Содержание к диссертации
Введение
1 Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтерра 11
1.1 Преобразование Бэклунда для скалярной цепочки 12
1.1.1 Представление нулевой кривизны 12
1.1.2 Принцип нелинейной суперпозиции 14
1.2 Первое векторное обобщение 17
1.3 Второе векторное обобщение 22
1.4 Высшие симметрии и ассоциированные системы 26
1.5 Дальнейшие векторные аналоги 27
2 Линейные задачи для иерархии Хироты–Охты 30
2.1 Иерархия НУШ 30
2.2 Иерархия Хироты–Охты 33
2.3 Векторная иерархия Кулиша–Склянина 36
3 Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса 39
3.1 Простейший пример 39
3.2 Предварительные построения 42
3.2.1 Определения и обозначения 42
3.2.2 Цепочки Богоявленского 43
3.3 Дискретизация уравнения Савады–Котеры 45
3.3.1 Представление Лакса 45
3.3.2 Модифицированные цепочки 48
3.3.3 r-матричная формулировка 50
3.3.4 Непрерывный предел 53
3.3.5 Билинейные уравнения 54
3.4 Дискретный аналог уравнения Каупа–Купершмидта . 57
3.5 Примеры, связанные с операторами общего вида 59
4 Дискретные двумерные интегрируемые уравнения выс шего порядка 61
4.1 Общая схема 61
4.2 Многомерная совместность 65
4.3 Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского . 68
4.4 Преобразование Бэклунда для дискретизации уравнения Савады–Котеры 74
Литература
- Представление нулевой кривизны 12
- Иерархия Хироты–Охты
- Определения и обозначения
- Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского
Введение к работе
Актуальность темы. Современное понимание интегрируемости нелинейных уравнений основано на методе обратной задачи рассеяния. Этот метод применим в том случае, когда исследуемое уравнение допускает представление в виде условий совместности для вспомогательных линейных систем. Исторически, первый пример связан с изоспектральными деформациями для задачи Штурма-Лиувилля фхх = (и — Х)ф, которые приводят к уравнению Кортевега-де Фриза
Щ = Uxxx — 6UUX (1)
и бесконечной серии его высших симметрий (иерархии КдФ). К настоящему времени установлена интегрируемость для огромного числа уравнений различных типов. Простейший класс, содержащий КдФ и множество других важных примеров, составляют скалярные эволюционные уравнения
щ = f(u, их,..., дх(и)). (2)
Параллельная теория разработана для эволюционных дифференциально-разностных уравнений (цепочек)
u,t = f(Um, j U—m), (3)
где обозначено wjt = <9t(w(n, t)), Uj = u(n-\- j,t). Такие уравнения можно интерпретировать как дискретизацию, по пространственной переменной, уравнений вида (). Первым примером применения метода обратной задачи к уравнениям этого типа служит цепочка Вольтерра
и j = и{и\ — w_i), (4)
проинтегрированная в работах Кейза, Каца1 и Манакова, и связанная с дискретной задачей Штурма-Лиувилля ф\-\- иф-\ = Хф.
Цепочка () переходит в уравнение КдФ для переменной U{x, т) в непрерывном пределе и(п, t) = 1 — e2U(x + 2et, ^e3t), x = en, e->0. Однако, это соответствие не взаимно-однозначно: одно непрерывное уравнение может допускать неэквивалентные дискретизации разного порядка. Например, уравнение КдФ возникает в непрерывном пределе не только из
K.M. Case, M. Kac. A discrete version of the inverse scattering problem. J. Math. Phys. 14:5 (1973) 594–603.
S.V. Manakov. Complete integrability and stochastization of discrete dynamical systems. Soviet Physics JETP 40:2 (1975) 269–274.
цепочки Вольтерра, но и из цепочек Богоявленского3 B*-)
и j = и(ит + + i*i — м_і — — w_m) (5)
при произвольном т. Таким образом, интегрируемых цепочек, в некотором смысле, больше, чем непрерывных уравнений и, во многих отношениях, их теория оказывается более сложной и богатой.
Отметим в этой связи, что задача классификации интегрируемых уравнений () рассматривалась в работах Шабата, Свинолупова, Соколова, Михайлова и др. (см. обзоры'), в которых был получен ряд важных результатов для порядков к = 2, 4 (линеаризуемые уравнения типа Бюр-герса) и к = 3, 5 (уравнения типа КдФ). Возможно, что эти классификационные результаты дают полное решение задачи: имеется гипотеза, что все интегрируемые уравнения нечетного порядка больше 5 являются симметриями уравнений порядков 3 и 5. Если это так, то число непрерывных интегрируемых иерархий конечно. В дискретном случае это заведомо неверно, поскольку цепочки Богоявленского при различных т принадлежат разным иерархиям (не являются симметриями друг для друга). Можно сказать, что в данном случае мы имеем семейство иерархий.
Цепочки вида () хорошо изучены лишь при т = 1. Для этого случая, исчерпывающая классификация цепочек, обладающих высшими симметриями, получена Ямиловым'. При т > 1, литература ограничена, в основном, цепочками Богоявленского и их модификациями. В этом случае, нет не только классификации, но даже какого-либо предварительного описания или списка цепочек, которые давали бы примерное представление о том, как устроен (или, насколько может быть сложен) ответ в этом классе уравнений.
Обобщения другого типа возникают при замене скалярной переменной и на векторную или матричную. Векторными называются уравнения, которые можно записать в безкомпонентной форме при помощи скалярного произведения, иначе говоря — допускающие группу SO (сі) в каче-
O.I. Bogoyavlensky. Algebraic constructions of integrable dynamical systems — extensions of the Volterra system. Russ. Math. Surv. 46:3 (1991) 1–64.
A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classification of integrable equations. in: V.E. Zakharov (ed). What is Integrability? Springer-Verlag, 1991, pp. 115–184.
A.G. Mehskov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations with constant separant. .
Р.И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнений. Усп. мат. наук 38:6 (1983) 155–156.
R.I. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for differential difference equations. J. Phys. A 39:45 (2006) R541–623.
стве классических симметрий. В непрерывном случае, такие уравнения являются важным и довольно хорошо изученным классом интегрируемых систем. Отдельные результаты имеются и для векторных цепочек, но, в целом, эта область остается малоисследованной.
Таким образом, поиск интегрируемых цепочек и изучение их свойств является актуальной задачей, которой и посвящена диссертация. Основной пример связан с семейством иерархий dSK(l,m), зависящим от двух целочисленных параметров. Оно обобщает семейство Богоявленского B(m) и в непрерывном пределе переходит в иерархию уравнения Савады–Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка). Рассматриваются также примеры векторных цепочек первого порядка и двумерных цепочек. Помимо построения представлений нулевой кривизны, для всех этих примеров решается задача построения преобразований Бэклунда. Напомним, что они определяют дискретную часть интегрируемой иерархии. Если стартовать с непрерывных уравнений типа уравнения КдФ или нелинейного уравнения Шредингера, то полностью дискретные уравнения на квадратной решетке возникают из свойства перестановочности преобразований Бэклунда. Для полудискретных уравнений типа цепочки Вольтерра или Тоды, уже сами преобразования Бэклунда описываются полностью дискретными уравнениями, см. напр.8. Особенно интересными оказываются преобразования Бэклунда для цепочек высокого порядка (), они имеют вид дискретных уравнений порядка 1 по одной и m по второй дискретной переменной:
Q(v(i + 1, n + m), . . . , v(i + 1, n), v(i, n + m), .. . , v(i, n)) = 0. (6)
При m = 1 это так называемые квад-уравнения. В диссертации рассмотрен случай m > 1, ранее практически не изучавшийся, для которого предложен термин мультиквад-уравнения.
Основные цели работы. Целью работы является изучение описанных выше классов дифференциально-разностных и дискретных интегрируемых уравнений. Полученные результаты относятся к векторным цепочкам типа Вольтерра, дискретным уравнениям из трехмерной иерархии Хироты–Охты, неоднородным обобщениям цепочек Богоявленского и связанным с ними мультиквад-уравнениям. Некоторые примеры, представленные в диссертации, являются новыми. При обосновании интегрируемости основное внимание уделяется выводу вспомогательных линейных
8R.I. Yamilov. Construction scheme for discrete Miura transformations. J. Phys. A 27:20 (1994) 6839–6851.
9V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classification of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach. Comm. Math. Phys. 233 (2003) 513–543.
задач, анализу высших симметрий и преобразований Бэклунда, построению точных решений.
Методы исследования. Основным методом в диссертации служит подход Захарова-Шабата10, в рамках которого нелинейные интегрируемые уравнения трактуются как условия совместности вспомогательных линейных уравнений. Используется также симметрийный подход к проблеме интегрируемости.
Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые результаты.
1) В утверждениях 1.1, 1.2 приведены преобразования Дарбу-Бэк-
лунда и формулы нелинейной суперпозиции для двух векторных обоб
щений модифицированной цепочки Вольтерра:
Уп,х = (Ут Уп)іУп+1 — Vn-\), (8)
где Vn Є Kd. Вычисления основаны на представлениях нулевой кривизны с матрицами размера (d + 2) х (d + 2). Для цепочки () используются матрицы из работы. Для цепочки () ранее было известно лишь представление в матрицах размера 2d х 2d. Матрицы, определяющие преобразования Дарбу, получены впервые, в обоих случаях.
2) В разделе 2.2 построены согласованные представления нулевой кри
визны для (2 + 1)-мерной системы Хироты-Охты и ее дискретных ана
логов, изучавшихся, в рамках различных подходов, в работах''''.
В.Е. Захаров, А.Б. Шабат. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. Функц. анализ 8:3 (1974) 43—53; 13:3 (1979) 13—22.
V.E. Adler, S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Multi-component Volterra and Toda type integrable equations. Phys. Lett. A 254 (1999) 24—36.
T. Tsuchida, H. Ujino, M. Wadati. Integrable semi-discretization of the coupled modified KdV equations. J. Math. Phys. 39:9 (1998) 4785—4813.
R. Hirota, Y. Ohta. Hierarchies of coupled soliton equations. I. J. Phys. Soc. Jpn. 60 (1991) 798—809.
M. Adler, E. Horozov, P. van Moerbeke. The Pfaff lattice and skew-orthogonal polynomials. Int. Math. Res. Notes 1999:11 (1999) 569—588.
