Исследование разрешимости вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка Гордиевских Дмитрий Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

1 Уравнения в банаховом пространстве с вырожденным оператором под знаком дробной производной 12

1.1 Дробные интегралы и дробные производные 12

1.2 Относительно -ограниченные операторы и вырожденные уравнения первого порядка 14

1.3 Задача Коши для неоднородного невырожденного уравнения дробного порядка 20

1.4 Задача Коши для однородного вырожденного уравнения 24

1.5 Задачи Коши и Шоуолтера–Сидорова для неоднородного вырожденного уравнения 31

1.6 Обобщение теоремы о порождении аналитических групп 34

2 Уравнения и системы уравнений, не разрешимые относительно дробной производной по времени 37

2.1 Выpожденная система дробных диффеpенциальных уpавнений функций одной переменной 37

2.2 Неоднородное уравнение с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора з

2.3 Некоторые частные случаи 42

2.4 Уравнение переходных процессов в полупроводниках дробного порядка по времени 43

2.5 Система Соболева дробного порядка по времени 44

2.6 Линеаризованная система Осколкова дробного порядка по времени 47

2.7 Аппроксимация дробной производной 50

2.8 Разностная схема 51

2.9 Алгоритм и программная реализация численного метода 53

2.10 Численный эксперимент 55

Заключение 59

Обозначения и соглашения 60

Cписок литературы 61

Список иллюстративного материала

• Задача Коши для однородного вырожденного уравнения
• Обобщение теоремы о порождении аналитических групп
• Неоднородное уравнение с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора
• Линеаризованная система Осколкова дробного порядка по времени

Введение к работе

Актуальность темы исследования. В последние годы возрос интерес к исследованию так называемых дифференциальных уравнений дробного порядка, им посвящен ряд монографий¹'². Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования с целью обобщения знаний и создания математических моделей таких процессов, для которых обычные дифференциальные уравнения не позволяют формулировать адекватные математические модели, так и приложениями таких конструкций в различных областях науки, например, в физике³'⁴. В первую очередь интерес к исследованию таких уравнений обусловлен многочисленными эффективными приложениями интегродифференцирования дробного порядка к описанию широкого класса физических процессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, со степенной памятью и фрактальностью. Математические модели, базирующиеся на дробных производных, находят также применение в математической биологии, гидрогеологии, при моделировании процессов тепло- и массопереноса в сильно неоднородных средах, в задачах упругопластичности, трансзвуковых течений, исследованиях в области полупроводников, в эпидемиологии, финансах и др.

Степень разработанности темы исследования.

История использования интегро-дифференциальных операторов дробного порядка в математическом анализе берет свое начало в XVII веке. Первые упоминания о производных дробного порядка встречаются в переписке Я. Бернул-ли и Г. Лейбница. В 1695 году Я. Бернулли в письме, адресованном Г. Лопита-лю, в процессе обсуждения возможностей дифференциалов порядка 1/2 сделал пророческое заявление: «Это кажущийся парадокс, из которого однажды последуют полезные результаты». XVIII век характеризуется малым интересом математиков к исследованию дробного исчисления. Здесь можно отметить лишь несколько публикаций, связанных с именами Лагранжа и Эйлера. XIX и начало XX века можно охарактеризовать как период накопления результатов и выделение дробного исчисления как самостоятельного раздела математического анализа. В данный период времени появляются публикации таких знаменитых математиков, механиков и физиков, как Лаплас, Фурье, Абель, Ли-увилль, Риман, Грюнвальд, Хэвисайд, Зигмунд, Курант и др. Вторая половина XX века характеризуется новым всплеcком интереса научного сообщества к исследованию интегро-дифференциальных операторов дробного порядка. Это связано с публикацией книги «Дробное исчисление» (K. B. Oldham, J. Spanier) в 1974 г.⁵. В данной книге систематически изложена теория дробного исчисления, а также рассмотрены различные области его применения. Вопросам дробного исчисления посвящен ряд научно-технических конференций и семинаров, а также в это время организуются специализированные журналы.

¹ Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego; Boston: Academic Press, 1999.

²Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier Science Publishing, 2006.

³Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008.

⁴Tarasov V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York: Springer, 2011.

⁵Oldham, K. B., Spanier J. The Fractional Calculus. Boston, 1974.

Среди русских ученых-исследователей большой вклад в развитие математического анализа дробного порядка внес известный математик, президент Московского математического общества А. В. Летников. Первые публикации А. В. Летникова по дробному исчислению относятся к 1868-1872 гг. В частности, вопросам теории дифференцирования дробного порядка, применению теории дробного исчисления к интегральному исчислению и решению дифференциальных уравнений посвящена его докторская диссертация, а также цикл работ, опубликованных в «Математическом сборнике». Отметим работы С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Маричева и других авторов, в которых, в частности, проведен подробный анализ истории развития дробного исчисления.

Важное место при исследовании интегро-дифференциальных операторов дробного порядка занимают работы I. Podlubny, J. B. West, А. М. Нахушева⁶,

A. В. Псху и др. Новым направлением исследования дробных дифференци
альных уравнений стали активно развиваемые в последние несколько лет в
работах Р. К. Газизова, А. А. Касаткина, С. Ю. Лукащука⁷'⁸'⁹ методы груп
пового анализа для уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля.

Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, как правило, по времени, изучались впервые, видимо, в работе А. Пуанкаре в 1885 году, затем в работах C. W. Oseen, J. Leray, E. Hopf, О. А. Ладыженской в связи с исследованием системы уравнений На-вье-Стокса, описывающей динамику вязкой несжимаемой жидкости. Работы С. Л. Соболева середины XX века, посвященные динамике идеальной равномерно вращающейся жидкости, привлекли повышенное внимание исследователей к уравнениям такого класса, которые теперь часто называют уравнениями соболевского типа. В последние десятилетия отметим в этом направлении работы R. E. Showalter, Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, М. В. Фала-леева, А. И. Кожанова¹⁰'¹¹, Г. В. Демиденко, С. В. Успенского, И. И. Матвеевой, И. А. Шишмарева, Е. И. Кайкиной, П. И. Наумкина, А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова, А. Б. Альшина, Ю. Д. Плетнера, Ю. Е. Бояринцева,

B. Ф. Чистякова, М. В. Булатова, А. А. Щегловой.

Один из подходов к исследованию уравнений с вырожденным оператором при старшей производной по выделенной переменной, которые далее будут называться в данной работе вырожденными эволюционными уравнениями, предполагает применение методов теории полугрупп операторов. Он используется в работах различных авторов: A. Favini, A. Yagi, Г. А. Свиридюка, В. Е. Федорова, И. В. Мельниковой, М. В. Фалалеева.

⁶Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.

⁷Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю., Симметрийный подход к дифференциальным уравнениям дробного порядка // Мат. моделирование и краевые задачи. 2008. 3. С. 59-61.

⁸Касаткин А. А. Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка // Уфимск. мат. журн. 2012. Т. 4, № 1. С. 71-81.

⁹Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимск. мат. журн. 2012. Т. 4, 4. С. 54-68.

¹⁰Кожанов А. И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 2. С. 359-376.

¹¹Кожанов А. И. Начально-краевая задача для уравнения типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником // Мат. заметки. 1999. Т. 65, 1. С. 70-75.

В последние десятилетия теория полугрупп операторов получила свое обобщение на случай уравнений, разрешенных относительно дробной производ-ной¹². При этом разрешающие семейства операторов таких уравнений уже не обладают полугрупповым свойством. Теория разрешающих семейств уравнений дробного порядка в свою очередь укладывается в рамки теории разрешающих семейств интегральных эволюционных уравнений Вольтерра, разрешенных относительно производной, развитой в монографии J. Pruss¹³. Отметим в этом направлении также работы А. В. Глушака и его соавторов^14,15.

Систематических исследований семейств разрешающих операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка, по-видимому, не проводилось.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является развитие качественных методов исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком производной Герасимо-ва–Капуто дробного порядка от неизвестной функции, а также редуцируемых к ним уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно производной Герасимова–Капуто по выделенной переменной, как правило, по времени.

Научная новизна. В ходе работы найдены необходимые и достаточные условия существования разрешающих семейств линейных дифференциальных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной Герасимова–Капуто. Исследована разрешимость задач Коши и Шоуолтера–Сидорова для соответствующих уравнений, включая неоднородные. Абстрактные результаты использованы для исследования разрешимости различных начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно дробной производной по времени. Все результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. В работе предложены методы качественного исследования основанных на дробном дифференциальном исчислении математических моделей реального мира. Такие модели описывают широкий класс физических процессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, со степенной памятью и фрак-тальностью. В диссертационной работе найдены условия, гарантирующие разрешимость начально-краевых задач для уравнений в частных производных произвольного дробного порядка по времени, моделирующих такие процессы. Построена разностная схема, на основе которой разработан программный комплекс для поиска численного решения одного класса начально-краевых задач указанного вида.

