Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Конормальные функции и плотности 10
1.1. Определение конормальных функций и сечений 10
1.2. Операторы поднятия 24
1.3. Операторы опускания 33
Глава 2. Сингулярные интегральные операторы и их свойства . 52
2.1. Классы операторов 52
2.2. Регуляризованный след и его свойства 72
Глава 3. Формулы Лефшеца 89
3.1. Потоки на расслоенных многообразиях 89
3.1.1. Описание потока 89
3.1.2. Операторы Tf о К 91
3.1.3. Регуляризованный след оператора Tf о К 95
3.1.4. Доказательство формулы Лефшеца 96
3.2. Слоение типа Риба 99
3.2.1. Слоение на торе и потоки на нем 99
3.2.2. Аналог формулы Маккина-Зингера 102
3.2.3. Послойно сглаживающие операторы 106
3.2.4. Оператор Tf о К 109
3.2.5. Определяющее семейство, ассоциированное с Tf о К 111
3.2.6. Регуляризованный след коммутатора 114
3.2.7. Оператор ifj(tAp) и его определяющее семейство 120
Заключение 131
Список литературы
- Операторы поднятия
- Операторы опускания
- Регуляризованный след и его свойства
- Доказательство формулы Лефшеца
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Классическая формула Лефшеца была установлена впервые Лефшецом в 1926 году для непрерывного отображения конечномерного компактного топологического многообразия. Эта формула связывает некоторый гомотопический инвариант отображения (число Лефшеца) с его неподвижными точками. В случае, когда М — n-мерное гладкое компактное многообразие, и / : М —> М — гладкое отображение, число Лефшеца отображения / определяется формулой:
п
Ш) = (-i)*tr(r : Н\М) -+ Нк(М)), (1)
где /* — индуцированное отображение на когомологиях де Рама Нк{М) многообразия М. Если произвольная неподвижная точка х Є М отображения / — простая (то есть, ех := sgndet(Id — dfx) Ф 0), то формула Лефшеца имеет вид:
L(f)= Е е- (2)
x:f(x)=x
Из формулы Лефшеца вытекает знаменитая теорема Лефшеца о неподвижной точке: если число Лефшеца отображения / отлично от нуля, то / имеет хотя бы одну неподвижную точку.
Естественно возникает вопрос о формулах Лефшеца для потоков (то есть, для динамических систем с непрерывным временем), которые связывают некоторые инварианты потока с его замкнутыми орбитами. Напомним, что орбитой потока Т = {Tt : X —> X, t Є М.} на многообразии X, проходящей через точку х Є X, называется множество Ох = {Tt(x) Є X : t Є Ш}. Орбита Ох называется замкнутой, если Tt(x) = х для некоторого t = 0 и Ох = {х} (т.е. х не является неподвижной точкой потока). Интерес к таким формулам Лефшеца возник достаточно давно (см., например, работы Фуллера1, Смейла2, Фрида3,4). Оказа-
1 Fuller, F.B. An index of fixed point type for periodic orbits//Amer. J. Math. 89 (1967) 133-148.
2 Smale, S. Differentiable dynamical systems// Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 747-817
3 Fried, D. Homological identities for closed orbits//lnv. Math. 71 (1983) 419-442.
4 Fried, D. Lefschetz formulas for flows// The Lefschetz centennial conference, Part III (Mexico City, 1984),
лось, что доказать такую формулу Лефшеца для произвольного потока нельзя. Как показано Вилсоном5 и Швайцером6, любой поток на замкнутом многообразии размерности > 3, не имеющий неподвижных точек, можно деформировать в классе таких потоков так, что полученный поток не будет иметь замкнутых орбит. Поэтому для вывода формул Лефшеца необходимо накладывать ограничения на исследуемый класс потоков. Одним из классов потоков, для которых формула типа Лефшеца справедлива, является класс потоков Аносова. Роль инварианта, описывающего вклады замкнутых орбит, играет дзета-функция потока, которая была введена Артином-Мазуром7 и Смей лом8. Соответствующие формулы Лефшеца и их обобщения в дальнейшем изучались многими авторами (см., например, Ruelle, Fried, Rugh, Sanchez-Morgado, Deitmar, Juhl).
Другой класс потоков и формула Лефшеца для них были предложены Денингером9 в пленарном докладе на Международном конгрессе математиков в Берлине в 1998 году. Данный класс состоит из потоков на многообразии со слоением, которые сохраняют слоение, то есть, переводят слои слоения в слои. Интерес Денингера к подобным формулам Лефшеца связан с замеченными им аналогиями таких формул с явными формулами следов в теории чисел. Эти аналогии были использованы Денингером при разработке подхода к доказательству гипотезы Римана (по поводу более подробной информации о подходе Де-
Contemp. Math., 58, III, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1987, 19-69.
5 Wilson, F.W. On the minimal sets of non-singular vector fields// Ann. Math. 84 (1966) 529-536.
6 Schweitzer, P. Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations// Ann.
Math. 100 (1971) 386-400.
7 Artin, M., Mazur, B. On periodic points// Ann. Math. 81 (1965) 82-89.
8 Smale, S. Differentiable dynamical systems// Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 747-817
9 Deninger, Ch. Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces//
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. I, 163-186 (electronic).
нингера см.10,11,12 и имеющиеся в них ссылки.). В случае, когда поток не имеет неподвижных точек, формула Лефшеца, предложенная Денингером в качестве гипотезы, была доказана Х.А. Альваресом Лопесом и Ю.А. Кордюковым13.
Пусть X — компактное многообразие размерности п и J7 — гладкое слоение коразмерности один на X. Предположим, что Т = {Tt : X —> X : t Є Ш}
поток на X, сохраняющий слоение J7, орбиты которого трансверсальны слоям слоения. Рассмотрим послойный комплекс де Рама (Q(J-)^dj^)^ задаваемый пространством ^(J7) = Cco{X)KT*J7) гладких послойных дифференциальных форм на X и послойным дифференциалом де Рама dj : ^(J7) —> ^(J7). Пусть д
риманова метрика на X. Обозначим через djr = djr соответствующий послойный кодифференциал де Рама и через Aj- = djbj + bjdj послойный оператор Лапласа. Для любого и = 0,..., п — 1 обозначим через P^"(J") ортогональный проектор в пространстве Ь20,и(Т) на подпространство Ли(Т) = кет Aj- послойных гармонических м-форм. Для любой функции / Є Со(М) определим оператор Tf в пространстве и(Т) по формуле:
/
Т
T;-f(t)dt
где Т/ — оператор в Q(J7), индуцированный диффеоморфизмом Tt. Тогда оператор TfoPyu(jrj является оператором с гладким ядром, что позволяет определить
10 Derringer, Ch. Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces//
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. I,
163-186 (electronic).
11 Deninger, Ch. Analogies between analysis on foliated spaces and arithmetic geometry// Groups and
analysis, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 354, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008, 174-190.
12 Leichtnam, E. An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions// Geometry, spectral theory,
groups, and dynamics, Contemp. Math., 387, Amer. Math. Soc, Providence, PJ, 2005, 201-236.
13 Alvarez Lopez, J., Kordyukov, Yu. A. Distributional Betti numbers of transitive foliations of codimension
one II Foliations: Geometry and Dynamics. (Warsaw, 2000), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2002, 159-183.
функцию Лефшеца L(T)U как обобщенную функцию на К. по формуле:
п—1
<ДТ),/) = ^(-1)^(^ о P%U(JF)), /ЄС0(М). (3)
Теорема 1 (Х.А. Альварес Лопес, Ю.А. Кордюков). В некоторой окрестности О в К. имеет место равенство
ЦТ) = хк(Г) ^
Здесь Xa(^) Є М — эйлерова ^-характеристика слоения J7, введенная Конном, и до Є P'(IR) — дельта-функция в 0.
Напомним, что замкнутая орбита Ох потока Т называется простой, если det(id —dTT(х) : ТХТ* —> ТХТ*) ф 0 для любого периода т. Положим е{т) = sgn det (id -dTT(x) : TXT* -л ТХТ*).
Теорема 2 (Х.А. Альварес Лопес, Ю.А. Кордюков). Если все замкнутые орбиты потока Т просты, то на К. \ {0} имеет место равенство
L(T) = J2r(c)J2
с к^О
где с пробегает множество всех замкнутых орбит потока Т, т(с) обозначает примитивный период орбиты с.
Позднее Денингер15 показал, что, если мы хотим интерпретировать явную формулу следов для дзета-функции Римана как формулу Лефшеца для некоторого потока, сохраняющего слоение, то этот поток обязательно должен иметь неподвижные точки. Поэтому разработка подходов к выводу формул Лефшеца для потоков на многообразиях со слоением, имеющих неподвижные точки, является актуальной и интересной задачей.
14 В работе Х.А. Альвареса Лопеса и Ю.А. Кордюкова функция L(T) обозначается через Xdis(-^) и
называется обобщенной эйлеровой характеристикой слоения Т
15 Derringer, Ch. Number theory and dynamical systems on foliated spaces// Jahresber. Deutsch. Math. -
Verein. 103 (2001), no. 3, 79-100.
Основная проблема здесь заключается в том, что, если поток Т имеет неподвижные точки, то оператор Т/ о Руи^: введенный выше, не является оператором с гладким ядром, и потому его след не определен. Для решения этой проблемы Ю.А. Кордюковым [2] был предложен следующий подход: необходимо построить алгебру интегральных операторов на многообразии X, содержащую операторы вида Т/оР№^, и функционал регуляризованного следа г-Тг на этой алгебре, совпадающий с функционалом следа на операторах с гладким ядром. Ядра операторов из этой алгебры, вообще говоря, могут быть негладкими на некотором подмногообразии, содержащем неподвижные точки потока. Такая конструкция позволит нам определить регулярнзованную функцию Лефшеца по формуле (3), используя функционал г-Тг вместо функционала следа Тг. Явное вычисление регуляризованной функции Лефшеца даст нам формулу типа Лефшеца в данном случае.
