Характеристические кольца Ли интегрируемых дифференциально-разностных уравнений Сакиева, Альфия Ураловна

Введение к работе

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию интегрируемых дифференциально-разностных уравнений вида

d d

-j-t(n + 1,ж) = f(x,t(n, x),t(n + 1,ж), —t(n,x)). (1)

Здесь t = t(n, x) - искомая функция дискретного переменного п и непрерывного переменного х. Предполагается, что функция / = f(x,t,ti,t_x) является локально аналитической, и^не равна нулю тождественно.

Уравнения и системы уравнений вида (1) встречаются в конформной теории поля¹ и других разделах физики. Последовательное применение преобразования Бэклунда к интегрируемому уравнению в частных производных порождает дифференциально-разностные уравнения вида (I)². Отметим, что в знаменитом эксперименте Ферми-Паста-Улама, предшествовавшем открытию солитона, также исследовалась динамическая система, описываемая дифференциально-разностным уравнением.

В научной литературе существует несколько подходов к определению интегрируемости. В данной работе под интегрируемостью мы понимаем интегрируемость по Дарбу. Напомним, что уравнение в частных производных гиперболического типа

и_ху = f(x,y,u,u_x,u_y) (2)

называется интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные ж-интеграл и п-интеграл.

Определение 0.1. Функция W(x,y,u,Uy,u_yy,... ,d^ku/dy^k) называется х-интегралом порядка к для уравнения (2), если D_XW = 0 и

Wdk_u/dyk ^ 0.

^.Inoue, K.Hikami, The lattice Toda field theory for simple Lie algebras: Hamiltonian structure and t-function, Nuclear Physics В 581 [PM] (2000)761-775.

²A. P. Veselov and A. B. Shabat, Dressing chains and the spectral theory of the Schrodinger operator, Functional Analysis and Its Applications, 1993, 27:2, 81-96.

D. Levi, Nonlinear differential difference equations as BEacklund transformations, J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098.

Определение 0.2. Функция W(x, у, и, и_х,и_хх,... , д^ти/дх^т) называется у-интегралом порядка т для уравнения (2) если D_yW = 0 и

^д^ти/дх^т Ф О-

Здесь D_x и D_y - операторы полного дифференцирования по переменным х и у соответственно.

Наиболее известный пример уравнения гиперболического типа, интегрируемого по Дарбу, - уравнение Лиувилля и_ху = е^м, интегралами которого являются функции W = и_уу — 0.5и_у² и W = и_хх — 0.51². Гиперболические уравнения занимают важное место в теории интегрируемости. Эффективным методом изучения этих уравнений является подход, основанный на понятии так называемого характеристического кольца.

Понятие характеристического кольца Ли впервые появилось в работе Гурса³, где оно было использовано для решения задачи классификации уравнений гиперболического типа, имеющих нетривиальные интегралы по обоим направлениям. В современном контексте теории интегрируемости понятие характеристического кольца было переоткрыто в работах А.Б.Шабата, Р.И.Ямилова, А.Н.Лезнова, В.Г.Смирнова⁴. Это направление получило дальнейшее развитие в работах А.В.Жибера, Ф.Х.Мукминова, Р.Д.Муртазиной, А.А. Бормисова, Е.С. Гудковой⁵.

Позже было введено понятие характеристического кольца Ли для дифференциально-разностных и полностью разностных уравнений,что позволило провести классификацию дифференциально-разностных уравнений

³Goursat Е. Recherches sur quelques equations aux derivees partielles du second ordre, Annales de la faculte des Sciences de I'Universite de Toulouse 2^e serie, tome 1, n 1 (1899) p.31-78.

⁴Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа.-1981.-23 с,

Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика.-1982.-T.51.-N. 1.-С.10-22

⁵А.А. Бормисов, Е.С. Гудкова, Ф.Х. Мукминов, Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати//Теорет. и мат. физика, 1997, т. 113, N. 2, с. 261-275.

Жибер А.В., Мукминов Ф.X.Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры II Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа:БНЦ УрО АН СССР.-1991.-С.14-32

Жибер А.В., Муртазина Р.Д.О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ.-2006.-Т.7.-М. 2.-С.131-136

вида t\_x = t_x + d(t,ti) имеющих интегралы по обоим направлениям⁶.

Целью работы является исследование класса уравнений вида (1) с помощью характеристических колец Ли.

Методы исследования. В работе применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Структура интегралов для гиперболических уравнений в частных производных была исследована в работах А.В.Жибера, а для дифференциально-разностных уравнений эта задача решена в диссертации.

2. Необходимое и достаточное условие существования нетривиального n-интеграла дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа в терминах характеристических алгебр Ли было известно ранее, для х-интеграла это условие доказано в диссертации.

3. Известны различные способы дискретизации интегрируемых уравнений: с помощью преобразования Бэклунда, метод дискретизации Хироты-Кимуры и др., которые имеют свои области применимости. В диссертации разработан метод дискретизации с сохранением интегралов, который эффективен в случае интегрируемых по Дарбу гиперболических уравнений.

4. Полное описание базиса характеристической алгебры уравнения синус-Гордон было получено А.В. Жибером и Ф.Х. Мукминовым в 1991г. Для уравнения Цицейки эта задача решена в диссертации

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут иметь применения в исследовании интегрируемости нелинейных уравнений и систем гиперболического типа и их дискретных аналогов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и об-

⁶I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan, On the classification of Darboux integrable chains, Journal of Math. Phys., 49, Issue: 10, 102702 (2008)

суждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и
смежные вопросы посвященная 110-летию со дня рождения И.Г. Петров
ского (Москва, 2011).

2. VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова (Уфа, 2011).

3. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании "(Уфа, 2011).

4. Международная конференция "Спектральная теория операторов
и ее приложения посвященная памяти профессора А.Г.Костюченко (Уфа,
2011).

5. Семинар по дифференциальным уравнениям математической физики ИМВЦ УНЦ РАН под руководством Л.А.Калякина и В.Ю.Новокшенова (Уфа, 2011).

6. Семинар по динамическим системам ИМВЦ УНЦ РАН под руководством проф. А.В.Михайлова, проф. А.В.Жибера, проф. И.Т.Хабибуллина (Уфа, 2010, 2011, 2012)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, из них статьи [1]-[4] опубликованы в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 64 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц.