Интегрируемая комплексификация иерархии уравнения Кортевега - де Вриза Редькина, Татьяна Валентиновна

Введение к работе

Актуальность темы. В диссертации іассмотреньї некоторые вопросы теории [елинейных дифференциальных уравнений в іастньїх производных, развитие которых произошло а последние тридцать лет. Начало этому гаправлению (1965 - 1968 гг.) положили работы іабуского и Краскала , Гарднера, Грина, Миуры" и Іакса . Исследование ими задачи Ферми-Паста-Ллама одномерной ангармонической цепочки в іепрерьівном пределе привело к открытию :олитонных решений, а позднее, к методу обратной адачи рассеяния для решения уравнения Кортевега

де Вриза. В настоящее время теория обратных адач является одним из важнейших разделов еории дифференциальных уравнений с частными іроизводньїми. Этот метод оказался применим к юльшому числу нелинейных уравнений математической физики, связанных с упругими ;мещениями, электромагнитными колебаниями, щффузионными и другими процессами.

¹ Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of "solitons" in' a collisionless ilasma and the recurrence of initial states// Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15.P. 240 243.

Gardner C. S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura K.M. Method for solving he Korteweg - de Vries equation// Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19.P.1095 - 1097. Лаке П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и 'единенные волны//Математика. 1968. Т. 13, N 5. С. 128-150.

В дальнейших исследованиях Лаксом бьи
получено представление уравнения Кортевега-д
Вриза в виде условия коммутации дв>
дифференциальных операторов. Начиная с этс
работы, все схемы построения новы
интегрируемых уравнений, решающиеся методо
обратной задачи рассеяния, основываясь г
некоторых обобщениях коммутационног

уравнения Лакса. В связи с этим особый интере приобретают новые уравнения, обладающи свойством Лакса, над комплексной областью, диссертации рассматривается уравнение, которо является комплексным расширением уравнен* Кортевега-де Вриза и имеющее коммутационно представление Лакса.

В настоящее время особую значимост приобретает нахождение новых классов уравнент которые интегрируются методом обратной задач рассеяния. В работах Богоявленского рассмотрен новая операторная структура, допускающа применение теории обратных задач.

Как правило, все солитонные уравнения обладаю'
замечательным свойством, наличием бесконечнол
набора первых интегралов - законов сохранения
Поэтому построение законов сохранения являете;
существенной частью исследование

дифференциального уравнения.

Наряду с построением бесконечного набора
первых интегралов, важным этапом является
получение точных решений нелинейных
дифференциальных уравнений в частных
производных. Хирота⁴ нашел метод вычисления
многосолитонных решений. Среди ранее
рассмотренных уравнений проблема существования
п-солитонных решений положительно решается для
всех нелинейных уравнений, имеющих

представление Лакса. Следует заметить, что некоторые авторы известных нам публикаций⁵, подчеркивает связь формализма Хироты со свойством Пенлеве. Это свойство было первоначально введено в связи с обыкновенными нелинейными уравнениями второго порядка. Оно означает, что единственным типом сингулярностей, положение которых зависит от начальных данных, являются полюса. Обсуждению этой гипотезы посвящено множество работ. В ряде частных случаев ее удалось обосновать. Однако, в последнее время становится ясно, что свойство Пенлеве не является ни необходимым, ни достаточным для интегрируемости. Контрпримеры можно найти в

⁴ Hirota R. Exact solution of the Kortevveg - de Vries equation for multiple
collisions of soIitons//Phys. Rev. Lett. 1972. V. 27. P. 1192 - 1194.

⁵ Ныоэлл А. Солитоны в математике и физике/ Под ред. А.В. Михайлова. -
М. : Мир. 1989.

работах Фаддеева и Тахтаджяна . В предложенной диссертации изучено свойство Пенлеве и построено односолитонное решение методом Хироты.

Целью работы является исследование комплексных нелинейных дифференциальных уравнений, имеющих представление в виде операторной пары Лакса. Основной целью диссертационной работы было применение метода обратной задачи рассеяния и получение данных рассеяния для комплексификации уравнения Кортевега-де Вриза, а также построение счетного числа первых интегралов.

Методы исследования. Основным методом диссертационной работы является метод обратной задачи рассеяния с помощью которого найдены данные рассеяния для исследуемого нелинейного уравнения. Также используются классические методы математической физики, теории обобщенных функций и теории дифференциального исчисления функций многих переменных.

Научная новизиа.Вработ& получены следующие новые результаты:

1. Теория обратной задачи рассеяния применена к
новому нелинейному дифференциальному

уравнению

⁶ Faddeev L.D., Takhtajan L.A. Piosson structure for the KdV equation//Lett. Math. Phys. 1985. V. 10. P. 183 - 188.

U,=6U_xU + 3(U-U)U_x+^(U~3U)_xxx, (1)

которое является комплексным расширением уравнения Кортевега-де Вриза.

2. Исследована прямая задача рассеяния
четвертого порядка для комплексификации
уравнения Кортевега-де Вриза (1)

d⁴_x-Ud^-d;.U + \U\²\v = X²v. (2)

1. Получена эволюция данных рассеяния для непрерывного и дискретного спектров.

2. Для исследуемого уравнения (1) получено счетное число первых интегралов. Найдена

6. Доказано, что решение изучаемого уравнения не имеет подвижных критических точек. Единственными подвижными особенностями являются полюса, а следовательно уравнение обладает свойством Пенлеве.

7. Методом Хироты построено односолитонное решение для комплексификации уравнения Кортевега-де Вриза. Указана невозможность построения 2-солитонного решения.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит тео^^ический характер. Ее результаты и методы могут бы~^т использованы в работах по исследованию

рекуррентная формула для их вычисления. Показано, что при сужении комплексной функции к вещественной функции законы сохранения уравнения (1) переходят в законы сохранения Кортевега-де Вриза.

5. Для уравнения (1) получено решение в виде бегущей волны, а также в виде:

U(x,t) = 2т]²

нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, имеющих операторное представление Лакса. Результаты диссертации также могут составить содержание специального курса для студентов физико-математического факультета в университете.

Апробация работы. Основные результаты
диссертации докладывались на научной

конференции в Ставропольском государственном университете и на семинаре по математической физике в Московском педагогическом университете им. В.И. Ленина. Содержание полученных результатов полностью опубликовано в статьях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация эстоит из введения, двух глав и списка итированной литературы. Объем диссертации 68 границ, 36 наименований цитированной итературы.