S. Kakei. Orthogonal and symplectic matrix integrals and coupled KP hierarchy. J. Phys. Soc. Japan 68 (1999) 2875—2877.
J. van de Leur. Backlund—Darboux transformations for the coupled KP hierarchy. J. Phys A 37 (2004) 4395—4405.
X.B. Hu, J.X. Zhao. Commutativity of Pfaffianization and Backlund transformations: the KP equation. Inverse Problems 21 (2005) 1461—1472.
C.R. Gilson, J.J.C. Nimmo, S. Tsujimoto. Pfaffianization of the discrete KP equation. J. Phys. A 34:48 (2001) 10569—10575.
Тем самым, показано, что эти уравнения являются членами одной и той же иерархии, что ранее не было известно. В разделе 2.3 установлена их связь с векторной системой Кулиша-Склянина, обобщающей нелинейное уравнение Шредингера.
3) Изучены цепочки, связанные со спектральной задачей
ифт+l + Фі = МФт + иф). (9)
Показано, что соответствующие иерархии цепочек образуют семейство являющееся нетривиальным обобщением модифицированных цепочек Богоявленского. В билинейной форме, это семейство было введено в работах19', однако, его свойства остались не исследованными (в частности, не было известно представление Лакса). Простейший поток из dSKt1') имеет вид
utt = и (ит и\ — U-\ U-m) — w(wm-i U\ — U-\ Wl_m), (10)
где правая часть равна сумме двух некоммутирующих друг с другом потоков, определяющих различные модификации цепочек B*-) и B*--1-1. В теореме 3.4 приведена явная конструкция для потоков иерархии dSK"'m-) и доказана их коммутативность. Непрерывный предел к иерархии уравнения Савады-Котеры установлен в теореме 3.5.
-
В разделах 3.4, 3.5 получены новые примеры цепочек, определяющих дискретизации уравнения Каупа-Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами.
-
В разделе 4.2 сформулировано определение свойства многомерной совместности для дискретных уравнений вида (), обобщающее известное определение для случая m = 1 (то есть, для квад-уравнений).
-
В теоремах 4.2, 4.9 приведены многомерно совместные мультиквад-уравнения, задающие преобразования Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для цепочки Богоявленского B*-) () и для цепочки
(). Преобразование Бэклунда для B*-) рассматривалось ранее в'',
19S. Tsujimoto, R. Hirota. Pfaffian representation of solutions to the discrete BKP hierarchy in bilinear form. J. Phys. Soc. Japan 65 (1996) 2797–2806.
20X.B. Hu, P.A. Clarkson, R. Bullough. New integrable differential-difference systems. J. Phys. A 30:20 (1997) L669–676.
21S. Tsujimoto, R. Hirota, S. Oishi. An extension and discretization of Volterra equation I. Technical Report of IEICE, NLP92–90 (1993) 3pp.
22V.G. Papageorgiou, F.W. Nijhoff. On some integrable discrete-time systems associated with the Bogoyavlensky lattices. Phys. A 228 (1996) 172–188.
23Yu.B. Suris. Integrable discretizations of the Bogoyavlensky lattices. J. Math. Phys. 37 (1996) 3982–3996.
для dSK(1,m) является новым. Формулы суперпозиции новые в обоих примерах. Они служат многокомпонентными обобщениями квад-уравнений Q01 и H30 из списка.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут иметь применения в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической и математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау, Института математики с ВЦ Уфимского НЦ РАН, а также на конференции Conformal Field Theory, Integrable Models and Liouville Gravity (2009, ИТФ, Черноголовка).
Публикации. Диссертация выполнена на основе работ [, , , ], опубликованных в зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно. Вклад автора в приведённые в диссертации результаты является основным. Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения и четырёх глав. Список литературы содержит 114 наименований. Общий объём 88 страниц.
Представление нулевой кривизны 12
Диссертация выполнена на основе работ [11, 12, 13, 14]. Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Формулы, определения и теоремы нумеруются по главам. Список литературы содержит 114 наименований. Общий объем диссертации 88 стр.
Во введении приводится краткое обсуждение истории вопроса, описаны полученные результаты и структура диссертации.
В главе 1, «Векторные аналоги модифицированной цепочки Воль-терра», рассматриваются уравнения (7), (8), определяющие неэквивалентные интегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепочки. Цепочка (7) была введена в [16] среди других примеров многокомпонентных цепочек, связанных с алгебраическими йордановыми струк турами. Цепочка (8) была введена в [84] для случая двумерных векторов и в [44, 42] для векторов произвольной размерности. В разделе 1.1 приведены необходимые результаты, относящиеся к скалярному случаю. Основные результаты этой главы представлены в разделах 1.2, 1.3, в которых описан метод одевания для обоих векторных обобщений.
Приведены также простейшие точные решения типа солитонов и бри-зеров. Проводится сравнение с результатами, полученными в [99] для цепочки (8). В разделе 1.4 обсуждаются уравнения в частных производных, ассоциированные с цепочками (7), (8). Напомним, что в работах Леви [58] и Шабата, Ямилова [90] было замечено, что интегрируемые цепочки типа Вольтерра определяют специальную разновидность преобразований Бэклунда для уравнений типа нелинейного Шредингера. Это верно и для векторных аналогов: показано, что высшие симметрии рассматриваемых цепочек можно записать в виде векторных обобщений системы Каупа-Ньюэлла (или, нелинейного уравнения Шредингера с производной). Интересна также связь с двумерными цепочками, родственными цепочкам Вольтерра введенными Михайловым [68]. В разделе 1.5 приведены еще два любопытных примера (найденные методом неопределенных коэффициентов) векторных цепочек 2-го порядка, обладающих высшими симметриями 4-го порядка.
