Характеристика подвижных особых точек решений системы трех дифференциальных уравнений первого порядка Мельникова, Инна Николаевна

Введение к работе

Актуальность темы. Первые исследования по' аналитической теории дифференциальных уравнений были начаты О.Коши и его учениками Врио и Буке. Коши доказал основополагающее утверждение о существовании и единственности голоморфного решения дифференциального уравнения, а его ученики сформулировали основную задачу теории дифференциальных уравнений.

Еще Пенлеве в его стокгольмских лекциях было замечено, что особенно усложняет изучение дифференциальных уравнений наличие у их решений подвижных существенно особых точек. В связи с этим в аналитической теории дифференциальных уравнений развивалось и остается актуальным до сих пор направление, где отыскиваются классы уравнений и систем уравнений, допускающих решения с подвижными алгебраическими и трансцендентными особыми точками, но не имеющих решений с подеижными существенно особыми точками. В настоящее время в этом направлении достаточно широко рассмотрены уравнения и системы не выше второго порядка с мероморфными относительно искомых функций правыми частями. С повышением порядка дифференциальных уравнений и их систем существенно возрастают трудности их исследования. Уже нелинейные уравнения третьего порядка могут иметь решения с подвижными особыми линиями. Возможно этим и объясняется тот факт, что общих результатов по выделению классов уравнений и систем порядка п (п> 3), решения которых свободны от подвижных существенно особых точек, пока нет.

Исследования в указанном направлении для систем вида

dx, _ф„х_г,х₃,г)^ ₍₁₎

dz <2,0і,*2>*3>²)'

где Р-, ,Qt (і =1,2,3) - функции целые рациональные относительно Xj, х₂,х₃ и однозначные аналитические в некоторой области D относи-

2 тельно z, были начаты Дежурко Ю.И. и Кондратенеи С.Г. Ими бьш рассмотрен ряд задач об отсутствии у системы (1) решений

x_t=m (1=1,2,3) (2)

с одной и двумя неопределенными компонентами. Однако эти исследования остались незавершенными.

Актуальность вышеуказанной проблемы, недостаточный уровень её разработки и предопределили выбор темы диссертации.

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Работа является составной частью госбюджетной НИР ГР №19942034, выполняемой кафедрой математического анализа согласно Республиканской комплексной программе важнейших исследований по теме '"Дифференциально-интегральные соответствия и их приложения".

Целью диссертации является выяснение степени сложности возможных особых точек решений систем трех дифференциальных уравнений первого порядка и выделение классов этих систем, решение которых не имеют в области D подвижных существенно особых точек второго класса.

Научная новизна работы.

1. Методом, основанным на использовании теорем о существовании и единственности голоморфного решения, на современной теории предельных множеств, получены условия алгеброидности особых точек решений с бесконечными значениями компонент для системы вида (1), определен вид этих решений.

2. Найдены новые достаточные условия отсутствия у системы (1) решений, компоненты которых при приближении к особой точке

не имеют определенного предела.

3. Определено понятие обыкновенной точки системы (1) для случая бесконечно удаленной точки, указаны неподвижные точки системы (1).

4. Впервые найдены достаточно широкие классы систем трех дифференциальных уравнений, решения которых не имеют подвижных существенно особых точек второго класса.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты об отсутствии у решений системы (1) подвижных существенно особых точек позволяют дать аналитическую характеристику этих решений по характеру сложности их особых точек, указать условия существования и отсутствия у их компонент подвижных особых точек, найти у этих систем все решения с определенными предельными значениями всех компонент. Это может быть использовано не только в аналитической теории, но и в качественной теории дифференциальных уравнений, в вычислительной математике, в математической и теоретической физике, в теории нелинейных колебаний и других науках, где используются дифференциальные уравнения третьего порядка или системы трех дифференциальных уравнений первого порядка.

Экономическая значимость полученных результатов. Выполненная работа имеет теоретическое значение. Экономический эффект от использования полученных результатов на данном этапе не определен.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Достаточные условия существования у систем вида (1) решений с заданными предельными свойствами.

2. Достаточные условия отсутствия у систем трех дифференциальных уравнений вида (1) решений, компоненты которых не имеют при приближении к особой точке определенного лредела, конечного или бесконечного.

3.Классы систем вида (1), не имеющих решений с подвижными существенно особыми точками второго класса.

Личный вклад. Содержание диссертации отражает личный вклад автора в проведенных исследованиях. Научный руководитель С.Г.Кондратеня поставил задачу исследований, оказал неоценимую помощь на всех этапах работы, принимал активное участие в обсуждении результатов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных сессиях профессорско-преподавательского состава Белорусского государственного педуниверситета, Белорусского госуни-

верситета и Брестского госуниверситета, а также на следующих Всесоюзных и республиканских конференциях и семинарах: Межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (г. Минск, 1990, 1994, 1996), юбилейной научно-технической конференции (г. Брест, 1991), конференции. Математиков Беларуси (г. Гродно, 1992), межвузовской научной конференции "Дифференциально-интегральные соответствия" (г. Минск, 1993), Республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики (г.Минск, 1995), математической конференции "Еругинские чтения" (г. Гродно, 1995, г.Брест, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и списка литературы. Она содержит 95 страниц. Библиография насчитывает 58 наименований.