Содержание к диссертации
Введение
1. Оценка решений нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка и построение двусторонних итеративных процессов 14
1. Теоремы сравнения решений нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств с немонотонными функциями 14
2. Теоремы сравнения решений дифференциальных уравнений и неравенств в банаховом: пространстве с линеалом 28
3. Об одном, обобщении леммы Гронуолла-Беллмана 33
4. Применение теорем. дифференциальных неравенст вах к;: настроению двусторонних итеративных процессов 37
5. Исследование процесса двусторонних приближений для интегрального уравнения. 50
2. Оценка решений дифференциальных уравнений выев ших порядков и построение двусторонних итеративных процессов 56
1. Некоторые дифференциальные неравенства второго порядка и приводящиеся к ним. 57
2. Теоремы сравнения решений дифференциальных уравнений и неравенств -го порядка 69
3. Построение и исследование двусторонних монотонных итеративных процессов 78
3. Дифференциально-функциональные и интегро-дифференциальные неравенства в банаховом пространстве 96
1. Оценка решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений первого порядка 96
2. Оценка решений дифференциально-функциональных уравнений высшего порядка 101
3. Интегро-дифференциальные уравнения и неравенства сз отклоняющимся аргументом 121
Литература 129
- Теоремы сравнения решений дифференциальных уравнений и неравенств в банаховом: пространстве с линеалом
- Исследование процесса двусторонних приближений для интегрального уравнения.
- Построение и исследование двусторонних монотонных итеративных процессов
- Оценка решений дифференциально-функциональных уравнений высшего порядка
Введение к работе
Важным пунктом аналитических методов исследования вопросов качественной теории уравнений является проблема оценки решения уравнения. При оценке решения важная роль принадлежит теоремам типа теорем С.А.Чаплыгина. Применения такого рода теорем в качественных методах весьма разнообразны. Как отмечает Н.В.Азбелев [13],такие теоремы используются, например, при исследовании вопросов существования и единственности решений уравнений, непрерывной зависимости от параметров,при выборе начальных приближений и т.д.
Оценки, полученные из -теорем о дифференциальных неравенствах, привели к значительным результатам в качественной теории уравнений. Т.Важевский, В.В.Немыцкий, М.А.Красносельский и С.Г.Крейн" отмечали, что более общие и глубокие теоремы о дифференциальных и интегральных неравенствах должны привести к дальнейшему развитию качественных методов.
Среди большого количества итеративных процессов выделился широкий класс двусторонних процессов,которые монотонно снизу и сверху аппроксимируют искомые решения уравнений.
С.А.Чаплыгин на основе установленных им теорем о дифференциальных неравенствах[97]построил новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений,обладающий квадратичной сходимостью.
Исследование академиком Н.Н.Лузиным60]метода С.А.Чаплыгина послужило началом для многих исследований этого метода и его многочисленных применений к уравнениям высшего порядка и системам уравнений.
Н.Н.Лузин в своей работе [60] отмечает важный результат Б.Н.ПЕ-трова[80] о неприменимости теоремы С.А.Чаплыгина для некоторых нелинейных уравнений второго порядка и ставит вопрос о промежутке применимости указанной теоремы к системам уравнений первого порядка. В работе Н.В.Азбелева и др.18]содержится пример системы двух уравнений первого порядка, к которым теорема С.А.Чаплыгина не применима. Исследованием метода С.А.Чаплыгина и определением промежутка его применимости в различных видах уравнений занимались многие. Важные результаты, полученные при решении этих вопросов, содержатся в работах Н.В.Азбелева[1-5] ,Н.В.Азбелева и Л.§.Еахматуллиной[6,7], Н.В.Азбелева и З.Б.Цалюка[9-14] ,Б.Н.Пет-роваІ79,80] .Б.Н.Бабкина[19],Я.Д.Мамедова[62-64] ,С.Н;Слугина [85-87] и др.Из зарубежных авторов в первую очередь следует отметить работы Й.Шарского[І26], В#Вальтера[іЗО,ІЗІІ Д.Важевскоглз) [132], В.Лакшмикантама и С.Леелы[ПЗ],К.0леха[П7].
