Исследование решений неклассических краевых задач для уравнений смешанного типа Лихоманенко Татьяна Николаевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Двухсерийные тригонометрические системы, возникающие в уравнениях смешанного типа 22

1.1. Постановка задачи 22

1.2. Свойство базисности Рисса в пространстве 2 23

1.3. Вспомогательные утверждения 28

1.4. Явный вид биортогональной системы 31

1.5. Интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области 42

1.5.1. Постановка задачи Франкля в специальной области 42

1.5.2. Интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области 43

Глава 2. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром и наклон ной линией изменения типа 47

2.1. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром и наклонной линией изменения типа 47

2.1.1. Постановка задачи 47

2.1.2. Интегральное условие связи на линии изменения типа 49

2.1.3. Собственные функции и свойство базисности в эллиптической области 58

2.1.4. Условие сопряжения градиентов 64

2.2. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром в случае симметричных наклонных линий изменения типа 67

2.2.1. Постановка задачи 67

2.2.2. Собственные функции и свойство базисности в эллиптической области 69

2.3. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром в случае несимметричных наклонных линий изменения типа 73

2.3.1. Постановка задачи 73

2.3.2. Собственные функции и их базисность 75

Глава 3. Одна нелокальная краевая задача для уравнения Лаврентьева Бицадзе 82

3.1. Нелокальная краевая задача в двумерной области 83

3.1.1. Постановка задачи 83

3.1.2. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи в двумерной области 83

3.2. Нелокальная краевая задача в трехмерной области 92

3.2.1. Постановка задачи 92

3.2.2. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи в трехмерной области 93

Заключение 101

Список литературы 103

• Вспомогательные утверждения
• Интегральное условие связи на линии изменения типа
• Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром в случае симметричных наклонных линий изменения типа
• Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи в двумерной области

Введение к работе

Актуальность темы. Главным предметом изучения настоящей диссертационной работы являются решения неклассических краевых задач для уравнений смешанного типа: исследование собственных функций для задач Трикоми и Геллерстедта с наклонными линиями вырождения, построение биортогональ-ных систем в аналитическом виде, получение корректных краевых задач.

Начало теории уравнений смешанного типа представлено в работах М. Чиб-рарио, С.А. Чаплыгина, Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, И.А. Векуа, K.G. Guderley, К.И. Бабенко, Л.В. Овсянникова, P. Germain и R. Bader.

Уравнения смешанного типа стали активно изучать после работ Ф.И. Франк-ля ^,, в которых он указал на возможные приложения уравнений смешанного типа к околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике, а также обнаружил приложения задачи Трикоми в теории сопел Лаваля. Помимо этого И.Н. Векуа нашел приложения при исследовании теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек, когда кривизна оболочки меняет знак. В дальнейшем оказалось, что краевые задачи для уравнений смешанного типа применимы в различных областях естественных наук: в задачах физики лазеров, при моделировании плазмы, в математической биологии.

В дальнейшем уравнениями смешанного типа занимались А.М. Нахушев, M. Protter, C.S. Morawetz, М.М. Смирнов, Г.Д. Каратопраклиев. Исследования по уравнениям смешанного типа стали проводиться по нескольким направлениям, среди которых спектральная теория, уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения, поиск корректных краевых задач.

¹ Франкль Ф.И. О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных до-и сверхзвуковых течений // Известия

Российской академии наук. Серия математическая. — 1945. — Т. 9. — №. 2. — С. 121–143.

² Франкль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчи
вающейся прямым скачком уплотнения // ПММ. — 1956. — Т. 20. — №. 2. — С. 196–202.

³ Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. Москва:

Изд-во «Наука». — 1982. — 288 С.

Спектральная теория для уравнений смешанного типа, в частности, требует привлечения методов теории несамосопряженных операторов, развитой Д. Биркгофом, Т. Карлеманом, М.В. Келдышем, В.А. Ильиным. Задача Три-коми для уравнения смешанного типа — несамосопряженная задача, и поэтому спектр не обязан лежать на вещественной оси. Первые результаты по спектральной теории получены при исследовании задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в работах Т.Ш. Кальменова, доказавшего существование хотя бы одного положительного собственного значения и соответствующей ему неотрицательной собственной функции, Е.И. Моисеева, установившего сектора комплексной плоскости, в которых нет собственных значений, С.М. Пономаре-ва, нашедшего специальные области для задачи Трикоми, в которых удается выписать собственные значения и собственные функции в явном виде, доказать их полноту в эллиптической области. Спектральные вопросы нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа, для которых, в частности, найдены сектора комплексной плоскости, где спектр не существует, исследовались в работах М.С. Салахитдинова и А.К. Уринова. Последние результаты по спектральной теории представлены в статьях М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова, Т.Ш. Кальменова и их учеников, С.А. Алдашева, где рассматриваются различные модификации постановок краевых задач: ставятся нелокальные краевые условия, специальные условия склейки на линии изменения типа, рассматриваются негладкие линии вырождения. Помимо этого D. Lupo, D.D. Monticelli и K.R. Payne исследовали спектральные вопросы для уравнений

⁴ Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференци
альные уравнения. — 1977. — Т. 13. — №. 8. — С. 1418–1425.

⁵ Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. Москва: Изд-во МГУ. —

1988. — 150 С.

⁶ Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа

Лаврентьева-Бицадзе. Дисc. д-ра физ.-мат. наук. Москва. — 1981.

⁷ Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектраль
ным параметром. Ташкент: Фан. — 1997. — 165 С.

⁸ Lupo D., Monticelli D.D., Payne K.R. Spectral theory for linear operators of mixed type and applications

to nonlinear Dirichlet problems // Communications in Partial Diferential Equations. — 2012. — Vol. 37. — №. 9.

