Введение к работе
Актуальность темы. Работа связана с получением новых методов исследования дифференциальных уравнений с ухудшающими операторами при различных предположениях на их правые части. К таким уравнениям, в частности, относятся различные типы /равнений с частными производными, некоторые классы интегро-цифференциальных уравнений и др.
В настоящее время известно несколько направлений, изучающих такие уравнения. К ним относится направление Л.В.Ов-:янникова, результаты которого получены для исследования раз-зешимости дифференциальных уравнений, правые части которых зассматриваются в шкалах банаховых пространств; направление, связанное с использованием теории полугрупп} направление, ос-юванное на теории неподвижных точек в К-метрических прост-занствах и ряд других'. Является"актуальным получение результатов, объединяющих все указанные выше направления.
Цель работы. Построить общую схему исследования диффе->енциальных уравнений в банаховых пространствах с ухудшающи-т правыми частями и исследовать возможность использования >сновных результатов теории неподвижных точек в К - метричес-:их пространствах для уравнений второго порядка.
Методика исследования. Предлагаемая схема строится на
існове "классического" представления решений задачи Коши для іифференциальньїх уравнений в банаховых пространствах, правые
части которых являются непрерывными оператор-функциями. Для дифференциальных уравнений с неограниченными правыми частями такое представление для произвольных начальных условий невозможно. Однако, оно возможно для некоторых из них. Основная часть предлагаемой работы связана с описанием тех множеств начальных условий, для которых классическое представление решения задачи Кошн сохраняет силу в случае неограниченных правых частей рассматриваемых дифференциальных уравнений. При этом, для линейных стационарных уравнений получено точное, а для линейных нестационарных- и нелинейных уравнений (при некоторых дополнительных предположениях на правые части уравнений) - достаточно полное описание множеств, на которых решение задачи Коши представимо экспоненциальными формулами (в линейном случае) или в виде предела соответствующих последовательных приближений (в нелинейном случае).
Научная новизна. В работе получены новые аналоги результатов Л.В. Овсянникова - Т. Нисиды теорем существования и единственности для уравнений второго порядка в шкалах банаховых пространств, а также ряд новых результатов, связанных с теорией неподвижных 'точек в К-метрических пространствах и некоторые результаты, объединяющие все указанные выше направления, на основе которых получены простые доказательства основных результатов для уравнений с частными производными.
На защиту выносятся следующие результаты
- теоремы об экспоненциальном представлении решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторами первого и второго порядка при различных предположениях на их пра-
зые части;
новие теоремы о существовании и единственности решети дифференциальных уравнений второго порядка в шкалах бана-совых пространств;
теоремы о свойствах функции Кошн для линейных и нели-іейньїх дифференциальных уравнений первого и второго порядка [.о связи с соответствующими функциями в двойственных прост-іанствах;
Теоретическая и практическая ценность результатов. Ре-
ультаты диссертации могут быть использованы для дальнейших сследований дифференциальных уравнений в шкалах банахову? рортранств в приложении к уравнениям в частных производных ДР-
Апробация работы. Полученные результаты докладывались а научных семинарах кафедры математических методов теории правления Белгосуниверситета (руководитель профессор П.П. абрейко), на научной конференции математиков Белорусн Гродно, .1992), на научной конференции "Понтрягинские тения-4" (Воронеж, 1993).
Публикации. Основные результаты выполненных исследо-эваний представлены в работах [1-4].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве-
зния, двух глав и списка цитированной литературы, включаю-
зго 100 наименований. Объем работы составляет 140 страниц
шинописного текста.