Результаты работы можно использовать при исследовании конкретных ма-¹²Bajlekova E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis. Eindhoven: Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001.

¹³Pruss J. Evolutionary Integral Equations and Applications. Basel: Springer, 1993.

¹⁴Глушак А. В. О свойствах задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными // Мат. заметки. 2007. Т. 82, вып. 5. C. 665–677

¹⁵Глушак А. В., Манаенкова Т. А. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, 9. C. 1294– 1304.

тематических моделей. Разработанные в диссертационной работе методы исследования в дальнейшем могут стать основой для исследования математических моделей, близких по структуре, например, квазилинейных уравнений с вырожденным линейным оператором под знаком дробной производной.

Методология и методы исследования. В работе, при исследовании линейных дробных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с вырожденным оператором под знаком дробной производной использованы методы теории вырожденных полугрупп операторов. А именно, условие (L, <т)-ограниченности оператора М оказалось достаточным и в определенном смысле необходимым для существования аналитического разрешающего семейства операторов линейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка

DfLu{t) = Mu(t)

так же, как в невырожденном случае ограниченность линейного оператора А необходима и достаточна для существования аналитического разрешающего семейства для уравнения первого порядка u(t) = Au(t) (полугруппа операторов) и для уравнения дробного порядка D^u(t) = Au(t) (оператор-функция Миттаг-Лёффлера). Здесь D" — дробная производная Герасимова-Капуто порядка а > О, L,M:il$ — линейные операторы, действующие из банахова пространства ІІ в банахово пространство ЯЗ. Оператор L непрерывен и вырожден, т. е. кет L ф {0}. И для построения разрешающих операторов в вырожденном случае можно использовать аналогичные используемым в теории вырожденных полугрупп операторов конструкции — контурный интеграл вокруг области, содержащей весь L-спектр оператора М, от его правой или левой L-резольвенты, умноженной уже не на экспоненту, как в случае уравнения первого порядка, а на функцию Миттаг-Лёффлера.

Суть метода исследования уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно дробной производной по времени, заключается в редукции различных начально-краевых задач для них к задаче Коши или задаче Шоуолтера-Сидорова для уравнения

D"Lu(t) = Mu(t) + f{t),

разрешимость которого исследована с применением полученных результатов о разрешающем семействе операторов однородного уравнения.

Для построения численного решения начально-краевой задачи для линейного уравнения дробного порядка по времени используется метод конечных разностей на равномерной сетке.

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены необходимые и достаточные условия существования аналитических разрешающих семейств операторов линейных дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при дробной производной Гераси-мова-Капуто. Разрешающие операторы представлены в виде контурных интегралов.

2. Исследована разрешимость задач Коши и Шоуолтера-Сидорова для линейных однородных и неоднородных вырожденных уравнений дробного порядка. Найден вид их решения.

3. Общие результаты использованы для исследования однозначной разрешимости ряда начально-краевых задач для линейных уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно дробной производной по времени: для систем уравнений в случае одной переменной; для класса уравнений с многочленами от самосопряженных эллиптических дифференциальных по пространственным переменным операторов, включающего в себя некоторые уравнения теории фильтрации и теории полупроводников; для системы Соболева и линеаризованной системы уравнений Осколкова с дробной производной по времени.

Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных научных конференциях [6-8, 10]: Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения C. Л. Соболева, «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Институт математики им. C. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск,

2013. г.; Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна», Воронежский государственный университет, г. Воронеж,

2014. г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2014 г.; Международная конференция «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Челябинский государственный университет, г. Челябинск, 2015 г..

Обсуждение диссертации проводилось также на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1, 2, 3, 4] в изданиях Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций, а также в работах [5,9,11]. Все результаты, изложенные в диссертации, автор получил лично. В совместных работах с научным руководителем В. Е. Федорову принадлежат постановка задачи и общее руководство проводимыми исследованиями. П. Н. Давыдову и М. В. Плехановой принадлежат

частные результаты работ [3] и [4] соответственно, не включенные в данную диссертацию.

Работа поддержана грантом 15-31-50640 Российского фонда фундаментальных исследований, для молодых ученых, работающих под руководством кандидатов и докторов наук в научных организациях Российской Федерации.

Задача Коши для однородного вырожденного уравнения

Доказательства утверждений данного вспомогательного параграфа могут быть найдены в монографии [99].