смешанного типа в весовых пространствах Соболева.

8 приведенных примерах отдельной задачей при изучении уравнений сме
шанного типа является исследование систем функций, с помощью которых ре
шения выписываются в виде рядов: наличие свойства базисности в простран
ствах L_p, р > 1, изучение биортогональных систем, при помощи которых мо
жет быть получено интегральное представление решений, оценка поведения
коэффициентов разложения. Проблемами полноты и базисности систем функ
ций, возникающих при решении задач математической физики, занимались
А.М. Седлецкий и Е.И. Моисеев, А.А. Полосин, Ф.М.Б. Могими, Н. Аббаси,
В.Э. Амбарцумян, Б.Т. Билалов. Исследованием собственных и присоединен
ных функций несамосопряженных операторов занимаются А.С. Макин, Шка
ликов, R. Mennicken и M. Moller.

Как упоминалось выше, ряд исследований по уравнениям смешанного типа касается случаев негладких линий изменения типа и уравнений с несколькими линиями вырождения, которые рассматривали М.М. Зайнулабидов, А.М. Наху-шев, А.Б. Базарбеков, В.Н. Врагов, J.M. Rassias, L.M. Sibner. Обзор такого рода задач и литературы приведен в книге А.Г. Кузьмина. Последние результаты в этом направлении получены в работах М.М. Смирнова, А.А. Полосина, А.Н. Зарубина, Н.О. Таранова, J.M. Rassias, G.C. Wen, О.А. Репина, B.J. Kadirkulov: для уравнений смешанного типа (Лаврентьева-Бицадзе, Три-коми, с запаздывающим аргументом, с дробной производной и др.) с различны-

— P. 1495-1516.

⁹ Моисеев Е.И., Прудников А.П., Седлецкий А.М. Базисность и полнота некоторых тригонометри
ческих систем элементарных функций //ВЦ им. А.А. Дородницына РАН. Москва. — 2004. — 146 C.

¹⁰ Билалов Б.Т., Велиев С.Г. Некоторые вопросы базисов //Баку: Элм. — 2010. — 304 С.

¹¹ Макин А.С. О нелокальном возмущении периодической задачи на собственные значения //Диф
ференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42. — №. 4. — С. 560-562.

¹² Савчук А.М., Шкаликов А.А. Спектральные свойства комплексного оператора Эйри на полуоси

// Функциональный анализ и его приложения. — 2017. — Т. 51. — №. 1. — С. 82-98.

¹³ Mennicken R., Moller M. Non-self-adjoint boundary eigenvalue problems. Gulf Professional Publishing,

2003. — Vol. 192. — 500 P.

¹⁴ Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Ле
нинград: Изд-во Ленингр. ун-та. — 1990. — 208 С.

ми линиями вырождения (перпендикулярными, параллельными, негладкими) доказаны теоремы существования и единственности решений задачи Трикоми и нелокальных краевых задач.

Другим важным направлением исследования уравнений смешанного типа являются постановка корректных краевых задач, в том числе и в многомерных областях, изучение существования и единственности решений для многомерных областей и исследование их устойчивости. Классические краевые задачи, такие как задачи Дирихле и Неймана, корректность которых для эллиптических уравнений хорошо известна, могут быть некорректно поставленными для уравнений смешанного типа. Впервые это показал А.В. Бицадзе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. После этой работы встал вопрос о поиске областей и краевых условий, заданных на всей границе области, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задачу Дирихле для уравнений смешанного типа изучали J.R. Cannon, C.S. Morawetz, А.П. Солда-тов, К.Б. Сабитов, Н.Н. Вахания. Был получен ряд результатов с ограничением на вид области или требованием дополнительных условий на функции, заданные на границе области. Например, в работе А.П. Солдатова показано, что существует и единственно решение задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, ограниченной дугами окружности и гиперболы. Обширный обзор работ по этой теме представлен в монографии М.М. Хачева. В связи с приложениями к газовой динамике актуален вопрос о постановке корректных задач не только в двумерной, но и в многомерных ( 3) областях. Постановками корректных задач в многомерных областях занимались А.В. Бицадзе, Г. Каратопраклиев, A.K. Aziz и M. Schneider, А.М. Нахушев. Последним был

¹⁵ Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР. —
1953. — Т. 122. — №. 2. — С. 167–170.

¹⁶ Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные

уравнения. — 1994. — Т.30. — №11. — С. 2001–2009

¹⁷ Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус. —
1998. — 280 С.

получен критерий единственности для задачи Дирихле в многомерной цилиндрической области¹⁸.

В последнее время были рассмотрены постановки задач с нелокальными краевыми условиями для уравнений смешанного типа, например, с нелокальным интегральным условием (В.А. Елеев, К.Б. Сабитов, Ю.К. Сабитова), или с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения (Р.И. Сохадзе, Т.И. Демина). D. Lupo, D.D. Monticelli и K.R. Payne изучают корректность задачи Дирихле при отыскании решений в слабом смысле. Результаты, касающиеся задачи Дирихле для эллиптико-гиперболических уравнений типа Келдыша представлены в монографии T.H. Otway, в которой также описаны приложения уравнений смешанного типа к физике холодной плазмы и оптике. Также были исследованы решения аналогов задач Трикоми, Франк-ля и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях и показаны существование и единственность классических решений.

В середине XX столетия M.H. Protter ввел в рассмотрение краевые задачи, являющиеся многомерными аналогами классических задач на плоскости для уравнений смешанного типа. Введенные многомерные аналоги являются некорректно поставленными в отличие от корректных двумерных задач. До сих пор нет фундаментальных результатов по вопросу существования решений введенных аналогов краевых задач в многомерных областях. Известно, что задача Проттера для уравнений смешанного типа не только некорректна, но и при глад-¹⁸ Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т.6. — № 1. — С. 190–191.

¹⁹ Lupo D., Monticelli D.D., Payne K.R. Spectral theory for linear operators of mixed type and applications

to nonlinear Dirichlet problems // Communications in Partial Diferential Equations. — 2012. — Vol. 37. — №.

9. — P. 1495–1516.

²⁰ Otway T.H. The Dirichlet problem for elliptic-hyperbolic equations of Keldysh type. Springer. — 2012. —

Vol. 2043.

²¹ Нефедов П.В. Неклассические задачи для уравнений в частных производных второго порядка. Дисc.
к-та физ.-мат. наук. Москва. —– 2015.

²² Protter M.H. New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type // Journal
of Rational Mechanics and Analysis. — 1954. — Vol. 3. — №. 5. — P. 435-446.

кой правой части уравнения имеет сингулярные обобщенные решения. В настоящее время исследования в этом направлении ведутся J.M. Rassias, N. Popivanov, M. Schneider и их учениками. Например, для уравнений типа Келдыша ими была показана некорректность задачи, введено определение квазирегулярного решения и найдены достаточные условия единственности таких решений.

Обзор теорем существования и единственности решений для уравнений смешанного типа и приложений к задачам трансзвуковых течений можно найти в работе C.S. Morawetz. Обзор результатов последних десятилетий по краевым задачам для уравнений смешанного типа для трансзвуковых течений, касающийся вычислительных аспектов динамики жидкостей и таких практических задач, как проектирование аэродинамического профиля и управление течением жидкости, приведен в монографии А.Г. Кузьмина.

Цель диссертационной работы. В свете перечисленных выше работ и направлений исследований по уравнениям смешанного типа научный интерес представляет исследование решений неклассических краевых задач для уравнений смешанного типа, что и является целью настоящей диссертационной работы. Важно исследовать системы функций, с помощью которых выписываются решения неклассических краевых задач, получить биортогональные системы и интегральные представления решений в аналитическом виде. Интерес представляет исследование спектральной задачи для уравнения смешанного типа с линией вырождения, проходящей под произвольным углом к оси координат. Еще одним важным вопросом диссертационной работы является получение корректно поставленных задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях при помощи введения нелокальных условий.

²³ Hristov T.D., Popivanov N.I., Schneider M. On uniqueness of quasi-regular solutions to Protter problem
for Keldish type equations // AIP Conference Proceedings. — AIP, 2013. — Vol. 1570. — №. 1. — P. 321–326.

²⁴ Morawetz C.S. Mixed equations and transonic fow // Journal of Hyperbolic Diferential Equations. —

2004. — Vol. 1. — №. 01. — P. 1–26.

²⁵ Kuz’min A.G. Boundary value problems for transonic fow. John Wiley and Sons, London, UK. — 2003. —
316 P.

Основные результаты работы.

1. Доказано свойство базисности двухсерийных тригонометрических систем

() в пространстве ₂ 0, ₂ и в явном аналитическом виде построена биор-тогональная к ней система функций. Результаты расширены на случай двухсерийных систем функций с идентичной второй серией и с произвольными функциями в первой серии, на которые наложены ограничения

симметричности относительно = ₄ и базисности Рисса в пространстве

() ₂ 0, ₄ . С помощью аналитического вида биортогональной системы построено интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области.

2. Изучены спектральные вопросы задач для уравнения Лаврентьева-Бицад-
зе в случае наклонной линии изменения типа: задачи Трикоми с линией

() вырождения, проходящей под произвольным углом -₄, ₄ к оси , и

задачи Геллерстедта с двумя линиями изменения типа, проходящими под

() двумя, не обязательно равными, углами ₁, ₂ -₄, ₄ к оси (в последнем случае линия вырождения является негладкой). Получены условия на спектральные параметры областей эллиптичности и гиперболичности, при которых собственные функции рассматриваемых задач выписаны в явном виде и показано, что они образуют базис Рисса в эллиптической области. Получено интегральное условие связи типа свертки, приносимое гиперболической областью на границу и связывающее значения функции и ее производных на линии изменения типа.

3. Получена постановка корректной по Адамару краевой задачи для уравне
ния Лаврентьева-Бицадзе. Показано, что задача с нелокальным условием,
связывающим значения функции в гиперболической области со значения
ми на линии изменения типа, является корректно поставленной не только
в двумерном, но и в трехмерном пространствах.

Методы исследования. В диссертации используется теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория функции комплексного переменного, операционное исчисление, теория сингулярных интегральных операторов, теория специальных функций, теория интегральных уравнений Воль-терры.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы. Впервые получены биортогональные системы в аналитическом виде для рассматриваемых двухсерийных систем функций. Явный вид биортогональных систем может использоваться при построении решений уравнений смешанного типа в интегральном виде и при доказательстве равномерной сходимости рядов Фурье в спектральном методе решения краевых задач. Для уравнений смешанного типа с линиями вырождения, проходящими под углом к оси координат, найдены условия, при которых собственные функции выписываются в явном виде. Получено интегральное условие связи в виде свертки на линии изменения типа, что позволяет сводить неклассические краевые задачи для уравнений смешанного типа с наклонной линией вырождения к задаче для эллиптического уравнения. Впервые рассмотрена корректная по Адамару нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа в трехмерном пространстве с нелокальным условием, связывающим значения функции на границе со значениями функции на линии изменения типа. Полученные результаты диссертации могут быть использованы в практике при математическом моделировании процессов трансзвуковой газовой динамики и в учебных целях при преподавании функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация работы. Результаты работы были представлены в виде докладов на конференциях:

