Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Необходимые теоретические сведения 23
1.1 Функциональные пространства 23
1.2 Вспомогательные утверждения 24
ГЛАВА 2 Слабая разрешимость начально-граничной за дачи динамики термовязкоупругой среды типа ол дройда 28
2.1 Существование слабых решений 28
2.2 Вспомогательные задачи 30
2.3 Построение аппроксимирующих задач 32
2.4 Сходимость решений аппроксимирующих задач 39
2.5 Доказательство теоремы 2.1 43
ГЛАВА 3 Слабая разрешимость начально-граничной за дачи динамики термовязкоупругой среды с памятью 46
3.1 Существование слабых решений регуляризованной задачи 46
3.2 Вспомогательные задачи 48
3.3 Последовательные приближения 52
3.4 Предельный переход 60
3.5 Доказательство теоремы 3.1 65
ГЛАВА 4 Сильная разрешимость начально-граничной задачи динамики термовязкоупругой среды типа навье-стокса-фурье-олдройда 69
4.1 Существование локальных сильных решений 69
4.2 Вспомогательные задачи 71
4.3 Доказательство теоремы 4.1 77
4.4 Существование нелокальных сильных решений 78
4.5 Вспомогательные задачи 81
4.6 Доказательство теоремы 4.4 89
Библиографический список
- Вспомогательные утверждения
- Построение аппроксимирующих задач
- Предельный переход
- Существование нелокальных сильных решений
Введение к работе
Актуальность темы.
Изучение движения жидкости является источником большого числа задач в математике. Решение этих задач явилось побудительным мотивом для создания как новых, так и совершенствования классических математических методов.
В течение последних полутора столетий в основном изучались различные начально-краевые и краевые задачи для классических систем уравнений гидродинамики — системы уравнений Эйлера для идеальной жидкости и системы уравнений Навье—Стокса для ньютоновской жидкости. Последние исследовались многими авторами, такими как О.А. Ладыженская, Р. Темам, Ж. Лере, Ж. Л. Лионе и др.
В последние годы было замечено, что многие реальные среды, такие как различные полимерные растворы, суспензии, кровь, битумы, земная кора, бетон и другие по многим признакам близки к жидкостям, однако не описываются моделями ньютоновской гидродинамикой. Такие модели получили название "неньютоновские". Подобные модели были предложены Дж. Максвеллом, Кельвином, Фойгтом, а развиты в значителной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройда.
Во многих реальных течениях жидкости необходимо учитывать как механические, так и явления, связанные с процессом теплопередачи. Это, в частности, отражается в зависимости коэффициентов реологического соотношения от температуры. Изменение температуры приводит к необходимости применять термодинамические соображения, например учитывать баланс энергии.
Тема данной диссертации как раз посвящена исследованию сплошных сред, динамика которых зависит от явления теплопередачи. Таким образом главным является вопрос изучения не отдельного уравнения Навье-Стокса, а связанной системы, так называемой термовязкоупругости, где вторым уравнением выступает уравнение следствия баланса энергии. Рассмотрение данной системы с переменными коэффициентами вязкости и теплопроводности соответственно приводят к значительным трудностям. Важным является установление разрешимости данных систем.
Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.
Цель работы.
Исследовать существование в плоском случае решений краевых задач, описывающих движение различных несжимаемых термовязкоупругих сред, близких к жидкостям. 1) Исследовать существования нелокального слабого решения системы термовязкоупругости типа Олдройда. 2) Исследовать существования нелокального слабого решения динамики термовязкоупругой среды с памятью вдоль траекторий движения для регуляризованной модели. 3) Исследовать существования нелокального сильного решения системы термовязкоупругости типа Навьс-Стокса-Фурьс-Олдройда. 4) Исследовать зависимость гладкости решений от гладкости исходных данных для системы термовязкоупругости типа Навье-Стокса-Фурье-Олдройда.
Методы исследований.
Для исследования поставленных задач и использовались идеи и методы нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики, теория пространств Соболевского типа.
Научная новизна.
