Исследование разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа Антипин Василий Иванович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Антипин Василий Иванович. Исследование разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.02 / Антипин Василий Иванович;[Место защиты: «Казанский (Приволжский) федеральный университет].- Казань, 2016.- 113 с.

Содержание к диссертации

Введение

1. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа 24

1.1 Обобщенная разрешимость 24

1.2 Гладкость решений 37

1.3 Случай нелокальных краевых условий 43

2. Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени 71

2.1 Уравнение нечетного порядка 71

2.2 Уравнение третьего порядка по времени 75

2.3 Уравнение с кратными характеристиками 79

3. Гладкие решения задачи жевре для уравнения третьего порядка 85

3.1 Введение 85

3.2 Гладкая разрешимость 85

Заключение 97

Литература

Гладкость решений
Случай нелокальных краевых условий
Уравнение третьего порядка по времени
Гладкая разрешимость

Введение к работе

Актуальность темы. Пусть Е - комплексное гильбертово пространство со скалярным

произведением (,) и нормой || ||, а В, L - линейные операторы, действующие в нем. Рассмотрим уравнение

Bu_t = Lu + f, іє(0,Т), (Т<оо). (1)

Краевые задачи для уравнения (1) представляют собой абстрактную форму многих краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, для интегро-дифференциальных уравнений. Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике.

Исследованием уравнения (1) Соболевского типа в различных случаях пространства Е и операторов B,L занимались многие математики, среди них К. Вейерштрасс, Л. Кроне-кер, Ф.Р. Гантмахер, Ю.Е. Бояринцев, математики из школы С.Г. Крейна, В.Б. Осипов, С.Д. Эйдельман, СП. Зубова, К.И. Чернышев, Р.Е. Шовальтер, А.Г. Руткас, Н.И. Радбель, Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев, А.И. Кожанов, А. Фавини, Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров, PL В. Мельников, М.А. Алыпанский и др.

Уравнение вида (1), не являющееся уравнением Соболевского типа, в абстрактной форме исследовалось, например, Р. Билсом, Н.В. Кисловым, В. Гринбергом, К.В.М. ван дер Ми, П.Ф. Звейфелом, С.Г. Пятковым, П. Грисвардом. Среди методов, применяемых для исследования разрешимости краевых задач для таких уравнений, можно выделить вариационный метод, основанный на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп, метод Фурье (разложение по собственным функциям).

Для уравнений Соболевского типа или близких к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих Соболевскому типу, корректна обычная задача Копій или задача, близкая к ней. Иная ситуация в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева (как правило, это означает, что спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси). Ранее в работах М.С. Бауэнди, Р. Билса, М. Жевре, Н.В. Кислова, С.Д. Пагани, С.А. Терсенова были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида (1). В этом случае при исследовании вопросов разрешимости, единственности и устойчивости решений возникает ряд проблем, связанных в основном с тем фактом, что на данном временном интервале решение данной задачи не всегда существует. Как правило, оно существует (например, решение первой начально-краевой задачи), но на некотором малом временном промежутке, а далее может разрушиться в том смысле, что решение или его производные могут обратиться в оо. Примером может служить тот случай, когда коэффициенты уравнения на какой-то поверхности в области задания уравнения плохо себя ведут, например, обращаются в оо.

Цель работы. Основной целью работы является доказательство теорем существования и единственности, изучение свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа, а также изуче-

ниє приложений полученных результатов для модельных уравнений нечетного порядка с меняющимся направлением времени.