Глава 2, «Линейные задачи и преобразования Бэклунда для иерархии Хироты-Охты», посвящена, по сравнению с остальными главами, более сложному объекту: иерархии 3-мерной, 3-компонентной системы, обобщающей уравнение Кадомцева–Петвиашвили. Согласно общему методу Захарова-Шабата [114], эта иерархия определяется как условия совместности вспомогательных линейных задач, которые заменяют в 3-мерном случае представление нулевой кривизны. Цель главы — продемонстрировать, что несмотря на определенные усложнения по сравнению с 2-мерным случаем, этот метод дает единообразный способ вывода полудискретных и дискретных уравнений иерархии (как и раньше, они определяют преобразования Бэклунда и формулы их суперпозиции).
Рассматриваемые уравнения открывались и переоткрывались разными авторами в рамках различных подходов. В диссертации, термин «система Хироты-Охты» используется для базового непрерывного уравнения иерархии, которое в явном виде было введено в работе [43] при пфаффианизации уравнения Кадомцева-Петвиашвили (пфаффианиза-ция представляет собой определенную процедуру, при которорой много-солитонные решения, выраженные через детерминанты, заменяются на решения, выраженные через пфаффианы. В дальнейшем, эта процедура применялась и к другим уравнениям, см. напр. [37]). Еще раньше, система Хироты-Охты была обнаружена при прямом поиске билинейных уравнений, допускающих 3-солитонные решения [40]. Дифференциально-разностный представитель иерархии Хироты-Охты, известный как це почка Пфаффа [2, 3, 4, 50], был введен в рамках теории случайных матричных моделей. Вся иерархия может быть выведена также в рамках подхода, основанного на представлениях алгебры Клиффорда и бозонно-фермионном соответствии [48, 49]. В частности, эта техника применялась при выводе преобразования Бэклунда [57]. В [46], преобразование Бэклунда было получено при пфаффианизации преобразования Миуры для модифицированного уравнения KP. Полностью дискретная версия системы Хироты-Охты введена в работе [39].
В диссертации, иерархия Хироты-Охты выводится, как уже было сказано, в рамках метода Захарова-Шабата из условий совместности вспомогательных линейных задач. Этот способ проще вышеперечисленных, если не с вычислительной, то с идейной точки зрения. В частности, он позволяет показать, что дискретизация из [39] не просто служит разностным аналогом системы Хироты-Охты, но и определяет принцип нелинейной суперпозиции для ее преобразований Бэклунда. Линейные задачи для непрерывной части иерархии появились в статье [51]. Эмпирическое наблюдение, позволяющее дополнить их линейными задачами для всех уровней дискретизации (то есть, для систем с одной, двумя и тремя независимыми дискретными переменными), заключается в том, что структура этих линейных задач совпадает со структурой 2-мерной иерархии нелинейного уравнения Шредингера. Более точное соответствие с теорией 2-мерных систем указано в разделе 2.3, посвященном векторной системе Кулиша-Склянина [55].
В главе 3, «Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса», изучаются некоторые интегрируемые иерархии, ассоциированные с линейными уравнениями вида Pip = XQip, где Р, Q разностные операторы (основным примером служат линейные уравнения вида (9)). В частности, эти иерархии содержат уравнения, найденные ранее в работах [102, 45] в рамках билинейного подхода Хироты. Соответствующие нелинейные дифференциально-разностные уравнения можно рассматривать как неоднородные обобщения цепочек типа Богоявленского. В отличие от последних, переходящих в непрерывном пределе в уравнение КдФ, рассматриваемые цепочки служат дискретными аналогами уравнений Савады-Котеры и Каупа-Купершмидта.
В разделе 3.2 содержится некоторая необходимая информация о цепочках типа Богоявленского, см. также книги [25, 94]. Раздел 3.3 посвящен дискретизациям уравнения Савады-Котеры и содержит основные результаты главы. Общая конструкция лаксовой пары Ltt = [A, L] с оператором L = Q lP приведена в разделе 3.3.1. В разделе 3.3.3, используется r-матричный подход в разностной формулировке [83, 19, 94], с его помощью строятся явные формулы для оператора А и доказывается коммутативность иерархии dSK1 . Непрерывный предел, билинейное представление, простейшие решения типа бризера представлены в разделах 3.3.4, 3.3.5. Раздел 3.4 посвящен дискретизации уравнения Kаупа–Kупершмидта, родственного уравнению Савады-Котеры. Раздел 3.5 содержит примеры цепочек с несколькими переменными, которые ассоциированы с более общими дробными операторами Лакса.
В главе 4, «Дискретные двумерные интегрируемые уравнения высшего порядка», дано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений вида (6). Ранее это свойство рассматривалось только для квад-уравнений, отвечающих случаю т = 1 [21, 77, 8]. Уравнения с произвольным т возникают, как преобразования Бэклунда для эволюционных цепочек вида (3), при этом, свойство многомерной совместности отражает перестановочность преобразований Бэклунда.