Пусть it, 23 банаховы пространства. Через (it;23) обозначим банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства it в банахово пространство 23, С/(it; 23) — множество линейных замкнутых плотно определенных в пространстве it операторов, действующих в пространство 23. Введем также обозначения /2(it; it) = (it), C/(it;it)=C/(it).

Пусть L Є (it;23), M Є C/(it;23). Множества pL(M) = {/І Є С : (fiL — M) l Є (23; it)} и aL(M) = С \ pL{M) будем называть соответственно L-резольвентным множеством и L-спектром оператора М. Оператор-функции (fiL — М) } R (M) = (fiL — M) lL, LL{M) = L(/J,L — M) l с областью определения pL{M) будем называть соответственно L-резольвентой, правой и левой L-резольвентами оператора М. В дальнейших рассмотрениях нам понадобятся тождества, справедливые при любых /І, А Є pL(M):

Отметим, что в левой части первого из этих тождеств оператор непрерывен, поскольку на DM совпадает с непрерывным оператором в правой части этого тождества. То же касается четвертого тождества. Из этих тождеств вытекает, что правые и левые L-резольвенты коммутируют, и следуют лемма 1.2.1. и теорема 1.2.1.

Индекс вектора в этом определении называется его высотой в цепочке М-присоединенных векторов. Цепочка конечна, если существует такой М-при-соединенный вектор (рр, что либо срр DM, либо Мсрр imL. Высота последнего вектора в цепочке называется длиной цепочки. Цепочка может иметь бесконечную длину. Линейную оболочку всех собственных и М-присоединенных векторов оператора L назовем М-корневым линеалом оператора L.

Лемма 1.2.2. М-корневой линеал оператора L состоит только из М-присоединенных векторов оператора L и нуля. Оператор М называется (L, а)-ограниченным, если За 0 V/i Є С (/І а) = (/І Є р (М)), т. е. L-спектр оператора М aL(M) является ограниченным множеством. Возьмем (L, сг)-ограниченный оператор М, выберем в комплексной плоскости С замкнутый контур 7 = {м Є С : /i = R а}. (1.2.1) Тогда имеют смысл следующие интегралы от аналитических функций по замкнутому контуру:

Операторы Р Є (it), Q (23) являются проекторами. Положим it0 = ker Р, it1 = im Р, 23 = ker Q, 23і = im Q. Тогда it = it0 0 it1, 23 = 23 0 231. Через L& (М&) обозначим сужение оператора L (M) на itfc (-Омй = DM Г\іік), к = 0,1.

Теорема 1.2.2. Пусть оператор М (L, т)-ограничен. Тогда (i) Р Є (itfc; 23fc), A; = 0,1; (ii) Mo Є C/(it;23), Mi Є / (it1; 1); (iii) существуют операторы L\l Є (QJ1;il1), M0_1 Є /Z(2J; 11).

При условии (L, -ограниченности оператора M согласно теореме 1.2.2 существуют операторы Н = М0 LQ Є /I(it0) и5 = Lj" M\ Є /І(it1), используя которые можно разложить L-резольвенту оператора М в кольце /І а в ряд Лорана

Теорема 1.2.3. (і) Пусть оператор М (L,0)-ограничен. Тогда оператор L не имеет М-присоединенных векторов, kerL = it0, imL = fi1. (ii) Пусть оператор M {L,p)-ограничен, р Є N. Тогда длина любой цепочки М-присоединенных векторов оператора L ограничена числом р, цепочка длины р при этом существует, и М-корневой линеал оператора L совпадает с подпространством il. (iii) Пусть оператор М (L, оо)-ограничен. Тогда М-корневой линеал оператора L содержится в it0.

Замечание 1.2.1. Решение уравнения (1.2.6) определяется по аналогии с решением уравнения (1.2.3). Замечание 1.2.2. В монографии [99] на самом деле рассматривались уравнения вида (1.2.3), (1.2.5), (1.2.6), в которых производная в левой части уравнения стоит после знака оператора L: Ь4т вместо 4тЬ. Однако каждое из at от. уравнений, скажем, (1.2.6) и L-nu(t) = Mu(t) + q(t) с помощью теоремы 1.2.2 может быть редуцировано к системе двух уравнений, одно из которых задано на подпространстве it1 и имеет вид 4rv(t) = L7 M-iv(t) + L7 Qq(t\ где г () = Pu(t). Второе же уравнение, заданное на подпространстве it0, при условии (L, -ограниченности оператора М в первом случае примет вид 4rHw(t) = w(t) + М7 Pott), а во втором — H4rw(t) = w(t) + М7 Pott). В силу от U J"\ OT и Juv нильпотпентности оператора Н оба эти уравнения имеют одно и то же реше р / ние (/ — P)u(t) = w(t) = — 2H1MQ g0 (t), но в первом случае требуемая /=о гладкость от до на один порядок меньше, чем во втором. Действительно, действие на выражение Нрд$ (t) сначала оператора Н обнуляет его, а действие на него оператора дифференцирования, а только затем оператора Н, требует существования производной д$ .В однородном же случае получим w = 0 и уравнения c Ь4т и с 4L окажутся эквивалентными.

