Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Бельмесова Светлана Сергеевна

Рекуррентные формулы для координатных функций отображения F(x, у) (п 1)

При п = 1 из системы уравнений ху = ж, (ж — /І)2 = у, находим неподвижные точки Аі(0; /І2), (/І + 1; 1) и Аз (/І — 1; 1). Решая характеристическое уравнение (0.3), получаем Аі(Аі) = 0, Аг(Аі) = /І2; Л / л \ 1±л/9+8д л / л \ 1±л/9—8д Аі 2 Ао = и Аі 2 Ач = —. Тип неподвижных точек зависит от значения параметра /І. При /І Є [0,1) неподвижная точка АІ(0;/І2) является стоком, поскольку (АіДАї)! 1; а при /І 1 седлом, так как Аі(Аі) 1, А2(Аі) 1. Неподвижная точка А2(/І+ 1; 1) при любом /І 0 является источником (Ai;2(A2) 1). Мультипликаторы неподвижной точки Аз (/І — 1; 1) при всех /І Є (0,1) удовле Л (А l-V SU Л /1 творяют неравенствам АцАз) = — 1 и А2(Аз) = 1, поэтому при данных значениях параметра /І точка А% {ц — 1; 1) является седлом. При 1 и, справедливо неравенство Лі 2( 3) 1, и A3 (/І— 1; 1) - сток. Если /І = , то мультипликаторы АіДАз) - комплексно сопряженные числа, и Аі;2(Аз) = 1. Следовательно, А ц — 1; 1) эллиптическая точка. И, наконец, при и, т, неподвижная точка Аъ(ц — 1:1)-источник, так как Аі;2(Аз) 1.

Заметим, что при /І = 1 точки Аі(0; 1) и Аз(0; 1) совпадают, и отображение F\ имеет только две неподвижные точки Аі(0; 1) с мультипликаторами \\{А\) = 0, \2(Ai) = 1 и источник (2; 1). Предложение 1.4 доказано. П

Справедливость утверждений (0.7.4) и (0.7.5) теоремы 0.7 вытекает из рекуррентных формул (1.2) и (1.3), установленных в лемме 1.1.

Одним из характерных свойств отображений семейства F является существование при каждом /І Є (0,2] инвариантного треугольника А,, = \ (х: у) : ж, у 0, # + Л 1 . Лемма 1.5. При любом /І Є (0,2] замкнутая область Дм инвариантна относительно отображения F .

Доказательство. Согласно определения 0.1, необходимо убедиться в справедливости включения FM(AM) С Ам. Возьмем произвольно и зафиксируем точку (ж; у) Є Дм. Из инвариантности множества К\ и формулы (0.1) следует, что /мд(ж, у) 0 и д і(х, у) 0. Поэтому достаточно убедиться в справедливости неравенств fu,i(x,y) 9ц,і{хіУ) ХУ (х — fi,)2 -\ = 1 Т 1. (1.6) 2/і /І2 2/і /І2 Так как (ж;«) Є А,,, то при всех х Є [0,2/ІІ имеем: у Є [0,д2(1 — #-)1 и 7 / r"J й» / 2/J./J справедливо неравенство тг + 2 (1 — ) + 9— — + 1. После стан дартных преобразований правой части последнего неравенства получаем: xy . (x—u) ж (4—u ) . x(u — 4) . л где 0 x1 4:Ц2. Тогда выполнено неравенство х2(4-«2) . х(«2-4) . л 4«2(4-«2) . 2«(«2-4) 2 Н 2 — 4 2 2 +1 = 1 Следовательно, + у 1 и формула І.о установлена при лю-бом /І Є (0, 2]. Последнее означает, что F x, у) Є Дм. Лемма 1.5 доказана.