Алгебры операторов, ассоциированные с компактным многообразием с отмеченным подмногообразием, строились ранее в работах В.Е. Назайкинского, А.Ю. Савина, Б.Ю. Стернина, В.Е. Шаталова (см., напр.,16,17,18, и имеющиеся в них ссылки) в связи с исследованием краевых задач для эллиптических уравнений на компактном многообразии, для которых граничные условия задаются как на крае многообразия, так и на гладких подмногообразиях (коразмерности > 1), не являющихся краем (задачи подобного типа часто называются задачами Соболева). В частности, было показано, что теория задач Соболева может быть представлена как относительная эллиптическая теория, т.е. эллиптическая теория, ассоциированная с гладким вложением замкнутых многообразий. В дальнейшем относительная эллиптическая теория была распространена на
16 Стернин, Б. Ю., Шаталов, В. Е. Относительная эллиптическая теория и задача Соболева// Матем.
сб., 187, № 11 (1996), 115-144.
17 Nazaikinskii, V. Е., Sternin, В. Yu. Relative elliptic theory// Aspects of boundary problems in analysis
and geometry, Oper. Theory Adv. Appl., 151, Birkhauser, Basel, 2004, 495-560.
18 Стернин, Б. Ю., Савин, А. Ю. Эллиптические трансляторы на многообразиях с многомерными
особенностями// Дифференциальные уравнения, 49, № 4 (2013), 513-527.
случай стратифицированного подмногообразия.
Следует отметить, что алгебры операторов, построенные в цитированных выше работах, по-видимому, не совсем подходят для вывода формул Лефшеца. Представляется более целесообразным использовать методы, разработанные Мельроузом19,20 для исследования вырождающихся эллиптических уравнений на многообразиях с углами, в частности, построить классы сингулярных интегральных операторов и функционал регуляризованного следа, являющиеся аналогами соответствующих объектов, введенных Мельроузом.
Цели и задачи диссертационной работы: Целью данной работы является реализация описанного выше подхода к построению регуляризованнои функции Лефшеца для потоков на многообразии со слоением, сохраняющих слоение и имеющих неподвижные точки, и вывод соответствующих формул Лефшеца.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, теории операторов, функциональном анализе и аналитической теории чисел.
Методология и методы исследования. В диссертации используются методы математического и функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, дифференциальной геометрии. Для построения алгебры сингулярных операторов и функционала регуляризованного следа мы использовали методы работ Мельроуза, в частности, предложенный им геометрический подход к построению и исследованию алгебр сингулярных интегральных операторов (см. 21).
19 Melrose, R. В. Pseudodifferential operators, corners and singular limits// Proceedings of the International
Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990), Math. Soc. Japan, Tokyo, 1991, 217-234.
20 Melrose, R. B. The Atiyah-Patodi-Singer index theorem// Research Notes in Mathematics, 4. А К Peters,
Ltd., Wellesley, MA, 1993.
21 Melrose, R. B. Calculus of conormal distributions on manifolds with corners// Internat. Math. Res.
Положения, выносимые на защиту. В диссертационной работе представлены следующие новые результаты:
-
Построена алгебра сингулярных интегральных операторов на компактном многообразии с отмеченным подмногообразием коразмерности один и функционал регуляризованного следа на этой алгебре; доказана теорема о регуляри-зованном следе коммутатора.
-
Определена регуляризованная функция Лефшеца и доказана формула типа Лефшеца для потока, сохраняющего слоение, на многообразии со слоением, задаваемым слоями расслоения над окружностью.
-
Определены сглаженные регуляризованные функции Лефшеца и доказаны формулы типа МакКина-Зингера для потока, сохраняющего слоение, на двумерном торе, наделенном модельным одномерным слоением, имеющим ровно один компактный слой.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (2009, 2012, 2014, Уфа). Молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения» (2009, 2010, 2011, Казань). Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (2009, Уфа). Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (2011, Москва). Шестая Уфимская международная конференция «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (2011, Уфа). Международная научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» (2014, Уфа). Семинар по дифференциальным уравнениям математической физики (Уфа, ИМ ВЦ УНЦ РАН, 2010, 2011, 2013, 2014).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [1-3]. При этом, статьи [1, 2] опубликованы в российских изданиях перечня ВАК.
Notices 1992, по. 3, 51-61.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы выполнены самостоятельно. В совместных работах [1, 2] научному руководителю Ю. А. Кордюкову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой, а диссертанту - доказательство основных результатов. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Ю. А. Кордюкову за постановку задач, плодотворные обсуждения, помощь в работе над диссертацией и всестороннюю поддержку.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 134 страниц. Библиография включает в себя 31 наименование.
Операторы поднятия
Пусть X — гладкое многообразие размерности п. Подмножество Х С X будем называть стратифицированным подмногообразием многообразия X (коразмерности один), если X представляется в виде объединения конечного числа гладких подмногообразий Х\,Х2 ,ХГ размерности п — 1, которые пересекаются трансверсально. Мы будем предполагать, что подмногообразия Xi,X2,... ,ХГ связны, и будем называть их компонентами стратифицированного подмногообразия Х.