Используя приведенные в этом замечании рассуждения, результаты работы [99] об уравнениях с производной под знаком оператора L перенесены на уравнения с оператором L под знаком производной. Преимущество последних в том, что в случае вырожденного оператора L (кет L ф {0}) требование дифференцируемости всей функции и часто оказывается излишним, потому что в конкретной интерпретации абстрактного уравнения производные по t от некоторых компонент вектор-функции и отсутствуют и достаточно требовать дифференцируемость лишь от вектор-функции Lu.

Обобщение теоремы о порождении аналитических групп

Пусть а О, и : Ш+ — Мп, В иС- квадратные матрицы порядка п Є N, rang = n — &, А; Є N, к п. Рассмотрим задачу Коши и (0) = щ, к = 0,1,..., т — 1, (2.1.1) для системы дробных дифференциальных уравнений функций одной переменной D Bu(t) = Cu(t). (2.1.2) Задача (2.1.1), (2.1.2) редуцируется к задаче (1.4.1), (1.4.8), если положить it = 2J = Мп, а действие операторов L и М отождествить с матрицами В и С соответственно. Лемма 2.1.1. [99, с. 122]. Пусть существует такая точка а Є С, что det(aB — С) ф 0. Тогда оператор М [L p)-ограничен, где р п — 1. Замечание 2.1.1. Чтобы убедиться в том, что оценка на показатель р вырожденности уравнения (2.1.2) в лемме 2.1.1 дана точная и случай (L,n — 1)-ограниченного оператора в условиях леммы возможен, достаточно рассмотреть случай, когда С = /, квадратная матрица размерности п. Нетрудно заметить, что соответствующий оператор L имеет /-присоединенные векторы высоты п — 1 и поэтому / является (L, п — 1)-ограниченным.

A\u = Au с областью определения D( 4i) = HirBAQ) [50, с. 399] самосопряжен и имеет ограниченный справа спектр. В таком случае спектр (j(Ai) оператора А\ дискретный, вещественный и сгущается к — оо. Пусть {cfk к Є N} — ортонормированная в (П) система собственных функций оператора Лі, занумерованных по невозрастанию соответствующих собственных значений {А& : к Є N} с учетом их кратности. Рассмотрим начально-краевую задачу а (М) = {/І Є С : /І = Qni(Xk)/Pn(Xk), Pn(Xk) ф 0}. Доказательство. Рассмотрим оператор fib — М = У (fiPn(Xk) — Qni(\k))(-, (pkjPk Если для заданного /І Є С при некотором А; Є N выполняется равенство fiPn(Xk) — Qni{Xk) = 0, то на соответствующем подпространстве span{(/?&} этот оператор не обратим, а потому он необратим и в целом. Поэтому условие отсутствия общих корней многочленов Рп и Qn среди чисел {Хк} является необходимым для непустоты L-резольвентного множества pL{M) оператора М.

Заметим, что в силу условия п\ п последовательность Цк Є С : (ik = , Pn(Xk) ф Pn(Xk) ограничена. Покажем, что при /i sup /І& оператор Pn(Afc) fiPn(Xk) — Qn1(Xk/ (/іЬ — М) = у — : Ь2(}1) — іі непрерывен. Для / Є LziQ) имеем (1 + An)(/, ifk)\ (/iL — M) /\\н2гп(п) = / (1 + A n)(/, (pk)\2 (1 + A n)(/, tpk)\2 / 2 — II/IIL (П) Pn(Afc) Pn(Afc)=0 IVnA UJl P„(Afc) 0 Рп(А/г) 2 Действительно, сумма, соответствующая индексам к, при которых Рп(Хк) = 0, конечна, так как многочлен имеет конечное число нулей. При этом 1 + Хїп _2 Пт = \сп\ , поэтому соответствующая последовательность ограничена некоторой константой. Кроме того, имеют место неравенства /І — /І& /І — /І& d 0. Таким образом, оператор М (L, т)-ограничен с константой а = sup /І&. Рк) к, но задан на пространстве L2(f2). Отсюда следует, что конечномерно подпространство it0 = Ю = span{(pk : Рп(Хк) = 0} в силу конечности числа нулей многочлена Рп, а подпространства it1 и 2J1 являются замыканиями одного и того же множества span{(/?& : Рп(Хк) ф 0} по норме пространства it или 2J соответственно.

