Введение к работе
Актуальность темы. При моделировании сложных колебательных процессов, происходящих в системах самой различной природы, удобным инструментом являются рапностные уравнения с дне-. кретныы и непрерывным аргументом. Систематическое изучение таких уравнений получило активное расшит ие. в ио следи ие десятилетия ввиду своей технической актуальности к рашюобраоня вопросов, ко горые они n;viрагивают.
Значительный вклад і\ раошітяо теории и получение новых ието-дов исследования раоцостных уравнений внесли Я.Н.Быков, Д.Векглер, А.О.Гельфонд, Л.Н.Дороговцсв, Ю.Н.Кар.шпнн, Н.Г. Ливенка, Ю.Л.Майстренко, Д.И.Миргынюк, А.А.Миролюбов, Е.Ю.Романенко, М-А.Солдатом, А.А.Самарский, А.Халпшш, А.Н.Шарковский, и другие математики.
Расширение области применения раоностных уравнении ведет і необходимости более глубокого иоучения ряда вопросов качественной теории таких уравнений. Среди них следует выделить вопросы, связанные с ршшггнем теории интегральных многообразии, в частности, доказательство существования интегральных многообра-оий и поучение их свойств; исследование устойчивости и характера поведения интегральных кривых как на интегральных ыногообра-. оиях, так и в их окрестности. Источниками теории интегральных многообразий являются труды А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Н.Н.Боголюбова. Решая проблему обоснования асимптотических методов нелинейной механики Н.Н.Поголюбов полупил фундаментальные ре-оультаты в области интегральных многообразий. В дальнейшем эти идеи нашли развитие в работах Ю.А.Митропольского, А.М.Самой-ленко, Н.А.Плнсса, О.В.Лыконой, 'Ю.И.Ксймарка, С.Дилиберто,
_ 4 -
Дж.Хеііл*, Я.Курпвуігла, А.Халаная и других математиков.
Рапвирая метод интегральных мііоіообраоий. Л.М.С'амойлепко предложил новый подход к іеории РСИММЦСІІИЯ ИНИ.фИ.ИПНЫХ тороидальных шюгообрагіий динамических систем, свяоанный с ис-іюльооїіашіем функмші Ірина для лннеарнооцалной оадачн. Этот подход открыл вооыожностн более широгого. изучении вопросов, ra-салшшхея существования икпариаптных многообразий систем рап-ноепшх уравнений.
Исследование сушествоаания инвариантных многообразии различных классов рапное і пых уравнений представляет собой еще мало наученную, но песьыа акі удільную тему.
Цель работы. Исследование существования последовательности интегральных поверхностей слайпнелинейных систем рааиостаых уравнений и поведения решсынй, находящихся на отих поверхностях, а тадже в их окрестности.
Методы исследования. 13 работе «спольоуютгя меюди аналитической и качостя'чшой теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа.'
Научная новнона работы:
получены условия существовании последовательности интегральных поверхностей слабонелннейных систем раоностных уравнений;
есследоваио поведение решений таких уравнений, располагающихся на интегральных поверхностях к в их окрестности;
построена функции Грина-Самойленко для оадачи об интегральных множествах нелинейных систем раопостных уравнений я тэу-чены ее свойства;-
построев пропесс лияеариоаиии, позволяющий находить нпте-гральное множество рассматриваемой системы;
доказана теорема о существовании ипвариаптного тороидаль-
ного множества нелинейной системы раоностных уравнений.
Практическая аначимость работы. Полученные в диссертации репультаїьі расширяют возможности применение метода интегральных многообразий для решения ряда прикладных оаднч, приводящих к разностный уравнениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы неоднократно догладывались и обсуждались на семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям при кафедре интегральных п дифференциальных уравнений Киевского университета, на конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений н математической фниики — вторые боголюбоиские чтения" (г.Кие», ИШ г.), на научно-исикуюшич'льским семинаре факультета математики Курггш-Тюбинского госуннверситета иы. Носнра Хус-рава (г.Курган-Тюбе, ШЗ-ШІгг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание.
Структура'и объем диссертации. Диссертационная работа состоит ио введення, трет глав и содержит 121 страницу машинописного текста. Библиографический список включает 140 наименований литературных источников.