Содержание к диссертации
Введение
1 Гамильтоновы динамические системы 33
1.1 Уравнения Эйлера-Лагранжа 33
1.2 Уравнения Гамильтона 35
1.3 Градиентные и гамильтоновы системы 36
1.4 Скобки Пуассона и скобки Лагранжа 40
2 Интегральные представления инвариантов конечного порядка 43
2.1 Инварианты Васильева для кос и узлов 43
2.2 Итерированные интегралы и их свойства 51
2.3 Геометрические косы и пути в конфигурационном пространстве 61
2.4 Итерированные интегралы Чена и инварианты Васильева 64
3 Классическая вихревая динамика на плоскости 71
3.1 Уравнения движения вихрей 71
3.2 Основные свойства движения системы п вихрей на плоскости 75
3.3 Относительные переменные в вихревой динамике 77
3.4 Задача двух вихрей на плоскости 80
3.5 Задача трех вихрей на плоскости 82
3.6 Конфигурации трех вихрей на плоскости 84
4 Гамильтоновы системы и инварианты Васильева 87
4.1 Гамильтоновы системы и инварианты Васильева 87
4.2 Проблема распознавания траекторий системы декартовых вихрей на плоскости 100
4.3 Гамильтоновы системы, отвечающие
инвариантам Васильева второго порядка 105
4.4 Разложение инварианта Васильева второго порядка при п = 3 110
4.5 Неподвижность центра завихренности системы трех вихрей на плоскости 115
4.6 Сохраняющиеся коллинеарные конфигурации системы трех вихрей на плоскости 118
4.7 Томсоновские конфигурации системы трех вихрей на плоскости 124
4.8 Задача двух вихрей для инвариантов второго и третьего порядков 132
Литература 135
- Градиентные и гамильтоновы системы
- Итерированные интегралы и их свойства
- Относительные переменные в вихревой динамике
- Неподвижность центра завихренности системы трех вихрей на плоскости
Введение к работе
Актуальность темы. Во многих разделах современной теоретической физики возникают задачи описания аналитических и динамических свойств систем с гамильтонианами, определяемыми итерационными процедурами. Естественной математической базой этих задач являются теория итерированных интегралов Чена.
Одной из первых таких задач, появившихся в гидродинамике, и тем не менее еще полностью не решенной, является проблема описания движения п вихрей на плоскости или на сфере.
Основателями вихревой динамики являются Р.Декарт, Х.Гюйгенс, Иоганн и Даниил Бернулли.
Значительное развитие вихревой динамики относится к середине XIX века. Оно связано с именами Г.Гельмгольца, Г.Кирхгофа, лорда Кельвина, В.Гребли. Ими получены существенно новые результаты в гидродинамике, создана наиболее общая вихревая теория материи.
Г.Гельмгольц1 доказал основные теоремы движения жидкости с неоднозначным потенциалом скоростей. Важнейшим его достижением является теорема, согласно которой вихревые линии вморожены в идеальную жидкость. Эта теорема позволила рассматривать вихревые образования как некоторые материальные объекты, подобные телам в классической механике. Подробный анализ результатов Гельмгольца и приложение теории вихрей к электродинамике и метеорологии содержится в лекциях А.Пуанкаре2.
В 1867 году лордом Кельвином (У. Томсон) была предложена теория вихревых атомов, в которой он дал механическую интерпретацию вихревого движения. Кельвин изучал задачу об устойчивости стационарного вращения системы п точечных вихрей, помещенных в вершины правильного многоугольника. Такие конфигурации вихрей называют томсонов-скими конфигурациями. Он провел опыты с плавающими магнитами во внешнем магнитном поле и выявил ряд закономерностей вихревого движения. Устойчивость системы вложенных друг в друга правильных вихревых многоугольников изучалась ТХХавелоком3.
Г.Кирхгоф изучал вихревую динамику параллельно с Г.Гельмгольцем. В 1876 году он опубликовал работу, в которой вывел общие уравнения
^Тельмгольц, Г. Основы вихревой теории [Текст]/Г.Гельмгольц.-М.-Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2002.-82 с.
2Пуанкаре, А. Теория вихрей [Текст]/А.Пуанкаре.-Ижевск: Изд-во РХД, 2001.-160 с.
3Havelock, Т.Н. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation[Text]/T.H.Havelock//Phil.Mc, 1931.-Ser.7, v. 11, N70.-P.617-633.
движения п точечных вихрей, записал их в гамильтоновой форме4 и показал, что уравнения, определяющие движение вихрей, в отличие от задачи движения небесных тел, имеют первый порядок относительно координат. В этих уравнениях фигурируют параметры, которые Г.Кирхгоф называл циркуляциями, и, в отличие от масс в задачах небесной механики, эти параметры могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Г.Кирхгоф нашел все первые интегралы системы п вихрей. Он предложил эллиптическую модель вихря, которая используется для изучения движений пятен завихренности.
В 1877 В.Гребли в своей диссертации подробно описал движение трех вихрей на плоскости. Эта задача всегда интегрируема независимо от значений интенсивностей вихрей. Система четырех вихрей в общем случае -неинтегрируема. Это было отмечено позднее многими учеными, например, А.Пуанкаре, С.Л.Зиглиным и другими. В.Гребли также рассмотрел случай движения 2п вихрей, обладающих п осями симметрии. Результаты Гребли были независимо переоткрыты и дополнены в работах Е.А.Новикова5'6 и X. Арефа7.
Изучением различных частных случаев движения вихрей с дополнительными симметриями, которые обеспечивают сведение к квадратурам, занимался Д.Н.Горячев8 Некоторые частные решения задачи о движении вихрей, найденные Д.Н.Горячевым, позволили прояснить ситуацию с движением вихрей в общем неинтегрируемом случае.
Современные исследования вихревой динамики принад л ежат В.В.Коз-
4Кирхгоф, Г. Механика [Текст]: лекции по математической физике/Г.Кирхгоф.— М.: АН СССР, 1962.-404 с.
5Новиков, Е.А. Динамика и статистика системы вихрей[Текст]/Е.А.Новиков// ЖЭТФ, 1975.-Т.68, вып.5.-С. 1868-1882.
6Новиков, Е.А. Коллапс вихрей[Текст]/Е.А.Новиков, Ю.Б.Седов// ЖЭТФ, 1979-Т.77, вып.2/8.-С.588-597.
7Aref, Н. Motion of three vortices[Text]/H.Aref//Phys.Fluids, 1988.-v.31,N5.-P.1392-1409.
8Горячев, Д.Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей.[Текст]/Д.Н.Горячев// Москва: Унив. тип., 1898.
лову,9'10 А.В.Борисову,11 И.С.Мамаеву, Х.Арефу,12,13 А.А.Фридману,14 А.А.Килину, С.М.Рамаданову15 и другим. Активно исследуются, например, взаимодействие вихревых цепочек с вихревыми решетками, взаимодействие одиночных вихрей с круговыми цилиндрами, изучается вихревое движение жидкости в ограниченной области и многие другие вопросы. В.В.Козлов совместно с А.В.Борисовым и И.С.Мамаевым показали, что задача вихревого движения с потенциалом Дайсона не является интегрируемой в общем случае. В.А.Богомолов16, А.А.Фридман и П.Я.Полубаринова исследовали уравнения вихреисточников - объектов, являющихся обобщениями вихрей Декарта.
В последнее время к изучению вихревой динамики активно привлекаются топологические методы. А.В.Борисов и И.С.Мамаев предложили Ли-алгебраическую классификацию типов движения трех вихрей и эффективную редукцию системы уравнений, описывающих движения вихрей. М.А.Бергером была высказана идея рассмотрения динамических систем, гамильтониан которых представляет топологический инвариант второго порядка. Приложением топологических инвариантов в магнитной динамике и гидродинамике занимались Г.К.Моффат17,
9Козлов, В.В. Общая теория вихрей [Текст]/В.В.Козлов.-Ижевск: Изд-во Удм. унта, 1998.-238 с.
10Козлов, В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике [Текст]/В. В. Козлов. -Ижевск: Изд-во Удм.ун-та, 1995.-432 с.
пБорисов, А.В. Математические методы динамики вихревых струк-тур[Текст]/А.В.Борисов, И.С.Мамаев.-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-368 с.