Рассмотрим границу 9ДМ треугольника Ам. Лемма 1.6. Пусть F - отображение (0.1), /І Є (0,2]. Тогда: (1.6.1) при любом /І Є (0,2] справедливы соотношения F k x) = к у, Ffj,(k y) = (0; /І2); (1.6.2) отображение F на гипотенузе h треугольника Ам определено в силу следующего равенства F \h (ж, у) = (хц(р — ж/2), (р — 2у/ц)2) так, что при каждом /І Є (0,2) FM(/iM) представляет собой отрезок прямой 2х+цу = /І3, лежащий в треугольнике Ам и совпадающий с гипотенузой h/j в том и только том случае, если /І = 2 (в этом последнем случае граница 9ДМ инвариантна относительно F i). Доказательство. 1. Справедливость утверждения (1.6.1) вытекает из формулы (0.1). В самом деле, для произвольных точек (ж;0) Є k x, (0; у) Є k y при всех /І Є (0,2] имеем: FM(:r;0) = (0, (ж — /І)2), FM(0;y) = (0;/І2). Так как ж Є [0;2/І], ТО (Х — /І)2 Є [0,/І2], И равенства F ik x) = k y, F ik y) = (0;/І2) установлены. 2. Возьмем произвольно и зафиксируем точку (ж; у) на гипотенузе h . Имеем: Y + \ = 1. Тогда для сужения F h справедливо равенство Ffj,\h (ж5 у) = (xfi(p — ж/2), (/І — 2у/ ц)2). Найдем образ гипотенузы /гм относительно отображения F . F lh (х, у) = (Ж/І(/І — f)), (/І —)2) = (2/і (1 —і Ш-Д 1 МД ) ) = /о /і У ( 2w\9 /о 2w2 2 /і і 4w2 2ш/ 1 — ), Д ) ) = 2ш/ , Д — 4« + Л). Из последнего равенства следует, что образ F h ) представляет собой отрезок прямой вида 2ж + /іу = /І , (1.7) лежащий в замкнутом треугольнике Ам при всех /І Є (0, 2]. 3. Убедимся в справедливости включения (дДг) С Дг. Действительно, при /І = 2 уравнение (1.7) примет вид х + у = 4. Последнее означает, что 2( 2) = 2. Тогда, пользуясь утверждением (1.6.1), убеждаемся в спра ведливости включения і ( 9Д2) С 9Д2. Лемма 1.6 доказана. Справедливость утверждения (0.7.6) теоремы 0.7 следует из лемм 1.5, 1.6. Справедливость утверждений (0.7.7) - (0.7.9) вытекает из утверждения (0.7.6) теоремы 0.7 и топологической сопряженности8 каждого из отображений f2,i\h2(xi у) = ж(4 — х) и Q2,i\h2(x, у) = (2 — у)2 с логистическим отображением у = 4ж(1 — ж) (см. [70, 2]).

Убедимся в справедливости утверждения (0.7.10) теоремы 0.7.

Существование неограниченной инвариантной кривой Г в квадранте -DMj0o 2. Замечание о невозмущенном отображении Fo

Пусть функция Ф : (а, Ь) х (с , d!) — М1 определена в прямоугольнике (а, Ь) х (с , d!) С М2 так, что 1. Ф Є С1 ((а, Ь) х (с , с? ); М1) 13; 2. в каждой точке (ж; у) Є (а, 6) х (с , d!) такой, что Ф(ж; у) = 0 справедливо неравенство -Ф(х: у) Ф 0 (неравенство - -Ф{х\ у) Ф 0); кроме того, ргі({(х] у) : Ф(ж; у) = 0}) = (а, 6), рг2({(ж; у) : Ф(х] у) = 0}) = (с, і), (с, і) С (с , (і ), где рг\} рг2 естественные проекции плоскости М2 на координатные оси Ох и Оу соответственно. Тогда существует функция х = х(у), х(у) Є Cl((c} d), (а, Ь)) (функция у = у{х), у{х) Є С1 ((а, 6), (с, d))) удовлетворяющая равенству Ф(х(у); у) = 0 для каждого у Є (с, і) (равенству Ф(ж; у(ж)) = 0 для каждого х Є (а, &)). Доказательство теоремы 3.3 основано на применении теоремы Бэра-Хаусдорфа, подобно тому, как это сделано в работе [110]. Вопросы расширения функций рассматривались, например, в [111]. Из теоремы 3.3 и формулы (1.2) вытекает Следствие 3.4. Пусть F - отображение (0.1), /І Є (0,2]. Тогда для функции у = у п(х) при п = 1 справедливы равенства (а,Ь) = (0,+оо), десь через С1 ((а, Ъ) х (с , d1); R1) обозначено пространство С -гладких отображение прямоугольника (а, Ъ) х (с , d ) на вещественную прямую R1 (c,d) = (0,+oo); а при всех n 2 равенства - (a,b) = (/І,+oo); (с, d) = (0, +00).

