Введение к работе
Актуальность темы. В теории дифференциальных уравнений одним из основных является вопрос о зависимости решений уравнения от параметров. Особый интерес вызывает случай, когда при малом изменении параметров поведение системы существенно меняется: возникают или исчезают особые точки, периодические или ограниченные решения, изменяется характер устойчивости решений и т. д. Математическое описание такого явления обычно называют бифуркацией.
Одной из наиболее интересных бифуркационных задач является чадяча о бифуркации Хопфа, изучающая эффект возникновения ненулевых периодических решений из состояния равновесия автономної'! системы.
Впервые детальное исследование такой бифуркации было проведено Л.А. Андроновым (для двумерного случая) и Е. Хопфом (для многомерного случая). Анализ условий рождения предельного цикла проведен с большой полнотой в работах В.И. Арнольда, Р.И. Богданова, Дж. Гукенмхаймера, М.А. Красносельского, Ю.А. Кузнецова, Дж. Мар-сдена и др.
Большое число работ посвящено методам приближепного расчета и анализу устойчивости автоколебаний в задаче о бифуркации Хопфа. Здесь, паряду с прямыми методами численного исследования, используются схемы, основанные на асимптотических формулах и методе функционалязации параметра, получившие развитие в работах Н. Казаринова, B.C. Козякина, М.А. Красносельского, Н.А. Кузнецо-
Многие проблемы в теории бифуркации Хопфа еше далеки от окоп-
_4 —
нательного решения. Здесь особенно актуальным является исследование "неклассических" ситуаций: анализ систем с многократными вырождениями, рождения предельного цикла из бесконечности (нелинейного резонанса), исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями со сложными нелинейностями, функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных и т.п. Здесь можно указать работы Р. Беллмана, Ж. Йосса, A.M. Красносельского, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла и др.
Диссертационная работа посвящена изучению различных аспектов бифуркационных задач в ряде "неклассических" ситуаций, характеризующихся сложными вырождениями линеаризованной системы.
Цель работы. В нелинейных автономных системах дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, провести исследование эффекта бифуркации Хопфа в случае многократного вырождения линеаризованного уравнения и в ситуации отсутствия перехода через мнимую ось собственных значений линеаризованной системы, а также изучить вопросы обоснования численных методов для анализа бифуркационных задач.
Методы исследования. Использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории Флоке и малого параметра исследования устойчивости, проекционные методы Галеркина приближенного решения операторных уравнений, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.
Научная новизна. Приведены новые доказательства признаков бифуркации Хопфа. Получены формулы асимптотического представления бифурцирующих решений и их периодов. На основе этих формул
проведено исследование бифуркационных процессов в задачах односторонней бифуркации. Разработана схема анализа устойчивости в системах с кратным вырождением. Предложено обоснование процедур численного исследования бифуркационных задач.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней предложена и обоснована схема построения асимптотик бифурцирующих решений в нелинейных автономных системах, зависящих от параметра, разработаны схемы изучения односторонней бифуркации, проведен анализ устойчивости бифурцирующих решений при кратном вырождении.
В качестве приложения полученных теоретических результатов и работе дано обоснование процедур приближенного исследования бифуркационных задач на основе сопоставления непрерывной, проекционной и дискретной моделей задачи. Предложены алгоритмы численного расчета, рождающихся периодических решений и исследования их устойчивости. Полученные результаты доведены до простых расчетных формул, позволяющих определять наличие бяфурщтрующнх решений при различных значениях параметров, эффективно прослеживать динамику рождающихся циклов, изучать их устойчивость.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из двух глав, восьми параграфов, введения и заключения, изложена на 108 страницах. Библиография 64 наименования.