12Aref, Н. Point vortex motions with a center of symmetry[Text]/H.Aref//Phys. Fluids, .
13Aref, H. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-demential flows[Text]/H.Aref//Ann. Rev. Fluid Mech., 1983.-V.15.-P.345-389.
14Фридман, А.А., Полубаринова, П.Я. О перемещающихся особенностях плоского движения несжимаемой жидкости. Геофизический сборник.[Текст]/А.А.Фридман, П.Я.Полубаринова// 1928. С. 9Ц23.
15Рамоданов, СМ. Движение кругового цилиндра и п точечных вихрей в идеальной жидкости[Текст]/С.М.Рамоданов// В. Кн.: Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей; под.ред. А.В.Борисова, И.С.Мамаева, М.А.Соколовского.-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-704 с.
16Богомолов, В.А. Движение идеальной жидкости постоянной плотности при наличии стоков[Текст]/В.А.Богомолов// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1976.-N4.-C.21-27.
17Moffat, Н.К. The degree of knottedness of tangled vortex lines[Text]/H.K.Moffat// J.Fluid Mach., 1969.-V.35/1.-P. 117-129.
С.П.Новиков18, П.М.Ахметьев19 и другие.
Проблемы привлечения топологических методов к изучению движения магнитной жидкости и точечных вихрей, а так же выявления топологического смысла понятий и величин исходя из физико-механических соображений, являются одними из центральных задач гидродинамики и математической физики на сегодняшний день.
Цель диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является изучение гамильтоновых систем, описывающих движение точечных вихрей Декарта на плоскости, выявление топологического смысла гамильтониана таких систем, нахождение связи классической задачи о движении декартовых вихрей на плоскости с инвариантами Васильева первого порядка для геометрических кос, обобщение этой классической задачи на случай, когда выбор гамильтониана системы основан на его связи с инвариантами Васильева порядка больше первого, исследование геометрических и динамических свойств решений гамильтоновых систем, нахождение условий, при которых система вихрей образует некоторые устойчивые классические конфигурации.
Научная новизна. Показано, что классический гамильтониан системы вихрей Декарта на плоскости является мнимой частью инварианта Васильева первого порядка для геометрических кос, представленного 1-итерированным интегралом Чена от логарифмических дифференциальных форм, а вещественная часть этого инварианта является многозначным потенциалом системы вихрей на плоскости.
Описан общий способ построения гамильтоновых систем, связанных с инвариантами Васильева произвольного конечного порядка.
Показано, что гамильтонова система, впервые рассмотренная М.А.Бергером20, представляет частный случай гамильтоновой системы, отвечающей инварианту Васильева второго порядка. Указана весовая система, действующая на коэффициенты соответствующих итерированных интегралов, использованная для получения числового инварианта Васильева, приводящая к системе Бергера.
Показано, что произвольный инвариант Васильева второго порядка для геометрических кос из трех нитей можно представить в виде суммы трех инвариантов, один из которых совпадает с интегралом использованным А.М.Бергером для построения соответствующей гамильтоновой
18Новиков, СП. Аналитический обобщенный инвариант Хопфа[Текст]: Многозначные функционалы/С.П.Новиков// УМН, 1984.-N39/5.-C.97-106.
19Akhmet'ev, P.M. A forth-order invariant for magnetic and vortex lines[Text]/P.M.Akhmet'ev, A.Ruzmaikin// J.Geom.Phys., 1995.-V.15.-P.95-101.
20Berger, M.A. Hamiltonian dynamics generated by Vassiliev invariants[Text]/ M.A.Berger// J. Phys. A: Math. Gen., 2001.. 1363-1374.
системы. Для каждого слагаемого в разложении инварианта Васильева второго порядка рассмотрены соответствующие возмущения гамильтониана классической системы трех вихрей на плоскости. Показано, что полученные гамильтоновы системы задают движение, которое можно трактовать как вихревое движение на плоскости. Для каждой такой га-мильтоновой системы установлено сохранение центра завихренности соответствующей системы вихрей и выведены уравнения, действительные корни которых определяют сохраняющиеся коллинеарные конфигурации. В частности, доказано, что уравнение, определяющее коллинеарные конфигурации вихрей, для случая гамильтониана представляющего инвариант Васильева порядка не выше второго с примененной мультипликативной весовой системой, совпадает с уравнением для задачи трех вихрей с классическим гамильтонианом. Доказано существование сохраняющейся томсоновской конфигурации для системы трех вихрей с гамильтонианом, отвечающим инварианту Васильева порядка не выше второго. Доказано, что все сохраняющиеся конфигурации для системы классических точечных вихрей на плоскости сохраняются и для случая, когда гамильтониан представлен полным инвариантом Васильева.