1. международная молодежная конференция «Ломоносов», Московский государственный университет М.В. Ломоносова, Москва, 2012 г. и 2013 г.;

2. международная конференция Applications of Mathematics in Engineering

and Economics (AMEE), Созополь, Болгария, 2012 г. и 2013 г.;

3. международная научная конференция «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных», посвященная памяти А.В. Бицадзе, Московский государственный университет М.В. Ломоносова, Москва, 2016 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах. Из них работы [1, , , ] опубликованы в российских журналах из перечня ВАК. Работа [] опубликована в зарубежном журнале, включенном в Web of Science и/или Scopus. Личный вклад автора, отражающий основные результаты, выносимые на защиту, состоит в их самостоятельном получении. Участие научного руководителя Е.И. Моисеева ограничивается постановкой задач, составлением планов исследований, проверкой достоверности полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 111 страниц. Библиография содержит 119 наименований.

Вспомогательные утверждения

Проблемами полноты и базисности систем функций, возникающих при решении задач математической физики, занимались А.М. Седлецкий [102] и Е.И. Моисеев [77]. Совместный обзор результатов этой области можно найти в [82]. Последние результаты представлены в статьях [73, 22, 39, 90], где различные тригонометрические системы функций исследованы на полноту, минимальность и базисность в пространствах Лебега. В ряде работ Б.Т. Билало-ва [44, 45, 46] исследованы системы экспонент и тригонометрических функций в пространствах Лебега. Исследованием собственных и присоединенных функций несамосопряженных операторов занимаются А.С. Макин [70], Шкаликов [99], R. Mennicken и M. Moller [21].

Как упоминалось выше, ряд исследований по уравнениям смешанного типа касается случаев негладких линий изменения типа и уравнений с несколькими линиями вырождения [58, 84, 41, 54, 29, 32]. Обзор такого рода задач и литературы приведен в [65]. Последние результаты в этом направлении получены в работах М.М. Смирнова [104], А.А. Полосина [89], А.Н. Зарубина [68, 37], Н.О. Таранова [107], J.M. Rassias [31], G.C. Wen [35, 36], О.А. Репина [93], B.J. Kadirkulov [14]: для уравнений смешанного типа (Лаврентьева-Бицад-зе, Трикоми, с запаздывающим аргументом, с дробной производной и др.) с различными линиями вырождения (перпендикулярными, параллельными, негладкими) доказаны теоремы существования и единственности решений задачи Трикоми и нелокальных краевых задач.

Другим важным направлением исследования уравнений смешанного типа являются постановка корректных краевых задач, в том числе и в многомерных областях, изучение существования и единственности решений для многомерных областей и исследование их устойчивости. Классические краевые задачи, такие как задачи Дирихле и Неймана, корректность которых для эллиптических уравнений хорошо известна, могут быть некорректно поставленными для уравнений смешанного типа. Впервые это показал А.В. Бицадзе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в работе [48]. После этой работы встал вопрос о поиске областей и краевых условий, заданных на всей границе области, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа рассматривалась в работах [5, 23, 105, 97, 52] и был получен ряд результатов с ограничением на вид области или требованием дополнительных условий на функции, заданные на границе области. Например, в работе А.П. Солдатова [105] показано, что существует и единственно решение задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, ограниченной дугами окружности и гиперболы. Обширный обзор работ по этой теме представлен в монографии М.М. Хачева [113]. В связи с приложениями к газовой динамике актуален вопрос о постановке корректных задач не только в двумерной, но и в многомерных ( 3) областях. А.В. Бицадзе и А.М. Нахушев для простого модельного уравнения смешанного типа с тремя и больше независимыми переменными сформулировали [49] нелокальные краевые задачи и доказали существование и единственность регулярных решений. Г. Каратопрак-лиев рассмотрел [62] постановки краевых задач для многомерных уравнений и исследовал существование и единственность сильных и слабых решений. В работе [85] А.М. Нахушева был получен критерий единственности для задачи Дирихле в многомерной цилиндрической области. A.K. Aziz и M. Schneider нашли [2] достаточные условия, чтобы решение краевой задачи Франкля-Моравец было единственным в трехмерной области.

В последнее время были рассмотрены постановки задач с нелокальными краевыми условиями для уравнений смешанного типа, например, с нелокальным интегральным условием (см. [57, 98, 101]) в двумерных областях, или с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения (см. [106, 56]). В статьях D. Lupo, D.D. Monticelli и K.R. Payne [18, 19] изучается корректность задачи Дирихле при отыскании решений в слабом смысле. В работе [9] показывается существование нетривиального решения однородной задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в круге. Результаты, касающиеся задачи Дирихле для эллиптико-гиперболических уравнений типа Келдыша представлены в монографии T.H. Otway [26], в которой также описаны приложения уравнений смешанного типа к физике холодной плазмы и оптике. Для неоднородного уравнения Трикоми в прямоугольнике демонстрируется [13] некорректность постановки задачи Дирихле. В работе [87] исследованы решения аналогов задач Трикоми, Франкля и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях и показаны существование и единственность классических решений.

В середине XX столетия M.H. Protter [28] ввел в рассмотрение краевые задачи, являющиеся многомерными аналогами классических задач на плоскости для уравнений смешанного типа. Введенные многомерные аналоги являются некорректно поставленными в отличие от корректных двумерных задач. До сих пор нет фундаментальных результатов по вопросу существования решений введенных аналогов краевых задач в многомерных областях. Известно, что задача Проттера для уравнений смешанного типа не только некорректна, но и при гладкой правой части уравнения имеет сингулярные обобщенные решения. В настоящее время исследования в этом направлении ведутся J.M. Rassias [30], N. Popivanov, M. Schneider и их учениками. Например, для уравнений типа Келдыша ими была показана [10] некорректность задачи, введено определение квазирегулярного решения и найдены достаточные условия единственности таких решений, а в дальнейшем доказаны [11] существование и единственность обобщенного решения в подходящем функциональном пространстве.

