Введение к работе
. і
* :. 3..1 ...- v.t <
І ' ^Актуальность темы. Исследование поведения решений ди$черен-
|^МяШ№^авнений в частных производных в окрестности границы рассматриваемой области является одним из важных и давно изучаемым разделом качественной теории. Одной из первых работ в этом направлении является работа Фету, в которой показано, что ограниченная аналитическая в единичном круге функция имеет почти всюду на границе некасательные граничные значения. Дальнейшее развитие этот результат получил в рвботах 6. и М. Рисе, Р. и Ф. Неванлин-. на, И.И.Привалова, Н.Н.Лузина..
Ф.Рисс и Ж.Ляттлвуд я Р.Пэли находят критерии того, что аналитическая в единичном круге функция имеет предельные значения на границе в метрике Lp . И.Стейном, А.Кальдероном получены также условия существования нетангенпиального предела для решений гвр-моничеокого уравнения.
Условия существования граничных пределов для весьма общих эллиптических уравнений были получены в работах В.И.Горбачук и М.Л.Горбачука, Я.А.Ройтбергв.
В работах В.П.Михайлова и А.К.Гущинв было установлено, что уоловия Рисса и Литтлвудв-Пзли является необходимым и достаточным для существования предела в Ьр на границе области для решения линейного эллиптического уравнения второго порядка в области класса Сг и был исследован вопрос об однозначной разрешимости задачи Дирихле для твкого уравнения, йогда краевое условие понимается в смысле сходимости решения к граничной функции в Lp . Й.М.Петрушко получил подобные результаты для решений эллиптических и пврэболических уравнений второго порядаа в областях с ляпу-йовской границей.
Аналогичные результаты для эллиптических уравнений второго порядка в облвстях с Радоновской границей, получены В.Ю.Шелепо -вым. Ряд результатов о граничных пределах решений гармонического уравнения, получены Бухгольдером и Ганди.
Отметим также иикл работ И.Миэуты и'Б.Х.Куй о существовании некасательных пределов для решений полигармонического уравнения вне множества нулевой бесселевской емкости.
Диссертационная работа посвящена изучению граничных свойств решений эллиптических и параболических уравнений.
Цель работы. Исследование условий существования нетонгенцн-впьныхи Zjj - пределов для линейных параболических уравнений
второго порядка в областях с радоновской границей, а также для решений эллиптических и параболических уравнений высокого порядка.
Общий метод исследования. В работе получил развитие на общие классы параболических и эллиптических уравнений геомвтрикр-аналитический метод Бухгольдера, Ганди исследования поведения гармонической функции вблизи границы; метод Й.Мизуты; различные методы функционального анализа.
Научная новизна. Развивается вналитико-геометрическяй метод
исследования граничного поведения решений вллиптических и парабо-
лическях уравнений. .
Получены условия существование нетвнгенцяалышх и Lt -пределов для решений линейных параболических уравнений второго порядка в областях с радоновской границей.
Попучены условия существования нетангенциальных и Li -пределов для решений эллиптических и параболических уравнений высокого порядка в полупространстве.
» Апробааия работы. Результата работы докладывались на УП и УШ Республиканских конференциях по нелинейным задачам математической физики (1989г., г.Черновом; 1991г., г.Донепк), на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных при Институте математики АН УССР, нв семинарах отделов нелинейного анализа и уравнений математической физики при Институте прикладной математики и механики АН УССР. .
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конпе автореферата.
Об'ьем работы. Диссергапия состоит йэ ввг.-ений* трех глав, списка цитируемой литературы, содержащего^ названий и изложена на143странице машинописного текста.