Проанализирована задача двух вихрей для случаев, когда гамильтониан представляет инвариант Васильева второго и третьего порядков, соответственно.
Методы исследования. При формулировке и доказательстве утверждений и теорем использованы дифференциально-геометрические и топологические понятия и методы, а так же методы математического анализа, систематически применяются аппарат итерированных интегралов Чена и инварианты Васильева для геометрических кос.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты исследования могут быть использованы как в математической физике для описания движения жидкости (в том числе и в МГД), так и для динамической интерпретации инвариантов конечных порядков для геометрических кос.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция "Александровские чтения - 2006", посвященная 110-летию со дня рождения Павла Сергеевича Александрова, МГУ, 2006; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2006; Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы - 2007", Воронеж;, 2007; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы - 2007", посвященная памяти И.Г.Петровского, Москва, 2007; Международная конференция "Анализ и особенности", по-
священная 70-летию В.И.Арнольда, Москва, 2007; "Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2008", Воронеж, 2008; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина (1908-1988), Москва, 2008; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008, "Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2010", Воронеж;, 2010, а также обсуждалась на следующих семинарах: семинар "Узлы и теория представлений "под рук.дфмн., профессора В.О.Мантурова, Д.П.Ильютко, И.М.Никонова (МГУ, 2006), научный семинар "Проблемы современной математики "под руководством дфмн., профессора Н.А.Кудряшова (НИЯУ "МИФИ" , 9 октября 2014), семинар по аналитической теории дифференциальных уравнений под рук. дфмн., профессора Ю.С.Ильяшенко (МИАН, 22 октября 2014), семинар под. руководством кфмн., профессора А.Б.Сосинского (МЦНМО Независимый московский университет, 19 декабря 2014) а также на семинаре по геометрии и топологии под руководством дфмн., профессора В.П.Лексина в ГАОУ
впо мгосги.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, состоящих из 22 параграфов, и списка литературы. Объем работы составляет 142 страницы, включая список литературы, содержащий 48 наименований.
Градиентные и гамильтоновы системы
Относительные переменные выраженные через комплексные абсолютные координаты Zk = Хк + л/—1ук, к = 1,2,... ,п имеют вид В работе перечислены основные факты, связанные с решением задачи двух и трех вихрей, имеющие непосредственное отношение к полученным результатам. В частности, приведены условия, при которых система трех вихрей принимает устойчивые коллинеарные конфигурации. Указано уравнение p(z) = (Г! + Г2)г3 - (2Г\ + T2)z2 - (2Г3 + T2)z + Г2 + Г3 = О, вещественные корни которого определяют коллинеарные конфигурации системы трех вихрей на плоскости11.
В четвертой главе рассмотрено представление обобщенных инвариантов Васильева с помощью итерированных интегралов Чена. Указан общий способ построения гамильтоновых систем, отвечающих инвариантам Васильева. Проанализирована задача двух вихрей для случаев, когда гамильтониан, представляют, соответственно, инвариант Васильева второго и третьего порядков. Для каждого вида гамильтониана выписаны уравнения движения, записаны уравнения, определяющие эволюцию квадрата расстояния между вихрями, проанализированы основные случаи для значений интенсивностей вихрей.
Пусть Хп = Сга \ (\Ji jHij) - конфигурационное пространство упорядоченных наборов п попарно различных точек плоскости С, где Н - диагональная гиперплоскость определяемая уравнением , — Zj = 0. Зададим замкнутую 1-форму ш выражением ш = 2 Xij ojij Є Л (ln (Ui j#ij)), i j иБорисов, А.В. Математические методы динамики вихревых структур[Текст]/А.В.Борисов, И.С.Мамаев.-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-368 с. где Л = [Xij : 1 і j n] является алгеброй некоммутирующих полиномов от формальных переменных Х , a Q1(ln(Ui jHij)) - векторное пространство логарифмических дифференциальных 1-форм, порожденное формами
Форма ш определяет формальную связность, которая будет интегрируемой в смысле Фробениуса, если выполнено условие ш Л ш = 0. Это условие эквивалентно следующему набору коммутационных соотношений для коэффициентов связности определяет, универсальные инварианты Васильева порядка не выше п, если форма и удовлетворяет условию интегрируемости ш Л ш = 0.
Универсальность инварианта означает, что любой числовой инвариант Васильева конечного порядка можно получить, применив к универсальному инварианту весовую систему W : Л — С, сохраняющую соотношения, обеспечивающие
Замечание. В конструкции, предложенной Т.Коно, использованы формальные коэффициенты Х . Эти коэффициенты можно интерпретировать, например, как хордовые диаграммы кос. Тогда указанным коммутационным соотношениям будут соответствовать соотношения в алгебре хордовых диаграмм.
Укажем общую схему построения гамильтоновой системы, отвечающую произвольной комплекснозначной аналитической функции F = К + л/—1Н, где К и Н - вещественнозначные функции. Выберем в качестве гамильтониана нашей динамической системы мнимую часть функции F. Производная по времени от координат частиц системы с гамильтонианом Н может быть вычислена как - = {- Н}, с использованием скобки Пуассона в комплексных координатах
При таком подходе к построению гамильтоновой системы, справедлива теорема Теорема 4.1.5. Если гамильтониан системы на плоскости представлен мнимой частью некоторой аналитической функции F(z\,... ,zn), то соответствующая функция потенциала представляет действительную часть этой функции, причем соответствующая градиентная система имеет вид
Применим данный подход для случая, когда выше указанная функция F представляет числовой инвариант Васильева конечного порядка. Рассмотрим числовые инварианты Васильева порядка не выше первого V = W(l -\- I\) =
Каждая константа Гs = $(v;d) является интенсивностью s-ого вихря на плоскости , заданного циркуляцией векторного поля скоростей вдоль замкнутого контура , охватывающего s-ый вихрь, a v - скорость частиц при плоскопараллельном течения жидкости под действием s-oro вихря.
Теорема 4.1.3. Пусть гамильтониан Н является мнимой частью инварианта Васильева первого порядка, представленного 1-итерированным интегралом Чена W(Ii) = Ег 7 ( 2тг / Т I d\n(zi — Zj)\ с весовой системой W(Xij) = TiTj. Тогда динамическая система на конфигурационном пространстве Хп = Сга \ (U jHij), определяемая гамильтонианом Н совпадает, с системой п точечных декартовых вихрей на плоскости.
Важно подчеркнуть, что роль инварианта Васильева первого порядка в динамике вихревого движения не исчерпывается тем, что его мнимая часть представляет классический гамильтониан системы декартовых вихрей на плоскости. Вещественная часть этого инварианта также имеет вполне определенный физический и геометрический смысл.
Итерированные интегралы и их свойства
Отсутствие тривиального соотношения для кос приводит к тому, что инварианты Васильева первого порядка для кос, в отличии от случая узлов, не являются тривиальными. Например, в качестве инварианта Васильева первого порядка для кос можно взять алгебраическую сумму перекрестков косы. Такая функция, построенная по аналогии для узлов, уже не является инвариантом узла, так как первым движением Рейдемейстера значение такой суммы можно сделать произвольным целым числом.
Пусть п Є N U {0}. Выпуклое подмножество в Шп с непустой внутренностью мы будем называть выпуклым множеством размерности п или, если можно обойтись без явного указания размерности, просто выпуклым множеством. Определение 2.2.1. Дифференцируемым пространством называется множество М вместе с семейством отображений выпуклых множеств U в М, называемых планами на М и удовлетворяющих следующим условиям: а. Если a : U — М - план, а V - выпуклое множество и О : V — U - гладкое отображение, то а о в : V — М также является планом. б. Каждое постоянное отображение выпуклого множества в М является планом. в. Если выпуклое множество U покрыть открытыми в U выпуклыми мно жествами Ui, то для того чтобы a : U — М было планом, необходимо и достаточно, чтобы все сужения а\щ являлись планами.