Обзор теорем существования и единственности решений для уравнений смешанного типа и приложений к задачам трансзвуковых течений можно найти в работе C.S. Morawetz [24]. Обзор результатов последних десятилетий по краевым задачам для уравнений смешанного типа для трансзвуковых течений, касающийся вычислительных аспектов динамики жидкостей и таких практических задач, как проектирование аэродинамического профиля и управление течением жидкости, приведен в монографии А.Г. Кузьмина [15].

Цель диссертационной работы. В свете перечисленных выше работ и направлений исследований по уравнениям смешанного типа научный интерес представляет исследование решений неклассических краевых задач для уравнений смешанного типа, что и является целью настоящей диссертационной работы. Важно исследовать системы функций, с помощью которых выписываются решения неклассических краевых задач, получить биортогональные системы и интегральные представления решений в аналитическом виде. Интерес представляет исследование спектральной задачи для уравнения смешанного типа с линией вырождения, проходящей под произвольным углом к оси координат. Еще одним важным вопросом диссертационной работы является получение корректно поставленных задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях при помощи введения нелокальных условий.

Интегральное условие связи на линии изменения типа

В новой системе координат линия изменения типа АВ описывается уравнением / / ( Л у = х ctg а -\— ), а функция и(х ,у ) должна удовлетворять следующему уравнению в области гиперболичности их у (х ,у ) + Д и(х ,у ) = 0. (2.7) Нетрудно простой подстановкой убедиться, что частным решением этого уравнения (2.7) яв ляется функция G(x ,у!) = Jo(2jl Jx y ) класса С(Т )Г\С2(Т \(АСиСВ)), где Jo — функция Бесселя первого рода. Ввиду свойства Jo(0) = 1, частное решение G(x ,y ) не удовлетворяет условию равенства нулю на характеристике АС. Используем это частное решение для построения решения уравнения (2.7) с нулем на характеристике АС в таком интегральном виде, чтобы решение и(х,у) задачи ТМ;д на линии изменения типа АВ представлялось в виде свертки функции Бесселя первого рода JQ и некоторой, единственно заданной, функции.

Утверждение 2.1. Любую функцию и(х ,у ) класса (2.5)-(2.6), являющуюся решением уравнения (2.7) и удовлетворяющую условию U\AC = 0, можно единственным образом предста-вить в области Т в интегральном виде и{х ,у ) = 1У{1)С{х —t,y — tctgр) at, (2.8) о где в = а + т, а fit) — некоторая функция класса С1 ( 0, —?= sin/З ) , причем л- 4 v л/2 С \u(t)\ л, с 0, є 0. (2.9) t [t 7T Доказательство. Сначала убедимся, что определенная через (2.8) функция действительно принадлежит классу (2.5)-(2.6), является решением уравнения (2.7) и удовлетворяет нулевому граничному условию на отрезке АС. Для этого рассмотрим функцию где fit) — некоторая функция класса С1 ( 0, -т= sin 8 ) , причем для нее верна оценка (2.9). Поскольку функция G(x , у ) Є С(Т ) C\C2(V \ {AC U С В)) и функция i/(t) абсолютно интегрируема на отрезке О, 12 sin/З , то функция й(х у ) Є С(Т ) П С2(Т \ (AC U С В)) (см. [109] стр. 720). Функция й(х ,у ) удовлетворяет условию й\лс = й(0,у ) = 0. Убедимся, что она удовлетворяет уравнению (2.7) {x ,у ) = v[x )J0{v) + z/ ijGai/ x —t,y— tctgp) dt = v[x ) + z/(t)иж/(ж — t,y — t ctg/3) at uxiyi[x ,y ) = p[t)Cxiyi\x —t,y —tctgp) at. Поскольку функция G(x ,y ) удовлетворяет уравнению (2.7), из последних равенств получаем, что функция й(х ,у ) также удовлетворяет уравнению (2.7) йх у (х , у ) + Д й(х , у ) = u(t) [Gx y (x — t,y — t ctg/3) + Д G(x — t, y — t ctg/3) dt = 0. Получим теперь оценку на градиент функции й(х ,у )

Полученная оценка градиента для функции й(х ,у ) в (2.11) совпадает с оценкой (2.12), поэтому для градиента функции й(х ,у ) выполнено условие (2.6). Итак, функция, заданная через (2.8) удовлетворяет всем необходимым требованиям. Чтобы представить функцию и(х ,у ) в виде (2.8), исследуем это равенство на границе АВ и покажем, что функцию u{t) можно найти на основе значений функции и(х ,у ) на границе АВ Xі и[х ,х ctgp) = v\t)J0 І 2/ІЛ/ctgp{x — t) at. (2.13) Введем обозначение V(t = 0 vvt at и получим следующее выражение Xі XІ u(x , x1 ctg/3) = / J0 [2jlyctgf3(x — t) ) dV{t) = У(ж )+2Ду ctg/3 / V(t)J1 ( 2jl ctgj3{xl — t) ) (it, 0 0 (2.14) которое при заданной непрерывной функции u(x ,x ctgB) Є С 0, 12 sin /3 определяет урав нение Вольтерры второго рода на функцию V(x ) c ядром интегрального оператора (0(t) — функция Хевисайда) 11 (ж , t) = Z/іл/ctgp J1 I 2/x\/ctgPfpj — t) І c/(pj — і), которое лежит в классе непрерывных функций С ( \ x t х1 Є 0, 1 sin/3 , і Є Ю,ж 1 ) . То V2 гда с использованием принципа сжимающих отображений можно показать, что существует единственное решение V(x ) Є С 0, 12 sin/3 (см. [64] стр. 71). Поскольку функция / / / п\ у2 1 г\ 1 п\ Гх -11/л т /n /— 77/ / i\\ у2 /Л 1 п и(х ,ж ctec/З Є С U, -2 sm/3 и функция 0 1/ г J1 (Zawctgр(х — t Є О U, -2 snip , то из уравнения (2.14) получаем, что и найденное решение V(x ) Є С2 ( 0, 12 sin/З ) . Следователь-но, исходная функция и(х ) Є С1 (О,12 sin/З ) . Более того, ввиду оценки на градиент (2.12) получим аналогичную оценку на градиент решения V(x )