Покажем, что в рассматриваемом случае кет L = кет Р. Если О = Lu = Рп{А)и = У Pn(\k)(u,Lpk) = / Рп(Хк)(и,(рк),

Доказательство. Из того, что р = 0 следует, что 77 = 0. Из теорем 2.2.1 и 1.5.1 получим требуемое. Поскольку в рассматриваемой ситуации р = О, то it0 = ker Р = ker L. Поэтому задача Шоуолтера-Сидорова эквивалентна задаче Теорема 2.2.3. Пусть п щ, спектр о (Аі) не содержит общих нулей многочленов Рп(Х) и Qni{\), f Є Cm([0,T]; L2(Q)). Тогда существует единственное решение задачи (2.2.1), (2.2.2), (2.2.5); при этом оно имеет вид (2.2.4). При а = 1 уравнение (2.3.1) является уравнением Баренблатта-Желто-ва-Кочиной фильтрации в трещиновато-пористой среде [1], при а = 2 — уравнением Буссинеска, возникающим при описани продольных волн в стержнях, в теории длинных волн на воде, при описании волн в плазме [17,19,51]. Теоремы 2.2.2 и 2.2.3 позволяют утверждать о разрешимости задач (2.3.1)–(2.3.3) и (2.3.1), (2.3.2), (2.3.4) в случае любого а 0, в том числе дробного. Рассмотрим частный случай. Пусть Pi (Л) = 1+Л, Qi(X) = A, Q = (0,7г), Аи = и", 9 = 1. Тогда А& = —к2, tpk(x) = coskx, к Є N, задача (2.3.1)—(2.3.3) имеет вид

DA = HQ(Q) = \и Є Н (Q) : Вди(х) = 0, ж Є 9Г2} как Аи = Аи. Пусть {cpk к Є N} — ортонормированная в (П) система собственных функций оператора А, занумерованных по невозрастанию соответствующих собственных значений {Л : к Є N} с учетом их кратности. В таком случае спектр а (А) оператора дискретный, вещественный и сгущается к — оо. Далее, определим пространства it = HQ(Q), Ю = L2(f2), и операторы L = X — А, М = f3I Е (il;2J). Из теоремы 2.2.1 следует (L, 0)-ограни-ченность оператора М . описывающей при а = 1 динамику малых внутренних движений стратифицированной жидкости в равновесном состоянии [48]. Здесь т — наименьшее натуральное число, не превосходимое числом а О, Q С М3 — ограниченная область с границей dQ класса С00, п = {пі,гі2,щ) — вектор внешней нормали к ее границе, v = (vi, 1)2,1)3) вектор скорости движения частиц жидкости, г = (гі,Г2? з) = {РхпРх2тРх3) градиент нестационарного давления, [-,й;] — векторное произведение на вектор ш = (0,0, а;) Є М3, где ш — удвоенная угловая скорость вращения,

Неоднородное уравнение с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора

Представленный алгоритм реализован на языке программирования C# в программе «Численное решение уравнения с дробной производной». Программа зарегистрирована в РОСПАТЕНТЕ:

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015613978; РОСПАТЕНТ / Гордиевских Д.М.; заявитель и правообладатель Гордиевских Д.М.. № 2015610779; заявление 13.02.2015; государственная регистрация в Реестре программ для ЭВМ 1.04.2015.

В программе использованы стандартные библиотеки Windows framework 3.5, также свободные библиотеки zedgraph.dll, Surface3DRenderer.cs, а также SpecialFunction.cs с сайта www.codeproject.com, несколько модифицированные автором.

Данная программа реализует построение численного решения начально-краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка (2.8.1). Пользователь, задавая множество параметров, имеет возможность формировать различные начально-краевые задачи для уравнения при различных параметрах а 0, Л Є Ш.

Программа состоит из трех подпрограмм и использует два вспомогательных модуля. Первая подпрограммы реализуют ввод начальных, граничных значений и рассчитывает начальные и граничные значения неизвестной функции и. Вторая и третья подпрограммы вычисляют значения неизвестной функции и в узлах сетки и отвечают за 2D и 3D моделирование графика соответственно. Вспомогательные модули, предназначены для построения трехмерных, двумерных графиков функций и, также использована библиотека для работы со специальными функциями, в частности, с гамма-функцией. Написаны интерфейсы для ввода параметров моделирования, отображения 3D изображений и работы с ними (повороты, масштабирование, сохранение), класс начальных значений, класс параметров моделирования. При моделировании 2D графика численного решения построение графика производится сразу после нахождения значения на текущем временном слое. При моделировании 3D графика численного решения происходит наоборот, сначала находятся значения на всех заданных временных слоях, и только после этого строится график. В нижнем левом углу формы 3D моделирования расположено окно для просмотра 2D графика на любом интересующем временном шаге.

Для увеличения быстродействия программы используется дополнительный массив, в который записывается часть правой части разностной схемы, которая зависит от значений функций шагов предшествующих предыдущему. Это позволяет не производить рекурсивный подсчет значений слагаемых суммы из формулы (2.8.5), поскольку все эти значения уже подсчитаны и записаны в вышеупомянутый массив.

Представленный выше алгоритм, реализован на языке программирования C# в программе «Численное решение уравнения с дробной производной». Вычислим приближенное значение решения при различных начальных параметрах задачи. Рис. 2: А = —1, UQ(X) = sinx.

Пусть а = 0.5, количество шагов по времени Т = 100, длина шага по времени г = 0.05, количество шагов по пространству N = 100, длина шага по пространству h = 0.02, отрезок интегрирования [0,7г], начальное значение щ{х) = sin ж.

При значении параметра Л, равного собственному значению Л = — 1 оператора Лапласа в силу того, что выбранное начальное значение соответствует условию несуществования решения, численнное решение начально-краевой задачи разрушается, как это видно на рис. 2. Действительно, по теореме 2.2.2 для существования решения необходимо выполнения условия согласования на начальные данные, которые в этом случае означают ортого 57 нальность в L2(0,7r) начальной функции щ и собственной функции ері оператора Лапласа, соответствующей собственному значению А = - 1. Но в данном случае щ = ері и решение начально-краевой задачи не существует. К такому же выводу приводит и вид графика вычисляемого решения.

Таким образом, в диссертационной работе найдены необходимые и достаточные условия существования аналитических разрешающих семейств дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при дробной производной Герасимова–Капуто в случае спектрально ограниченной пары операторов. Это позволило исследовать разрешимость задач Коши и Шоуолтера– Сидорова для соответствующих однородных и неоднородных уравнений. Общие результаты использованы для установления однозначной разрешимости различных начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно дробной производной по времени.

Полученные результаты могут быть использованы при исследовании конкретных начально-краевых задач для уравнений в частных производных соответствующего вида, встречающихся в прикладных, практических исследованиях. В теоретическом плане результаты данной работы позволяют перейти к исследованию вопросов однозначной разрешимости квазилинейных вырожденных эволюционных уравнений.

Линеаризованная система Осколкова дробного порядка по времени

Пусть f] С I3 - ограниченная область с границей dQ класса С00, А = ел описывающую при а = 1 переходные процессы в полупроводниках [33], где функция w(x,t) имеет физический смысл потенциала электрического поля. Редуцируем задачу (2.4.1)-(2.4.3) к абстрактной задаче (1.5.1), (1.5.2). Определим формальный дифференциальный оператор

Оператор А є Cl Lzip,))і действующий на своей области определения DA = HQ(Q) = \и Є Н (Q) : Вди(х) = 0, ж Є 9Г2} как Аи = Аи. Пусть {cpk к Є N} — ортонормированная в (П) система собственных функций оператора А, занумерованных по невозрастанию соответствующих собственных значений {Л : к Є N} с учетом их кратности. В таком случае спектр а (А) оператора дискретный, вещественный и сгущается к — оо. Далее, определим пространства it = HQ(Q), Ю = L2(f2), и операторы L = X — А, М = f3I Е (il;2J). Из теоремы 2.2.1 следует (L, 0)-ограни-ченность оператора М .