Основные результаты диссертации являются новыми. Среди них выделим следующие:
1) Получена нелокальная слабая разрешимость системы термовязкоупругости типа Олдройда. 2) Получена нелокальная слабая разрешимость динамики термовязкоупругой среды с памятью вдоль траекторий движения для регуляризованной модели. 3) Получена нелокальная сильная разрешимость системы термовязкоупругости типа Навье-Стокса-Фурье-Олдройда. 4) Установлена зависимость гладкости решений от гладкости исходных данных для системы типа Навье-Стокса-Фурье-Олдройда.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при исследовании динамики различных упругих сплошных сред.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях: «Крымская международная математическая конференция (КММК-2013)» (Судак, Украина 2013), «Международная конференция ВЗМШ С.Г. Крейна 2014» (Воронеж, Россия 2014), «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях. » (Воронеж, Россия 2014), «Международная конференция ВВМШ 2015» (Воронеж, Россия 2015), «Молодежный форум: технические и математические науки» (Воронеж, Россия 2015); на международных математических школах-симпозиумах: «Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум 2014» (Судак, Россия 2014), «Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения» (Воронеж, Россия 2014); на математических школах: «Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, Россия 2013), «Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения - XXV» (Воронеж, Россия 2014), «Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, Россия 2015).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[14]. Работы [3]-[7] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [3]-[7] в диссертацию вошли только принадлежащие Паршину М.И. результаты.
Структура и объем диссертации.
Вспомогательные утверждения
Отметим, что при исследовании слабой разрешимости задачи в правой части появляются слагаемые из Li(Qr), что вызывает существенные трудности (см. напр. [13] и имеющуюся там библиографию).
В п. 2.2 рассматриваются вспомогательные задачи, доказывается их разрешимость для модели динамики термовязкоупругой среды типа Олдройда. Эти задачи рассматриваются в операторной трактовке. П. 2.3 посвящен построению аппроксимирующих задач для модели динамики термовязкоупругой среды типа Олдройда (0.33)-(0.37). Подходящие априорные оценки
П. 2.5 завершает доказательство основной теоремы 2.1. Третья глава посвящена исследованию динамики термовязкоупругой среды с памятью, которая учитывает предыдущее состояние среды, вдоль траектории поля скоростей. В этом смысле мы говорим, что система уравнений термо-вязкоупругости обладает свойством памяти. Доказывается слабая нелокальная разрешимость. Для этого приходится дополнительно исследовать задачу Коши для системы ОДУ, порожденную полем скоростей V.
В п. 3.1 производится постановка задачи и формулируется основной результат главы 3 в виде теоремы. Получен результат.
Однако, для случая, когда v соответствует слабому решению системы уравнений вязкоупругости, то есть v Є 2(0, Т; V), неясна разрешимость этой задачи.
Поэтому из-за отсутствия достаточной гладкости поле скоростей v необходимо заменить на более гладкое, то есть произвети сглаживание (регуляризацию) поля v с помощью гладкого поля V. Для этого, как уже было отмечено выше, необходимо заменить уравнение (0.49) на регуляризованое уравнение z(r\t,x) = x+ I v(s,z(s\t,x))ds, т,є[0,Т], х Є П, (0.50) где v - некоторая регуляризация поля скоростей v (см. страницу 47).
При выводе системы (0.45)-(0.48), (0.50) предполагалось, что тензор напряжений среды является линейной комбинацией тензора скоростей деформации и памяти /І2/о (s,z(s;t,x))ds, а внутрення энергия линейно зависит от температуры.
Система (0.45)-(0.48), (0.50) описывает динамику вязкоупругой сплошной среды, которая помнит напряжения вдоль траектории движения частицы среды (функция z(r;t, х)).
Для этой системы получена слабая разрешимость для нелокального случая в двумерном пространстве.
В п. 3.2 рассматриваются вспомогательные задачи, доказывается их разрешимость для модели динамики термовязкоупругой среды с памятью. П. 3.3 посвящен построению аппроксимирующих задач для модели динамики термовязкоупругой среды с памятью. В п. 3.4 с помощью перехода к пределу доказывается сходимость последовательных приближений . П. 3.5 завершает доказательство основной теоремы 3.1.
Доказательство существенным образом опирается на результаты [12] о слабой разрешимости уравнения баланса энергии.
Четвертая глава посвящена доказательству существования сильных решений начально-граничных задач динамики термовязкоупругой среды типа Навье-Стокса-Фурье-Олдройда. Во второй главе было установлено существование слабого решения системы типа Олдройда. Препятствием являлась недостаточная гладкость 9.
Четвертая глава включает в себя 6 пунктов. Сначала устанавливается локальная разрешимость.
