Следовательно, имеет место следующий результат. Теорема 1.5.2. Задача VI нётерова и её индекс равен индексу функции а(() = а — і/З. 1.5.3. Пусть Q = {(x,y,z) : х2 + у2 а2,0 z h} - круговой цилиндр радиуса а, с границей Г и основанием G. В области Q рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка где р - произвольное вещественное число. Следовательно, система (1.5.29) во всех точках пространства Л3 является системой составного типа, за исключением точек оси Oz: в которых она вырождается. Заметим, что в случае, когда система эллиптична в работе [57] исследована задача типа задачи Дирихле.
Для системы (1.5.29) рассмотрим следующую задачу. Задача VII. Найти регулярное в области Q решение (s,u,v,w) системы (1.5.29); удовлетворяющее условиям
Тогда, функция s определяется как решение задачи Дирихле (1.5.33), (1.5.30), которая имеет единственное решение для любой заданной непрерывной на Г функции fi(x,y,z) [29].
Для определения функции w будем решать задачу Коши с условиями (1.5.31) для вырождающегося гиперболического уравнения (1.5.34). Решение будем искать в классе функций C2(Q \ Oz) и ограниченных при х2 + у2 — 0.
Ряды стоящие справа сходятся в силу абсолютной и равномерной сходимости рядов (1.5.41), (1.5.43), тогда по критерию Вейерштрасса абсолютно и равномерно сходится в Q ряд (1.5.45), а следовательно, и ряд (1.5.40).
Таким образом, функции s и w определены в явном виде. По известным s и w определим функции и и v аналогично как в случае задачи I в виде (1.3.12), в котором произвольные функции ip(x,y): ф(х,у) должны
Задачи в ограниченной области четырёхмерного пространства
Далее, если ввести ещё одну искомую функцию s(x,y,z), добавив к второму уравнению системы (2.0.4) слагаемое grads, получим определённую систему которая называется системой Моисила-Теодореску (см. [4]) Исследованию системы (2.0.8) посвящено много работ, как отечественных так и зарубежных авторов (см. например, [12, 50, 72] и имеющуюся там библиографию). В работе [51] Д.Х.Сафаровым рассматривалась обобщённая система уравнений Моисила-Теодореску с сингулярными коэффициентами при младших членах и найдены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Дирихле для этой системы.
Другой важной и ещё менее исследованной системой является система [50] которая так же получается из системы уравнений векторных полей (2.0.4) путём вложения в пространство RA и добавлением в первое уравнении системы производную по t вновь введенной скалярной функции s(t,X) и вычитанием из второго уравнения системы градиента скалярной функции и производную по t вектор-функции U(t, X), где div}grad} rot - соответственно операторы дивергенции, градиента и ротора по X Є Л3, s(t, X) - искомая скалярная, U(t,X) = (u}v}w) - искомая вектор-функции. Характеристическая форма системы (2.0.9) имеет вид
Следовательно, система (2.0.9) в каждой точке пространстве RA является неклассической (составной) системой. 2.1. Задачи в полупространстве 2.1.1. В полупространстве R\ = {(t,x,y,z) : (t,x,y) Є R3,z 0} с границей Г = {z = 0} для системы (2.0.1) рассмотрим задачу
Задача X. Найти регулярное в полупространстве R\ решение (s,u,v,w) системы (2.0.1), удовлетворяющее на границе Г условиям
Таким образом, для определения компонента w решения системы (2.0.1) рассмотрим задачу Коши с условиями (2.1.1) для первого уравнения системы (2.1.5), а для определения компонентов s,u и v решения - задачу Дирихле с соответствующими граничными условиями (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.4) для остальных уравнений системы (2.1.5). Как известно [58], решение задачи Коши (2.1.1) представляется формулой Пуассона
Отсюда легко заметить, что в силу условий, наложенных на функций f(t,x,y) и g(t}x}y) функция w(t}x}y}z) имеет непрерывные производные до второго порядка.
Теперь введём следующие обозначения: li(t,x,y,z) = -2wtz, k{t,x,y,z) = 2wxz, l3(t,x,y,z) = 2wyz, U = {s,u,v), I = (/1,/2,/3), a h = (/ 1,/12, 3)- Тогда для определения вектор-функции U = (s,u,v) будем решать задачу Дирихле U \z=o= h для неоднородного уравнения Лапласа где G(M, Mo) - функция Грина полупространства R\, со - площадь поверхности единичной сферы в 4-х мерном пространстве. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Теорема 2.1.1. Задача X для системы (2.0.1) в полупространстве R\ всегда разрешима и имеет единственное решение, представляемое в явном виде формулами (2.1.6) и (2.1.7).
Следовательно, система (2.1.8) в каждой точке полупространства R\ является системой составного (неклассического) типа.
Зная функцию w: тем самим мы определим правую часть l(M, z) второго уравнения системы (2.1.10). Пусть / Є Cl(R\_), тогда решение уравнения AU = l(M,z): имеющее непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяющее условию (2.1.13) представляется в виде интеграла (2.1.7).