Рассмотрены два конкретных и достаточно содержательных примера, отвечающих цепочке Богоявленского B т и дискретизации уравнения Савады-Котеры dSK 1 " из предыдущей главы. Нет сомнений, что набор примеров можно расширить, для чего годятся оба определения интегрируемости, рассмотренные в этой главе, то есть, наличие эволюционной дифференциально-разностной симметрии или, в чисто дискретной постановке, свойство 3D-совместности. Однако, оба подхода содержат множество нерешенных технических вопросов и на данном этапе не приходится рассчитывать на простые классификационные результаты, аналогичные известным спискам для случая первого порядка [108, 8].
Иерархия Хироты–Охты
Общее совместное решение систем (2.23), (2.24), (2.25) может быть определено по паре вектор-функций от х, выбранных в качестве начальных данных (гр, ф)\у=о =о,п1=о. Решение цепочки (2.26) зависит дополнительно от параметра ос-г и констант интегрирования, выбираемых произвольно на каждом шаге щ — щ + 1. Следовательно, утверждение 2.4 описывает лишь специальный класс решений среди всех решений иерархии Хироты-Охты, которые зависят, вообще говоря от произвольных функций от двух независимых переменных. Тем не менее, этот тип редукций (2+1)-мерных систем достаточно важен и позволяет строить богатые семейства точных решений [53].
Следует отметить, связь приведенных выше дискретных линейных уравнений с уравнениями Лапласа на квадратной и треугольной решетках (так называются самосопряженные линейные уравнения, связывающие вершину решетки и ее соседей). Эти уравнения активно изучались в ряде недавних работ. В частности, известно, что они возникают из линейных квад-уравнений на квадратной и ромбической решетках в результате ограничения на четную или нечетную подрешетки [20, 29]. В нашем случае, уравнения Лапласа возникают в результате исключения одной из компонент в 2-компонентных линейных уравнениях из раздела 2.2. Например, исключение -компоненты из (2.14) и (2.17) приводит к следующему 5-точечному уравнению на -компоненту (ср. с дискретной цепочкой Тоды (2.6)):
Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса В этой главе изучаются нелинейные интегрируемые дифференциально-разностные уравнения, ассоциированные со спектральными задачами вида Рф = XQtp, где Р, Q разностные операторы. Основные результаты связаны со спектральными задачами где 1,т взаимно-простые положительные целые числа. Показано, что соответствующие цепочки образуют семейство иерархий dSK1- m, переходящих в непрерывном пределе в иерархию уравнения Савады-Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка, связанный со спектральной задачей 3-го порядка). Это семейство является нетривиальным обобщением иерархий Богоявленского B т, переходящих в непрерывном пределе в уравнение КдФ. С помощью r-матричного подхода в разностной формулировке доказана коммутативность иерархии dSK1- 1 т . Представлены простейшие решения солитонного типа, найденные методом Хироты для уравнений в билинейной форме. Рассмотрены также близкие примеры цепочек, определяющих дискретизации уравнения Каупа-Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами. являются очень хорошо известными интегрируемыми моделями. Первая из них, цепочка Вольтерра [113, 65] уже обсуждалась в главе 1. Вторая, это модифицированная цепочка Нариты–Ито–Богоявленского второго порядка [74, 47, 25]. Каждая из цепочек допускает бесконечномерную алгебру высших симметрий, однако нетрудно проверить, что друг с другом потоки dt и dt" не коммутируют, то есть, эти уравнения принадлежат разным иерархиям. Поэтому, нет оснований ожидать, что их линейная комбинация остается интегрируемой, и все же, это так. Далее, будет показано, что уравнение (3.1) допускает представление Лакса равным отношению двух разностных операторов, а именно, L = (Т2 + v) l(v,T2 + 1)Т, где Т обозначает оператор сдвига Uk — ик+і. Отметим, что в этой главе более удобным оказывается операторное лаксово представление, а не матричное представление нулевой кривизны (1.2) из первой главы. Эквивалентное матричное представление используется в следующей главе, при вычислении преобразования Бэклунда для цепочек типа (3.1).
Уравнение (3.1) можно записать в билинейном виде, допускающем семейство обобщений, зависящих от пары целочисленных параметров (l,m). Эти обобщения были открыты Ху, Кларксоном и Буллафом [45, формула (4)], при поиске билинейных уравнений, обладающих iV-солитон-ными решениями. В этой главе будет показано, что это семейство уравнений ассоциировано с дробными операторами Лакса вида
В отличие от обозначений из главы 1, непрерывная переменная обозначена t, а не х; это связано с тем, что далее х обозначает пространственную переменную для непрерывного предела. Ассоциированные системы типа (1.40) в этой главе не рассматриваются. порядка. Эта иерархия обозначается dSK "1), так как ее можно рассматривать, как дискретизацию иерархии, содержащей уравнение Савады-Котеры (SK) [88, 26] и аналогичные формулы имеются при любых (l,m). Чтобы пояснить взаимоотношение между непрерывными и цепочечными уравнениями, следует отметить, что каждая из цепочек (3.2) по отдельности задает дискретизацию уравнения КдФ не Савады-Котеры. Более того, хорошо известно, что на самом деле все цепочки Богоявленского, любого порядка, служат дискретизациями уравнения КдФ и его высших симметрий, то есть одной непрерывной иерархии отвечает бесконечное семейство дискретных. Точно так же, и иерархии SK отвечает не одна дискретизация, а целое семейство дискретных иерархий dSK "7-).