Теорема 0.3. Пусть функция f Є W{0,T : Н), v Є W22,o(fi)(2) П Н, g Є И (0,Т : Ь2{П)), в0 Є И 220( ). Пусть выполняются условия (0.60)-(0.62), /i2 и к2 из (0.60) и (0.61) достаточно малы. Тогда задача (0.56) - (0.59) имеет единственное решение при достаточно малом Т 0.
В п. 4.2 рассматриваются вспомогательные задачи, доказывается их разрешимость. Эти задачи рассматриваются в операторной трактовке. П. 4.3 посвящен последовательному решению вспомогательных задач. Ключевым моментом доказательства является наличие априорных оценок (0.66) - (0.69), которые дают сходимость последовательных приближений на достаточно малом временном промежутке.
Построение аппроксимирующих задач
Без ограничения общности можно считать, что 0п сходится к в в Lp(0,T;Lp(Q)). Также без ограничения общности будем считать, что вп сходится к в п.в. в LP(QT).
Теперь рассмотрим vn. Из оценки оценки (3.35) вытекает, что последовательность vn ограничена в 2(0, Т; У), и следовательно слабо компактна в L2(0,T : V), а последовательность dvn/dt ограничена в L2(0,T;V) и слабо компактна в L2(0,T; Vі). Без ограничения общности можно считать, что Vа слабо сходится к -и в L2(0,T;V), a dvn/dt слабо сходится в L2(0,T;V). Тем не менее, vn обладает лучшими свойствми. Теорема 3.3. Последовательность vn сильно сходится в L2(0}T;V) кV , а vn(T, х) сильно сходится в Н к v(T, х). Для доказательства теоремы сначала исследуем вопрос о сходимости zn(s;t,x)). Лемма 3.14. Пусть vn слабо сходится к v в L2(0}T;V). Тогда существует подпоследовательность zn(s;t,x) решений задачи (3.29), сходящаяся равномерно на QT к решению z(s;t,x) задачи (0.50) для v = Hmn +00?A Доказательство леммы 3.14. С помощью оценок (3.25)-(3.26), (3.55), из тождества (0.50) и вытекающего из него соотношения Zt(r;t,x) = —zx(r;t,x)v(t,x) вытекает равномерная ограниченность С((5т)-норм для Z(T; t, ж), Z"(T; t, ж), z(r; t,x). В силу теоремы Арцела 1.6 отсюда следует компактность в C(QT) последовательности zn(s;t,x). Будем считать, что zn(s;t,x) сходится в C{QT) к z(s;t,x). Покажем, что z(s;t,x) совпадает с решением z(s;t,x) задачи (0.50) для v = \imn +O0vn. Перейдем к пределу в соотношении zn(r\t,x) = x+ I vn(s,zn(s;t,x))ds, т,є[0,Т], х Є П. (3.60) t
Доказательство леммы 3.15. Сначала докажем (3.66). Поскольку вп сходится в LP(QT), то из нее можно выделить сходящуюся п.в. подпоследовательность. Будем считать, что вп -+ в п.в. на QT. Тогда и щ(вп) сходится п.в. к щ(в) на QT. Слабая сходимость S(vn) к S(v) в L2(QT), а затем и слабая в L2(QT) сходимость (3.66) легко вытекает из слабой сходимости vn к v в L2(0,T; V) .
С учетом преобразованных первых трех слагаемых из (3.70) и (3.71) вытекает соотношение (3.69). Лемма 3.16 доказана. Доказательство теоремы 3.3.
Введем вН = Ях L2(0,T : Ь2(П)) х L2(0,T : V)) х Я норму жа = (Ыо + ж2о + ЦжзЦо + Ыо)1/2, где х = (Ж1,ж2,жз,ж4) - произвольный элемент из N. Рассмотрим последовательность (3.73) Из (3.72) и (3.73) следует, что \\хп\ - \\х\\ Отсюда и из слабой сходимости хп вН следует сильная сходимость хп к х в Н (см. теорему 1.4). Из сильной сходимости хп в Н следует сильная сходимость х в соответствующих пространствах. Именно, (vn) -+ (v) в L2(0,T; L2(fi)) сильно. Отсюда в силу неравенства 1.1 вытекает, что /чив L2(0,T; У) сильно. Более того, i;n(7» сходится к v{T,x) в Я сильно. Теорема 3.3 доказана.