Итак, мы показали, что для граничных значений функции и(х ,у ) на линии АВ существует единственная функция u(t) класса С1 ( 0,1sin/3) c оценкой (2.9) такая, что выполне \ /2 но (2.13).

Подставим в выражение рассмотренной функции й(х ,у ) функцию v(t), определенную через граничные значения функции и(х ,у ) на линии АВ. Покажем, что тогда функции й(х , у ) и и(х , у ) совпадают не только на линии АВ, а полностью, то есть й(х , у ) = и(х , у ). Рассмотрим разность этих функций v(x y ) = и(х ,у ) — й(х ,у ), для которой выполнено в области D

Перейдем к пределу при п — оо, тогда \v(x , у )\ 0 и, следовательно, й(х , у ) = и(х , у ). Замечание 2.2. Для задачи Т д с горизонтальной линией изменения типа (случай а = 0) было получено интегральное условие связи на линии изменения типа СМ. Пономаревым [91, 92] с использованием функции Римана. Позже Е.И. Моисеев получил [74, 76] аналогичное интегральное условие связи с помощью решения задачи Дарбу: использовалось приближенное решение и преобразование Лапласа.

Следствие 2.1. Ввиду интегрального представления (2.8) решение и(х ,у ) задачи ТМ;д на наклонной линии изменения типа АВ представимо в виде свертки некоторой, единственно заданной, функции и(х ) класса С1 (0,-Usin/3) и функции Бесселя Jn(2u\/ctg]3x ) первого рода

C помощью полученного представления (2.8) решения и(х , у ) задачи Т д в гиперболической области Т получим интегральное условие связи между функцией и(х,у) и ее частными производными на наклонной линии изменения типа АВ в областях гиперболичности, а затем и эллиптичности, используя условия сопряжения (2.3)-(2.4).

Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром в случае симметричных наклонных линий изменения типа

Классические краевые задачи, такие как задачи Дирихле и Неймана, корректность которых для эллиптических уравнений хорошо известна, могут быть некорректно поставленными для уравнений смешанного типа. Впервые это показал А.В. Бицадзе для уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе в работе [48]. После этой работы встал вопрос о поиске смешанных областей и краевых условий, заданных на всей границе области, для которых задача Дирихле является корректно поставленной (библиография работ по этой тематике представлена в монографии М.М. Хачева [113]). Был получен ряд результатов с ограничением на вид области или требованием дополнительных условий на функции, заданные на границе области [5, 105, 97, 52]. В связи с приложениями к газовой динамике возник вопрос о постановке корректных задач не только в двумерной, но и в многомерных областях ( 3). В работе [85] А.М. Нахуше-ва был получен критерий единственности задачи Дирихле в многомерной цилиндрической области. В дальнейшем были рассмотрены нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа, например, с нелокальным интегральным условием (см. [57, 98]) в двумерных областях, или с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения (см. [106, 56]).

В настоящей главе рассматривается нелокальная краевая задача c условиями на всей границе области, в которой значения функции на границе в гиперболической области связываются со значениями функции на линии изменения типа, для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в двумерных и трехмерных областях цилиндрического типа. Демонстрируется корректность рассматриваемой задачи при определенных значениях параметра в нелокальном условии. При некоторых других значениях параметра показывается, что для однозначной разрешимости необходимо и достаточно наличие счетного числа условий ортогональности на

Будем рассматривать уравнение Лаврентьева-Бицадзе в двумерном пространстве ихх + sgny иуу = 0 (3.1) в области D = D+UT) , где линия изменения типа — это отрезок АВ = {(х,у) \х Є (0,7г), у = 0}. Требуется найти решение и(х, у) Є С{Т ) nC DU АВ) П С2(Т +) П С2(Т ), градиент которого непрерывен при переходе через линию изменения типа, для следующих двумерных задач:

Задача П оо. Заданы области Т + = (0,7г) х (0,+оо), Т = (0,7г) х (—Т, 0) при Т 0. Наложены краевые условия и(0, у) = и(тг, у) = 0, у Є [-Т, +оо) и(х, +оо) = 0, X Є [0, 7г] и нелокальное условие (а Є Ж) аи(х, 0) — и(х, — Т) = f(x), жє[0,7г]. (3.2) Задача ЇІ2сі. Заданы области Т + = (0,7г) х (0,Т+), Т = (0,7г) х (Т ,0) при Т+ 0, Т 0. Наложены краевые условия и(0,у) = и{ж,у) = 0, у Є [Т ,Т+] и(х,Т+) = f+(x), X Є [0,7г] и нелокальное условие (а Є R) аи(х,0) — и(х,Т ) = f (х), жє[0,7г]. (3.3) Замечание 3.1. Здесь и в дальнейшем запись и(х,-\-оо), х Є G означает равномерный по х Є G предел lim и(х,у); запись и(х,у,-\-оо) — соответственно равномерный по ж и у. г/-)-+оо Теорема 3.1. Пусть \а\ у2 и функция fix) Є С3[0,7г] удовлетворяет условиям J (О) = J\K) = J (UJ = / (7TJ = U. Тогда задача П2Й)0О имеет, и притом единственное, решение, устойчивое по Т Н м11с(г ) = max#w const 8Т, где 5и = ит+ёт(х,у) — ит(х,у), а функции ит(х,у), ит+ёт(х,у) — решения задачи П2оо при Т и Т + 8Т соответственно.