Теорема 2.1.2. Задача XI в двугранном угле Е всегда разрешима и её решение представляется в явном виде формулами (2.1.18) и (2.1.7). 2.1.3. Теперь будем рассматривать одно из возможных обобщений системы (2.0.1) в следующем виде где p - вещественная положительная постоянная. Характеристический определитель данной системы имеет вид х«о,«ь&6) = (й + й + й + )( + Й + Й - Й) Следовательно, эта система в каждой точке пространства RA\{z = 0} является системой составного типа, а на гиперплоскости z = 0 вырождается. В полупространстве R\ рассмотрим следующую задачу: Задача XII. Найти регулярное в полупространстве R\ решение (s,u,v,w) системы (2.1.19); удовлетворяющее на границе Г : {z = 0} полупространства условиям
Таким образом, для определения компонента w решения необходимо решать видоизменённую задачу Коши с условиями (2.1.20) для первого уравнения системы (2.1.24), а для определения компонентов s,u и v решения - задачу Дирихле с соответствующими граничными условиями (2.1.21), (2.1.22) и (2.1.23) для остальных уравнений системы (2.1.24). Введя вместо z переменную
Таким образом задача определения компонентов s,u,v,w решения системы (2.1.26) сведена к эквивалентной задаче, аналогичной задаче X. Справедливо следующее утверждение Теорема 2.1.3. Задача XII для системы (2.1.19) в полупространстве R\ всегда разрешима и имеет единственное решение, представляемое в явном виде. 2.2. Задачи в ограниченной области четырёхмерного пространства
Пусть Q С RA - односвязная область, ограниченной в полупространстве z 0 поверхностью Ляпунова 7 и участком G гиперплоскости z = 0. Причём поверхность 7 однозначно проектируется на G. Пусть Г = G U 7 В области Q рассмотрим для системы (2.1.19) следующую задачу.
Задача XIII. Найти решение (s,u,v,w) системы (2.1.19) в области Q, удовлетворяющее условиям где введены обозначения: U = (s,u,v), l(t,x,y,() = (/1,/2,/3), /1 = 2wt(i h = -2, /3 = -Ъщс Решение w волнового уравнения в области Q можно однозначно определить с помощью формулы Кирхгофа [61] как решение задачи Коши с условиями (2.2.1), которые в новой переменной имеют вид w(t,x,y,()\c=o = f(t,x,y), \im wc(t,x, у, () = g(t,x,y).
Функция называется функцией Грина, предельное значение которой на поверхности Г равно нулю. Для того, чтобы функция U определяемое формулой (2.2.4) имела непрерывные производные до второго порядка внутри Г2, необходимо потребовать наличие непрерывной производной первого порядка у функции l(t,x,y,() внутри Q. Непрерывная же дифференцируемость функции l(t, ж, у, () является простым следствием дифференцируемости функции W. Таким образом справедлива
Начальные и смешанные задачи для одного класса неклас сических систем уравнений
Следовательно, задача с видоизменёнными начальными условиями (2.4.16)-(2.4.17) сведена к задаче (2.4.5), (2.4.3)-(2.4.4). Далее, рассуждая как и в первом случае, получим аналог теоремы 2.4.1.
Заметим, что аналогичное утверждение имеет место и для следующей задачи: требуется найти в полупространстве R\ : {t 0} решения В двугранном угле Е1 : { 0, z 0} рассмотрим ещё одно из возможных обобщений системы (2.4.1) в виде вещественное число. Следовательно, система (2.4.19) при t 0 является системой составного типа. Как и в предыдущем случае для скалярной функции s(t,x,y,z) и вектор-функции U(t}x}y}z) = (u}v}w) из (2.4.20) получим расщеплённую систему уравнений
Теперь, применяя к второму уравнению системы (2.4.21) операторы div и rot по X Є Л3, относительно скалярной функции P(t,X) = divU получим вырождающееся гиперболическое уравнение
Вектор-функция v(t,X) определяется как решение задачи Дирихле (2.4.31), (2.4.33) интегралом Пуассона [19]. По известным P(t,X) и v(t,x): зафиксировав t 0, получим переопределённую систему, аналогичную (2.4.10) и при выполнении условия divv{t,x) = 0 её решение представляется в виде (2.4.11). Тем самым имеет место Теорема 2.4.2. Начальная задача XVII однозначно разрешима и её решение представляется в явном виде (см. формулы (2.4.29) и (2.4.11)/ Отметим, что утверждение теоремы 2.4.2 справедливо и для следующей задачи: требуется найти в двугранном угле Е : {t 0, z 0} решение s(t,X), U(t,X) = (u}v}w) системы
Пусть G - ограниченная область в Л3, а Г - её граница. В цилиндре Qt = {(t,X) : t 0,Х Є G С Л3} с боковой поверхностью St = {(t,X) : t 0,X Є Г} рассмотрим следующую начально-краевую задачу. Задача XVIII. Найти в Qt решение s,U системы (2.4.2); удовлетворяющее при t = 0 начальным условиям (2.4.3)-(2.4.4) и граничным условиям где п - единичный вектор-нормали в точке X Є Г; а функции Ф,Ф и (р предполагаются заданными функциями класса С.
Компонента s(t,X) решения задачи (2.4.2), (2.4.3), (2.4.36) определяется однозначно как решения начально-краевой задачи (см.[20]) s(0,X) = ip0(X), st(0,X) = ( i(X), s(t,X)\St = 0, s(oo,X) = 0 для волнового уравнения su — As = 0, где (ро(Х)\г = 0. Применение операции div и rot к системе (2.4.5) приводит теперь начально-краевую задачу к эквивалентной начально-краевой задаче для волнового уравнения (2.4.6) относительно скалярной функции Q(t,X) = divU и к задаче Дирихле для уравнения Лапласа (2.4.7), в которой гоФ(Х)г = 0. Начально-краевая задача (2.4.39) для волнового уравнения (2.4.6) однозначно определяет в цилиндре Qt функцию 0(t,X), а задача Дирихле (2.4.40) для уравнения Лапласа (2.4.7) - гармоническую в цилиндре Г вектор-функцию v(t,X): причём эта функция в силу того, что удовлетворяет условию divv(t,X) = 0 в Qt. Тогда неоднородная система уравнений потенциальных векторных полей divU = e{t,X), rotU = v{t,X) (2.4.41) при фиксированных t будет совместной и её решение можно представить в виде [12, 50] U(t, X) = H(t, X) + grad I fj f Щ % ) + rot±r f Щ-М, \ G / G (2.4.42) где вектор-функция H(t,X) - решение однородной системы (2.4.41) (при фиксированных t): её можно определить из требования о том, что фор 98 мула (2.4.42) должна удовлетворять систему (2.4.5) и условию (2.4.38). Из (2.4.42) с учётом (2.4.6) и (2.4.7) имеем [50] gradQ(t, X) + rotv(t, X) = 2graddivU - AU. Поэтому из (2.4.44) следует, что для того, чтобы выражение (2.4.42) давало решение системы (2.4.5), необходимо и достаточно, чтобы вектор -функция H(t,X) по t удовлетворяла уравнению (2.4.45) и так как divHt(0 X) = 0, то, учитывая второе равенство (2.4.8), будем иметь divUt(0, X) = Д ( fl / т ) = в((0, X) = Ф(Х), то есть выражение (2.4.42) удовлетворяет также и начальному условию (2.4.4). Далее, принимая во внимание, что divH = divv(t,X) = 0, из
Поэтому в силу в =о = 0, v\st = 0 из (2.4.46) и (2.4.47) следует, что выражение (2.4.42) удовлетворяет также и краевым условиям (2.4.37).
Остаётся подобрать вектор-функцию Щ(0, X) так, чтобы выполнялось условие (2.4.38). Замечая, что divHt(0,X) = 0, rotHt(0,x) = 0, получим Ht(0,X) = gradh(X), где h(X) - гармоническая в G функция. Поэтому из (2.4.38) с учётом (2.4.45) получаем задачу Неймана
и в силу (2.4.38) оно выполнено. Следовательно, задача (2.4.48) разрешима. Решая эту задачу, определим гармоническую функцию h(X): а тем самым функцию Ht(0,X). Очевидно, что если Ф{Х), Ф(Х) Є C(G), (fi{X) Є С00 (Г), то решение поставленной начально-краевой задачи будет классическим решением класса С (). Таким образом, доказана следующая
Теорема 2.4.3. Если ср0 Є C4(G), срг Є C3(G), Ф(Х),Ф(Х) є C{G), (p(X) Є С00(Г), то начально-краевая задача XVIII имеет единственное, непрерывно зависящее от начальных данных решение.
На базе существующей модельной неклассической системы уравнений с частными производными первого порядка сконструированы вырождающиеся неклассические системы уравнений с частными производными первого порядка в многомерных (трёхмерных и четырёхмерных) областях с разными характерами вырождения на границах областей и получены формулы представления общего решения полученных систем через решения отдельных уравнений (систем) более высокого порядка.
Установлен характер разрешимости задач с начальными и начально краевыми условиями, а также задач с видоизменёнными начальными и начально-краевыми условиями для рассматриваемых систем в про извольных (ограниченных и неограниченных) областях трёх и более независимых переменных.
Доказано, что задачи типа задачи Римана-Гильберта в ограниченных трёхмерных областях для систем (1.3.1), (1.3.2) и систем уравнений с младшими членами (1.5.12) нётеровы и их индекс равен индексу коэффициента граничного условия.
Доказана однозначная разрешимость начальных, начально-краевых задач и задач с видоизменёнными начальными и начально-краевыми условиями для модельных (2.0.1), (2.0.9) и вырождающихся систем (2.1.8), (2.1.19), (2.4.14), (2.4.19) в произвольных (ограниченных и неограниченных) областях четырёхмерного евклидова пространства и получены формулы решения в явном виде.