Легко видеть, что тождество (3.75) остается справедливым, если заменить Т на t. Так как в силу v Є L2(0,T; У) под знаком интеграла находятся суммируемые функции, заменим Т в (3.75) на t и продифференцируем (3.75) по t при п.в. t. Получим соотношение (3.8). Перепишем (3.8) в виде а в силу леммы 1.1, вытекает, что v Є Cw(0,T; Я). Следовательно, v Є U(0,T). Более того, v\t=0vn\t=0 = v. Таким образом, v удовлетворяет требованиям слабого решения задачи (3.1)-(3.4) для v.
Теперь установим, что в Є Т и удовлетворяет соотношению (3.9). в смысле распределений на (0,Т) для любых 0 Є C0(ft). Умножая (3.78) на функцию ф(і), бесконечно дифференцируемую и удовлетворяющую условию ф(0) = ф(Т) = О, проинтегрируем на [0,T], а затем по частям: - /т(0, ф)ф (і) dt - fQT (v?On, дф/дхіЩі) dt+
Из сильной сходимости vn в L2(0}T;V) и Єп в Lp(0,T; Lp(fi)) следует возможность предельного перехода во всех слагаемых, за исключением третьего в левой части (3.79).
Из оценки (3.18) следует ограниченность вп в Lp(0,T; Wp(Q)), и, следовательно, слабая компактность в Lp(0,T; Wp(Q)). Без ограничения общности считаем, что вп слабо сходится к в в Lp(0,T; W (Q)). Тогда предельный переход в третьем слагаемом также допустим.
Следовательно, (9 Є Г. Более того, 6 t=06 nt=0 = в0. Таким образом, Є удовлетворяет требованиям слабого решения задачи (3.1)-(3.4) для в. Таким образом, (v, Є) является слабым решением задачи (3.1)-(3.4). Теорема 3.1 доказана.
Предельный переход
Построим оператор С : К W l{QT). Поставим в соответствие Є К решение v задачи (4.11) - (4.13). Далее поставим в соответствие v решение в задачи (4.40) при v = v , так что v = . Ясно, что для разрешимости задачи (4.1) - (4.4) достаточно найти неподвижную точку оператора С В [15] при /io = 0 показано, что оператор С удовлетворяет условиям принципа Шаудера о неподвижной точке. Доказательство при этом опирается на теоремы 4.2 и 4.3 о разрешимости соответствующих задач при /ІО = 0.
Там же установлено, что решение единственно. Отметим, что утверждение теоремы 4.2 справедливо при любом Т 0 в случае /ІО = 0.
Для случая /ІО 0 ситуация отличается от случая /ІО = 0 только лишь ограничением на малость Т. В остальном доказательство существования неподвижной точки С и единственности решения остается таким же.
Здесь v(t,x) = (v1(t,x),v2(t,x)) скорость, 0(t,x) температура, p(t,x) давление, /І - вязкость, к коэффициент теплопроводности, /ii - коэффициент, характеризующий вязкоупругие свойства среды, / - заданные внешние силы, g - источник тепла.
Пусть W0(ft) = Wf (ft)n W\ (П). Введем следующие функциональные пространства Wi = W(0,T;H) HL2(0,T; W220( )(2) ПЯ), такая, что выполняются соотношения (4.50) и (4.51). Основным результатом является следующая теорема: Теорема 4.4. Пусть выполнены условия a) -c). Пусть ц2 и к2 из (447) и (448) достаточно малы. Тогда существует единственное решение задачи (443) - (446).
Функция р восстанавливается обычным образом (см. теорему 1.5). Используя теорему 4.4, мы можем переписать (4.43) как Легко видеть, что тройка {v,0,p) удовлетворяет уравнениям (4.43)- (4.44) в QT и условиям (4.45)- (4.46).
