Функциональные вольтеровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами Сумин, Владимир Иосифович

Введение к работе

В диссертации развивается теория функциональных вольтерровых уравнений применительно к проблемам математической теории оптимального управления распределенными системами.

Актуальность темы. Ключевой результат математической теории оптимального управления - принцип максимума Л.С.Понтрягина, даюший условия оптимальности сосредоточенных систем. За его открытием последовали всевозможные обобщения. Предлагаются общие схемы получения необходимых условий экстремума в абстрактных за-дачак с ограничениями (А.Я.Дубовицкий и А.А.Милютин, Р.В.Гамкре-лидзе и Г.Л.Харатишвили, L.W.Neustadt и др. ^J ). Параллельно создается теория собственно задач оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами (В.Г.Болтянский, А.Г.Бугковский, Ф.П.Васильев, Р.Габасов, А.И.Егоров, Ю .В.Егоров, А.Д.Иоффе, Ф.М. Кириллова, Н.Н.Красовский, А.Б.Куржанский, К.А.Лурье, Ю .С.Осипов, В.И. Плотников, А.И. Пропой, Л.И.Розонозр, Т.К.Сиразетдинов, В.М.Тихомиров, Е.Л.Тонков, В.А.Троидкий, А.Ф.Филиппов, J.L. Lions, J.Warga, L.J.Young и др.). Появляются общие подходы к получению принципа максимума для распределенных систем (Ю .В.Егоров, В.И. Плотников, В.А.Якубович, А.С.Матвеев и др.). Теория оптимизации распределенных систем интенсивно развивается в различных направлениях (С.А.Авдонин, О.В.Васильев, Ф.П.Васильев, А.И.Егоров, СТ. За-валишин, А.В. Кряжимский, А.И.Короткий, В.И.Максимов, А.С. Матвеев, Ю .В.Орлов, Ю .С.Осипов, М.М.Потапов, А.И.Пропой, В.А.Сро-чко, А.В. Фурсиков, В.А.Якубович, V.Barbu, H.O.Fattorini, K.Malanow-ski, J.L. Lions и др.). Диссертация посвящена некоторым аспектам теории оптимального управления распределенными системами, так или иначе связанным с принципом максимума.

Естественным является стремление выделять, по возможности - более широкие, классы распределенных управляемых систем (задач оптимизации) так, чтобы можно было выявить общие закономерности и получить те или иные результаты (условия оптимальности, устойчивости, формулы численных методов и пр.) сразу для всего класса в едином компактном виде. Унификация призвана, с одной стороны, облегчить

'Впоследствии эти схемы постепенно обогащались; с их помощью решались все более сложные задачи оптимального управления (А.В.Дмитрук, А.Я.Дубовицкий, А.А.Милютин, Н.П.Осмоловский я др.).

те или иные построения, а с другой - выявить новые связи и закономерности. Проблема унификации для распределенных систем особенно остра ввиду сложности и большого разнообразия возникающих здесь прикладных задач и теоретических вопросов оптимизации. Для приложений важно, чтобы форма представления получаемых теоретических результатов была не только компактной, но и удобной при использовании в конкретных оптимизационных задачах. Это означает, что проверка условий применимости и переписывание абстрактного, результата для конкретной ситуации не должны, как правило, превращаться в слишком сложную самостоятельную задачу.

Некоторый компромисс между стремлением к общности построений, с одной стороны, и желанием получить результаты в удобной для приложений форме - с другой, достигается, по-видимому, при переходе к описанию управляемых систем на языке функциональных уравнений (говоря по-другому, функционально-операторных уравнений или операторных уравнений в функциональных пространствах)². Так, Дж.Варгой³ предложена довольно общая форма описания управляемых систем с помощью функциональных уравнений в пространствах типа С и L_p, приспособленная к изучению, например, проблемы существования оптимального управления, расширения оптимизационных задач, обобщенных управлений, необходимых условий оптимальности и других вопросов. СА.Чукановым ⁴ на широкий класс функциональных уравнений в пространствах типа С распространена схема Дубовицкого-Милютииа получения принципа максимума. К указанным формам [В], [А] приводят, в частности, различные системы с отклоняющимся аргументом. Ими охватываются и некоторые начально-краевые задачи (н.к.з.) для гиперболических и параболических уравнений с частными производ-