Определение 2.2.2. Гладкой р-формой ш на дифференцируемом пространстве М называется семейство (ша) гладких р-форм, индексированных планами, причем каждая р-форма ша определена на соответствующем плане a : U — М. При этом должно выполняться условие согласованности: если a : U — М -план и О : V — U - гладкое отображение выпуклого множества V в U, тогда
Определение 2.2.3. Пусть М и N - дифференцируемые пространства. Отображение / : М — N назовем гладким, если для каждого плана a : U — М композиция / о a : U — N есть план на N. Гладкое отображение / : М — N индуцирует отображение дифференциальных градуированных алгебр / : A (N) — А (М), которое определяется следующим образом: пусть a : U —ї М - план иш- гладкая форма на N. Определим форму f u на М равенством (f u)a = Ufoa. Тогда отображение / : A (N) — А (М) задается условием ш \— f w.
Введем определение пространства кусочно гладких путей. Определение 2.2.4. Путь 7: [0;1] - Ме пространстве М называется кусочно гладким, если существует разбиение 0 t0 t\ ... tm 1 отрезка [0; 1] такое, что ограничения отображения на интервалы [t,_i;t,] дают, планы на М.
Пространство кусочно гладких путей на дифференцируемом пространстве М допускает естественную структуру дифференцируемого пространства. Множество всех кусочно гладких путей в пространстве М обозначим Р(М). Для множества X и отображения а : X — Р(М) определим надстройку над а, то есть отображение tpa : [0; 1] х X — М такое, что (,) — а()(). Структура дифференциального пространства на Р(М) порождена отображениями а выпуклых множеств U в Р(М) таким, что существует разбиение 0 to t\ ... tm = I отрезка [0; 1],для которого ограничение отображения іра на множества [tj_itj] х U являются планами на М.
Для точки а Є М обозначим Р(М) подмножество множества Р(М), состоящее из тех путей 7 : [0; 1] — М, которые начинаются в фиксированной точке а пространства М, то есть 7(0) = сі. СИМВОЛОМ Па(М) обозначим подмножество множества Р(М), состоящее из таких путей, что х = а, то есть 7(0) = т(1) = а-Другими словами, Па(М) = Р(М). Определение 2.2.5. Пространство Qa(M) называется пространством петель на М.
Будем называть шипом путь вида а = 7 7_1- Вставка шипа в путь /3 означает представление этого пути в виде /3 = /Зі77_1/32- Устранение множителя вида 77-1 соответствует удалению шипа.
Если мы будем рассматривать петли с точностью до вставки или удаления шипов, то нетрудно заметить, что тем самым, мы введем отношение эквивалентности на пространстве петель.
Вставка и удаление шипа Р=РіУ1у Множество классов эквивалентности является топологическим пространством относительно фактор-топологии исходной компактно-открытой топологии на пространстве петель. Обозначим полученное фактор-пространство через
Это пространство является топологической группой относительно операции индуцированной произведением петель в исходном пространстве петель. В частности, произведение классов эквивалентности является ассоциативным, а в терминах петель можно сказать, что произведение петель, рассматриваемых с точностью до монотонной замены координат, является ассоциативной операцией на петлях.
Связная компонента единицы группы Па(М) является нормальным делителем в ней. Фактор-группа по этому нормальному делителю является группой изоморфной фундаментальной группе многообразия Мп.
Можно определить линейное отображение /і : С (М) — А (Р(М)) из комплекса Чена в комплекс Де Рама, которое является гомоморфизмом, градуированных дифференциальных пространств. Этот гомоморфизм играет важную роль в построении инвариантов Васильева конечного порядка для кос и узлов.
Тем самым мы получим дифференциальную форму степени р—q на пространстве путей. Если задано q дифференциальных форм ш\,... ,шд на многообразии М, то можно определить форму ш\ х ... х шд на пространстве Mq выражением ж\ш\ Л ... Л vr o;g, где TTj : Mq — М является проекцией на j-й множитель. Применяя конструкцию, описанную выше, окончательно определим для форм ш\,... , шч на многообразии М дифференциальную форму на пространстве Р {М) формулой
Относительные переменные в вихревой динамике
Далее описанную выше схему мы применим к построению гамильтоновых систем, отвечающих инвариантам Васильева конечного порядка.
Рассмотрим гамильтониан как функцию пути 7 в пространстве Хп из точки a = Oi(0);...; zn(0)) в точку z = (zi(t);...; zn(t)). весовая система, сохраняющая условия интегрируемости связности ш, то есть данная весовая система обращается в нуль на идеале, порожденном коммутаторами [Xij,Xik + Xjk], где і j к.
Свойства динамической системы не изменятся, если ее гамильтониан изменить на постоянную величину, следовательно нулевой уровень энергии можно выбрать произвольно. Поэтому окончательно получаем
Рассмотрим конфигурационное пространство Х2. Этот случай соответствует косе с двумя нитями. Следовательно, мы получаем динамическую систему двух точек, движущихся на плоскости. Обозначив эти точки через Z\ = (х\;у\),
Таким образом, гамильтониан нашей динамической системы совпадает с гамильтонианом системы двухточечных вихрей на плоскости.
Выпишем уравнения Гамильтона для нашей динамической системы. Заметим, что Tszs = dsIi, где точка означает дифференцирование по t, a ds - взятие частной производной по переменной zs. Тогда ViZ\ = д\Іі, где
В общем случае, мы имеем дело с п точками, задаваемыми координатами zs = xs-\-y—lys, на комплексной прямой С. Движение этих точек задается косой, содержащей п нитей. Гамильтониан в этом случае имеет вид
Последнее равенство записано на основании того, что ujij = ujji- Геометрически это означает, что относительное движение точек in j осуществляется по одинаковым траекториям в одном и том же направлении (рис. 12).
Относительно констант Ts заметим, что им можно придать физический смысл. А именно, Ts является интенсивностью s-oro вихря на комплексной прямой С, заданного циркуляцией векторного поля скоростей вдоль замкнутого контура, замкнутый контур, охватывающий s-ый вихрь, a v - скорость частиц при плоскопараллельном течения жидкости под действием s-oro вихря. Уравнения Гамильтона примут вид
Пусть гамильтониан Н является мнимой частью инварианта Васильева первого порядка, представленного 1-итерированным интегралом Чена W(Ii) = Si j 2тг / Г I d\n(zi — Zj) с весовой системой W(Xij) = TiTj. Тогда динамическая система на конфигурационном пространстве Хп = Сп \ (U jHij), определяемая гамильтонианом Н совпадает с системой п точечных декартовых вихрей на плоскости.
Замечание. Каждой весовой системе W, определенной выше, соответствует две системы вихрей, каждая из которых получается из другой одновременной сменой знаков интенсивностей. Действительно, учитывая что
Следовательно, мы имеем два набора интенсивностей ГІД = Г и Г = — ГІ, где і = 1,..., п. Важно подчеркнуть, что роль инварианта Васильева первого порядка в динамике вихревого движения не исчерпывается тем, что его мнимая часть представляет классический гамильтониан системы декартовых вихрей на плоскости. Вещественная часть этого инварианта также имеет вполне определенный физический и геометрический смысл.
Как известно, в классической задаче вихрей на плоскости фигурирует функция потенциала Ф, с помощью которой можно записать уравнения движения вихрей в виде градиентной системы
Нетрудно доказать следующее утверждение Предложение 4.1.4. В классической задаче системы вихрей на плоскости с гамильтонианом, являющимся мнимой частью инварианта Васильева первого порядка, функция потенциала является действительной частью того же инварианта
Если гамильтониан системы п вихрей на плоскости представлен мнимой частью некоторой аналитической функции F(z\,..., zn), то соответствующая функция потенциала представляет действительную часть этой функции, причем соответствующая градиентная система имеет Другими словами, гамильтонову систему, порожденную инвариантом Васильева произвольного конечного порядка, можно записать в градиентном виде введя аналог классической функции потенциала, как действительную часть данного инварианта Васильева.
Способ построения гамильтоновых систем, который мы используем, дает непосредственную возможность описывать соответствующее движение в абсолютных координатах. В соответствии с классическим подходом к изучению динамики точечных вихрей на плоскости, принято рассматривать деформированную скобку Пуассона
Неподвижность центра завихренности системы трех вихрей на плоскости
Одной из центральных задач исследования движения вихрей на плоскости является проблема отыскания сохраняющихся конфигураций, в частности, исследование устойчивости стационарного вращения системы п точечных вихрей, помещенных в вершины правильного гг-угольника. Такие конфигурации получили название томсоновских по имени В.Томпсона (лорд Кельвин), который впервые поставил данную задачу.
Мы будем исследовать случай трех вихрей. Для того чтобы убедиться в существовании томсоновских конфигураций для классической системы трех вихрей, гамильтониан которой связан с инвариантом Васильева первого порядка, достаточно проверить, что вихри помещенные в вершины равностороннего треугольника в каждый момент времени обладают импульсами, направленными по касательной к окружности, описанной около этого фиксированного треугольника. Если интенсивности вихрей равны, то есть 1\ = Г2 = Г3 = Г Є К, то центр завихренности системы вихрей совпадет с началом координат. В этом случае вектор скорости каждого вихря должен быть перпендикулярен радиус-вектору, задающему положение этого вихря. Другими словами, мы получаем следующий набор соотношений для производных от абсолютных координат по времени
Тем самым, мы определили радиус окружности, на которой должны располагаться вихри, чтобы возникла устойчивая томсоновская конфигурация.
Далее рассмотрим вопрос о существовании томсоновских конфигураций для системы трех неклассических вихрей, определяемой гамильтонианом Я = Im W(h + h) = Im W(h) + Im (Є123 + Ф123), который отвечает инварианту Васильева порядка не выше второго. Этот инвариант получен применением к коэффициентам универсального инварианта Васильева порядка не выше второго мультипликативной весовой системы W.
Для доказательства существования томсоновских конфигураций системы трех вихрей будем использовать относительные переменные М\2, M\s и М23, которые являются квадратами взаимных расстояний. Сохраняющиеся томсонов-ские конфигурации будут определяться системой
Таким образом, рассмотренная нами система не классических вихрей также обладает томсоновскими конфигурациями, как и в классическом случае.
Можно поставить вопрос о существовании устойчивых томсоновских и устойчивых коллинеарных конфигураций вихрей для случая гамильтоновой системы, отвечающей полному инварианту Васильева, то есть с гамильтонианом Н = ImW(Ioo), где W(Ioo) = YlkLoW(Ik)- Если рассмотреть мультипликативную весовую систему W, действующую по правилу
Предполагая, что весовая система W является вещественнозначной, то есть W : Л — К, выпишем явный вид гамильтонианов и производных от координат, представляющих, соответственно, инварианты Васильева второго и третьего порядков для случая двух вихрей. В нашем случае есть только одна форма ш12 = о—7 Т z-z из логаРиФмических форм, порождающих инварианты Васильева.
Мы будем использовать известное соотношение для произведения итерированных интегралов, для случая одинаковых дифференциальных форм с коммутирующими коэффициентами ш I UJ = I ш UJ .
Знак Mi2 зависит только от знака In М12. Таким образом, если W(X\2Xi2) О, Гі 0 и Т2 0 и расстояние между двумя вихрями достаточно велико, то есть, г"і21 1, то вихри стремятся сблизиться. Если же вихри слишком сближаются, расстояние между ними начинает увеличиваться. Другими словами, если расстояние между двумя вихрями равно гі2 = 1, то такое положение будет устойчивым.
В случае, если Г і = — Г2, получаем Мї2 = 0. Следовательно, отрезок, соединяющий вихри, не изменяет свою длину. При этом, как и в случае классической системы двух вихрей, он будет двигаться прямолинейно, то есть остается параллельным самому себе. Для инварианта Васильева порядка не выше третьего
Как и в предыдущем случае, в случае интенсивностей Г і = —Гг квадрат взаимного расстояния между вихрями остается неизменным.
Таким образом, мы видим, что, если гамильтониан системы двух не классических вихрей на плоскости, соответствует инварианту Васильева порядка не выше второго или порядка не выше третьего, то решение задачи о движении таких вихрей аналогично решению для классического случая, когда гамильтониан соответствует инварианту Васильева первого порядка.