Действительно, при n = 1,2 имеем: yu-\(x) = -, у,,о{х) = , c л7. Следо-вательно, непрерывная ветвь графика функции у = у \(х), проходящая через неподвижную точку (/i+l; 1), определена на интервале (0, +оо), а непрерывная ветвь графика функции у = у іх), проходящая через неподвижную точку А2{ц + 1; 1), определена на интервале (/І, +ОО). Кроме того, имеем: умд((0, +оо)) = (0,+оо), yMj2((/i, +)) = ((0,+оо)). Последнее вместе с теоремой 3.3 означает, что для любого п 2 имеют место равенства (а, 6) = (/І, +ОО), (С, І) = (0, +оо).

Рассмотрим теперь задачу существования С1 - гладких неявных функций, определенных равенством (3.1) при е = /І + 1 и /І Є (0,1], графики которых проходят через неподвижную точку А2{ц + 1; 1). Неподвижная точка УІ2(/І + 1; 1) - источник отображения FM, поэтому при всех п 1 справедливо равенство /yU,n( ,2/)U2(M+i;i) = М + 1. Кроме того, используя формулу (1.2), получаем следующее равенство для частной

Используя (3.3), убеждаемся в справедливости следующей леммы. Лемма 3.5. Пусть F - квадратичное отображение (0.1), /І Є (0,1]. Тогда при любом п 1 справедливы неравенства ж 42(м+і;і) О О f (X ti) I г\ Из леммы 3.5 и теоремы 3.2 вытекает

Следствие 3.6. Пусть F - квадратичное отображение вида (0.1). Тогда для каждого /І Є (0,1] и п 1 существуют окрестность Un(A2) = Usnii(p + 1) х Un (l) неподвижной точки А2(р + 1; 1) и С1 -гладкая строго убывающая неявная функция у = г] п(х), определенная при всех х Є Uni\(ji + 1) со множеством значений на интервале Un ,(l), являющаяся решением задачи (3.1) с начальным условием г) п( -\-1) = 1.

При п = 1 и п = 2, используя формулу (1.2) и уравнение (3.1), получаем, что Т] i(x) 0 при всех х 0 и Т] 2(х) 0 при всех х /І. Основной результат данного раздела содержит

Теорема 3.7. Пусть F - квадратичное отображение (0.1). Тогда при любых п 2 и /J, Є (0,1] существует С1 -гладкая на неограниченном интервале (/І, +оо) строго убывающая сюръекция у = г) п(х) этого интервала на интервал (0,+оо), являющаяся решением уравнения f(j,,n(%,y) = /І + 1 на интервале (/І, +ОО) и такая, что г) п( + 1) = 1.

Доказательство теоремы 3.7 основано, прежде всего, на применении теоремы 3.3 и леммы 3.5. Важную роль в доказательстве теоремы 3.7 играет также доказанное далее предложение 3.9, в котором устанавливается возможность взаимного пересечения непрерывных ветвей кривой f(j,,n(%,y) = /І + 1 с непрерывными ветвями прообразов критической прямой Сц.

Доказательство существования С -гладкой инвариантной кривой Г

Действительно, в силу утверждения (0.7.5) теоремы 0.7 связная компонента полного прообраза отрезка {(ж;у) : у = с,х Є [жі,Ж2]} содержит вертикальный отрезок {(ж;у) : х = с ,у Є [2/1,2/2]}, поэтому в силу связности отрезка для любой точки (ж; с) Є (жі,Ж2) х {с} существует точка (с ;у ) Є {с } х (2/1,2/2) такая, что FM(c ,2/ ) = (ж,с). Последнее означает, что гм - сюръекция ір 2п на ір 2п_1 (г = 1,2,3).