Методы исследования. При исследовании локальных и нелокальных краевых задач для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа были использованы приемы и методы разработанные для задач с начальными данными, разрешимыми в целом по времени. Здесь прежде всего следует выделить монографию О.А. Ладыженской, В.А. Со-лонникова, Н.И. Уральцевой (1967), а также монографии С.Г. Пяткова (2000, 2002). При этом используются методы функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

При доказательстве существования искомого решения задачи Жевре для уравнения третьего порядка используется метод потенциалов, с помощью которого краевая задача приводится к исследованию системы сингулярных интегральных уравнений, относительно которых отметим монографии Н.Ф. Гахова (1963), Н.И. Мусхелишвили (1962), Л.Г. Михайлова (1966), Т.Д. Джураева (1979).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

исследованы краевые задачи типа Жевре для новых классов операторно-
дифференциальных уравнений смешанного типа с произвольным диссипативным опера
тором в главной части;

доказаны теоремы существования обобщенного решения, изучена гладкость решения
в весовых пространствах Соболева, и рассмотрены приложения полученных результатов
к уравнениям нечетного порядка с меняющимся направлением времени;

доказана резрешимость широкого класса нелокальных краевых задач для
операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа с оператором, удовлетворя
ющим условию Като-секториальности в главной части, и исследован вопрос о гладкости
решений этих задач в весовых пространствах Соболева;

для уравнений третьего порядка с одной пространственной переменной с кратными
характеристиками доказаны теоремы разрешимости в пространствах Гельдера краевых
задач типа Жевре.

Все полученные результаты являются новыми.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре при кафедре дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.И. Жега-лова (Казань: 2015), на объединенном семинаре кафедры математического анализа СВ-ФУ (Якутск: 2014, 2015), НИИ математики СВФУ «Неклассические дифференциальные уравнения, управляемые процессы и их приложения» (директор д.ф.-м.н., профессор И.Е. Егоров), на XLVII-XLIX Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск: 2009-2012); на XIX, XXI Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (2012, 2014:

Москва), на III Всероссийской научной конференции и VII Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск: 2012); на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск: 2012); на IV Международной молодежной научной школ е-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск: 2012); на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск: 2013); на VII Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2014); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» (Улан-Удэ: 2015).

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственных заданий на выполнение НИР: на 2012-2014 гг. (проект 4402), на 2014-2016 гг. (проект 3047), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.: (ГК 02.740.11.0609), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. мероприятие 1.3.2 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами» (Соглашение 14.132.21.1350).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах автора: 8 статьях [1-8], в тезисах 17 докладов [9-25]. В совместной работе [7] постановка задач, идея доказательств теорем разрешимости краевых задач принадлежат С.Г. Пяткову.

8 статей [1-8] опубликованы в журналах из Перечня рецензируемых научных изданий ВАК, в том числе 3 статьи [5-7] (1 статья переводная) входят в международные реферативные базы данных и систем цитирования Web of Science, Scopus.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 8 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 112 страниц. Список литературы содержит 139 наименований.

Гладкость решений

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре при кафедре дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.И. Жегалова (Казань: 2015), на объединенном семинаре кафедры математического анализа СВФУ (Якутск: 2014, 2015), НИИ математики СВФУ "Неклассические дифференциальные уравнения, управляемые процессы и их приложения"(директор д.ф.-м.н., профессор И.Е. Егоров), на XLVII XLIX Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск: 2009-2012); на XIX, XXI Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(2012, 2014: Москва), на III Всероссийской научной конференции и VII Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации"(Якутск: 2012); на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики "(Новосибирск: 2012); на IV Международной молодежной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"(Новосибирск: 2012); на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск: 2013); на VII Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2014); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование" (Улан-Удэ: 2015).

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект 4402), на 2014-2016 гг. (проект 3047) и ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг. (ГК 02.740.11.0609), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг. мероприятия 1.3.2 "Проведение научных исследований целевыми аспирантами "(Соглашение 14.132.21.1350).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах автора [115]- [139]. 8 статей [132] - [139] опубликованы в журналах из Перечня рецензируемых научных изданий ВАК, в том числе 3 статьи [136] - [138] (1 статья переводная), входят в международные реферативные базы данных и систем цитирования Web of Science, Scopus.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 8 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 112 страниц. Список литературы содержит 139 наименований. Формулы в каждой главе нумеруются тремя числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе. 1. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа 1.1 Обобщенная разрешимость Введение В работе рассматриваются краевые задачи для операторно-дифференциаль-ных уравнений вида Аи = Вщ — Lu = f(x,t), (1.1.1) где линейные операторы B,L определены в данном гильбертовом пространстве Е, причем оператор В самосопряжен. Краевые условия имеют вид Р+и(0) = щ, Р и(Т) = иТ} (1.1.2) где Р+,Р — спектральные проекторы оператора В, которые отвечают положительной и отрицательной частям спектра. Здесь не предполагается, что оператор В обратим, в частности, В может иметь ненулевое ядро и спектр оператора В может содержать одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуосей.

Известно, что подобные уравнения возникают во многих областях физики, механики и некоторых других приложениях [53]. В случае, когда оператор L самосопряжен, уравнение (1.1.1) рассматривалось в [27,53]. В частности, в [27] можно найти ряд примеров, возникающих в приложениях.

Оператор L называется Като-секториальным (см. определение в [23]), если \(Lu,v)\ сгііг іVu Є D(L), где по определению ЦиЩ = Re(—(Lu,u) + м2). Обобщение на случай диссипативного оператора, удовлетворяющего условию Като-секториальности, можно найти в работах Пяткова С.Г. и Аба-шеевой Н.Л. [96]. Краевые задачи для уравнения (1.1.1) при наших предположениях на операторы L, В в случае, когда условие Като-секториальности не выполнено, по-видимому, не рассматривались. В параграфе 1 приводятся некоторые вспомогательные утверждения и формулируются 2 теоремы существования решения. В параграфе 2 приводится доказательство основных результатов.

Даны гильбертовы пространства Е и Н\, Н\ С Е, причем последнее вложение плотно. Пусть (, ) - скалярное произведение в Е. Тогда негативное пространство Н[, построенное как пополнение Е по норме мя{ = sup 1( , )1/11 1 ! совпадает с пространством непрерывных антилинейных функционалов над Н\ и скалярное произведение в Е допускает продолжение до отношения двойственности между Н\ и Н[ [57]. Если X, Y - гильбертовы пространства, по под L(X, Y) понимаем пространство линейных непрерывных отображений, определенных наХ со значениями в Y. Если X = Y тогда пишем L{X) вместо L(X, X). Если X, Y - гильбертовы пространства, то под L(X, Y) понимаем пространство линейных непрерывных отображений, определенных наХ, со значениями в Y. Если X = У, то пишем L{X) вместо L(X, X). Назовем оператор L : Е — Е диссипативным (равномерно диссипатив-ным), если —Re(Lu,u) 0 (—Re(Lu,u) 5\\и\\2,5 0) для всех и Є D(L). Здесь D{L) - область определения оператора L. Оператор L называется максимальным диссипативным, если он совпадает с любым своим диссипативным расширением. Через p(L), (j(L) обозначаем резольвентное множество и спектр оператора L. Основные предположения об операторах L, В состоят в следующем. I) L - максимально диссипативный оператор, и найдется гильбертово пространство F\, плотно вложенное в Е, такое, что D(L ) С F\ С Е и существует постоянная 8Q 0 такое, что Re{—L u,u) 8Q\\U\\2F ДЛЯ всех и Є D(L ), где L - сопряженный оператор. Из условия I) вытекает, что оператор L также максимальный диссипативный оператор и 0 Є p(L) П p(L ) ( [23], предложение С.7.2), более того,

Случай нелокальных краевых условий

Параграф посвящен изучению краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений вида B(t)ut-L(t)u = f(t), te(0,T), Т ос, (1.3.1) где L(t) : Е — Е и B(t) : Е — Е - семейства линейных операторов, определенных в комплексном гильбертовом пространстве Е. В отличие от предыдущих параграфов, считаем, что оператор L является Като-секториальным, однако, здесь рассматривается более общий класс краевых задач и случай, когда операторы L и В зависят от t. Не предполагается, что В является обратимым. Если операторы L, В независимы от t и любой спектр оператора L — ХВ включен в одну из полуплоскостей Re А а и Re X а или выполнено условие D(B) С D(L), тогда вышеупомянутые уравнения обычно называются уравнениями типа Соболева. Теория полугрупп для уравнений типа Соболева с необратимым оператором В представлена, например, в [52]. Также ссылаемся на книгу [16], где можно найти подробную библиографию и некоторые результаты. Отметим, что для уравнений Соболевского типа или близких к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих Соболевскому типу, корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева. Уравнения этого типа возникают в физике, в особенности, в задачах нейтронного переноса, радиационного переноса, и разреженной газовой динамики [4,6-8,11,12,21,24,25,36,51,53,54], в геометрии, демографической динамике, и гидродинамике [32, 33, 56, 74] и в некоторых других областях. Уравнения (1.3.1) часто называются кинетическими уравнениями, а оператор L — оператором столкновений (см. [54]). Многие результаты для абстрактных уравнений (1.3.1) и для различных математических моделей опираются на спектральный анализ, в частности, на соответствующие разложения по собственным функциям (см. [44,66] и библиографию там).

В дальнейшем предполагаем, что оператор В(0) : Е — Е и В(Т) : Е — Е (если Т оо) являются самосопряженными. В этом случае можно определить спектральные проекторы Е (0), Е (Т) этих операторов, соответствующих положительным и отрицательным частям спектров (0) и В(Т) соответственно. Например, если Е\(0) спектральное разложение -В(О), тогда Е (0) = Е_о, Е+(0) = I — EQ (I - единичный оператор). Таким образом, Е±В(0) = В(0)Е, (Е+ - Е-)В(0) = Б(0). Дополним уравнение (1.3.1) граничными условиями Е+(0)и(0) = и, \im u(t) = 0 (Г = оо). (1.3.2) t— 00 Е+(0)и(0) = hnE-(0)u(0) + h12E+(T)u(T) + и, (1.3.3) Е-(Т)и(Т) = h2iE-(0)u(0) + h22E+(T)u(T) + и? (Т оо), (1.3.4) где hij являются линейными операторами, свойства которых описываются ниже. Второе условие в (1.3.2) будет таким же, как it(t) Є (О, оо; Е). Большая часть результатов для задач (1.3.1)-(1.3.2) и (1.3.1), (1.3.3), (1.3.4) посвящены случаю hij = 0 для всех г, J. Однако, общие граничные условия вида (1.3.3), (1.3.4) часто возникают в приложениях (см. [34]). Например, следующий простой пример задачи (1.3.1), (1.3.3), (1.3.4): sgox.\x\aUy = {р{х)их)х - q(x,y)u, (1.3.5) и(х,0) = щ (х 0), и(х, 1) = щ (х 0), и(—1,у) = и(1,у) = 0, (1.3.6) где (ж,у) Є Q = (—1,1) х (0,1). Задачи вида (1.3.5), (1.3.6) возникают в кинетической теории и в теории вероятностных процессов [20, 51]. Здесь Ви = sgnx:rait и Lu = (р(х)их)х — q(x,y)u. А особенность этой задачи -то, что несмотря на гладкость данных щ, щ и выполнения условия согласования, возможно, что нет достаточно гладких решений этой задачи в классе ихх Є L2{Q), \х\аиу Є L2{Q). Для существования решения этой задачи в этом классе необходимо, чтобы данные удовлетворяли некоторым условиям ортогональности. В некоторых самых простых случаях они могут быть выписаны в явной форме (см. [109]) и в абстрактном случае в форме некоторых тождеств (см. [66, глава 3, раздел 4]). Вообще, это частный случай, когда можно доказать существование и единственность обобщенных решений задачи. Отметим, что многомерный аналог задачи (1.3.5), (1.3.6) был рассмотрен в [49]. Некоторая библиография, посвященная соответствующим эллиптическим спектральным задачам с незнакоопределенной весовой функцией, может быть найдена в [47,48].

Большая часть абстрактных результатов относительно разрешимости задач (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.1), (1.3.3), (1.3.3) посвящена случаю, где операторы L, В не зависят от t и hij = 0 (i, j = 1, 2), а также случаю, когда операторы L, В самосопряжены (например, см. [20,27,53,68]). Случай несимметричного оператора L рассматривается в [13,18,25,55]. Необходимая библиография может быть найдена в [27,54]. Проблема гладкости решений в весовых пространствах Соболева рассмотрена в [44-46,66]. Однако, почти все результаты, включая те, что в [44-46,66], получены с использованием более сильных условий на операторы L, В. В статьях [45,46] авторы используют некоторые интерполяционные равенства (см. равенство (1.3.9) ниже). В [27] требуется, чтобы оператор B lL (здесь оператор В = Р+ — Р , где Р+, Р - два орто-проектора таких, что Р+ + Р = I, и операторы L, В не зависят от t) подобен J-самосопряженному оператору в пространстве Крейна FQ (СМ. определение в [2]) с индефинитной метрикой [іі,г ]о = (Bu,v) и нормой мо = (\B\u,u), где символ (,) определяет скалярное произведение в Е. Подобное условие было использовано в [13]. Некоторые другие эквивалентные условия представлены, например, в [27, утв. 2.2] и в [54, теорема 5.14]. В этом параграфе доказывается существование решения при минимальных условиях на данные и операторы в случае операторов зависящих от t и исследуется вопрос гладкости этих решений в весовых пространствах Соболева. В частности, здесь не требуется выполнения условий (1.3.9) и других условий этого типа. Полученные результаты обобщают [27,46,54]. Они новые даже в случае операторов L, В, не зависящих от t.

Уравнение третьего порядка по времени

Оценки (1.3.67), (1.3.68), (1.3.69) и определение последовательностиг п гарантирует сходимость этой последовательности в соответствующем пространстве и сходимость последовательностей ип(0), ип{Т) в Fo, Go соответственно. Переходя к пределу при п — оо в уравнении (1.3.59), с г , замененным на vn, и в (1.3.64), (1.3.65), доказываем первую часть утверждения, т.е. существование решения в соответствующем классе. Доказательство остающихся утверждений включает те же самые рассуждения, как и в случае Н = 0. Опускаем их.

Доказательство теоремы 1.3.3. Чтобы доказать теорему 1.3.3, достаточно приблизить решение последовательностью ип Є С([0,Т]; Н\) в норме пространства W (по лемме 1.3.1) и исследовать выражение (Мип,ип)о. Интегрируя по частям с использованием леммы 1.3.3, заключаем, что

Пример. Определения функциональных пространств ниже могут быть найдены в [113]. Рассмотрим параболическое уравнение п п g{x,t)ut- dx.{aij{x,t)ux.) + 2ai{x,t)ux.+a0{x,t)u = f, (1.3.70) где (x,t) Є Q = G x (0,T) и G С Шп ограниченная область с границей Г Є С2 (см. определение в [ИЗ]). Итак, имеем B{t)u = g(x,t)u и L{t)u = Sj=i (cLijix, t)ux.)-Y%=i a i(x, t)ux.-ao(x, t)u. Условие на действительную функцию g(x,t) следующее: (a) g(x,t),fft(x,t) Є «,((), Г; LP(G)) для m = 0 и g Є W(0,T;Lp(G)) для m 0 (без потери общности можем, таким образом, предположить, что д Є C([0,T];Lp(G))), где р п/2 для п 2, р = 1 для п 2, и р 1 для п = 2. (b) существуют открытые подмножества G+(0), G+(T), G (0), и G (T) в G такие, что /i(G±(0)\G±(0)) = 0 (/І(С7±(Т) \ С7±(Т)) = 0), #(0,ж) 0 почти всюду в G+(0) (д(Т,х) 0 почти всюду в G+(T)), д(0}х) 0 почти всюду в G (0) (g(T, x) 0 почти всюду в G (Т)), и д(х, 0) = 0 почти всюду в (7(0) = G\(G+(0)UG-(0)) (д(Т,х) = 0 почти всюду в G(T) = G\(G+(T)UG-(T))).