Здесь трансверсальное пересечение следует понимать в следующем смысле. Пусть р Є X . Предположим, что р принадлежит ровно компонентам подмногообразия X , 1. Тогда существует такая локальная система координат к : U С X — М1 х Шп с координатами (ж, х) Є М1 х Шп , определенная в окрестности точки р, что пересечения компонент подмногообразиях0, содержащих точку р, с U задаются уравнениями Xd = 0 для любого d Є {1,.. . ,-}. Любая такая система координат будет называться адаптированной в точке р. Без потери общности, мы можем предполагать, что c(U) = D1XD2, где D\ С №. и D i С WJ — некоторые открытые подмножества. Замечание 1.1.1. Адаптированная в точке р система координат выбрана таким образом, что для любого d Є {1,..., } пересечение Xrj, П U задается уравнением Xd = 0. Мы будем всегда рассматривать регулярные локальные системы координат, то есть, такие системы координат х:[/СІ4 Ш.п, для которые существует система координат к : V С X — Мп, определенная в таком открытом множестве V, что U С V.
Обозначим через Qi множество рациональных чисел, представимых в виде z = -, где р, q Є Z взаимно просты и g нечетно, и через Z+ множество целых неотрицательных чисел.
Определение 1.1.3. Скажем, что на стратифицированном подмногообразии X = Х\ U ... U Хг задано индексное семейство , если любой его компоненте Xj поставлено в соответствие индексное множество (Xj) = Ej,j = l,...,r.
Пусть X — гладкое многообразие и Х = Х\ U... UXr — его стратифицированное подмногообразие. Предположим, что наХ задано индексное семейство = (Е\,.. . ,ЕГ). Определение конормальной функции в точке ро Є X будет дано индукцией по числу компонент подмногообразия Х, содержащих точку
Ро База индукции: = 1. Предположим, что точка ро принадлежит в точности одной компоненте, для определенности, ро Є Хі, ро ( Х U ... U Хг. Зададим адаптированную в точке ро систему координат к : U С X — x(U) = Di х D2 С R х Rn l. Определение 1.1.4. Функция v называется конормальной в точке ро относительно индексного семейства , если существует такая окрестность V С U точки ро, я{У) = (—є,є) х V2, где ЛІ2 С Mn_1, что функция v определена и является гладкой на V \ X , и
Шаг индукции. Пусть 2. Предположим, что определение конормальной функции в точке дано для любого гладкого многообразия Y с отмеченным стратифицированным подмногообразием Y , на котором задано индексное семейство , и для любой точки р\ Є Y при условии, что р\ принадлежит в точности к компонентам подмногообразия У0 при к .
Предположим теперь, что X — гладкое многообразие с отмеченным стратифицированным подмногообразием X , и точка ро Є X , причем ро принадлежит ровно компонентам подмногообразия X . Для определенности будем считать, что ро Є Х\ П . .. П Х( и ро Х(+\ U ... U Хг. Зададим адаптированную в точке Ро систему координат х : U С X — x(U) = D\ х D2 С 1 х Мп такую, что Xj задается уравнением Xj =0.
Рассмотрим многообразие Z = Ш 1 х Шп с координатами (я?2,... , Х, х), где Xj Є М, j = 2, ...,, ж0 Є Мп , наделенное стратифицированным подмногообразием Z0 = {х2 = 0} U ... U {х = 0}. Зададим индексное семейство на Z0 по формуле ({XJ = 0}) = Ej, где j = 2, ...,. Z состоит в точности из {—1)-й компоненты, поэтому понятие конормальности функции в произвольной точке подмногообразия Z определено по предположению индукции. Определение 1.1.5. Функция v называется конормальной в точке ро относительно индексного семейства , если существует такая окрестность V точки ро5 х(У) = (—є,єУ х V2, где V i С Шп , что функция v определена и является гладкой на V \ X , и
Определение 1.1.6. Функция v называется конормальной функцией на многообразии X со стратифицированным подмногообразием X относительно индексного семейства , если она является гладкой на X \ X и конормальной в каждой точке ро Є Х относительно индексного семейства .
Класс конормальных функций на многообразии X с отмеченным стратифицированным подмногообразием X относительно индексного семейства будем обозначать Aph (Х,Х).
Замечание 1.1.7. Скажем, тройка (X,X }ро) удовлетворяет условию U1, если X — гладкое компактное многообразие размерности п, Х = Х\ U.. . UXr — его стратифицированное подмногообразие и точка ро Є Х, причем ро принадлежит ровно компонентам подмногообразия Х. Для определенности будем считать, что ро Є Х\ П ... П Хі и р0 . Xi+i U ... U Хг.
Замечание 1.1.8. Легко проверить, что определение конормальной функции не зависит от выбора адаптированной системы координат.
Сформулируем несколько важных замечаний относительно сложения и объединения индексных множеств и семейств.
Замечание 1.1.9. Пусть Е\ Е2 — индексные множества такие, как в определении 1.1.2. Тогда индексное множество Е\ U Е2 содержит все пары (z\,qi) Є Е\ и все пары (z2}q2) Є Е2. А индексное множество Е\ + Е2 содержит все пары (z,q), такие что z = z\ + z2, q = q\ + q2, где (zi,qi) Є E\ и (z2, q2) Є E2.