Доказательство теоремы 4.4 разбито на ряд этапов и проводится в разделах 4.5-4.6. В разделе 4.5 рассматривается начально-граничная задача для системы вязкоупругости типа Олдройда с переменной вязкостью и начально-граничной задачи для уравнения сохранения энергии с переменным коэффициентом теплопроводности и интегральной частью. Разрешимость этих задач устанавливается путем сведения к операторным уравнениям, для разрешимости которых применяется принцип сжимающих отображений. 4.5 Вспомогательные задачи Сначала рассмотрим задачу
Вначале рассмотрим задачу (4.63)-(4.65) при произвольной w Є W}/{QT). Лемма 4.4. Пустьи Є W% (0,T; Н). Тогда задача (4.63)-(4.65) однозначно разрешима и справедливы оценки В [35] утверждение леммы 4.4 установлено. Сделаем обобщение оценок (4.67)-(4.68). Пусть F = И (0,Т; Е), Е произвольное Банахово пространство. Введем в F новую эквивалентную норму
В [35] дано доказательство оценки (4.67) для 7 = 0. Оно было получено, формально, посредством замены ір в (4.50) на Дг , также применения утверждения (4.47) и свойства стремления к нулю конвективного члена в двухмерном пространстве. Ясно, что та же процедура проходит и для (4.70). Отсюда следует
Пусть wn Є В, п = 1,2,... и является фундаментальной. Тогда wn фундаментальна в L2(0,T; 77). В силу полноты L2(0,T; 77) последовательность и;п сходитсяк«;0єЬ2(0,Т;Я).
Покажем, что w Є В. Так как wn Є B{R), то последовательность dw7 fto ограничена, и, следовательно, dwn/dt слабо компактна в гильбертовом пространстве L2(0,T;i7). Отсюда следует, что последовательность \\dwn /dt\\o сходится к z Є L2(0,T; Я) с точностью до подпоследовательности.
Нетрудно видеть, что / (dwn/dt,(p)dt = - (wn,dip/dt)dt (4.80) для любой гладкой финитной функции р : [0,Т] - Н. Переходя в (4.80) к пределу, получим Отсюда вытекает, что z = dw/dt. Более того, ясно, что из wn Є В следует }z[ R. Следовательно, w = limwn. Полнота В установлена.
Линейный оператор Lu, порожденный задачей (4.83), из-за отсутствия конвективных членов в уравнении проще оператора L\. В частности, для и = L\ {if) справедливо неравенство адо,2 H-esssuptlwC )!! Фі( и4(бгт))у7о- (4.84) Неравенство (4.84) предполагает, что для задачи (4.83) справедливо неравенство г;о,2 + esssupil , .)i $I(IVL4(QT))(WO + \\v\dv/dxi\\Q+
Так как w% Є , то w% Є W O T; Н), и из (4.60) вытекает суммируемость первого сомножителя под интегралом в (4.89). При этом величина интеграла от этого сомножителя не зависит от а, но зависит от 7. Следовательно из интегрального неравенства \v(t,.)\l MQ(\\W\\O + Jo 9(s)\v(s, .)\\ds ( следствие (4.89)) вытекает, что
Разрешимость уравнения 4.72 на В вытекает из лемм 4.7 и 4.7. Ясно, что v = L Uw) является решением задачи (4.54)-(4.55), где w - решение задачи (4.63)-(4.66). Оценки (4.60)-(4.61) вытекают из оценок (4.67)-(4.68) и (4.71).
Ключевым моментом доказательства является наличие операторных оценок на 0, которые получаются путем дифференцирования (4.57) по t и умножением в L2(QT) на 9t и Д0. При этом используются оценки (4.60)-(4.61).
Продолжая эту процедуру, появление дополнительного слагаемого в (4.57) приводит к необходимости оценки выражений ( №,ЭДь2(дт) и (U/O2,A0)L2(QT). Эти оценки такие же, как и оценки {М Щ ш и (U/oi,A0)L2(Qr) в [35]. При этом, важны оценки L4(QT)-норм сомножителей в /о2 и их производных по t.
Существование нелокальных сильных решений
В [35] дано доказательство оценки (4.67) для 7 = 0. Оно было получено, формально, посредством замены ір в (4.50) на Дг , также применения утверждения (4.47) и свойства стремления к нулю конвективного члена в двухмерном пространстве. Ясно, что та же процедура проходит и для (4.70). Отсюда следует ІМІ0,2 + eSSSUptv(,rc)i $I(VL4(QT) )(Nl0(7) + lA). Беря в расчет эквивалентность норм z0,2 41 ехр(-7фо,2, zi j\\exp(— t)z\\i, получаем утверждение леммы 4.5 . Лемма 4.5 доказана. Перейдем к доказательству теоремы 4.5. Обозначим через L le оператор, ставящий в соответствие w решение v задачи (4.63)-(4.65), так что L (w) = v. Ясно, что Щ : W (QT) - W1.
Выбирая 0 q 1 достаточно малым, а 7 0 достаточно большим, получаем из (4.78), что при достаточно большом R 0 оператор К переводит шар B{R) в себя. Пусть R0 таково, что К (В (Во)) С B(R0). Обозначим через В метрическое пространство, которое получается введением на шаре B(RQ) метрики p(w\w2) = \\w1-w2\\0{a),a 0. (4.79) Лемма 4.7. Пространство В является полным метрическим пространством. Докажем лемму 4.7. Пусть wn Є В, п = 1,2,... и является фундаментальной. Тогда wn фундаментальна в L2(0,T; 77). В силу полноты L2(0,T; 77) последовательность и;п сходитсяк«;0єЬ2(0,Т;Я).
Покажем, что w Є В. Так как wn Є B{R), то последовательность dw7 fto ограничена, и, следовательно, dwn/dt слабо компактна в гильбертовом пространстве L2(0,T;i7). Отсюда следует, что последовательность \\dwn /dt\\o сходится к z Є L2(0,T; Я) с точностью до подпоследовательности.
Нетрудно видеть, что / (dwn/dt,(p)dt = - (wn,dip/dt)dt (4.80) для любой гладкой финитной функции р : [0,Т] - Н. Переходя в (4.80) к пределу, получим Отсюда вытекает, что z = dw/dt. Более того, ясно, что из wn Є В следует }z[ R. Следовательно, w = limwn. Полнота В установлена.
Линейный оператор Lu, порожденный задачей (4.83), из-за отсутствия конвективных членов в уравнении проще оператора L\. В частности, для и = L\ {if) справедливо неравенство адо,2 H-esssuptlwC )!! Фі( и4(бгт))у7о- (4.84) Неравенство (4.84) предполагает, что для задачи (4.83) справедливо неравенство г;о,2 + esssupil , .)i $I(IVL4(QT))(WO + \\v\dv/dxi\\Q+
Так как w% Є , то w% Є W O T; Н), и из (4.60) вытекает суммируемость первого сомножителя под интегралом в (4.89). При этом величина интеграла от этого сомножителя не зависит от а, но зависит от 7. Следовательно из интегрального неравенства \v(t,.)\l MQ(\\W\\O + Jo 9(s)\v(s, .)\\ds ( следствие (4.89)) вытекает, что
Разрешимость уравнения 4.72 на В вытекает из лемм 4.7 и 4.7. Ясно, что v = L Uw) является решением задачи (4.54)-(4.55), где w - решение задачи (4.63)-(4.66). Оценки (4.60)-(4.61) вытекают из оценок (4.67)-(4.68) и (4.71).
Ключевым моментом доказательства является наличие операторных оценок на 0, которые получаются путем дифференцирования (4.57) по t и умножением в L2(QT) на 9t и Д0. При этом используются оценки (4.60)-(4.61).
Продолжая эту процедуру, появление дополнительного слагаемого в (4.57) приводит к необходимости оценки выражений ( №,ЭДь2(дт) и (U/O2,A0)L2(QT). Эти оценки такие же, как и оценки {М Щ ш и (U/oi,A0)L2(Qr) в [35]. При этом, важны оценки L4(QT)-норм сомножителей в /о2 и их производных по t.
Тем не менее, первые сомножители в 1QI и 1Q2 совпадают, а производная по t второго сомножителя в I02 совпадает с первым в I01. Далее,
Следовательно, оценки (702, ЭД и (702, А6») аналогичны оценкам (701,ЭД и (/01,Л0). В остальном для случая \±1 0 доказательство теоремы 4.6 такое же, как и в случая \±1 = 0. Теорема 4.6 доказана. 4.6 Доказательство теоремы 4.4 Рассмотрим систему (4.56)-(4.55), (4.57)-(4.58) при фиксированной Є И 411(дт). Найдем решение (v,0) этой системы. Построим оператор Ц = в. Покажем, что оператор С переводит S(R) = { : є И 411(Ог), V (0) = V6 0, 411(QT) Я}, в себя. Покажем корректность определения С. Пусть Є 5(Д) фиксирована. В самом деле, из теоремы 4.5 следует разрешимость системы (4.56)-(4.55). Подставляя эти решения v в (4.57) мы получим решение в этой системы. В силу теоремы 4.5 в Є W41 1(QT).
В случае /i1 = 0 в [35] были получены следующие факты: в случае достаточно большого R 0 и достаточно малых /І2, &2, оператор /I переводит б (Д) в себя и является компактным. При этом ключевым моментом является наличие априорных оценок для решения задачи (4.54)-(4.55)