Теорема 1.3.4 Предположим, что -гф є L2; .(0,T; і/{) (і = 0,1,..., т), гід" Є L2(G+(0)), т L2(G (T)) (дляТ оо) и условия (a), (b), (d), (є) выполнены. Тогда существует решениеu(x,t) Є L2(0,T;f7i) задачи (1.3.70), (1.3.71), (1.3.73) ((1.3.70), (1.3.71), (1.3.74) для Т = оо), соответственно, (1.3.70), (1.3.72), (1.3.73) ((1.3.70), (1.3.72), (1.3.74) для Т = ос)) такое, что дгги Є Ь2 (0,Т;Яі) и J r(#(:r,)w) Є L2(0}T; Н[), i = 0,l,...,m. CWw ІІ(Ж,0) Є F_i и и(х,Т) Є G_i (длл Т оо) этих решений принадлежат FQ, Go соответственно. Уравнение (1.3.70), записанное в форме выполнено в пространстве L2(0,T;f7{). Если дополнительно y/ fiif Є 2(Q) м условие (с) с т = 1 выполнено, тогда u(x,t) Є L2 1(0,T; W22(G9). if если оператор L не зависит omt, условие (с) выполнено, и Д/ Ї+Т І/ Є 2(Q) (Ї = 0,1, 2,..., m-l); тогда v rjr«( ) Є L2(0, Т; W22(G)) (г = 0,1, 2,..., m-1).

В этом параграфе приводим приложение результатов, полученных в главе 1, а именно рассмотрим краевую задачу для уравнения нечетного порядка на плоскости с меняющимся направлением времени и g{x) Є Li(0,1) - вещественная измеримая на (0,1) функция такая, что существуют открытые множества G+,G С (0,1) со свойством fi(G \G+) = 0,/i(G \G ) = 0, и д(х) 0 почти всюду на G+, д(х) 0 почти всюду на G и д(х) = 0 на G\(G+ U G ). Полож;им і

В частности, условие (2.1.9) выполнено для оператора видаЬ — XI при всех Л Є Ж. начиная с некоторого Ао, т.е. для А Ао- Это утверждение легко проверяется при помощи интегрирования по частям с использованием условий на коэффициенты.

В силу (2.1.9) оператор L с указанной выше областью определения максимально диссипативен и полуплоскость {ReX 0} принадлежит p(L) (см. [78]).

Обозначим через W (0,1) (s Є (0, 2m+l)) замыкание D(L) в норме W2S(0,1) и через W2S(0,1) — замыкание D(L ) в норме W2S(0,1). Нормы в этих пространствах совпадают с нормами в W2S(0, !) При s = 2т + 1 имеем D(L) = Wm+1(0,1), D(L ) = Wm+1(0,1). Оператор L осуществляет изоморфизм пространств И/22ш+1(0,1) = -О(Ь) на L2(0,1) и допускает расширение до изоморфизма L2(0,1) на {D{L )) , D{L ) = t?2m+1(0,1).

Через (Ао, AI)Q 2 обозначаем пространства, построенные с помощью метода вещественной интерполяции (см. [ИЗ]). Тогда по теореме о двойственности L изоморфизм (Wfm+1(0,1), L2(0,1))в}2 на

Значит, можно взять в качестве величины 29 в (2.1.14) величину в = (1 + 9\)/2. Если д Є L2(0,l), то оценка (2.1.21) может быть уточнена. Повторяя вышеприведенные рассуждения с s 0,s / 1/2, придем к неравенству (2.1.21). Единственное изменение в доказательстве: оценка (2.1.19) имеет немного другой вид. При s = 0 получим (1 — в\) = тТ 1 = +г Таким образом, можно взять

Итак, доказана теорема. Теорема 2.1.1 Пусть выполнены условие (2.1.9) и вышеприведенные условия на коэффициенты оператора L (2.1.8) и функцию g Є Li(0,1). Тогда если f Є 2(0,Т; И/2 т(0,1)),Мо Є L2ig(G+)}UT Є L/2,g(G ), то существует обобщенное решение задачи (2.1.1)-(2.1.4) из классаи Є L/2(0,T;W2m(0,l)), g(x)ut Є L2(0,T; (И/2т+1(0,1)) ). Если, кроме того, предположим, что ft Є 2,9?(0, Т; И/2 т(0,1)); где (fit) = t20{T — t)20 и параметр в определен равенством (2.1.22), то решение обладает свойством: и Є L2;,(0,T; И/2т+1(0,1)), Щ Є L2;,(0,T; И/2т(0,1)). Если дополнительно g Є 2(0,1), / Є L2;,(0,T; 2(0,1)), то решение также обладает свойствоми Є L2;,(0,T; И/22т+1(0,1)). 5 последнем случае уравнение (2.1.1) выполняется почти всюду в Q = (0,1) х (0,Т) и все обобщенные производные, входящие в уравнение, существуют.

Гладкая разрешимость

Пусть Q есть конечный интервал ( -1,1) оси Ox, Q есть прямоугольник Q х (0,Т), 0 Т +оо. В области Q рассматривается уравнение третьего порядка с меняющимся направлением времени sgnxum + uxx = f{x,t). (2.2.1) Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения вида (2.2.1) рассматривались в работах [70], [97], [65]. для любой функции v(x,t) Є W2,{Q) такой, что Vtt Є L 2{Q) и удовлетворяющей условиям vt(x,T) = 0, 0 х 1, vt(x,0) = 0, -1 х 0. (2.2.5) Обозначим через Н\ гильбертово пространство функций v(x,t) Є W2,{Q) таких, что Vu Є L/2(Q). В качестве нормы в Н\ возьмем величину

Теорема 2.2.1 Пусть функция f(x,t) Є 2(0, Т; И- -1 ))? щ{х)1ит{х) Є L2(f2). Тогда краевая задача (2.2.1) — (2.2.3) имеет обобщенное решение u{x,t) Є W (Q). Доказательство. Для є 0 рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения Ь и = -eutttt + sgn х иєш + иєхх = f(x,t) (2.2.6) и такую, что для нее выполняются условия (2.2.3) и иє(х,0) = иє(х,Т) = 0, ul(x,0) = щ(х), ul(x,T) = ит(х), х Є П. (2.2.7) где С2 — положительная постоянная, вообще говоря, зависящая оте. Отсюда, из теоремы Вишика-Лакса-Мильграма (см, например, [64]) следует, что для любой функции f(x,t) Є 2(0, Т; W-ity) существует единственный гіє Є Н\, для которого выполняется равенство (2.2.9). Пусть иє Є Н\ удовлетворяет тождеству (2.2.9), возьмем v = иє и, применяя интегрирование по частям, неравенство Коши в правой части, придем к неравенству где Сз(6) — положительная постоянная, не зависящая отєи0 # 1. Для получения априорной оценки для и\ берем в качестве функции v в равенстве (2.2.9) функцию вида v = e7twe, где знак постоянной 7 подберем позже.

Предельное значение u(x,t) является обобщенным решением краевой задачи (2.2.1) — (2.2.3) в смысле интегрального равенства (2.2.3). Теорема 2.2.1 полностью доказана. Замечание. Гладкость решений задачи (2.2.1)—(2.2.3) вплоть до границы не имеет места, даже если все входные данные задачи бесконечно дифференцируемы. Нахождение условий разрешимости задачи (2.2.1)—(2.2.3) в одномерном случае может быть осуществлено через фундаментальные и элементарные решения Л. Каттабрига [28].

В работе [63] разрешимость поставленной краевой задачи для уравнения (2.3.1) сводится к системе сингулярных интегральных уравнений, которая в классе регулярных решений однозначно и безусловно разрешима.

Впервые разрешимость краевых задач для уравнения (3.1.1) рассматривались в работах Т.Д. Джураева [63]. Как известно, в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий полностью обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера Н р/ , но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам. С.А. Терсеновым [109] в простейших случаях получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в пространствах H pt при р 2. При этом условия разрешимости (ортогональности), которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде. Далее краевые задачи Жевре рассматривались в работах [93-95]. Отметим, что в одномерном случае число необходимых условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности (интегрального характера) бесконечно [98,99]. Обобщенную, регулярную разрешимость краевых задачи Жевре можно найти в работах [135,136].