Доказательство. Докажем единственность решения поставленной задачи с помощью метода, предложенного В.А. Ильиным и основанного на поиске полной системы собственных функций краевой задачи для одномерного уравнения (см., например, 9 [59] или [60]). Пусть и(х, у) — решение однородной задачи {fix) = 0). Рассмотрим при у Є (—Т, 0) U (0, +оо) функции vn(y) = / и{х,у) sinnx dx. (3.4) 0 Дифференцируя дважды по у, используя уравнение (3.1) и интегрирование по частям с учетом граничных условий на функцию и(х,у), получим vn(y) = иуу(х, у) sin пх dx = — sgny ихх(х, у) sinnx dx = ж 2 f / 2 = п sgny и(х,у) sinnx dx = n sgny vn{y).

Следовательно, функция vn(y) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению vn(y) п sSnyvn(y) = 0, у Є (—Т, 0) U (0, +оо).

Учитывая граничные условия на и(х,у) и требование непрерывности и(х,у) и иу(х,у) при переходе через линию изменения типа, получим следующее решение для vn(y) Апе пу, у 0 An(cos пу — sin пу), у Є (-Т, 0) Нелокальное условие на и(х,у) порождает условие на vn(y) следующего вида При \а\ \/2 из последнего равенства следует, что Ап = 0, \/п Є N. Следовательно, решение vn = 0 и \/п Є N выполнено / u(x,y) sinnx dx = 0, у Є (-Т, 0) U (0, +оо). 0 Так как система {smnx}n=1 полна в L2(0,7r), то и(х,у) = 0, (х,у) Є T)+UT) . Единственность доказана. Предъявим явный вид решения задачи, доказав тем самым его существование. Применяя метод разделения переменных, учитывая непрерывность gradw при переходе через линию изменения типа, получаем формальное представление решения в виде следующих рядов

Из условия теоремы следует, что f(x) разложима в ряд Фурье по системе {sinnx} =1. Приравняем коэффициенты разложений по системе {smnx} =1 Ап а — v2sm nl + — = fn, где fn — коэффициенты Фурье функции fix), и в силу условия \а\ v2 выразим коэффициенты Ап через коэффициенты fn разложения функции f(x) fn п = 7 —1 л" а — л/2 sin (пТ + т) Для того, чтобы (3.5) действительно было решением задачи П2 оо, необходимо показать равномерную сходимость рядов из (3.5), а также возможность их почленного дифференцирования вплоть до второго порядка.

Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи в двумерной области

По признаку Вейерштрасса имеем равномерную сходимость рядов в соответствующих областях, следовательно ряды можно почленно дифференцировать дважды по переменной t. В итоге, рассмотрев и доказав аналогично равномерную сходимость других рядов, получим возможность почленного дифференцирования рядов вплоть до второго порядка, следовательно (3.20) является решением исходной задачи.

Изучим вопрос устойчивости решения по Т. Рассмотрим решения UT, UT+ST, задачи Пзй,оо при Т и Т + 8Т соответственно. Тогда

При \а\ у2 для разрешимости может понадобиться счетное число условий ортогональности на функцию f(x, у).

Пусть а = 1, Т = тг. Пусть f(x,y) такая, что все коэффициенты Фурье по системе {sinnx smmy} m=l равны нулю за исключением, быть может, коэффициентов 1зк,4к- Тогда для разрешимости необходимо и достаточно наличие счетного числа условий ортогональности на функцию f(x,y) следующего вида

Доказательство. Доказательство единственности проведем аналогично теореме 3.3: пусть u(x,y,t) — решение однородной задачи (f+(x,y) = 0, f (x,y) = 0); введем функции wn(y,t) и vnm(t) в соответствии с (3.18)–(3.19) при t Є (Т , 0) U (0, Т+) и получим следующее дифференциальное уравнение vnm(t) sgnt (п + m ) vnm{t) = 0, і Є (Т , 0) U (0, Т+). Решение этого уравнения с учетом граничных условий на и(х, у, t) и требования непрерывности u(x,y,t) и Ut(x,y,t) при переходе через поверхность изменения типа имеет вид (исполь зуем обозначение Хпт = уп2 + т2) имеет вид Апт{е х1 - еМ -2Т+ ) ), t Є (0,Т+) vnm(t) = 2Апте ХптТ (sh \nmT+ cos Xnmt — ch \nmT+ sin Xnmt), t Є (T-, 0) Нелокальное условие (3.17) на u(x,y,t) порождает условие на функции vnm(t) следующего вида (используем введенное обозначение (3.10) в теореме 3.2) что все коэффициенты Апт = 0. В итоге решение vnm(t) = 0. Воспользовавшись полнотой систем функций {smnx} =1 и {sinmy} =1 в L2(0,7r) аналогично теореме 3.3, получим что и(х, у, t) = 0, (х, у, t) Є Т)+ U Т . Единственность доказана.

Применив метод разделения переменных и учитывая непрерывность grad и при переходе через поверхность изменения типа, получим формальное представление решения в виде ряда (Anm ch Xnmt + Впт sh Xnmt) sin ш? sin my, в эллиптической области Т + и(х, у, t) = У ] У ] (Апт cos \nmt + Впт sin \nmt) sin пх sin my, в гиперболической области Т га=1 m=l (3.22) где \пт = л/п2 + т2. Из условия теоремы следует, что функции f (x) и f+(x) разложимы в ряд Фурье по системе функций {sinn smmy} n )=lm=1 оо оо оо оо / / fnmзіпш?sinmy = f+(x, у), У У f msinnxsinmy = f (x, у). n=\ m=\ n=\ m=\ Приравняем в нелокальном условии (3.17) коэффициенты разложений в левой и правой частях равенства и получим следующую систему уравнений на коэффициенты Апт и Впт

Апт ch ХптТ + Bnm sh ХптТ = fn Anmoi — Anm cos AramT — Bnm sin \nmT = fn Упростим систему — I fnrn Sin AnmT = Jnm + пшк —— a — cos XnmT + fhn N""V+ bill Oil f TiTfi Anm cth AramT+ nm sh \nmT+ откуда ввиду условия І о; І 1 + , 2 / і окончательно получаем выражения для коэф 1 tn у 21 "г фициентов Aram и Бгат Г - — 1 — Г -Р+ \ т-1—1 Аш = о; — cosXnmT + tv!\n??V+ f + nr"sin n— Bnm = sh ЬтТ+ A m cth \nmT+ и следующие их оценки через коэффициенты разложения функций -(,) и +(,), где используется введенное ранее обозначение (3.10), і і \jnm\ \An\ \jnm\ H ) CK - «критическое [Лит) \ sh \nmT+ , „ , I f„m I cth л/2Т+ I f+ I cth л/2Т+ Г) I « ibffb I v ilt/ Hill I 1 і v І5га H — 1 + « — «критическое {Xnm)\ sh \nmT+ \a — «критическое {Xnm)\

Используя оценки на коэффициенты Апт и Впт, аналогично технике, приведенной в теоремах 3.2 и 3.3, можно доказать равномерную сходимость рядов, представленных в (3.22), а также допустимость их почленного дифференцирования вплоть до второго порядка.

Изучим вопрос устойчивости решения по Т . Рассмотрим следующие решения ит- {Х, у, t) задачи ПЗЙ при Т и Т + 8Т соответственно У ] У ] (Anm ch Xnmt + Впт sh Xnmt) sin nx sin my, (x, y, t) Є T)+ UT-(X, y, t) = (Anm cos \nmt + Bnm sin \nmt) sin nx sin my, (x, y, t) Є T ra=l m=\ A rn — "1 —1 / C-\- A rn — \ sin Arami / / sin Arami \ -rt-nm a — cos XnmT -\— / H — th Хптґ sh Хптґ f+ - ra =\Птm_i_ .ram cth XnmT sh XnmT+ oo oo S S (Cram ch \мта + -Dram sh Xnmt) SHI Ш? SH177M/, (x,y,t) Є X + T -\-ST \X, y, t) У ] У ] (Cnm cos Aramt + Dnm sin Xnmt) sin ш; sin my, (x,y,t) Є "D ra=l m=l „_ rm-\ sin (AramT + XnmST ) С ram = « — COS (XnmT + XnmoT ) -\ th ХПтЛ X ( f m + X / -I- Л rn — і Л глл- \ „msin(Anmi + Xnmol ) -\ sh XnmT ) /+ Awra = л"т + _ Сшта cth XnmT+. sh Arami + Тогда разность решений имеет вид 5и = UT-+ST- — иг- = оо оо S S ((Спт — Апт) ch Aramt + (Dnm — Впт) sh Xnmt) sin nx sin my, (x,y,t) Є X + ra=1m=1 oo oo У ] У ] {{Cnm — Anm) cos Xnmt + {Dnm — Bnm) sin Xnmt) sin ш; sin my, (ж, у, t) Є Т ra=1m=1 -Dram, — Bnm = —{Cnm — Anm) cth XnmT+ Аналогично теореме 3.2 можно получить следующую оценку на разность коэффициентов

В первой главе доказано свойство базисности двухсерийных тригонометрических систем { cos А\?_п, (sin \А ( + 77) + о! г , в пространстве o (О, тП и построена биортого-нальная система функций в явном аналитическом виде. Результаты обобщены на случай следующих двухсерийных систем функций: одна серия состоит из произвольных функций, на которые наложены ограничения симметричности относительно точки = т и базисности Рисса в o ( 0, 4 ) , вторая серия — (sin \А ( + ) + о! г , . С помощью аналитического вида биортогональной системы построено интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области из работы [79].

Во второй главе изучены спектральные вопросы краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае наклонной линии изменения типа: задача Трикоми с линией изменения типа, проходящей под произвольным углом Є ( —т,т) к оси , и задача Геллерстедта 4

с двумя линиями изменения типа, проходящими под двумя, не обязательно равными, углами л, о Є ( — 4,4 ) к оси (в общем случае линия изменения типа является негладкой). Получены условия на спектральные параметры областей эллиптичности и гиперболичности, при которых собственные функции рассматриваемых задач выписаны в явном виде и показано, что они образуют базис Рисса в эллиптической области. Еще одним результатом главы является полученное в виде свертки с функцией Бесселя первого рода интегральное условие связи, приносимое гиперболической областью и связывающее значения функции и ее производных на линии изменения типа.

В третьей главе получена постановка корректной нелокальной краевой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Нелокальное условие связывает значения функции в гиперболической области и значения функции на линии изменения типа. Показано, что данная задача является корректно поставленной не только в двумерном, но и в трехмерном пространствах.