Пусть S\ = (E\ ... , y), S2 = (f,..., E%) — индексные семейства, заданные на подмногообразии Х. Тогда \ U 2 = {Е\ U Ef, ..., U Е%) и El + E2 = {E\+El...,Elr+E2r). Для индексного множества Е положим inf Е := inf{z : (z,q) Є Е}. Если — индексное семейство на стратифицированном подмногообразии X = Х\ U ... U Хг многообразия X, то положим inf Е = inf mi(Xj). Лемма 1.1.10. Пусть функции и Є AJh(X,X), v Є A h(X,X). Тогда: + А% (х, х% uve А; (X, Х). Доказательство. Пусть тройка (Х,Х,ро) удовлетворяет условию U1 (см. замечание 1.1.7). В окрестности точки ро зададим произвольную адаптированную систему координат с координатами (ж, х) Є D\ х D2 С Ж1 х Жп 1. Доказательство леммы проведем индукцией по числу — компонент подмногообразия X , содержащих точку ро.
Операторы опускания
Доказательство. Пусть X — гладкое компактное многообразие с выделенным подмногообразием Х коразмерности 1. Предположим, что на X задана рима-нова метрика дх, и нормальное расслоение подмногообразиях тривиально.
Мы введем растянутое произведение Х , которое получается из X х X раздутием подмногообразия Х х Х С X х X. Прежде всего, напомним, что нормальное расслоение над подмногообразием Х х Х имеет вид Х(Х х Х) = Т(Х х Х)/Т(Х х Х) . Заметим, что rankX(X xl) = 2. Проективизацией расслоения N(X х Х) называется такое расслоение P(N(X х X0)) над Х х Х, что его слой в точке р Є Х х Х состоит из одномерных линейных подпространств в
Доказательство. Для доказательства необходимо задать топологию на множестве V(N(X х X0)) и на этом же множестве описать атлас. Точка (,v) Є V(Np(X x X0)), где p = (3 , 2) Є x определяется заданием направляющего вектора е прямой V{) и координатой t точки v, но неоднозначно. Действительно:
Для однозначного задания отождествим данные точки. Таким образом, точки множества V(Np(X х X0)) можно записать в виде: (e,)/Z2. Обозначим: V(Np(x х X0)) = V, V0 = {(,0) : О Є V()}. Зададим топологию на V при помощи задания базы окрестности точки следующим образом: U(e0}t0) = {(e,t) : е-е0 Єї, \t0\ є2}. Далее построим атлас. По определению нормального расслоения имеем: NP(X х Х) = ТР(Х2)/ТР(Х х Х). Возьмем точку р = {р\)р2) Є Х х Х. В окрестностях UPl и UP2 точек Pi и р2 зададим адаптированные локальные системы координат с координатами (x\,Xi) Glx Wn l и ( 2, 2) G їх Wn l соответственно. Любой элемент пространства Тр{Х х X) представляется в виде: д д д д V\ . Ь Wi— . + V2 h 27Г-7) , ОХ\ ОХ[ ОХ2 ОХ\ где (fi,ifi) Є К. х Mn_1, ( 2, 2) Є М х М.п 1. Любому элементу пространства Np(X х X ) можно единственным образом поставить в соответствие вектор вида VIQ - + 2 г- Є Тр(Х х Х), где (v\, v2) Є Ш2. Это соответствие определяет локальную систему координат к : Dn 1 х Dn 1 х М? — Rn х Rn на NP(X х Х) с координатами ( , 0, 1, 2) Введем отображение /3N : V(N(X xl))4 N(X х Х) по формуле:
Поэтому локальная система координат к определяет систему координат на V(N(X х X0)) \ Vo. При таком выборе атласа ограничение /Здг на V \ Vo является диффеоморфизмом.
Далее построим карты вблизи Vo Определим локальную систему координат на множестве всех пар (,v) Є V(Np(X х X0)), таких что прямая не параллельна прямым v\ = 0 и г 2 = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (x,s), где х = V\, s = -, где w Є — некоторая точка, такая что w Ф" 0. Легко видеть, что s не зависит от выбора w. В частности, если v ф1 0, то х = V\, s = -.
Определим локальную систему координат на множестве всех пар {(, v) Є V(Np(X х X0))}, где прямая не параллельна прямым v\ = 0 и v\ + V2 = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (Х,т), где X = г і, т = Wl W2; где w Є — некоторая точка, такая что w 7 0. Легко видеть, что г не зависит от выбора w. В частности, если v ф1 0, то X = г і, г = 2. Определим локальную систему координат на множестве всех пар {(, v) Є V(Np(X х X0))}, где прямая не параллельна прямым V2 = 0 и v\ + V2 = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (т2, Х \ где Г2 = Wl W2; Д = " 2, где w Є — некоторая точка, такая что w 7 0. Легко видеть, что т не зависит от выбора w. В частности, если v Ф" 0, то Т2 = 2, А = 2 Легко проверить, что функции перехода являются гладкими функциями.