Тогда существует единственное решение задачи (2.4.1)-(2.4.3), при этом оно имеет вид для системы уравнений Соболева дробного порядка D v(x,t) = [v(x, t),Щ — r(x,t), (x,t) Є Q x ]R__, (2.5.3) V v(x,t) = 0, (x,t) Є Q x Ш+, (2.5.4) описывающей при а = 1 динамику малых внутренних движений стратифицированной жидкости в равновесном состоянии [48]. Здесь т — наименьшее натуральное число, не превосходимое числом а О, Q С М3 — ограниченная область с границей dQ класса С00, п = {пі,гі2,щ) — вектор внешней нормали к ее границе, v = (vi, 1)2,1)3) вектор скорости движения частиц жидкости, г = (гі,Г2? з) = {РхпРх2тРх3) градиент нестационарного давления, [-,й;] — векторное произведение на вектор ш = (0,0, а;) Є М3, где ш — удвоенная угловая скорость вращения,

Обозначим L2 = (L2( ))3, С = {v Є (Со(Г2))3 : V v = 0}. Замыкание линеала С по норме пространства L2 обозначим через Ша. Это гильбертово пространство со скалярным произведением (, ) пространства L2. Существует представление L2 = Ша 0 Н , где Ш — оpтогональное дополнение к Ша. Обозначим чеpез П : L2 — Н ассоциированный с этим pасщеплением оpто-пpоектоp.

Следуя подходу С. Л. Соболева [48], используем обобщенную постановку задачи (2.5.1)–(2.5.4), заменив уравнение несжимаемости (2.5.4) и граничное условие (2.5.2) на уравнение Hv(-,t) = 0, t Є Ш+. (2.5.5) Действительно, в силу плотности множества {V(/? : (р Є C(Q)} в подпространстве Нтг и в силу интегрального тождества (г , V(p)-R3 ix = vncpds — (V v)cpdx, Q дії Q справедливого при всех ір Є C(Q), получим, что для функции v Є Н1 = (Н1(0,)) выполнение условий (2.5.2) и (2.5.4) равносильно тому, что v Є Нежили Uv = 0. Отказавшись от ограничения v Є Н1, получим условие (2.5.5). Очевидно, что оператор В : v — [v,uJ]: U = (0,0,а;), осуществляет

Если при некотором І Є {0,1,... , m — 1} vi ф Ша, то задача (2.5.1), (2.5.3), (2.5.5) не имеет решения. Доказательство. Заметим, что it1 = imP = {(v,r) Є Ша х Шп : r = UBav}. Поэтому условие (2.5.1) с функциями Vk Є И равносильно начальному условию Шоуолтера-Сидорова с данными из it1 для уравнения (1.4.1) с операторами (2.5.6). Применяя функциональное исчисление в банаховой алгебре ограниченных операторов (il) убедимся, что операторы (1.4.9) имеют вид

Линеаризованная система Осколкова дробного порядка по времени Рассмотрим начально-краевую задачу для линеаризованной в нуле системы уравнений Осколкова дробного порядка по времени

В случае a = 1 она в линейном приближении моделирует динамику вязко-упругой жидкости Кельвина-Фойгта [39]. Здесь Q С Шп — ограниченная область с границей dQ класса С. Параметр % є М, как правило, характеризует упругие свойства жидкости, а параметр v Є Ж. — её вязкие свойства. Вектор-функции v = (г і,г 2, ivn) (вектор скорости жидкости), г = гп) (градиент давления) неизвестны. Через т, как и прежде, обозначено наименьшее натуральное число, не превосходимое числом а 0.

Пусть L2 = (ІУ2(Г2))П, Н1 = (И/21( ))7\ Н2 = (W( ))n- Замыкание линеала = {v Є (C (Q))n : V = 0} по норме L2 обозначим через Ша: а по норме Н1 — через Шр. Будем использовать также обозначения Н2 = Н ПН2, Нтг — ортогональное дополнение к Нет в L2, S : L2 — Н , П = / — Е соответствующие ортопроекторы. Оператор А = ЕД, продолженный до замкнутого оператора в пространстве Ша с областью определения Н , имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечнократный спектр, сгущающийся только на — оо [29]. Обозначим через {А&} его собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а через {(fk} — ортонормированную систему соответствующих собственных функций, которая образует базис в Ша [29].

Доказательство. Возьмем в используемом в работе [18] операторе Dw = vSJ w — (v V)it — (w V)i) функцию v = 0 и получим рассматриваемые операторы L и М. В [18, теорема 16] доказана (L, -ограниченность оператора М и установлено, что М сильно (L, 0)-радиален. Поэтому Н = О и оператор М (L, 0)-ограничен. Там же найдены проекторы, в формулах для которых с учетом сказанного выше надо заменить SD на vA. П