Введение к работе
Актуальность темы исследования
Диссертационная работа посвящена исследований коррект- (
ности по Тихонову задач для уравнений параболического типа с t
данными на врелгениподобкых многообразиях, а также исследова-г
нив корректности по Тихонову задач для уравнений параболичес-т
кого и гиперболического типов с данными на дискретних мно- і
жествах точек. ,
В последнее время возрос интерес к этим задачам в связи ( с тем, что они возникают при решений некоторых прикладных ( проблем.
Теореда единственности для уравнения параболического ти-j
іа второго порядка с данными на времешшодобких мкогообраза- ,
їх были доказаны С. Мизохатой, М. Проттерок, Е. Холшгреном,
і для уравнения с одной пространственной переменной теорема |
}динственности ранее была доказана Е.М. Ландисом, ,
Вопрос устойчивости решения уравнения параболического ,
?ипа с данными на времениподобных многообразиях долгое время t
)ставался открытым. Эта проблема решена в диссертации. При ,
)том доказаны новые теоремы единствености, которые вытека- і
зт из полученной оценки устойчивости. I
По терминологии М.1.Ї, Лаврентьева, внутренним задачами і
іазнваготся задачи продолжения решений уравнений (или систем |
'равнений) с частнши производными с множеств, лежащих внут-і
га области регулярности. Классическими внутренними задачам і
гвляются задачи аналитического продолжения, і
Внутренние задачи для эллиптических уравнений были рас- ;
мотрены в работах О. Джона, 1.1.М. Лаврентьева, К. Пуччи, і
.П. Шишатского й А. Абдукаримова. і
Исследование корректности по Тихонову внутренних задач і
ля уравнения параболического и гиперболического типов, а і
менно, доказательство единственности и получение оценок ус- і
ойчивости решения задач для этих уравнений с данными на .
искретшх множествах точек проведено в работах 1.1.М. Лав- ;
ентьева и автора данной работы. <
К внутренним задачам для дифференциальных уравнений' л
приводят задачи продолжения физических полей, прогноза по- і
годи и др. Поэтому исследование внутренних задач для урав- I
нений математической физики является одной из актуальных і
задач в теории дифференциальных уравнений. і
Актуальной проблемой является также сведение задач для I
уравнения параболического и гиперболического типов с дан- '
ними на дискретных множествах точек к задаче нахождения ре- і
шения обобщенного уравнения Коши-Рамана с постоянными и пе- і
ременными коэффициентами. і
Цель работы работы заключается в доказательстве теорем единственности и получении оценок устойчивости решений урав-< нений параболического типа с данными да времениподобных мно-і гообразиях, а также уравнений параболического и гиперболи- і ческого типов с данными на дискретных множествах точек. .
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность !
Все основные результаты диссертации новые, в полной мере научно обоснованны и оформлены'в виде строгих математичес ских доказательств.В диссертации впервые подучена оценка устойчивости решения параболического уравнения в зависимости от максимума модулей данных- Коши и их внутренних производных в предположении, что решение задачи существует в некоторой области (X, I) и ограничено в ней вместе со своими производными. Полученная априорная оценка решения имеет гельдеровокмй тип.
Доказанная наш оценка позволяет устанавливать новые теоремы единственности для решений параболических уравнений.
В последнее время возрос интерес к внутренним задачам для-дифференциальных уравнений. В работе впорвие предлагается метод доказательств теорем единственности, и получения оценок устойчивости решений уравнений параболического и гиперболического типов, когда данные задаются на дискретном множестве точек. Такие задача имеют широкое .применениев метеорологии, геологии и геофизике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Boeccn-jKLx и Республиканских конференциях, симпозиумах и їіікол'-'.ч-"и;>,инарах; Всесоюзная скола-семинах) по теории нскор-
рентных задач и'её приложениям'(Ростов-Великий, 1973г., Новосибирск, IS77г., Бишкек, 1979г., Ноорус ЭССР, 1981г., Новосибирск, 1982г., Самарканд, 1983г., Саратов, 1985г., Красноярск, 1986г., Алма-Ата, 1989г., Новосибирск, 1992г.), Бсесоюзная конференция по неклассическим задачам уравнений математической физики (Новосибирск, І98Г/.), советско-итальянский симпозиум по обратным задачам (Самарканд, 1990г.), Международная конференция по некорректно поставленным задачам в естественных науках (Москва, август 1991г.), ІУ республиканская конференция математиков Белоруссии (Минск,1975г.) республиканская конференция математиков Узбекистана (Ургенч, 1974г., Самарканд, 1977г.). Областная научно-теоретическая конференция молодых ученых и специалистов (Самарканд, 1976г) республиканская конференция молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы в области общественных, естественных и технических наук" (Ташкент, 1978г.).
Результаты диссертационной работы обсуждались на следующих семинарах: семинар по методам решения некорректных задач Института прикладной математики РАН им.' M.D. Келдыша (профессор В.Л, Арсенин), семинар кафедры высшей математики Московского инженерно-физического Института (профессор А.И. Прилепко), семинар по теории некорректных задач (член-корреспондент РАН В.К. Иванов, механико-математический фа- культет УрГУ), Объединенный семинар Института математики СО РАН (член-корреспсндент РАН В.Г, Романов), расширенный семинар "Большие задачи математической физики" ВЦ СО РАН и кафедри вычислительной математики НГУ (член-корр. РАН А.Н. Коновалов), расширенный семинар кафедры теории функций НГУ (академик РАН M.U. Лаврентьев), на распшренном заседании кафедры высшей математики факультета прикладной математики Сам ГУ,
Публикации. Основпыэ результаты ,диссертации опубликова-і
да в 18 работах, I
Структура диссертации. Диссертационная работа на Т76 I страницах, состоит из предисловия, введения, четырех глав, і содержащих 12 параграфов, библиографии из 156 наименований I отечественных и иностранных источников.