Исследование спектральных характеристик одного класса дифференциальных операторов с обобщенными коэффициентами Киттинявонг Тхепсаван

Введение к работе

Актуальность темы . При математическом описании ряда физических процессов, протекающих в разнородных средах, возникает необходимость изучения спектральных характеристик задач (1)-(2) и (3)- (4) :

- гуосу + GUx,fc)lJCX) = Луоо, |х| < + оо (і)

Q(x,e) = s

>р(Х) , DC < О

+ 00

п=і

с^(х)+ е51 5Чх-п), х> О

(2)

-IJ(X) + [і (X) + X! <^K.^t х-х_к)]^ (ОС )= ДII(X), Х>0 (3 )

yo)-fti|(OJ= 0 (4)

В этих формулах t , -ft. , ot^ , Х_к.(к_ = 4,и) - вещественные параметры ; С|ДХ+І) = tylx) (х > 0) - кусочно-непрерывная функция ; 'Ь(х) - функция, удовлетворяющая следующим уоловиям :

1) |.р(х)| —> оо при х —* - со ;

2) ^(^О , -р (х) не меняют знак в интервале (—оо,^]
при достаточно большом по модулю ос₀ (х₀ < 0) ;

3 ) при X —* - оо

Усх) | = 0 (|-р(х)| ) , 0 < с < -3- ; 4) если -р(х)—»-оо при х—» — оо , то интеграл

_{J И*}

Л/2 (X} J сіх оо

расходится ;

7(Х) - вещественная, непрерывная в интервале [0,+ оо) функция удовлетворяющая условиям + оо

\(1 + Х²)1(Х)с1х < + оо , (₅)

ісос) > 0 ; (6)

Г(Х) - функция Дирака ; Л - спектральний параметр .

Б случае -р(х) —>- оо (х—>-оо) относим ее к классу X , а в случае Jp(%)—» + оо (х>—--оо) - к классу Л-Задача (1)-(2) яри -^з(х)= V= Const , CI(X) = 0 рассматривалась впервые И.Е. Таммом [4] .

Случай же а(х)^ 0 , Ло(х)= V был исследован Ч.М. Гехтман и И.В. Станкевичем Г I 1 .

Случай -р(Х+1)= ^р(Х) (Х<0) бчл изучен С. Пхомма-соном [3 ] .

Отметим работу Л.Д. Назарова [ 2 ] , в которой рассматривался случай потенциала (2) . когда ^р(Х)= <ХХ (oCG R ) .

Б гильбертовом пространстве 1_р (-оо,+оо) на множестве
функций , определенных условиями

tj(X) Є С²СИ,Л+4), (м=1,г,...)

LjCX) Є- С²(-оо,4> ,

ШХ> 6 С(-оо, + оо)Л 1_₂(-оо,4-оО),

- о -

ej(n + 0)-Ej(n-0)= fe tj(tl), (n.= l,2,...)

-t₀[y] = -?j + Q(x,o;t) 6 L₂c-oo, + oo)

посредством дифференциального выражения i₀ С ij] определим оператор Н () формулой

Нсе)?= Mf] , fe # (Нее» .

Определим оператор Н ^ , порожденный в гильбертовом прос
транстве I ,,(0, + оо) дифференциальным выражением

Ujl= -і/ + nmij , о < ос < +

оо

на функциях, которые обладают достаточной гладкостью в интервалах СО,х₄) ,Ьс_±,х_г), ..., (x_h,+oo) ; в точке X. — 0 удовлетворяют условию (4) , а в точках X = Х^ ( К,= 4,(а) удовлетворяют следующим условиям

\Jlx_K+0) =*iCoc_K-0)=\j(oc_K), _ tj(x_K+0) -LjCx^-OJ =<*_Ki\(x_K) .

Будем считать, что спектральные характеристики операторов Ь4 (6) , Н ^ и задач ( I ) - ( 2 ) , ( 3 ) - ( 4 ) соответственно совпадают .

Задача изучения спектральных характеристик операторов Н Сб.)

А.

и Н^ всегда привлекала внимание математиков, особенно в связи с многочисленными приложениями в квантовой механике и других разделах физики .

Целью реферируемой работы является спектральный анализ опера-торов Н () ИПц .

Общая методика исследования . Результаты настоящей работы получены с помощью методов теории функций и функционального анализа ( теория самосопряженных расширений симметрических операторов спектральная теория дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве )

Научная новизна . В диссертации :

1. Доказана самосопряженность оператора H(t) . Построена резольвента оператора Н U)

2. Изучена природа спектра оператора Н Ct) . Доказано, что оператор И Cfc) полуограничен снизу в случае -р(Х) —> + оо

С х—*- оо)

3. Выяснены достаточные условия существования таммовских уровней оператора Н (t) в случае ~-]э(Х) —»+ оо (х—» - оо) .

4. Получены разложения произвольных функций из [-.^(-00,-(-сю)

по обобщенным собственным функциям оператора Н () . Установлені формула Парсеваля-Стеклова .

5. Доказана самосопряженность оператора И _п . Построена резольвента оператора И ^ . Проведено качественное исследование природы спектра этого оператора .

6. Изучены собственные функции оператора Н_и .

Теоретическая и практическая значимость . Полученные в диссертации результаты представляют интерес в спектральной теории неклас сических дифференциальных операторов . Эти результаты могут быть использованы в теории поверхностных состояний ( таммовских уровнеіі кристаллов при изучении электронного строения молекулярных систем, имеющих достаточно протяженные области регулярности . Кроме того, полученные результаты могут быть положены в основу спецкурса ,

читаемого студентам математических и физических факультетов университетов и педагогических институтов .

Апробация работы . Основные положения диссертации неоднократно обсуждаяись на семинаре по спектральной теории операторов в Дагестанском университете, на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава ДТУ .

Публикация . По теме диссертации опубликовано три работы [5-7~[> список которых приведен в конце автореферата .

Объем и структура работы . Диссертация изложена на ИЗ страницах машинописного текста и состоит из введения и трех глав . Работа содержит 6 рисунков . Список литературы включает 59 наименований, в том числе 9 на иностранных языках .