Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых задач для вырондвюцих-ся дифференциальных уравнений-и дифференциальных уравнепий сиепанкого типа является однии из ваннейшіх разделов теории дифференциальных уравнении в частных производных.
Начало теории уравнений смешанного іипа было полонено изЕеоіаши работами Ф.Тршсома и С.Геллерсгедта. Дальнейшее развита зга теория получила в работах иногих иаіемаїиков, срздл конорых ванное иесю занимают работы Ц.В.Келдыша, А.Е. Бпцэдзе, А.И.Нахушзгз, з.Я.оранкля, Б.Н.Волнодавова, В.Н.Вра-гова Т.П.Кзльйоеоез, Ц.Н.Смирнова,' В.И.Моисеева, М.С.Салахпт-дзнова, С.Алдесзвз и ннсгих других.
Достаточно полная библиография а круг задач для уравнения снепзяЕОГО типа содерзитоя в ііонографлях М.Н.Смарновв "Уравнения свешанного типа" - Н.:Наука, 19?0. 235 о. и Л.В. Бппадзо "Некоторые классы уравнений в частных производных" -И.: Наука, 1981. 4ч-8 о.
ф.Трикоии принадлежит постановка для модельного уравнения сиеизнного типа и решение краевой задачи, известной в наотояцез вреия под названием задачи Трикоыи. А.В.Бицадзе впервые был сформулирован принцип экстремума для задачи Три-коші. Существование сильного решения задачи їрикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае произвольных контуров, ограничивают область в эллиптической часги, исследовалась Т.В.Кадьыеновым и А.Б.Базарбековыы. Вопросы спектра и полноты корневых функций задачи Трикоыи для уравнении смешенного типа второго рода рассматривались в рабоїах В.И.Моиоеева, О. М.Пономарёва, Я.Н.ІІаиедова, С.Е.Кериыкулова. Иавеогно прикладное значение задачи Триноі/и в теории истечения газов из
- h -оonoл Давадя.
Сравниіельно недавно начат исследования гладкости решения краевых 8адач для вырождающихся уравнении в частных производных и,-в частности, гладкости решения задачи Трлкоиа для уравнений смешанного типа. Гладкооїь решения задачи Трикоии дла уравнения Гепдерстедта исследована А.Б.Базарбековым. Эти исследования представляют значительный теоретический и практический интерес.
Цель данной работ. Исследование гладкости решения ц получение необходимого и достаточного условия суадсгвовоши сильного решения задачи Трикоии для одного уравнения сиэшан-ного типа второго рода.
Общая методика исследования. Примененной интегральных преобразовании Меддина, исследование задачи Трикоми сводиюя к исследованию решения сингулярного интегрального уравнения на линии вырождения типа. Откуда получаем гладкость решения изучаемой задачи. Используя свойство единственности решений краевых задач для уравнений смешанного типа, из решения сингулярного интегрального уравнения получаем условие ортогональности. На основании этого условия ортогональности устанавливается критерий сильной разрешимости задачи Трикоыи для уравнения смешанного типа второго рода.
научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:
I. Установлена принадлежность решения задачи їрикоми для одного уравнения сыешанного типа второго рода классу функций I'd ль дера.
Е. Доісааани неооходиаоа и достаточное условие гладкости
- 5 -реоеши этой задачи.
3. Получен критерии существования сильного решения исследуемой задачи.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях других краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, а также в изучении математических вопросов газовой динамики и ряда других процессов механики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и от-.дельш.'є её част докладывались и обсундались на городском научной семинаре "Функциональный анализ и его прилоаения" руководимым член-корреспондешамп Академии наук Республики Казахстан М.Отелбаевым, Г.Е.Кзльмзнсвым, профессором И.С.Смзгу-ловым ( КззГУ ), на семинарах под руководством член-корреспондента Академии наук РК Н.К.Блиева; член-корреспондента АН РК Е.И.Ким» д.ф.-ы.н. С.Н.Харпна и доцента М.О.Орынбасарова; профессоров Д.У.Умбетнанова и И.И.Рахішбердиева ( ИТІШ АН РК ). на Всесоюзной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их спектральные вопросы" ( Алма-Ата ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в работах [ I ] - [ 4 1 . .
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 94 страницах мвшінопионого текста и состоит из введения, где даётся краткое содержание работы, двух глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы.