Содержание к диссертации
Введение
1 Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении в логистическом уравнении с запаздыванием 20
1. Постановка задачи 20
2. Алгоритмическая часть 21
3. Результаты численного исследования 25
4. Обобщение результатов. Уравнение с малой диффузией 33
5. Сводка результатов 35
2 Применение принципа усреднения к логистическому уравнению с быстро осциллирующим запаздыванием 37
1. Постановка задачи 37
2. Описание метода 38
2.1. Случай ОДУ 38
2.2. Критический случай в задаче об устойчивости 39
О Q ґ " Л С\
2.4. Алгоритм исследования устойчивости 44
2.5. Логистическое уравнение с быстро осциллирующими
4. Случай f(s) = s, при — 1 s 1 58
6. Сводка результатов 62
3 Корпоративная динамика систем логистических уравнений с запаздыванием и большим запаздывающим управлением 64
1. Динамика системы из двух связанных логистических уравнений с запаздыванием 64
1.2. Случай фиксированного параметра h 67
1.3. Более общая конструкция 71
1.4. Результаты численного исследования 73
2. О корпоративной динамике системы из трех связанных логисти
3. Сводка результатов 90
Заключение 92
Литература 94
- Результаты численного исследования
- Описание метода
- Логистическое уравнение с быстро осциллирующими
- Результаты численного исследования
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Логистическое уравнение с запаздыванием, являясь одним из простейших уравнений с запаздыванием, обладает сложной колебательной динамикой, кроме того оно является модельным для широкого класса задач с запаздыванием из приложений. Эти особенности модели обеспечивают актуальность выполненного в работе исследования. Отметим, что это уравнение находит значительное применение в экологии и радиофизике.
Цели и задачи диссертационной работы: Цель работы состоит в изучении качественного поведения решений логистического уравнения с запаздыванием в случае двухчастотного и одночастотного быстро осциллирующего возмущения параметров, а также для системы из двух и трех логистических уравнений с запаздыванием и большим запаздывающим управлением. В связи с этим можно выделить следующие задачи:
-
Определение в пространстве параметров областей устойчивости и неустойчивости простейших режимов задачи, определение критических значений параметров.
-
Построение нормальных и квазинормальных форм в близком к критическому случае.
-
Аналитическое и численное исследование устойчивых решений полученных нормализованных систем.
Научная новизна. Научная новизна проявляется в следующем.
-
В первой и второй главе предполагается, что варьируется параметр запаздывания. Вопрос о динамике решений рассматриваемого уравнения с воздействием на коэффициент запаздывания ранее не изучался.
-
В третьей главе рассматривается локальная динамика систем из двух и трех логистических уравнений с запаздыванием, в предположении, что на
4 систему оказывается большое запаздывающее управление.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая значимость проведенного диссертационного исследования заключается в том, что использованные в работе методы, полученные в диссертации результаты могут быть использованы для решения широкого круга задач нелинейной динамики.
Методология и методы исследования. Основными методами исследования являются нелинейный локальный анализ, метод нормальных и квазинормальных форм, методы асимптотических разложений. Выполнен обширный численный эксперимент.
Положения, выносимые на защиту:
-
Изучено качественное поведение решений логистического уравнения с запаздыванием при двухчастотном возмущении, в пространстве параметров выделены области существования и устойчивости циклов и торов различной структуры, а также области нерегулярных колебаний. Фазовые перестройки в этом случае связаны с бифуркациями потери симметрии, с каскадами бифуркаций удвоения периодов и бифуркациями расщепления сепаратрис.
-
Для логистического уравнения с быстро осциллирующим запаздыванием получены условия, при которых происходит процесс, состоящий из неограниченного числа «рождений» из состояния равновесия и последующей «гибели» устойчивого цикла.
-
Основываясь на методе квазинормальных форм, показано, что системы из двух и трех связанных логистических уравнений с большим запаздывающим управлением могут обладать сложной динамикой. Кроме того обнаружено явление мультистабильности.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: The Seventh International Conference on Diferential and Functional Diferential Equations(Москва, 2014 г.), Международный научный семинар «Актуальные проблемы математической физики» (Москва, 2014 г.).
Кроме того, результаты неоднократно обсуждались на семинаре «Нелинейная динамика» Ярославского государственного университета им.П.Г.Демидова.
Диссертация выполнена при поддержке проекта № 984 «Методы исследования динамики сингулярно возмущенных бесконечномерных систем» в рамках базовой части государственного задания на НИР ЯрГУ.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 5 статей в журналах, рецензируемых ВАК [-] и 3 тезисов докладов [-].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 105 страниц, включая 32 рисунка. Библиография включает 95 наименований.
Результаты численного исследования
Подставим (1.6) в (1.1) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях е. На третьем шаге, собирая коэффициенты при є3/2, из условия разрешимости получающегося уравнения относительно Us(t,r) получаем уравнение относительно (т):
Теорема 3. Пусть выполнены условия (1.2), (1.3) и (1.5), тогда в некоторой достаточно малой (в метрике C{_Tfi]) окрестности щ уравнение (1.1) имеет локальное двумерное устойчивое инвариантное интегральное многообразие, на котором это уравнение представимо с точностью до 0(є1 2) в виде скалярного комплексного у равнения (1.7). Функция (т) связана с решением (1.1) соотношением (1.6).
Тем самым, устойчивому циклу уравнения (1.7) отвечает устойчивое периодическое решение (1.1) удовлетворяющее формуле (1.6).
После замены в (1.7) = -иехр fIT = Т\ получаем уравнение с 27Г-периодическими коэффициентами + (рц + а2 ехр(гті))й + d\v\2v, (1.9) где а0 = а - i5i. Напомним, что Rea0 0, Red 0. Исследуем динамические свойства уравнения (1.9) при различных значениях параметров /І, 5\, а\ и«2 В случае параметрического резонанса при одночастотном возмущении (т. е. при о?2 = 0) уравнение (1.9) хорошо изучено (см., например, [1]). В [46,47] исследовалась на устойчивость линейная часть (1.9). Приведем здесь соответствующие результаты. Сначала представим линейную часть (1.9) в вещественной форме гдеБі = Reai + Rea2cosri-Ima2sinri, B2 = Imai + Rea2sinri + Ima2cosri. При достаточно больших /І применим хорошо известный принцип усреднения [2]. Свойства устойчивости определяются тогда усредненным уравнением
В зависимости от того является ли функция р(п) положительной, отрицательной или знакопеременной, выделяются три варианта в исследовании системы (1.10). Учитывая вид матрицы В(п) в (1.10) имеем
Перечисленные свойства решений системы (1.10) позволяют сделать выводы о локальной устойчивости или неустойчивости нулевого решения нелинейного уравнения (1.9) при достаточно больших или достаточно малых /І. Фазовые перестройки уравнения (1.9) при условно «средних» значениях параметра не поддаются асимптотическому анализу. В связи с этим уместно применить численные методы. Приемлемость их применения для отыскания устойчивых режимов уравнения (1.9) обусловлена, в частности, и его очевидной диссипативностью {Red 0). Последнее свойство позволяет выбирать начальные условия лишь из некоторой окрестности точки ноль фазовой плоскости.
Результаты численного исследования Перейдем к численному анализу нелинейного уравнения (1.9). По аналогии с (1.10) из уравнения (1.9) имеем w[ = v({Rea0 + Bl)wl - (Wo - B2)w2 + ( i - cQw2){w{ + 22)), w 2 = iy({lma0 + B2)wi + {Rea0 - Bl)w2 + (CQWI + d0w2){wl + w22))} где 2v = l//i, d = d0 + ico, a whw2 компоненты вектора w. Отметим, что наряду с диссипативностью система (1.15) обладает еще свойством симметрии относительно одновременной смены знака переменных W\ и w2.
В случае, если матрица линейной части В(т\) не зависит от времени, фазовые перестройки происходят в системе (1.15) стандартным образом и описаны, например, в [1], а также в [17]. У системы (1.15) при этом могут быть устойчивыми только состояния равновесия и циклы.
При наличии периодического воздействия система (1.15) оказывается существенно сложнее, в ней возможно появление неупорядоченных колебаний. Стандартные ситуации, возникающие в данном случае, описаны, например, в книге [17]. Система (1.15) зависит от довольно большого числа параметров, изменение которых приводит к различным фазовым перестройкам. Опишем подробнее ситуацию, в которой появляются хаотические колебания.
Предположим, что параметры задачи зафиксированы следующим образом: п = о, Ті = -0.1, Si = 1, ai = 1, а2 = 0.1, (1.16) параметры do,Co определяются по формулам (1.8) и равны do —0.528347, с0 « -0.650515. В качестве бифуркационного параметра примем величину v и будем ее менять от малых к большим значениям. В этой ситуации динамика
Описание метода
Таким образом, в первом случае все решения (2.11) из некоторой достаточно малой (и независящей от ш) окрестности нулевого состояния равновесия стремятся к нулю при t — оо. Во втором случае нулевое состояние равновесия в (2.11) неустойчиво и задача о динамике (2.11) перестаёт быть локальной.
Мы будем исследовать задачу об устойчивости решений дифференциального уравнения (2.11) в критическом случае, когда уравнение (2.15) имеет корни с нулевыми действительными частями и не имеет с положительными. Отметим, что уравнение (2.15) может иметь на мнимой оси лишь конечное число корней и каждый из них конечнократен.
Основную трудность представляет исследование свойств устойчивости линейной системы (2.13). Этому посвящен следующий пункт. На основе соответствующих результатов и методов инвариантных интегральных многообразий и нормальных форм [3,52,55,56] изучается локальная — в окрестностях нулевого состояния равновесия — динамика нелинейного уравнения (2.11).
Существенные отличия между системами ОДУ и системами с запаздыванием могут возникать при рассмотрении критических в задаче об устойчивости случаях. В [34, 45] был разработан соответствующий алгоритм исследования устойчивости линейных систем. Он является базовым при исследовании локальной динамики в окрестности состояния равновесия, цикла, тора в случаях, близких к критическим. Предлагаемый алгоритм позволяет проводить вычисления отдельно для каждой пары комплексно сопряженных корней уравнения (2.15).
Пусть iv {у 0) является корнем кратности и уравнения (2.15). Тогда этому корню отвечает т линейно независимых решений vi(t),v2(t),... , vm(t) дифференциального уравнения (2.14), которые определены на всей числовой прямой и нормы которых либо ограничены, либо растут как степени t при t — ±оо. Отметим, что т = 2а, если v ф 0, и т = а, если v = 0. Положим V0(t) = [vi(t),...,vm(t)], где через [ ,..., ] обозначена матрица, столбцы которой суть решения vi(t), v2(t),--- ,vm(t). Эти решения, как и в [45], выберем так, чтобы V0(t) = [Ei(t),...,Em(t)]expDot. Здесь DQ — верхняя жорданова матрица порядка т с единственным, равным нулю, собственным значением, a E t),..., Em(t) гармонические вектор-функции частоты z/, т.е. Ek(t) = ekl cos гЛ ± ек2 sin іЛ, где ек\ и ек2 — постоянные векторы. Следуя [45], введём новый класс матриц K{D0). Пусть su ..., Si номера нулевых строк матрицы DQ. Тогда класс K(DQ) — совокупность всех матриц порядка т, у которых ненулевые элементы могут стоять только в строках с указанными номерами. Введём затем для удобства два класса функций F и Ф. Скажем, что функция f(t,co) принадлежит классу F, если она представима в виде f(t,u) = h{uj) cosz4 + f2(co) sin і/ , где вектор-функции f\{u) и /2{ш) аналитические и ограниченные функции со. Далее, функцию (p{t,r,co) отнесём к классу Ф, если выполнены следующие три условия. Во-первых, имеет место представление где (pi{r,uj) и (/92(г,со) непрерывны и почти периодичны по г равномерно относительно ш и аналитичны и ограничены по со равномерно относительно т. Во-вторых, Мт[ рі(т,ш)] = Мт[(р2(т,ш)], где Мт[ ] означает среднее вектор-функции по т. Наконец, в-третьих, {ф(і,т,со) - Мт[ф(і,т,со)}} Є Ф,
Будем и в дальнейшем приравнивать в (2.17) коэффициенты при одинаковых степенях uj l. Тем самым возникает последовательность дифференциальных уравнений
Будем считать алгоритм вычисления матрицы (2.21) завершенным, если оказалось сильно устойчивым или неустойчивым на интересующем нас множестве 7 Є Г уравнение (2.22). Сформулируем основной результат.
Теорема 4. Пусть совокупность лежащих на мнимой оси корней уравнения (2.15) исчерпывается числами ±ivk (vk 0, к = 1,..., г). Тогда предложенный выше алгоритм позволяет вычислять для каждой пары числе ±ivk матрицы типа (2.21).
Пусть для некоторого множества 7 Є Г найденные матрицы таковы, что соответствующие им дифференциальные уравнения оказались либо все сильно устойчивы, либо хотя бы одно из них сильно неустойчиво. Тогда существует такое х о сю, что при х бо ои х Є7в первом случае решения дифференциального уравнения (2.13) экспоненциально устойчивы, а во втором — неустойчивы.
В основе своей обоснование сформулированного утверждения базируется на приведённом выше алгоритме исследования устойчивости и на применении стандартных методов теории усреднения (см., напр., [2,13,49,50,53,54]). Из развитой в [49] теории экспоненциальной дихотомии линейных почти периодических систем вытекает, что фазовое пространство C\jlQ\{Ra) уравнения (2.13) расщепляется в прямую сумму двух инвариантных подпространств Ei(t,uj) и E2(t,oj), размерность первого из которых равна количеству корней (2.15) на мнимой оси, а для решений из второго выполнена универсальная оценка где положительные постоянные с и 7 не зависят от w и от выбора решения x(t + s) из E2(t,uj). Предложенный выше алгоритм построения матриц Bj(u) позволяет для каждого целого j свести исходную систему (2.13) на Ei(t,uj) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2.23) (которая с точностью до 0{UJ %) является автономной). После этого доказательство завершается стандартным образом (см., например, [34,49,50]).
Логистическое уравнение с быстро осциллирующими
В работе [79] рассмотрено логистическое уравнение с запаздыванием и с запаздывающим управлением и = г[1 - u(t - Т)]и + j[u(t -h)- и]. (3.1)
В задачах математической экологии коэффициент г называют мальтузианским коэффициентом, Т - время запаздывания, 7 - коэффициент запаздывающего управления, h — временная задержка запаздвівающего управления. Отметим, что впервые уравнения с двумя запаздываниями были рассмотрены в [86]. Все эти коэффициенты положительны. Рассматривались решения (3.1) с положительными начальными (при некотором t = to) функциями p(s) Є С[_#,о] где Я = max(T, h). Очевидно, что решение (3.1) с такой начальной функцией остается положительным при всех t to. В [79] исследованы динамические свойства (3.1) при условиях, когда параметр 7 либо является асимптотически малым, либо асимптотически большим.
В настоящей работе рассматривается система из двух и из трех связанных логистических уравнений с запаздыванием и с запаздывающим управлением. Наибольший интерес представляет изучение ситуации, когда коэффициент 7 является достаточно большим:
В 1 исследована система из двух таких уравнений, а в 2 — из трех, причем с различными связями между отдельными уравнениями. Отметим, что исследованию нелинейных систем уравнений с запаздываю-управлением посвящена значительная литература няемая в настоящей работе методика исследования базируется на результатах работ [21,22,29,30,79].
По-видимому, наибольший интерес представляет рассмотрение системы из двух одинаковых связанных уравнений Все коэффициенты в (3.3) и начальные функции ф), ф{,в) Є С\_нм положительны, поэтому решение Upit), v it) (Uip(t-\-s)\t=t0 = fi(s), v {tJrs)\t=t0 = Фі )) остаются положительными при t to Условие (3.2) открывает путь к применению асимптотических методов. Рас смотрим отдельно два случая. В первом из них вместе с условием (3.2) выполнено условие /К 1, а во втором - параметр h 0 фиксирован (при 7 1).
Тем самым /і7 = с. Сформулируем два основных утверждения о динамических свойствах системы (3.3) при условиях (3.2) и (3.4). Ниже через uv(t), v t) обозначаются решения (3.3) с положительными начальными функциями ф), ip(s) Є С[_#;о], заданными при некотором t = to.
Теорема 6. Пусть 0 с 1. Фиксируем произвольно положительные начальные функции ф), ф) Є С[_я,о]. Тогда для каждого значения параметра L 0 при каждом t Є (to, to + L] выполнено условие Отсюда следует, что определяющую роль в динамике системы (3.3) при условиях (3.2), (3.4) и при условии 0 с 1 играет поведение решений логистического уравнения с запаздыванием x = r[l-x(t)]x. (3.6) Это уравнение достаточно хорошо изучено [26,75,76,78]. Его устойчивыми решениями могут быть только состояния равновесия #о = 1 (при rT ) или устойчивое (медленно осциллирующее [75]) периодическое решение Xo(t) (при гТ ). Отметим, что при с = 0 и при гТ каждая из функций (в случае общности положения) стремится к x0(t + const), но не обязательно U(p(t) - vv(t) - 0.
Теорема 7. Пусть о 1. Тогда е ограниченной при є - 0 области фазового пространства С = С\_цд х О[_#;о] система (3.3) не может иметь аттрактор. Доказательство этих утверждений довольно простое. Оно основано на том, что при условии (3.4) можно использовать соотношения u(t — h) = и(ї) — 1ій(ї) + 0(/i2), v(t -h)= v(t) - hv(t) + 0{h2). Тогда система (3.3) в главном имеет вид
Ниже предполагается, что параметр h 0 — фиксирован. Здесь существенно используется методика, развитая в [23,25,77,80]. Она базируется на применении специального асимптотического метода локального анализа — метода квазинормальных форм, разработанного в [20,24,44,80]. Основным результатом этого раздела является построение специальных нелинейных систем уравнений параболического и вырождено-параболического типа, не содержащих малых и больших параметров, нелокальная динамика которых определяет в главном поведение решений исходной системы (3.3) в ограниченной при 7 - оо (є - 0) области фазового пространства С = C{_Hfi] х C{_Hfi]. После деления на 7 система (3.3) преобразуется к виду
Этот квазиполином имеет бесконечно много корней, вещественные части которых стремятся к нулю при е — 0 и не имеет корней с положительными и отделенными от нуля (при е — 0) вещественными частями. Тем самым реализуется критический в задаче об устойчивости решений (3.9) случай бесконечной размерности. Результаты о существовании инвариантных интегральных многообразий [52,55,56] в (3.9) здесь уже места не имеют. В [20,36,40,80] разработан специальный метод исследования динамики для такого класса систем. Применим его для изучения системы (3.9). Сначала детальнее рассмотрим решение линейной системы (3.10). Асимптотика корней Л2(є) {к = 0,±1,±2,...) характеристического уравнения (3.11), вещественные части которых стремятся к нулю при е — 0, имеет вид
В связи с этим обозначим через z произвольное вещественное число, а через вг = 0(z,e) обозначим такую величину из интервала [0,2), для которой выражение ze 1/2 + Bz является нечетным целым. Рассмотрим те номера к, которые имеют вид к = О"1/2 + вг)т, где т = 0, ±1,