Следовательно, множество V(N(X х X0)) имеет структуру гладкого многооб разия. Пусть дххХ — такая риманова метрика на X х X, которая совпадает с метрикой дх на множестве ТХ х {0} и на множестве {0} х ТХ, которые являются подмножествами ТХ х ТХ = Т(Х х X). Более того множества ТХ х {0} и {0} х ТХ — взаимно ортогональны.
Рассмотрим нормальное расслоение Х(Х х Х х Х) = Т(Х х X х Х)/Т(Х х Х х Х) над подмногообразием Х х Х х Х ранга 3. Проективиза-цией расслоения Х(Х х Х х Х) называется расслоение P(N(X х Х х X0)) над Х х Х х Х, слой которого в точке р Є Х х Х х Х состоит из одномерных линейных подпространств в Np(X х Х х Х). Зададим множество:
Поэтому локальная система координат к определяет систему координат на V(N(X х Х х X0)) \ VQ. При таком выборе атласа ограничение 7ж на V \ VQ является диффеоморфизмом.
Далее построим карты вблизи Vo Определим локальную систему координат на множестве всех пар (,v) Є V(Np(X х Х х X0)), таких что прямая не параллельна плоскостям v\ = 0, V i = 0 и г з = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (x,s,t), где ж = г 1, s = —, = —, где w Є — некоторая точка, такая что w = 0. Легко видеть, что s и t не зависят от выбора w. В частности, если v j 0, то х = г і, s= vi t=v-±.
Определим локальную систему координат на множестве всех пар {(, v) Є V(NP(X х Х х X0))}, где прямая не параллельна плоскостям г і = 0, г з = 0 и V\ + V i = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (X,r,ti), где X = v\, т = 2, t\ = , где и; Є — некоторая точка, такая что w 0. Легко видеть, что г и i не зависят от выбора w. В частности, если v j 0, то
Определим локальную систему координат на множестве всех пар {(, v) Є У(Л ,(Х0 х Х х X0))}, где прямая не параллельна плоскостям v\ = 0, V2 = 0 и г і + "Уз = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (A"I,SI,TI), где Х\ = v\, S\ = , т\ = К3, где и; Є — некоторая точка, такая что w = 0. Легко видеть, что Т\ и S\ не зависят от выбора w. В частности, если -и j 0, то Определим локальную систему координат на множестве всех пар {(, v) Є V(Np(X x X x X0))}, где прямая не параллельна плоскостям V2 = 0, v% = 0 и -ui + г 2 = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (т2, 2, 2), где т"2 = 7 2; 2 = 2) S2 = f, где и; Є — некоторая точка, такая что w = 0. Легко видеть, что Т2 и S2 не зависят от выбора w. В частности, если -и j 0, то
Определим локальную систему координат на множестве всех пар {(, v) Є У(Л ,(Х0 хХхХ0))}, где прямая не параллельна плоскостям v\ = 0, 1+ 2 = 0, и V\ + г з = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (А тз з), где Лз = V\, Г3 = 2, з = ZX+w где w Є — некоторая точка, такая что и; т 0. Легко видеть, что Тз и з не зависят от выбора w. В частности, если v 7 0, то
Определим локальную систему координат на множестве всех пар {(, v) Є V(Np(X хХхХ0))}, где прямая не параллельна плоскостям V2 = 0, г і+г 2 = 0, и г»2 + г з = 0. Поставим в соответствие паре (,v) набор чисел (т4, Л , ), где r4 = 1Г+ 2 Л4 = 2, 4 = 2 3, где w Є — некоторая точка, такая что w ф 0.
Регуляризованный след и его свойства
Пусть К — послойно сглаживающий оператор с ядром к Є С{Х х Х,(Е) g) V5 (g) V5). Пусть Ti l{U) С X = F x U — тривиализация расслоения 7Г над некоторым открытым множеством U С S1. Зафиксируем гладкую положительную плотность \dx\ на F. Тогда к можно записать в виде: к = k{x\,x\,y)\dx\\ \dx\\ , x\,x\ F, у є U. Определим гладкую послойную плотность кх на TT 1(U) = F х U по формуле кх = tTk(x,x0,y)\dx\, х Є F, у Є U. Легко видеть, что это определение корректно определяет гладкую послойную плотность кх Є С(Х, V) на X, то есть оно не зависит от выбора плотности \dx \ и тривиализации расслоения 7Г.
Пусть V Є Ql(X \ Х) — такая дифференциальная 1-форма на X, что V (V) = 1 и У (Ж) = 0 для любого W Є V. Она определяет трансверсальную плотность \V \ Є С0О(Х\Х} TX/V). Произведение послойной плотности кх Є С(Х, V) и трансверсальной плотности \V \ Є С0О(Х\Х} TX/V) корректно определено как плотность kx\V \ Є С(Х \ Х, \ТХ\) на X \ Х.
Теорема 3.1.3. Предположим, что поток Т удовлетворяет условиям (Р1), (Р2), (РЗ). Тогда kx\V \ является гладкой относительной плотностью на многообразии X с выделенным подмногообразием Х и имеет место формула
Доказательство. Пусть к Є С(Х хп Х,С(Е) S \V\ S \V\ ) — ядро послойно сглаж;ивающего оператора К. Используя подходящее покрытие окруж;ности S1 и подчиненное ему разбиение единицы, можно свести доказательство к случаю, когда носитель ядра к содержится в множестве ТГ (U), где U С S — интервал, содержащий единственную точку OLJ при некотором j. Выберем тривиализацию 7i l(U) С X = F х U расслоения 7Г над U. Запишем векторное поле V в виде (3.1). Тогда У = dy и
Прежде всего, мы дадим описание различных объектов, ассоциированных со слоением J-, задаваемым слоями расслоения 7Г : X — S . Напомним, что слоем TpJ- расслоения TJ- в точке р Є X является касательное пространство к слою, проходящему через точку р. В данном случае расслоение ТТ совпадает с вертикальным подрасслоением V касательного расслоения ТХ.
Произвольный элемент пространства QU(J-) послойных дифференциальных м-форм на многообразии X можно представлять как семейство ш = {оо(у) Є Qu(Fy) : у Є S1}, где uj{y) — дифференциальная форма на слое Fy, гладко зависящая от у. Другими словами, можно сказать, что ш Є C(S , f ) — гладкое сечение бесконечномерного расслоения QF, слой которого в точке у есть пространство Qu(Fy) гладких дифференциальных м-форм на Fy.
Множества уровня субмерсии р определяют слоение J- на многообразии М2, слои которого имеют вид Lv = {p(y,z) = v} с v Є К. Для любых (&,) Є Z2 отображение R{k/) : К2 К2, (у, z) ь- {у + 2ft, z + ) отображает Lv в L _iy,vee. Поэтому слоение J- определяет слоение J- на двумерном торе X = M2/(2Z х Z). Заметим, что все слои слоения J- некомпактны, кроме слоя LQ = {(у, z) Є X : у = 1}, соответствующего г = 0. Зафиксируем стандартную риманову метрику д = dy2 + dz2 на X.
Как правило, мы будем работать с многообразием X = (M/2Z) хК, которое является накрытием над X, и соответствующим поднятием J7 слоения J7 на X. Определим расслоенную систему координат на (X,J-) с координатами (u,v): u = z] v = ezcos (J-y) , (3/,2) Є (0,2) xMcl, (3.10) а также расслоенную систему координат на (X, J7) с координатами (мо,"Уо): щ = уо] v0 = ez cos (уо) , (2/0, 0) Є (-1,1) xfcl (3.11) Введенные таким образом системы координат образуют атлас слоения (X, J-). Мы будем отождествлять функции на X с функциями на X, удовлетворяющими условию f(y,z + l) = f(y,z) для любых у Є M/2Z, zGK. Формулы (3.10) определяют диффеоморфизм г\) из X = (0, 2) х К. с X на S = {(u,v) Є М2 : — еи v еи}. В координатах (u,v) условие периодичности функции / записывается в виде f(u + 1, ev) = f(u, v) для любого (и, v) Є S.
Поскольку В является гладкой функцией в 0, легко видеть, что существует такое aGf, что B(v) = av для любого v Є Ш. Отсюда следует, что инфините-зимальный генератор потока на X, удовлетворяющего условию (Р1), касается компактного слоя LQ. Более того, если поток Т удовлетворяет условиям (Р1), (Р2), (РЗ), то а т 0 и поток имеет хотя бы одну неподвижную точку, которая обязательно принадлежит LQ.
Записывая векторное поле V в координатах (y,z), можно показать, что оно является гладким на X тогда и только тогда, когда функция
Ограничение потока Т на LQ задается уравнением і = A(z, 0). Легко проверить, что окруж;ность у = 0 является периодической траекторией с периодом т = -. В дальнейшем мы будем рассматривать некоторое комплексное векторное расслоение Е на X. Мы будем предполагать, что Е тривиально как векторное расслоение, то есть, Е = X х CN при некотором N. Мы будем также предполагать, что на Е задан поток Т , который накрывает поток Т на X, причем индуцированное этим потоком отображение Tt (у, z) : Е у — Ещу ) в слоях расслоения Е линейно. Обозначим через Tt оператор в пространстве С(Х, Е), индуцированный потоком Т:
В этом разделе мы введем сглаженную регуляризованную функцию Леф-шеца и сформулируем основные результаты раздела 3.2.
Мы начнем с общей постановки. Пусть (X, J-) — произвольное п-мерное компактное многообразие со слоением коразмерности 1 и Т — поток на X, удовлетворяющий условиям (PI), (Р2), (РЗ). Обозначим черезХ подмногообразие многообразия X, состоящее из слоев, содержащих неподвижные точки потока. Зафиксируем произвольную риманову метрику наХ.
Обозначим через Л множество функций ф : К. — С, которые продолжаются до целых функций на всей комплексной плоскости, причем для любого компактного подмножества К С Ж. множество функций х ь- ф(х + іу); у Є К ограничено в пространстве Шварца S M).
Доказательство формулы Лефшеца
Аналогично можно показать, что т-Тт(Тдт о К2 о Tf о К\) — rr(i 2 Tf о К\). Следовательно, при т — оо левая часть формулы (3.30) стремится к левой части формулы (3.29). Тем самым, формула (3.29) доказана. Обозначим через Т\ (соотв. Т\ ) оператор, действующий в пространстве Q(J-) (соотв. Q1 )) по формуле (3.14). Согласно предложению 3.2.6 формула (3.16) принимает вид: Оператор ip(tA p) и его определяющее семейство В этом разделе мы дадим описание оператора ifj(t A -) как послойно сглаживающего оператора и вычислим определяющее семейство, ассоциированное с данным оператором.
Прежде всего, мы дадим описание различных объектов, ассоциированных со слоением J-. Будем рассматривать координатную окрестность X = (0, 2)х1 с координатами (у, z) или с расслоенными координатами (u,v), задаваемыми формулами (3.10). Тогда касательное пространство TJ- к J- порождается вектором -, определяемым по формуле (3.12). Послойный дифференциал де Рама djr : и(Т) — и1(Т) имеет вид:
Проекция (Уі z) ь- z отождествляет пересечение слоя Lv с координатной окрестностью (0, 2) хШ с дизъюнктным объединением двух копий полуоси (In г , +оо). Поэтому имеет место разложение L2{LV) L2(M, y/G{u,v)du) 0 L2(M, y/G{u,v)du). Как и выше, пусть ф — такая гладкая функция на Ш, что функция ф(х) = ф(х ) принадлежит классу Л. Тогда можно определить оператор ф( Ау) как ограниченный оператор в пространстве L (Lv) для любого v Є [0, оо) и оператор ф( Ар) как ограниченный оператор в пространстве L2(X) (см. [20, 21]).
Как показано в [21], если преобразование Фурье функции ф(х) = ф{х2) финитно (заметим, что по теореме Пэли-Винера такая функция ф принадлежит классу 4), то для любого t 0 существует такая постоянная С, что K (t,Zi,Z2,v) = 0 для всех (z\,Z2,v) таких, что d{z\1z2) С. Поэтому, в этом случае оператор ф(іА р) является послойно сглаживающим оператором с ядром не является финитной функцией, поэтому предложение 3.2.8 непосредственно не применимо. Выражение, стоящее в правой части формулы (3.40), непрерывно зависит от ф в топологии пространства Шварца и может служить в качестве определения функции rrs C\ j в случае, когда ф не удовлетворяет условиям предложения 3.2.8, в частности, когда ф{х) = е". Другими словами, как в [11, 21], мы может взять произвольную последовательность функций фп Є С(М) таких, что для любого п преобразование Фурье функции фп(х) = фп(х ) финитно и фп сходится к е в топологии пространства Шварца и положить по определению rrs Btj = Нігіи оо rrs Cf J.
Тем самым, доказательство теоремы 3.2.1 сводится к вычислению инте +00 , гралов вида J tr(T\- о ф{1)г — X))dX, приведенному в предложении 3.2.9. Ис — 00 пользование результатов предложения 3.2.9 немедленно позволяет вычислить выражение, стоящее в правой части формулы (3.41), и завершить доказательство теоремы 3.2.1. Рассмотрим произвольное векторное расслоение х CN, наделенное потоком, задаваемым отображением ft(l, z) : %{Иг\ \z- Для любой функ Q\ -. 1_ ции / Є Co(IR) определен оператор Т, в пространстве L2(Sl,E S Щч) по формуле (3.25). Предложение 3.2.9. Для любой функции ф Є Л справедлива формула: tr(Tf1 Ao0(JDz-A))rfA = 1 - Е / (-) [ е- - Мф (z - Z(-, 1, z) + n) trr (l, z)dz
Первая глава диссертационной работы носит вспомогательный характер. В ней мы ввели некоторые понятия и установили некоторые факты, необходимые для построения алгебры сингулярных интегральных операторов на многообразии с отмеченным подмногообразием. Результаты первой главы опубликованы в [22, 24-26].
Во второй главе диссертационной работы мы привели конструкции алгебры сингулярных интегральных операторов на компактном многообразии с отмеченным подмногообразием коразмерности один и функционала регуляризо-ванного следа на этой алгебре, а также доказали теорему о регуляризованном следе коммутатора. Эти объекты являются аналогами соответствующих объектов, введенных ранее Мельроузом для многообразий с углами. Результаты второй главы опубликованы в [22, 27-29].
В третьей главе диссертационной работы мы изучили формулы Лефшеца для потоков с неподвижными точками на многообразиях со слоением. Мы рассмотрели два случая: первый случай — это слоение, задаваемого слоями расслоения над окружностью. Второй случай — это простейший модельный случай нетривиального слоения (рассматривается слоение типа Риба на двумерном торе). В этом случае мы имеем только один компактный слой. Все остальные слои некомпактны и наматываются на него. Вывод явной формулы типа Лефшеца является достаточно сложной задачей. В данной работе пока только сделан первый шаг: получена формула для производной по t сглаженной регуляризован-ной функции Лефшеца L (аналог формулы МакКина-Зингера). Следующим естественным шагом является исследование асимптоического поведения функции Lf при t — 0 и при t — оо, что является достаточно непростой задачей, для решения которой, по-видимому, необходима другая методология. Результаты третьей главы опубликованы в [23, 30, 31].