Покажем, что гм - инъекция 1р 2п на lp 2n_v Пользуясь монотонностью функции /мд(ж,2/) по переменной х (у), для любых двух различных точек (жі;2/і), {х2 іУ2) Tp 2п таких, что х\ Х2 (2/1 2/2), имеем: {fjj,,\{x\-,Уі),9[л,і{%і,Уі)) Ф {f/j,i{x2i2/2)59ц,і(х2і2/2))5 где (//i,l( l, 2/lj; ?/x,l(#l, 2/lj), \Ііл,і{Х2іУ2)] 9ц,і{Х2,У2)) р 2n-l (X = , О). Следовательно, гм - инъекция множества 1р 2п на множество ір 2п-і. Значит, і - биекция множества 1р 2п на множество 1р 2п-і. Тогда корректно определено обратное отображение F l, частные производные ко ординатных функций которого непрерывны вір 2n-i. Таким образом, і задает диффеоморфизм множества 1р 2п на множество lp 2n-v Лемма 4.10 доказана. Используя определения множеств Tj) . і и Tj) . 2 получаем отсюда // Ал 1 U \- Рі,2п—1 - -Ро,2п) n=i (4.6) Т А и То і и То 2) \{ 2(м + i;i)} Из лемм 4.7, 4.10 и равенства (4.6) вытекает Следствие 4.11. При каждом и, Є (0,1] множество Dn л инвариатно относительно отображения F . Утверждение (АЛЛ) теоремы 4.1 для множества Dn А доказано. Перейдем к исследованию асимптотического поведения траекторий точек множества Dn А . Уточним расположение периодической орбиты пе-риода два и ее прообразов. Лемма 4.12. Отображение F при любом /І Є (0,1] имеет единственную периодическую орбиту В периода два, образованную г-, I и?-\-\ — \/ и?-\-\ ц2 \ т- і М2 +1+ л/М2 +1 и2 точками В\ ; К Ь - 2 ; г так, (1-у/і2+1)2 (1+л/М2+1)2 что В\ Є Тр 1, Въ Є Тр 2 Доказательство. 1. Существование единственной периодической орбиты В периода два было установлено ранее в предложении 1.7. 2. Покажем, что В\ Є Тр 1. При всех /І Є (0,1] для координат точки В\ Д2 +1 —л/д2 +1 (л/и2 +1 —1)л/и2 +1 U\/и?-\-\ справедливы равенства: = = X— и h л /і Н 2 М V М (1+л/і+м2)2 = 1 + 1+ 12 . Тогда / — 2 — І 2 (1 — л/М2+1)2 Vі 82 —ь д /1 ч— /І у і1 Их/(і2 +1 і г г О — /І, —h л/1 Н— 1. (4.7) \J /J,2 + i + i м V м Кроме того, при всех /І Є (0,1] выполнено: м2+і—Л/М2+І М2 1 мл/м2+і -і — л/м2+1+М+1 (1—л/м2+1)2 л/м2+1—і л/м2+1—і 1 і М 1 і м(л/м2+1+1) [л , Г , 1 п = — 1 Л г — = — 1 Н = —1 + л/1Н—И— и, л/ +1-1 М2 V 2 АТ 2 і А +1 — л/и +1 и поэтому жув1— лУ/«2+1)2 Последнее вместе с неравенствами (4.7) означает, что точка В\ ле жит в неограниченном криволинейном секторе, границами которого слу жат неограниченная непрерывная дуга \[х\ у) :\) х її, у = tLL \ и луч [x; y) : x = и,, у tLJ . Следовательно, Вл Є і p і (см. определение мно жества Тр і). Пользуясь леммой 4.10, при любом д Є (0,11 получаем В2 Є Тр 2. Лемма 4.12 доказана. В силу следствия 4.8 и леммы 4.12 прообразы произвольного порядка п 1 периодической орбиты периода два относительно сужения FJJ\K1 +00 принадлежат множеству (J (Тр 2n_1 U Тр 2п). п=1 При любом п 1 обозначим через {(К,/ 1)_п(жк WR-,)} подмножество полного прообраза п - ого порядка точки В\, не содержащее периодическую орбиту В. Из лемм 4.10, 4.12 следует, что \{FU\K,) п(хв1;Ув-,)} – од-ноточечное множество. Обозначим единственную точку этого множества через (ХрП] Урп). В силу лемм 3.16, 4.10, 4.12, и следствия 4.8 справедлива Лемма 4.13. Пусть Тм - квадратичное отображение вида (0.1), /І Є (0,1]. Тогда при каждом п 1 справедливы предельные равенства lim х пП = /І + 1, lim yTJ1 = 1. пн +оо х пн +оо х Целая траектория {(FM 1) 2n( B1; увУ\п ъ ({(Рц\к1) 2п(%в2] Ув2)}пе%) является гетероклинической, притягивающейся к В\ (В2) и отталкивающейся от точки A i. Из определения множеств Тр 1, TD А ;2 вытекает включение FH(TPUI) С TD„IAI,2- (4.8) Включение (4.8) вместе с леммами 4.6, 4.7, 4.10, 4.12 и 4.13 доказывает следующее утверждение. Теорема 4.14. Пусть F - квадратичное отображение (0.1), /І Є (0,1]. Тогда для любой точки (х: у) Є Dn Л , за исключением периодической ор-биты В периода два, образованной источниками В\, Вч, и всевозможных ее прообразов, справедливы предельные равенства (4.1). Таким образом, утверждение (4.1.2) теоремы 4.1 доказано. Теорема 4.1 доказана полностью. Из утверждения (0.7.6) теоремы 0.7 и теоремы 4.14 вытекает

