Введение к работе
Актуальность работы. Одним из важных вопросов теории дифференциальных уравнений с частными производными является исследование граничных задач для различных классов уравнений, в частности для уравнений неклассического (составного) типа. Предлагаемая диссертация посвящена постановке п исследованию общих граничных задач для неклассическнх (составных) систем уравнений с частными производными первого порядка в плоских ограниченных областях и изучению характера разрешимости ряда граничных задач для многомерных неклассических систем уравнений первого и второго порядка. Дифференциальные уравнения с частными производными, имеющие в каждой точке рассматриваемой области наряду с комплексными характеристиками действительные характеристики, получили название уравнения составного типа. Краевые задачи для таких уравнений изучены разными авторами (Ж.Адамар, О.Сестранд, Р.Девис, А.В.Бицадзе, М.С.Салахитдинов, Т.Д.Джураев, Г.И.Эскнн, В.Ы.Врагов, А.И.Кожанов и др.).
Развитие теории неклассическнх (составных) систем уравнений берет сзое начало в 60-е годы XX века работами таджикского математика А.Джураева, где были впервые поставлены и исследованы граничные задачи для систем уравнений первого порядка составного типа с двумя независимыми переменными. В его книге «Системы уравнений составного типа» (М.: Наука, 1972) был разработан метод сингулярных ннтегро-функциональных уравнений, с помощью которого была построена теория нормальной разрешимости и вычислены индексы задач через их коэффициенты. Дальнейшие исследования по граничным задачам для систем составного типа с двумя независимыми переменными проводились в работах Л.Вольферсдорфа, Ц.Видица, Д.Муртазаева, С.Муллоева, А.Сангинова, М.Нурублоева и других авторов. Однако в многомерном случае такие системы очень мало изучены, если не считать рассмотрения отдельных систем уравнений в полупространстве, в цилиндрической области, а также отдельных систем для областей типа слоя (А.Джураев, А.Янушаускас, П.Берхин, З.Дубля, А.В.Кажнхов и др.). При исследовании многомерных неклассическнх систем возникают новые моменты, вызываемые не только трудностями технического характера. Например, весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных урав-
нений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений по области с краями. Нет до сих пор достаточно общих методов исследования неклассических систем с многими независимыми переменными, вследствие чего рассматриваемые в работах вышеназванных авторов системы имеют частный характер. Далеко от полного завершения также исследование неклассических систем с двумя независимыми переменными. Поэтому представляет интерес исследование неклассических систем уравнений с частными производными первого и второго порядка с многими независимыми переменными и дальнейшее развитие теории граничных задач для неклассических систем уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Цель работы.
-
Постановка и исследование новых и наиболее общих гр личных задач типа задачи Сестранда для систем составного типа с двумя независимыми переменными.
-
Построение пространственных аналогов неклассических (составных) систем уравнений с частными производными первого и второго порядка, обладающих одним и двумя семействами вещественных характеристик и представления общего решения полученных систем. ;
3. Постановка и исследование граничных задач для многомерных
. неклассических систем уравнений первого и второго порядка в
различных (ограниченных и неограниченных) областях размерности три и более. .
4. Изучение характера разрешимости начальной задачи и ряда за
дач без начальных условий для неклассических систем второго
порядка в полупространстве и областях типа слоя.
Методика работы. При исследовании рассматриваемых в диссертации задач в основном используются методы, разработанные в фундаментальных трудах Н.И.Мусхелипшили, И.Н.Векуа, А.В.Би-цадзе, А.Н.Тнхонова,. М.М.Лаврентьева и А.Джураева; принятый в диссертации подход базируется на аналитических и конструктивных методах теории уравнений с частными производными.
Научная новизна. В диссертаций сформулированы смешанная граничная задача и общие задачи типа задачи Сестранда.для не-
.'"Y-U:
классической системы уравнений в плоских ограниченных областях с ляпуновской границей. Такая более общая постановка граничных задач приводится впервые. В ограниченных и неограниченных областях размерности три и более исследован характер разрешимости граничных задач типа задачи Дирихле, Неймана, Римана-Гильберта и начально-краевых задач для неклассических систем уравнений первого порядка и ряд других задач (в том числе начальные, смешанные и задачи без начальных условий) для неклассических систем второго порядка. Указан способ построения широкого класса многомерных аналогов системы А.Д.Джураева и неклассических аналогов системы А.В.Бицадзе, а также предложен метод нахождения представления общего решения рассматриваемых многомерных неклассических систем, позволяющий не только доказать существование решения, но и получить конструктивные формулы для решения исследуемых задач.
Практическая значимость. Работа теоретическая. В ней развиваются исследования, касающиеся сравнительно нового направления теории неклассическнх систем дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты исследования могут быть использованы в изучении задач гидродинамики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных, Всесоюзных и Республиканских конференциях, симпозиумах: на Республиканской научной конференции по уравнениям математической физики (Душанбе, 1983), Республиканской научной конференции, посвященной памяти Т.Собирова (Душанбе, 1990), Республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Куляб, 1991), Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции» (г. Самара, 1992), Всесоюзной школе «Неклассические уравнения математической физики» (г. Новосибирск, 1989). Результаты диссертации обсуждались на семинарах: Института математики и информатики Литовской АН «Дифференциальные уравнения и их применения» (г. Вильнюс, 1989), ИМ СО РАН «Условно-корректные задачи», руководимом акад. Лаврентьевым М.М. (г. Новосибирск, 1995), ИМ СО РАН «Неклассические уравнения математической физики», руководимом проф. Враговым В.Н. (г. Новосибирск, 1995), ИМ СО РАН «Качественная теория уравнения с частными производными», руководимом проф. Т.И.Зеленяком (г. Новосибирск, 1995).
Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в 21 печатной работе автора.
Структура диссертации. Диссертационная работа изложена в 202 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и 22 параграфов. Библиография содержит 70 наименований отечественных и зарубежных источников.