Примеры лаксовых операторов, равных отношению двух дифференциальных операторов, изучались в работе [54], однако, по-видимому, эти примеры не имеют отношения к дискретному случаю (3.3).
Второе различие проявляется в задаче дискретизации для другого важного примера, уравнения Каупа-Купершмидта (связаны друг с другом композицией подстановок типа Миуры, возникающих при факторизации л аксовых операторов [91, 32]: USK = f,x - f2, UKK = -2f,x /2 Несмотря на эту тесную связь, отмечалось (см. напр. [73]), что некоторые свойства уравнений SK и KK отличаются. По-видимому, различие между цепочечными аналогами этих уравнений еще глубже. Для уравнения KK удалось пока найти только одну дискретизацию в виде цепочки 4-го порядка (раздел 3.4), причем дискретная подстановка типа Миуры, связывающая ее с какой-либо цепочкой из семейства dSK1- т неизвестна.
Такие уравнения можно интерпретировать, как полудискретные аналоги непрерывных эволюционных уравнений типа KdV или SK U,T = F(Uky U), U = и(х,т), U T = dT(U), Uj = d (U) (при переходе к непрерывному пределу, порядки тли к, вообще говоря, не совпадают). Оператор сдвига играет для уравнений (3.7) роль, аналогичную роли полной производной по ж в непрерывном случае, D : Uj н- Uj-\-i. Дифференциальные операторы являются многочленами от D, с функциями от ж в качестве коэффициентов, умножением, определяемым правилом Лейбница DA = D(A) + AD и операцией формального сопряжения, определяемой по правилу D = — D. Разностные операторы являются лорановскими многочленами, то есть многочленами от Т и Т-1, закон умножения имеет вид ТА = Т(А)Т, операция сопряжения определяется, как Т = Т 1. Для краткости, нижний индекс будет использоваться также для обозначения действия Т на операторы, Aj = Т (А). Цепочка
Определения и обозначения
В этой главе дано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений порядка 1 по одной и m по другой дискретной переменной (мультиквад-уравнений). Ранее это свойство рассматривалось только при m = 1 (то есть, для так называемых квад-уравнений) [21, 77, 8]. Уравнения с произвольным m возникают, как преобразования Бэклунда для эволюционных цепочек m-го порядка по сдвигам. При этом, свойство многомерной совместности отражает перестановочность преобразований Бэклунда. Рассмотрены примеры, отвечающие цепочке Богоявленского B(m) и дискретизации уравнения Савады– Котеры dSK(1,m) из предыдущей главы. Преобразование Бэклунда для B(m) рассматривалось ранее в [103, 78, 93], для dSK(1,m) является новым. Формулы суперпозиции новые в обоих примерах, они служат многокомпонентными обобщениями уравнений Q01 и H30 из списка [8].
Многомерная совместность Рассмотрим уравнения с двумя независимыми дискретными переменными, вида где m фиксированное положительное число, зависимая переменная v и функция Q принимают вещественные или комплексные значения. Очевидно, этот класс обобщает так называемые квад-уравнения которые активно изучаются в последнее время. Напомним, что одним из важных понятий в теории интегрируемых квад-уравнений является свойство 3D-совместности. Оно означает, что начальные данные общего положения определяют на 3-мерной решетке функцию v(i,j,n), удовлетворяющую одновременно трем уравнениям вида (4.2), относительно каждой пары дискретных переменных [21, 77]. При этом, совместность на решетке любой размерности следует автоматически. Разумеется, свойство 3D-совместности выполняется не для произвольной тройки уравнений, а только для очень специальной, и, при ряде дополнительных предположений, это позволяет выделить список интегрируемых квад-уравнений [8].
В общем случае m 1, переменная n выделена и ситуация менее симметрична: уравнения вида (4.1) выполняются по переменным (i, n), (j,n), а по переменным (i,j) выполняется некоторое m-компонентное квад-уравнение
На многомерной решетке, уравнение (4.3) удовлетворяет обычному свойству 3D-совместности по переменным i,j,k, отличным от n. Строгое определение многомерной совместности для уравнений вида (4.1) приведено в разделе 4.2. Примеры Уравнения (4.1) возникают, как преобразования Бэклунда (или преобразования Дарбу, на уровне спектральных задач) для эволюционных цепочек вида (3.7) где обозначено us = u(n + s,t). В качестве примеров, рассматриваются цепочки из предыдущей главы: цепочка Богоявленского B(m) (3.10) и цепочка dSK(1,m) (3.27), определяющая дискретизацию уравнения Савады– Котеры.
Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского было получено в работах [103, 78, 93]; подробное изложение имеется в книге [94] (подход, основанный на дискретизации, сохраняющей гамильтонову структуру); из недавних работ можно отметить [34] (связь с обобщенным QD алгоритмом). В разделе 4.3, это преобразование Бэклунда выписано в виде уравнения типа (4.1), совместного с потенциальной версией цепочки Богоявленского. При этом, переменная n в (4.1) наследуется из цепочки, а i нумерует преобразования Бэклунда. Новым результатом в этом разделе является доказательство совместности с уравнением вида (4.3), что отражает коммутативность преобразований Бэклунда (принцип нелинейной суперпозиции). Это уравнение оказывается m-компонентной редукцией 3-мерного уравнения типа Хироты и служит многокомпонентным обобщением уравнения Qi из ABS-списка [8].
