Исследование некоторых критических случаев теории устойчивости неавтономных дифференциальных систем с медленной меняющимися коэффициентами Карауани, Махер Назми

Введение к работе

Актуальность темы. В диссертации изучаются критические случаи ого нулевого корня (*> и пары комплексно-сопряженных корней (**) рш устойчивости неавтономных нелинейных дифференциальных систем с.) с юдаэнно-мэнявдимися коэффициентами.

Н.Д.Моисеев изложил историю возникновения и развития понятия юйчивости. А.М.Ляпунов в докторской диссертации "Общая задача об гойчивосга движения", также предложил два-основных метода исследошл устойчивости движения. Частные случая задачи устойчивости изу-и Логранж, Раус, Томсон и ТЭТ, Н.Е.Жуковский, А.Пуанкаре.

Основные результаты теории устойчивости можно найти в монограях Н.Г.Чэтоева, Н.Я.Красовекого, Р.Веллина, И.Г.Малкина, К.Г.Вале-а, К.П.Персидского, В.И.Зубова и других авторов.

Устойчивость неавтономных линейных и нелинейных д. с. при у слоях отличных от используемых в диссертации исследовалась Э.И.Грудо, А.Шестаковым, Г.С.Кречетовым. 0;Перроном, Л.Чезаари, Н.И.Гаврило-м, В.П.Басовым, В.В.Костиным, А.В.Костиным, Й.Е.Витриченко, Робин-н Кларк и другими авторами. Таким образом исследование устойчивос-[ неавтономных д.с. представляет актуальную задачу.

Цель работы. Получить достаточные признаки устойчивости по Лядову при t I и нулевого решения дифференциальной системы (д.с.) зда

-^ = it(t).P(t).X + P(-t, X) (1)

X = colL, ..., х^), t е д = [a, w[, -со < а < w $ +«>, %(t) >0,

P(t) = |P_ak(t>|, s,k = Г^7, lit, X) e Cⁿ(Rⁿ),

уравнение

4et(P(t) - ХЕ) = О имеет или простой корень к (t) с условием

ReX₁

\{t) = >(t) = a.(t) +ib.(t),

і² = -1, a.(t) = о(1), t t w

(критический случай (**)), n, r" - соответственно n-мерное КС шюксное (вещэственное) эвклидово пространство, когда коэффищш д.с. (I), вообщэ говоря, не имеют пределов и являются "медленно 1 мэнявдимися" функциями (производные таких функций малы в сравнеиш самими функциями). Например,

I^а, (1л t)P, соз in t, sin -tT (у < 1), sin st, є - малый параметр.

Методика исследований. В работе используется метод неавтоні ных нелинейных преобразований Пуанкаре-Вршо, принцип устойчишсг метод А.В.Костина исследования оддото неавтономного дифференциаль го уравнения первого порядка в сочетании с методом функций Лянуно

Научная новизна и основные результаты. В диссертации получ слэдувдие новые результаты.

1. Признаки устойчивости, асимптотической устойчивости, неустой вости, когда устойчивость нулевого решения определяется линей частью д.с. в случаях (*) и (**).

2. Получены критерии асимптотической устойчивости и неустойчивое когда устойчивость нулевого решения определяется нелинейной <

тью д.с. (I) в случаях (* > и (**).

3. В случав (**) рассмотрен особый подслучай "слипзщияся корней" (a.(t>, b.(t) = о(1), t J w).

4. Получены признаки устойчивости, асимптотической устойчивости, ге-устойчивости в частном случае когда

% = *(t), Р = р(і), і = (1_Х, ... , %_т), ^ = е_к (t)-t, e_k : А -* Ю, -н»[, є в с}^1}, є"¹ є,; = 0(1),

t j (і), k = 1 ,m,

для д.с. (І) по линейной части.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Дифференциальные уравнения с медленно менящимися коэффициентами встречаются во многих областях науки. Примером этого уюгут быть задачи на собственные значения, а также некоторые задачи теории автоматического регулирования, кинетики, аэродинамики, гидродинамики, электростатики и других задач естествознания.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на республиканской научно-методической конференции посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского, Одесса 92, а также на семшарх кафедры высшей математики ОГУ по обыкновенным дифференциальным уравнениям (руководитель - проф. Костин А.В.).

По теме диссертации опубликовано четыре работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из параграфа "Обозначения и термины", введения, двух глав, состоящих из 16 параграфов, списка литературы из 61 наименований, изложена на НО страницах машинописного текста.