Введение к работе
Актуальность работы Многие вопросы математической физики приводят к задаче определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям. Например, к подобным вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего начальным и краевым условиям. Особенно интенсивно спектральный анализ дифференциальных операторов используется в квантовой механике, где он является основным математическим аппаратом для решения многих задач.
Класс эллиптических операторов относится к тем классам дифференциальных операторов, спектральная теория которых изучена наиболее полно. Весомый вклад в ее изучение внесли такие авторы, как В. А. Ильин, Ш. Агмон, М. А. Шубин, Л. Хермандер, Б. М Левитан, Р. А. А\ександрян, Б. М. Вайнберг, Ю. М. Березанский, В. А. Кондратьев и многие другие.
Одним из наиболее важных вопросов при изучении спектральной теории эллиптических операторов является вопрос полноты системы собственных и присоединенных функций, а также асимптотика собственных значений, имеющие многочисленные применения на практике. Особенно полные результаты в этой области принадлежат Ш. Агмону, которым была получена асимптотическая формула для собственных значений самосопряженных эллиптических операторов произвольного порядка в ограниченной области. Некоторыми другими авторами рассматривались аналогичные вопросы для случая неограниченной области, а также д\я операторов некоторых специальных типов.
В последние десятилетия все большее внимание многих математиков приковывает класс гипоэллиптических операторов. Этот класс, вве-
денный Л. Хермандером, содержит в себе эллиптические и параболические операторы, и выходит далеко за его пределы. Хермандером же были изучены вопросы существования и гладкости решений краевых задач для гипоэллиптических уравнений, при определенных ограничениях на коэффициенты операторов, а также на алгебраические свойства их символов. Эти результаты, а также результаты исследований некоторых других авторов, изложены в известной монографии Л. Хермандера. Также для гипоэллиптических операторов были получены многие результаты, аналогичные известным результатам для эллиптических задач.
Данная работа посвящена изучению некоторых вопросов спектральной теории одного подкласса гипоэллиптических операторов — полуэллиптических операторов, содержащего в себе класс эллиптических операторов. Цель работы
Исследование асимптотики собственных значений полуэллиптических операторов в ограниченной области.
Изучение условий полноты системы собственных и присоединенных функций полуэллиптических операторов в ограниченной области.
Изучение вопроса полноты системы собственных и присоединенных функций полуэллиптических операторов в полупространстве.
Научная новизна В работе получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:
Получена асимптотическая оценка для количества собственных значений самосопряженного полуэллиптического оператора, по модулю не превосходящих некоторого положительного числа А, в ограниченной области.
Данная оценка распространена на случай одного класса несамосопряженных полуэллиптических операторов.
Доказана полнота системы собственных и присоединенных функций полуэллиптических операторов в ограниченной области.
Рассмотрена полуэллиптическая задача в полупространстве. Доказаны условия полноты системы собственных и присоединенных функций дайной задачи в l^R").
Общая методика Результаты работы получены путем изучения свойств соответствующих дифференциальных операторов, с привлечением некоторых методов общей теории операторов в гильбертовых пространствах, а также при использовании некоторых фактов из работ, посвященных исследованию полуэллиптических и регулярных операторов. Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа факультета Математики, а также на семинарах кафедры математических моделей и методов факультета Информатики и вычислительной математики Ереванского Государтвенного Университета.
Публикации Основные результаты диссертационной работы изложены в работах [1 - 3].
Объем и структура работы Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, и изложена на 84 страницах.