Граничные задачи для систем уравнений со старшими частными производными Созонтова Елена Александровна

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Тема предлагаемой диссертации относится к одному из направлений теории уравнений со старшими (доминирующими) частными производными. В случае одной неизвестной функции структура таких уравнений в их линейном варианте имеет вид

^д*і ад?» 'дхі\...м^п (1)

где х = (жі,...,ж_п), m = mi + ...+m_n, jfe = (k_h ..., к_п), \k\ = h + ... + ft_n, m_s, ft_s, s = l,n - целые неотрицательные числа, m > 1.

При m_s = 1, (s = Ї7п) уравнение (1) носит имя Л. Бианки, который одновременно с О. Николетти еще в 1895 году предложил распространить на указанное уравнение метод решения задачи Коши, разработанный ранее Б. Ри-маном для уравнения

0_ху + ав_х + ЬВу + св = /. (2)

В связи со сказанным появление уравнений вида (1) является естественным моментом на пути теоретических обобщений.

После Л. Бианки и О. Николетти уравнения вида (1) с различных точек зрения исследовали в своих работах ряд зарубежных математиков: H. Bateman, D. Colton, A. Corduneanu, S. Easwaran, E. Holmgren, H. Hornich, E. Lahaye, D. Mangeron, M.N. Oguztoreli, V. Radochova, M. Stecher, W. Rundell. В том числе начали публиковаться результаты, относящиеся к уравнениям с кратными производными (т_к > 1), названные Д. Колтоном псевдопараболическими. В нашей стране начало исследованию уравнений вида (1) было положено в работах М. К. Фаге и С. С. Ахиева. Постепенно обнаруживались прикладные аспекты обсуждаемых уравнений, связанные с явлениями вибрации и фильтрации, передачи тепла в гетерогенных средах, с моделированием биологических и оптимальных процессов, с изучением ситуаций, приводящих к постановке обратных задач и др.

Начали появляться группы математиков, ведущих систематические исследования в данной области. Одна из них сложилась в Казани (В. И. Жега-лов, В. А. Севастьянов, Е. А. Уткина, А.Н. Миронов и др.). Участниками этой группы предложено развитие метода Римана, позволившее построить решения задач Гурса и Коши для самого общего уравнения вида (1), изучены постановки новых задач, например, с нормальными производными в граничных условиях, интенсивный характер приобрел поиск новых возможностей решения рассматриваемых задач в квадратурах и т.д. В основном изучались задачи с одной искомой функцией, системы дифференциальных уравнений изучены значительно меньше.

В предлагаемой диссертации рассматриваются характеристические задачи Гурса и некоторые их видоизменения для системы уравнений

дх_х 1 ... дх_п^гп J^[ k^Jm, ^3V" ^Jn дх_г³¹ ...дхг?^п (3)

kjs

Здесь х = (ж_ь...,ж_п), m_i = m_il + ... + m_in, к₃ = % + ... + %„, m_s, k_s, s = Хп - целые неотрицательные числа.

Частные случаи этой системы с различных точек зрения изучались многими авторами. Только для т_г = 1 (i = їгс) можно указать работы Э. Хольм-грена, А. В. Бицадзе, Т. В. Чекмарева, О. М. Теута, И. Е. Плещинской, В. И. Же-галова, Н.Х.Х Зомота. Так, А. В. Бицадзе при п = 2 были исследованы задачи Коши и Гурса, получены формулы интегрального представления решения этих задач, позволяющие установить их структурные свойства. В работах Н.Х.Х. Зомота исследована характеристическая задача, являющаяся обобщением задачи Гурса. В. И. Жегаловым для той же системы изучена задача с нормальными производными первого порядка в граничных условиях.

В работах А. В. Бицадзе также были изложены решения задачи Коши и Гурса для системы (3) при ті = 2, т^ = тпі₂ = 1 (і = 1,п), полученные методом Римана. Та же система с точки зрения обобщения метода каскадного интегрирования на случай гиперболических систем уравнений рассматривалась С. Я. Старцевым. Аналогичная система (но с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа) изучалась А. В. Жибером, Ю. Г. Михайловой. Для систем с

кратными доминирующими частными производными Л.Б. Мироновой был разработан векторно-матричный аналог метода Римана, изучены задачи Коши и Гурса, а также поставлен ряд новых характеристических задач и исследован характер их разрешимости (например, в R² задачи с граничными значениями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника). Частные случаи системы (3) более высокого порядка рассматривались, например, А.А. Андреевым, Ю.О. Яковлевой, О.М. Джохадзе.

Цели и задачи диссертационной работы. Исследование вопросов разрешимости ранее не изученных характеристических задач для систем уравнений со старшими частными производными и возможности применения полученных результатов к решению в явном виде систем уравнений Вольтерра с частными интегралами.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными (методы Римана, каскадного интегрирования и факторизации), а также методы теории интегральных уравнений.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории систем со старшими частными производными.

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказаны существование и единственность решения задачи Гурса для общего случая системы (3).

2. С помощью методов каскадного интегрирования и факторизации получены условия, обеспечивающие разрешимость задачи Гурса в квадратурах для системы (3) при различных m, n.

3. Сформулированы отличающиеся от задачи Гурса характеристические задачи для системы (3) и исследованы вопросы их разрешимости.

4. Полученные результаты применены к исследованию разрешимости в явном виде систем уравнений Вольтерра с частными интегралами.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты дис-

сертации по мере их получения докладывались автором – на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета,

– на Х международной научной школе-конференции “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (Казань, 2011 г.),

– на семинаре кафедры ФАиП под руководством академика РАН Е. И. Моисеева (Москва, МГУ, 2014 г.),

– на международной научной конференции “АМАДЕ–2015” (Минск, 2015 г.), – на проводимых в КФУ молодежных научных конференциях “Лобачевские чтения” (2015, 2016 гг.),

– на семинаре кафедры уравнений математической физики ФГАОУ ВО “Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева” (руководитель семинара: д.ф.-м.н., профессор Л.С. Пулькина, Самара, 2017 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] – [20], из них восемь статей [1] – [8] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК, статьи [2], [3], [5], [6], [7] входят в международные базы данных Web of Science, Scopus. Работы [3], [7] выполнены в соавторстве с В.И. Жега-ловым, которому принадлежат постановка задачи и рекомендации общего характера, связанные с применяемыми методами исследования.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 116 страниц и состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов, заключения и списка литературы из 86 наименований.