В разделе 4.4 выводится новый пример уравнения вида (4.1), определяющий преобразование Дарбу-Бэклунда для цепочки dSK ). Напомним, что эта цепочка обладает представлением Лакса с оператором L в виде отношения двух разностных операторов. Оказывается, что и преобразование Дарбу имеет похожую структуру. Как и в случае цепочки Богоявленского, принцип нелинейной суперпозиции приводит к совместному m-компонентному уравнению вида (4.3), обобщающему уравнение Н из ABS-списка.
Обозначения и предположения
Точка на многомерной целочисленной решетке будет обозначаться п = (п\,П2, ,п). Последняя координата п считается выделенной, сдвиги Ts : п — n + s по ней обозначаются нижним индексом s и нулевой индекс опускается, как в уравнении (3.7). Для остальных координат рассматриваются только единичные сдвиги ТІ : щ — щ + 1, которые помечаются верхним индексом г. Если заменить в уравнении (4.1) переменную г на щ и перейти к новым обозначениям, то оно примет вид которым мы и будем далее пользоваться. Предполагается, что это уравнение разрешимо относительно каждой из угловых переменных vlm, vl, vm или v, при значениях оставшихся переменных в общем положении1. Таким образом, (4.4) считается эквивалентным уравнению вида чтобы исключить уравнения вида Q = Q Q" = 0, где каждый множитель зависит от неполного набора угловых переменных. Фактически, в рассматриваемых примерах Q является неприводимым многочленом степени 1 по каждому аргументу. Нетрудно видеть, что при этом все перечисленные условия выполняются.
В зависимости от контекста, слово «переменная» используется для функции, заданной на решетке, или для ее значения в отдельном узле. Кроме переменной типа v, для которой областью определения служат узлы целочисленной решетки, рассматриваются также переменные, определенные на ее ребрах. Для переменной, ассоциированной с ребром В обоих примерах, построение преобразования Дарбу (процедура одевания) достаточно стандартно (ср. с подходом Веселова-Шабата в непрерывном случае [104]). Для рассматриваемой разностной спектральной задачи порядка т выбирается частное решение ф при X = а. Для функции / = ф\/ф возникает пара подстановок типа преобразования Миуры где тильда понимается, как сдвиг по второй дискретной переменной. Хотя это уравнение относится к типу (4.4), оно не является 3D-совместным в описанном выше смысле, поскольку переменные / ассоциированы не с вершинами, а с ребрами решетки, и для них следует использовать другое определение, обобщающее понятие отображений Янга-Бакстера, см. напр. [105, 9, 79, 80]. В диссертации, примеры таких отображений уже рассматривались для векторных цепочек из главы 1, см. формулы (1.24) и (1.34). Разумеется, обе версии 3D-совместности, вершинная и реберная, тесно связаны. Оказывается, что уравнения (4.6) допускают введение потенциала (как следствие некоторого закона сохранения) причем на переменную v возникает уравнение вида (4.4), которое уже подпадает под наше определение. Дополнительное m-компонентное квад-уравнение (4.3), выражающее принцип нелинейной суперпозиции преобразований Дарбу, находится из матричного представления.
Отметим, что преобразования Бэклунда, эквивалентные паре преобразований типа Миуры, очень распространены, но не покрывают все случаи. Так, в эту схему не укладывается квад-уравнение Q4 из списка ABS, наиболее общий из известных примеров при т = 1. Это уравнение определяет преобразование Бэклунда для эллиптической цепочки Вольтерра, а также принцип суперпозиции преобразований Бэклунда для уравнения Кричевера–Новикова. Можно ожидать, что аналогичные примеры существуют и при m 1, но они пока неизвестны.
Многомерная совместность Рассмотрим 3-мерную целочисленную решетку (ni,nj, n), на которой определена вещественная переменная v, удовлетворяющая m-квад-урав-нениям по каждой паре дискретных переменных ni,n и nj, n:
Разрешив эти уравнения относительно угловых переменных, можно построить их решения на координатных плоскостях (ni,0,n) и (0,nj,n), с начальными данными v(0, 0, n), v(ni, 0, 0), . . . , v(ni, 0, m - 1), v(0, nj, 0), . . . , v(0, nj, m - 1) общего положения (см. рис. 4.1, где взято m = 2). Чтобы эти решения можно было продолжить на всю 3-мерную решетку, должны выполняться некоторые условия совместности. Выясним, в чем они состоят.
Для удобства, временно отождествим общую точку n на решетке с началом координат (0, 0, 0). Переменные vsi = v(1,0,s), vsj = v(0,1,s) вычисляются по начальным данным из уравнений (4.7). Для нахождения переменных vsi j = v(1,1,s) мы располагаем системой из бесконечного числа уравнений
Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского
Замечание 4.4. Из условия и(п) ф 0 следует, очевидно, что f(n) ф О, /(п) ф а, при всех п. В принципе, это ограничение можно ослабить, но это не приводит к существенным обобщениям, зато требует многочисленных оговорок. Поэтому, мы будем считать, что это условие выполнено и во всех дальнейших формулах.
Соотношения (4.19), (4.21) играют роль преобразований типа Ми-уры для цепочки Богоявленского. Если функция и задана, то любую функцию /, удовлетворяющую уравнению и можно представить в виде / = ф-\/ф, где ф частное решение уравнения (4.18) при Л = а. Так как цепочка (4.13) эквивалентна условию совместности уравнений (4.18) и
В обратную сторону, можно непосредственно проверить, что каждая из подстановок (4.19), (4.21) переводит решение цепочки (4.22) в решение цепочки (4.13). Исключив переменную и, приходим к следующему утверждению. определяет п-часть преобразования Бэклунда для цепочки (4.22), то есть, соотношение, возникающее при дифференцировании этого уравнения в силу (4.22) и аналогичной цепочки для f,a выполняется тождественно в силу самого уравнения.
Иначе говоря, цепочка (4.22) задает высшую непрерывную симметрию для (4.23). Уже одно только наличие такой симметрии позволяет считать уравнение интегрируемым. Однако, как быть с 3D-совмест-ностью? Как отмечалось в вводном разделе 4.1, хотя (4.23) и относится к рассматриваемому типу уравнений (4.4), но переменные / естественно ассоциируются не с вершинами, а с ребрами решетки, поэтому определение 4.1 для них не годится и 3D-совместность следует понимать в смысле отображений Янга-Бакстера. Мы не будем давать еще одно общее определение, поскольку в нашем рассмотрении переменные / играют вспомогательную роль; нужное свойство сформулировано ниже в утверждении 4.6. Для его доказательства удобно перейти к матричному представлению линейной задачи (4.18) и ее преобразования Дарбу (4.20)
Вид этих матриц без труда находится непосредственно из уравнений (4.18), (4.20). При этом, утверждение 4.3 означает в точности, что соотношения (4.19)-(4.21) эквивалентны матричным уравнениям (4.24). Свойство перестановочности двух преобразований Дарбу с матрицами указанного вида
Благодаря специальной структуре матриц, его сравнительно несложно разрешить, и непосредственное вычисление приводит к следующему утверждению. Схема доказательства тождества (4.29), основанная на перефакторизации произведения трех матриц, хорошо известна (см. напр. [17]).
Утверждение 4.6. Пусть матрицы F имеют вид (4-26) и а ф /3, тогда уравнение (4-27), рассматриваемое, как тождество по X, однозначно разрешимо относительно /, д, при значениях /, д общего положения. Полагая / = /№, а = а, д = /(i), /3 = а, получаем т-компонентное отображение
Доказательство. Можно проверить, что уравнение (4.27) однозначно разрешимо также относительно переменных /, д, при заданных д, /. Кроме того, выполняется следующее свойство: если параметры а,/3,7 различны и
Припишем параметры а, /3,7 трем координатным направлениям и рас смотрим перефакторизации матрицы F[h, 7, X]F[g, /3, X]F[f, а, А], отвеча ющие всем перестановкам этих параметров. Благодаря свойству (4.30), каждой перестановке отвечает единственный набор значений f,g,h, ко торые естественно ассоциируются с ребрами куба. При этом, значение на каждом ребре получается двумя возможными способами, что равно сильно свойству (4.29).
Доказательство теоремы 4-2. Из доказанных утверждений следует совместность, на решетке произвольной размерности, уравнений отображения (4.28) и цепочек (4.13), (4.22). Осталось перейти от реберных переменных /W к переменным v в вершинах решетки. Для этого, заметим, что из (4.31) следует мультипликативный закон сохранения
Замечание 4.8. С точки зрения логической простоты, введение потенциала кажется излишним шагом, поскольку переменные, ассоциированные с вершинами решетки, имеются с самого начала — это переменные и, коэффициенты исходной линейной задачи (4.18). Они также удовлетворяют некоторому мультиквад-уравнению, однако, его трудно выписать в общем виде. В отличие от уравнений для /, v или w, оно не является аффинно-линейным по каждой переменной. Например, уже в простейшем случае т = 1 соотношения (4.19) принимают вид Eго можно преобразовать к полиномиальному виду, квадратичному по каждой переменной; общая теория таких уравнений развита в [18]. Аналогично, при т = 2, полиномиальное уравнение на и, степени 3 по каждой переменной, возникает при исключении /,..., /4 из уравнений
Условие совместности UF = F\U в точности эквивалентно соотношениям (4.39). Обратим внимание, что матрица F не зависит от переменной fm, хотя она и входит в матрицы А и В.
Более сложная структура матрицы F является единственным существенным отличием от примера из предыдущего раздела. В остальном, схема доказательства не меняется. Любую функцию /, удовлетворяющую уравнению и = gf/G, можно представить в виде / = фі/ф, где ф частное решение уравнения (4.37) при X = а. Используя уравнение (4.38), получаем отсюда модифицированную цепочку определяет п-часть преобразования Бэклунда для цепочки (4.44), то есть, соотношение, возникающее при дифференцировании этого уравнения в силу (4.44) и аналогичной цепочки для f,a выполняется тождественно в силу самого уравнения.
Замечание 4.12. Интересным свойством уравнения (4.45) является то, что при а = а оно допускает редукцию к уравнению порядка т — 1. Точнее, можно проверить, что оно приводится к виду fT(Q) = fmQ, где Q многочлен, зависящий от /,..., fm-i, /)) fm-i, так что уравнение Q = 0 задает специальное решение уравнения (4.45). При этом, уравнение Q = 0 по прежнему совместно с цепочкой (4.44). В простейшем случае т = 2 возникает квад-уравнение (дискретный аналог уравнения Цицейки)