Введение к работе
Актуальность теми. Современный этап развития математической фнзщш характеризуется ростем усилий, направленных на разработку таких кетодов решения краевых задач, которые, а одной сторони, допускает строгое обоснование, а с другой стороны, могут бить эффективно реализованы на 3BU. Данный процеоо активно стимулируется как возросшими потребностями ігрикладной электродинамики, акустики и других практических дисциплин, так и успехами з развитии средств вычислительной техники.
Среди ияогоооразных катодов решения задач математической физики, н, в частности, теории дифракцииі иоано видалить два основных направления: численно-аналитические (полу-вналитическио) п прямые численные катода.
К чнелзнш-аналитичэскш методаїі, применяема в теории дифракции, иогшо отнести, например, метод задачи Евкшш-Гильборта, катод Винера-Хонфэ, кодифадироЕашшй метод шчо-тов, метод интегральных уравнений, итерационный метод Шварца в т.д. Вноокая эффективность данных методов, точность а достоверность получаемых о их помоідьв результатов объясняет то большое внимание, которое уделяется в настоящее' время вопросам их развития и совершенствования.
Достоинствами прямых численных методов ЯВЛЯЕТСЯ их болыдая универсальность, а таккэ простота построения в вапи-сн окончвтелышх алгорит'-ов. Однако практическая реализация прямых методов обычно наталкивается на ощутимые трудности, связанные со сложностью, обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приблажинних раыаний к точному (либо явленным "относительной сходимости") и неустойчивостью (плохой обусловленностью) еоответотвуыцих алгоритмов.
Распространено икание, что указанные недостатісз в той или иной мера присуїни всему классу прямых методов.
Настоящая работа призвана показать, что возможно поетт роение строгих прямых методов, обладавших свойствами вкош-і-
ненциальной сходимости и хорошей оОусловленносги.
Цель работы. Разработка методов ислвдования числа обусловленности систем векторов в банаховых пространствах; исследование фредгольмовости и разрешимости задач о волновод-ннх сочленениях; разработка и обоснование хорошо обусловленного метода расчета волноводов о резкими, неоднородностями.
Методика исследования. При получении результатов настоящей диссертации использовались методы конструктивной теории функций и теории сингулярных уравнений (глава 1), теории обобщенных регэний краевых задач и теории волноводов (главы 2,3). В главе 1 используется и развивается теория обусловленности, применяемая затем в главе 3.
Научная новизна. Результаты диссертации является новыми. Из них можно выделить:
- разработку нового подхода к исследованию числа обус
ловленности системы векторов в банаховых пространствах;
- теоремы о фредгольмовости и разрешимости краевых
задач (в обобщенной постановке) в неограниченных областях с
регулярными выходами на бесконечность;
- разработку и обоснование нового прямого матода (метод
шресекапциі.ся областей) расчета плоских идэальных волново
дов с кусочно-линейной границей, доказательство его экспо
ненциальной сходимости и хорошей обусловленности.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы при исследовании краевых задач теории дифракции в сложных областях, в также при чтении соответствующих спецкурсов. Прямой метод пересекающихся областей, разработанный в диссертации, мозшт успешно применяться при численном исследовании задач .-'^возникавших в гндровкустако, электродинамике в других прикладных дисциплинах, изучайдах волноводные процессы.
Апробация работы. Результаты дасозртвции докладывались на научном семинаре кафедры алгебры и дискретной мет&катикк Роотовского университета (руководитель - Й.Е.Симайанкб), Ks 4-й Региональной иколе-сэминарэ "Математические матода прик-
ладной акустики'' (Одесса, октябрь 1989 г.), на Всесоганой конференции но теории приближения функций (Днепропетровск,
ИШЬ І990 г.).
Публикации. По теме диссертации опубліковано шесть работ, список которых приввднтея в конце автореферата.
Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 46 наименований. Объем диссертации - 87 страниц машинописного текста.