² Отметим, что общая теория функциональных операторов и функциональных (функционально-операторных, функционально-интегральных, функционально-дифференциальных) уравнений, в том числе применительно к теории дифференциальных уравнений и краевых задач, интенсивно развивается как у нас в стране, так и за рубежом (Н.В.Азбелев, А.И.Булгаков, А.Л.Бухгейм, И.Э.Гурьянова, С.А.Гусаренко, Е.С.Жуковский, П.П. Забрейко, А.С.Калитвин, В.Г.Курбатов, В.П.Максимов, А.Д.Мышкис, А.В.Поносов, Л.Ф.Рахматуллина, И.В.-Шрагин, C.Corduneanu, R.C.Grimmer, J.Hale, S.Solomon, M.Viith, J.Warga и др..)

^a[B] Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977.

* [А] Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуханов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.:Наука. 1990.

ными, см. [В], с.265-266; [А], с.169-170. Однако, круг таких н.к.з. относительно узок. Это обусловливает актуальность поиска и изучения других классов функциональных уравнений, охватывающих другие и (более) широкие классы управляемых н.к.з. и адекватных проблемам теории управления и оптимального управления.

Этим требованиям во многом удовлетворяет предложенная автором диссертации форма описания распределенных управляемых систем с помощью функциональных вольтерровых уравнений (ф.в.у.). Функциональные уравнения, о которых идет речь, это уравнения вида

z(t) = f(t, A[z]{t), v{t)), z Є L_p,_m (П), (*)

где t = {t¹,...,?¹} Є П; П - фиксированное ограниченное, измеримое по Лебегу множество в R"; f(t, р, v) : П х R' х R' -> R^m - заданная функция; А[.] : L_p>m(IT) -+ L_?)|(IT) ^s - линейный оператор (л.о.), являющийся "вольтерровым па некоторой системе Т подмножеств основного множества П"; используемое определение вольтерровости (см. ниже) является непосредственным многомерным обобщением известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра ⁶; и(.) : П —> R⁵ - управляющая функция (управление) из некоторого класса V С *_)S допустимых управлений ⁷ . К ф.в.у. типа (*) естественным образом, например с помощью обращения главной части, сводятся самые разнообразные н.к.з. для уравнений с частными производными весьма широкого класса (параболических, гиперболических, иптегро-дифференциальных, с запаздываниями и др.).

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов функциональных вольтерровых уравнений применительно к потребностям теории оптимального управления распределенными системами, а также в решении этими методами ряда вопросов указанной теории (вопросы устойчивости существования глобальных решений (у.с.г.р.) управляемых п.к.з., обоснования численных методов оптимизации, сингулярности распределенных управляемых систем, получения необходимых

⁵ір,т=і_р,т(П) = (і_р(П))^т

«Тихонов А.Н. // Бюлл. МГУ. Секц. А. 1938. Т.1. Вып.8. С.1-25. В том или ином виде понятия вольтеррова оператора и вольтерровой системы использовалось в теории управляемых систем и теории оптимального управления как инструмент и как объект исследования разными авторами (см., напр., [В]). Если иметь в виду распределенные системы, то нужно отметить работы Ю .С.Осипова, А.В.Кряжимского, А.И.Короткого,, В.И.Максимова и др..

з ,

условий оптимальности (н.у.о.), расширения оптимизационных задач и др.).

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории функций действительного переменного, функционально-дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории оптимального управления.

Научная новизна. В диссертации построена теория управляемых ф.в.у. типа (*). Показано, что приведение управляемых н.к.з. к форме (*), предложенной автором диссертации, во многих отношениях выгодно в различных разделах теории оптимального управления распределенными системами. Все результаты диссертации, вошедшие в ее основную часть (главы 1-7), являются новыми.

Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов, как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления 1) при изучении (в частности, при исследовании на устойчивость и сингулярность) конкретных управляемых систем с помощью сведения их обращением главной части к ф.в.у. и 2) при изучении конкретных задач оптимизации распределенных систем с помощью предложенных в диссертации подходов к обоснованию градиентных методов, к изучению особых управлений, к проблеме сингулярности управляемых систем, к получению условий оптимальности, к расширению оптимизационных задач.

Результаты диссертации вошли в монографию ⁸, отчет о НИР ⁹, учебное пособие ¹⁰ и были включены в спецкурсы, читаемые студентам

"Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Монография. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 110 с.

⁹ Теория оптимального управления распределенными системами: субоптимальность, минимизирующие последовательности, численные методы. Отчет О НИР ПО гранту Конкурсного центра при С.-Петербургском университете Госкомитета РФ по высшему образованию (AfS93-l-71-19), Я- госрегистрации 01.9.40006443.1994, 74 с. ^,0Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ. 1986.-87 с.

Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998); на IV,V,VIII,IX весенних воронежских школах "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 1993, 1994, 1997, 1998); на III Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1990);на школе "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995); на школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1992); на IX,XVI Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Челябипск, 1986; Н.Новгород, 1991); на Втором Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993); на 1,11 Международных конференциях "Математические алгоритмы" (Н.Новгород, 1994,1995); на IX коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения" (Н.Новгород, 1992); на Международной научной конферендии "Экстремальные задачи и их приложения" (Н.Новгород, 1992); на VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990); на VII,IX Всесоюзных конференциях "Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск, 1985; Волгоград, 1990); на Международной школе-семинаре по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1989); на III,IV Уральских конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988; Уфа, 1989); на Итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (1976-1989).

По теме диссертации делались доклады на семинаре в ННГУ по оптимальному управлению (рук. проф. В.Й.Плотников, 1979-1988), на Волго-Вятском региональном семинаре по математической физике и оптимальному управлению (рук. проф. С.Ф.Морозов, 1990-1992), на семинаре в Московском государственном университете (рук. проф. Ф.П.Васильев, 1988, 1991), на семинаре в Удмуртском государственном университете (рук. проф. Е.Л.Тонков, 1991), на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (рук. проф. Н.В.Азбелев, 1992), на семинаре в Институте математики и механики УРО РАН (рук. проф. А.В.Кряжимский, 1993).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 31]. Все результаты основной части диссертации (главы

1 - 7) за исключением п.п.1.2.1 - 1.2.7 ^u , целиком принадлежат автору диссертации. Указанные пункты из 1.2 написаны на основе совместных с аспирантом А.В.Черновым работ [30, 31]. При этом все основные формулировки указанных пунктов, за исключением теоремы 1.2.3, принадлежат автору диссертации, а формулировка теоремы 1.2.3 -А.В.Чернову; все доказательства проведены авторами [30, 31] совместно. Из совместных с СФ.Морозовым работ [23 - 27] в диссертацию (4.7) вошла только схема приведения н.к.з. теории переноса к ф.в.у., принадлежащая автору диссертации. Совместные с В.И.Плотниковым работы [28, 29] используются в п.п. 5.3.1 - 5.3.6. В.И.Плотниковым была предложена общая схема вычисления вариаций функционалов оптимизационных задач с помощью линейных интегральных представлений ¹². Обоснование этой схемы для случая функциональных уравнений общего вида (*) было проведено автором диссертации и изложено в совместных работах [28 - 29]. Оно и составляет содержание п.п. 5.3.1 - 5.3.6.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 7 глав, введения, дополнения и списка литературы. Содержание изложено на 346 страницах, включая список литературы из 284 наименований.