Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию корректности линейных смешанных задач об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике (как в анизотропной, так и в обычной).Эти задачи возникают в связи с изучением разрывных течений в бесстолкновительной замагниченной плазме (магнитная гидродинамика с анизотропным давлением) и в плотных проводящих газообразных и жидких средах (обычная магнитная гидродинамика).
Цель работы. Целью данной работы является исследование корректности линейных смешанных задач об устойчивости сильных разрывов в анизотропной и в обычной магнитной гидродинамике.
Общая методика исследования. Исследование устойчивости этих разрывных течений, т.е. устойчивости сильных разрывов по отношению к малым возмущениям, проводится по следующей схеме.
На первом этапе осуществляется симметризация исходных уравнений. Уравнения анизотропной магнитной гидродинамики Чу, Гольд-бергера и Лоу (G. Chew, М. Goldberger, F. Low, 1956) были симме-тризованы, т.е. записаны в виде симметрической ^-гиперболической (по Фридрихсу) системы, A.M. Блохнным и Д.А. Крымских в 1990 г. Симметризация уравнений обычной магнитной гидродинамики проведена С.К. Годуновым в 1972 г.
На втором этапе производится линеаризация полученной симметрической системы и уравнений сильного разрыва относительно так называемого кусочно-постоянного решения
исходных уравнений (анизотропной или обычной магнитной гидродинамики), удовлетворяющего соотношениям на сильном разрыве при условии, что фронт разрыва неподвижен и описывается уравнением а,1=0. В итоге получается линейная смешанная задача с граничными условиями при Х\ = 0.
На третьем этапе исследуется корректность этой задачи. Если она корректна, то соответствующий сильный разрыв устойчив. В противном случае разрыв неустойчив, т.е. начальные малые возмущения со временем быстро растут, что приводит к разрушению разрыва.
С учетом специфики конкретного типа сильного разрыва (быстрые и медленные ударные волны, вращательный разрыв и т.д.), получаются различные математические постановки линейных смешанных задач. Доказательство корректности таких задач основывается на технике диссипативных интегралов энергии для симметрических (-гиперболических (по Фридрихсу) систем. С помощью этой техники, используя идеи работ A.M. Блохина (посвященных исследованию корректности задач в газовой динамике), получаются априорные оценки решений задач в Соболевских пространствах, которые свидетельствуют о корректности. Некорректность смешанных задач доказывается путем построения примеров некорректности типа примера Адамара.
В работе исследуется корректность задач об устойчивости быстрых параллельной и поперечной ударных волн, медленной параллельной ударной волны, вращательного разрыва в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением, а также задачи об устойчивости вращательного разрыва в обычной магнитной гидродинамике.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются первыми теоретическими результатами в области математического исследования устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением. Практическая значимость работы состоит в открывающейся возможности численного анализа задач магнитной гидродинамики, корректность которых доказана автором.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре в Институте механики МГУ под руководством члена-корреспондента РАН А.Г. Куликовского и профессора А.А. Бармина, на семинаре в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша под руководством профессора К.Г. Брушлинского, на семинарах в Новосибирском государственном университете под руководством профессоров A.M. Блохина, А.В. Кажихова, на семинаре в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева под руководством члена-корреспондента РАН В.Н. Монахова, на семинаре в Институте математики СО РАН под руководством профессора Т.И. Зеленяка.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 155 страницах и состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 25 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.