Следствие 4.15. Пусть F - квадратичное отображение вида (0.1), /І Є (0,1]. Тогда Ам С D AX и для любой точки (х]у) Є Ам справедливы равенства (4.1).

Теорема 4.1 завершает полное описание асимптототического поведения траекторий в первом квадранте плоскости М2.

Из теоремы 4.1 следует, что при всех /І Є (0,1] неблуждающее множество {F K-i) отображения FJJ\K1 конечно из состоит из неподвижной точки (/І + 1; 1) и периодической орбиты В периода два. Опишем предельное поведение траекторий в K i. Рассуждая аналогично тому, как это было сделано при доказательстве утверждения (0.7.12) теоремы 0.7, и пользуясь утверждениями (0.7.1), (0.7.2) теоремы 0.7 получаем, что F \K2 - диффеоморфизм К2 на образ FjJi{K2).

Из утверждения (0.7.3) следует, что при всех /І Є (0,1) замыкание К і содержит две неподвижные точки: седло Аз(р — 1; 1) и сток ЛІ(0;/І2). Значит, существуют непрерывные функции у = 7f (ж) У = 1І{Х)- і = 1? 2, графики которых являются неустойчивыми 7ь 72 и устойчивыми 7і, 7І сепаратрисами седла А% [9], причем 7Г U 72 = м( з), 7i U 7І = ЭД ( з), и 72 является неустойчивой сепаратрисой, идущей из седла А% в сток А\ (см. рисунок 8). Тогда корректно определены множества

Дальнейшие преобразования для отображе

Основным результатом данной главы является теорема C, в которой доказано существование Fi - вполне инвариантного множества G , представи-мого в виде объединения континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых и обладающего следующими свойствами: (і) в любой трубчатой окрестности произвольной кривой из G в М2 существует континуум кривых из G, причем G является нигде не плотным множеством в некотором подмножестве первого квадранта плоскости; (гг) любые две кривые множества G либо не пересекаются, либо пересекаются в единственной точке, лежащей на гипотенузе hi инвариантного треугольника Ai. Более того, в теореме C выделено некоторое множество, состоящее из блуждающих точек отображения Fi.

Доказательство теоремы C проводится поэтапно 8-9. В 10 доказано существование множества гомеоморфного канторову дисконтинууму на гипотенузе hi инвариантного треугольника А2, в котором всюду плотны седловые периодические точки отображения Fi, являющиеся источниками относительно сужения Fi\h2. Существование данного множества приводит к следующему новому эффекту: во множестве G П G\ всюду плотно множество кривых, траектории точек которых притягиваются к указанному множеству, гомеоморфному канторову дисконтинууму, и всюду плотно множество кривых, траектории точек которых уходят в +оо как по координате ж, так и по координате у.

В 8 построено множество G, представляющее собой объединение внутренностей некоторых попарно не пересекающихся неограниченных множеств, названных в работе максимальными порождающими областями, с вершинами в гомоклинических точках к неподвижной точке (3; 1) сужения F2\h2 и в самой неподвижной точке (3; 1) так, что внутренность каждой максимальной порождащей области является связной компонентой множества G, определенного во Введение (см. также ниже). Для построения первой такой области Н оьах(А2) используются С1 - гладкие ветви неявных функций, определенных равенством f2,n{x,y) = 3 при всех (ж; у) Є Сд2, п 1, с начальным условием /2,п(3,1) = 3 . Остальные порождающие области Нах(Агк) при любых к 1 строятся с помощью прообразов порядка к относительно і ЬІСл области Н1!1ах(А2). В этом же параграфе доказано, что множество G открыто и исследовано асимптотическое поведение траекторий принадлежащих ему точек. Рассмотрим квадратичное отображение F2(x,y) = (ху, (х — 2) ) (8.1) Прежде, чем сформулировать основной результат главы 4, напомним определения некоторых необходимых нам множеств (см. Введение). Так, Сд2 = {(х; у) Є К\ : х + у 4} , GA = {(х; у) Є К\ : х + у 4}; +00 G = G\ П ([J F2_ (D2;0o)), г=0 где і 2 (- 2,оо) – І-ый полный прообраз множества D2,oo, и множество G = Сд2 \ G. 104 Заметим, что Сд2 - инвариантное множество. Действительно, возьмем произвольную точку (ж, у) Є Сд2. Тогда имеем: х + у 4, при этом /2, і (х, у) + #2, і (ж5 у) = ХУ + (х 2)2 ж(4 — ж) + (ж — 2)2 4. Следовательно, і (ж, у) Є Сд2. Сформулируем основной результат главы 4. Теорема C. [100] Непустое множество G открыто и всюду плотно в Сд2 и состоит из блуждающих точек отображения F i. Множество G представляет собой объединение континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых таких, что любые две кривые множества G либо не пересекаются в Сд2, либо пересекаются в единственной точке, лежащей на гипотенузе hi треугольника /S.2. В любой трубчатой окрестности произвольной кривой из G в Сд2 существует континуум кривых из G , причем G является нигде не плотным множеством в гД2 . Основным результатом 8 является следующее утверждение. Теорема 8.1. Пусть Fi - квадратичное отображение (8.1). Тогда непустое множество G открыто и для любой точки (х]у) Є G справедливы предельные равенства lim /2„(ж, у) = +оо, lim g2n(x,y) = +00. (8.2) П—7 +00 П—т +00 На первом шаге доказательства теоремы 8.1 убедимся в том, что множество G представляет собой объединение внутренностей попарно не пересекающихся максимальных порождающих областей (см. далее определения 8.7, 8.9)19 с вершинами в гомоклинических точках к неподвижной точке (3; 1) сужения і 2І/і2 и в самой неподвижной точке (3; 1) так, что внутренность каждой максимальной порождающей области является связной компонентой множества G.

Для построения максимальных порождающих областей нам потребуется множество D2,oo (см. теорему 0.7 во Введении). В силу утверждения (0.7.10) теоремы 0.7 сужение F2\D2OO – диффеоморфизм. Для границы dD2:oo множества 2,оо, образованной лучами {(ж; у) : х = 3, у 1}, {(ж; у) : х 3, у = 1}, имеем: і 2({(ж; у) : х = 3, у 1}) = {(ж; у) : у = 1, ж 3} . Поэтому для дальнейших построений достаточно рассмотреть всевозможные прообразы луча {(х]у) : ж = 3, у 1}.

При доказательстве теоремы 8.1 используется, во-первых, теорема 3.3, с помощью которой устанавливается существование нелокальных ветвей С1 - гладких неявных функций, определенных равенством f2,n(x,y) = 3 при всех (ж; у) Є Сд2, п 1, с начальным условием /2;П(3,1) = 3; во-вторых, с использованием построенных ветвей неявных функций далее строится максимальная порождающая область Ногах(А2) и, в-третьих, с помощью прообразов порядка к относительно і ІСл (к 1) области Ногах(А2) строятся максимальные порождающие области Нах(Агк) с вершинами в гомоклинических точках сужения F2\h2 к неподвижной точке Ь(3; 1).