Результаты численного исследования
В диссертационной работе был рассмотрен спектр задач, связанных с возмущением параметра запаздывания в логистическом уравнении с запаздыванием и корпоративной динамикой систем из двух и трех логистических уравнений с запаздыванием и большим запаздывающим управлением. В первой главе рассматривалось логистическое уравнение с запаздыванием в цепи обратной связи и периодическим возмущением параметров. Параметры задачи (коэффициент линейного роста и запаздывание) были выбраны близкими к критическим значениям, при которых от состояния равновесия уравнения ответвляется цикл. Далее предполагалось, что эти величины имеют двухчастотную зависимость от времени, причем частоты воздействия близки к удвоенной частоте собственных колебаний задачи. При указанных предположениях и при условии малости величины надкритичности выполнялся асимптотический анализ, в результате которого была получена двумерная система обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической линейной частью. Рассмотрены два случая: пертом и в другом случае к полученной системе были применялись стандартные асимптотические методы. В случае, если расстройка не велика и не мала, выполнялся численный анализ, при этом существенно использовались результаты асимптотического исследования, полученные на предыдущем этапе. На основе численного анализа были определены основные сценарии фазовых перестроек, найдена область хаотических колебаний. Основной вывод, который можно сделать по результатам исследования в первой главе, состоит в том, что динамика в случае параметрического резонанса при двухчастотном возмущении принципиально сложнее по сравнению с динамикой в случае одночастотного возмущения.
Во второй главе рассматривался вопрос о локальной динамике логистического уравнения с быстро осциллирующим периодическим по времени коэффициентом запаздывания. Показано, что в случае, если коэффициент запаздывания является кусочно-постоянным, усредненным уравнением является логистическое уравнение с двумя запаздываниями. Получен критерий устойчивости состояния равновесия. Рассмотрен вопрос о динамических свойствах исходного уравнения при условии, когда в усредненном уравнении реализуется критический случай в задаче об устойчивости стационара. Установлено, что при увеличении частоты колебаний коэффициента запаздывания может происходить неограниченный процесс «рождения» и «гибели» установленных режимов.
Далее было рассмотрено логистическое уравнение с быстро осциллирующим периодическим по времени кусочно-постоянным и кусочно-линейным запаздыванием. Показано, что в первом случае усредненным уравнением является логистическое уравнение с двумя запаздываниями, а во втором — логистическое уравнение с распределенным запаздыванием. Получен критерий устойчивости состояния равновесия в каждом из случаев. Рассмотрен вопрос о динамических свойствах исходного уравнения при условии, когда в усредненном уравнении реализуется критический случай в задаче об устойчивости стационара. Установлено, что локальная динамика определяется ляпуновской величиной, знак которой зависит от параметров задачи.
В третьей главе рассматривалась система двух логистических уравнений с запаздыванием, связанных через запаздывающее управление. Показано, что при достаточно большом коэффициенте запаздывающего управления задача о динамике исходных систем сводится к исследованию нелокальной динамики специальных семейств уравнений с частными производными, не содержащих малые и большие параметры. На основе представленных результатов численного исследования таких уравнений был обнаружен ряд новых и интересных динамических явлений.
Были рассмотрены системы из трех логистических уравнений с запаздыванием с двумя типами «диффузионных» связей. Для каждой из этих систем были так же построены специальные семейства уравнений с частными производными, не содержащие малых и больших параметров. Показано, что различие в динамике рассмотренных систем трех уравнений может носить принципиальных характер.