Теоремы сравнения решений дифференциальных уравнений и неравенств в банаховом: пространстве с линеалом
Важным пунктом аналитических методов исследования вопросов качественной теории уравнений является проблема оценки решения уравнения.При оценке решения важная роль принадлежит теоремам типа теорем С.А.Чаплыгина.Применения такого рода теорем в качественных методах весьма разнообразны.Как отмечает Н.В.Азбелев [13],такие теоремы используются,например,при исследовании вопросов существования и единственности решений уравнений,непрерывной зависимости от параметров,при выборе начальных приближений и т.д. Оценки,полученные из -теорем о дифференциальных неравенствах, привели к значительным результатам в качественной теории уравне-ний.Т.Важевский,В.В.Немыцкий,М.А.Красносельский и С.Г.Крейн" отмечали, что более общие и глубокие теоремы о дифференциальных и интегральных неравенствах должны привести к дальнейшему развитию качественных методов. Среди большого количества итеративных процессов выделился широкий класс двусторонних процессов,которые монотонно снизу и сверху аппроксимируют искомые решения уравнений. С.А.Чаплыгин на основе установленных им теорем о дифференциальных неравенствах[97]построил новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений,обладающий квадратичной сходимостью. Исследование академиком Н.Н.Лузиным60]метода С.А.Чаплыгина послужило началом для многих исследований этого метода и его многочисленных применений к уравнениям высшего порядка и системам уравнений. Н.Н.Лузин в своей работе [60] отмечает важный результат Б.Н.ПЕ-трова[80] о неприменимости теоремы С.А.Чаплыгина для некоторых нелинейных уравнений второго порядка и ставит вопрос о промежутке применимости указанной теоремы к системам уравнений первого порядка.В работе Н.В.Азбелева и др.18]содержится пример системы двух уравнений первого порядка,к которым теорема С.А.Чаплыгина не применима.
Исследованием метода С.А.Чаплыгина и определением промежутка его применимости в различных видах уравнений занимались многие.Важные результаты,полученные при решении этих вопросов, содержатся в работах Н.В.Азбелева[1-5] ,Н.В.Азбелева и Л..Еахматуллиной[6,7], Н.В.Азбелева и З.Б.Цалюка[9-14] ,Б.Н.Пет-роваІ79,80] .Б.Н.Бабкина[19],Я.Д.Мамедова[62-64] ,С.Н;Слугина [85-87] и др.Из зарубежных авторов в первую очередь следует отметить работы Й.Шарского[І26],В#Вальтера[іЗО,ІЗІІ Д.Важевскоглз) [132] ,В.Лакшмикантама и С.Леелы[ПЗ],К.0леха[П7]. Приведем известную теорему СА.Чаплышша для дифференциального уравнения первого порздка: пусть функция J&,X) непрерывна на промежутке [О, Т] по совокупности переменных,функции Х(-) и 4 ft) непрерывно дифференцируемы на промежутке [о, Т] , ОС СО -решение уравнения а Ч-(-ё) удовлетворяет неравенству причем- у (о) =СС(о) .Тогда 4 ft) Xft) на всем промежутке / Если Xft) t }ft,0c) вектор-функции,т.е. уравнение Х () Jftf3c) представляет систему уравнений,то теорема С.А.Чаплыгина на всем промежутке,вообще говоря,не верна.Божеев того,без каких-либо ограничений на функцию j(&/&) теорема может иметь "нулевой промежуток" применимости,т.е#вообще не верна [8]. Одним из условий применимости теоремы для системы уравнений являются условия Камке-Важевского,так называемая внедиаго- нальная монотонность: для уравнения Функция }с- не убывает по: переменным Хк , Кфі .В случае DC (і) G } Ch % ) LJ Tlx - »где -банахово пространство, задача еще усложняется.Установлению достаточных условий для выполнения теоремы С.А.Чаплыгина в банаховом пространстве с конусом посвящены работы Н.В.Азбелева,В.Вальтера[іЗі] ,Фолькмана [128,129],Я. Д.Мамедова[63]и др.Многие известные доказательства теорем о диффференциальных неравенствах используют интегральные неравенства.
Достаточные условия для выполнения интегральных неравенств содержатся в работах Н.В.Азбелева и З.В.Цалюка/см.напр. [9,12,13]/,В.А.Бондаренка[23,24],Ю.В.К0мленка и Л.В.Чичкина[39], П.П.Логинова [55,56],Я.Д.Мамедова и др. /J52?66] ,а также в работах зарубежных авторов [103,111,113,126,127,130,135].Аналогичными вопросами для интегро-дифференциальных уравнений занимались Т.АманкуловІІ5] ,Ю.В.КомленкоІ36] ,В.С.Бучинский[82,83] и другие. Следует отметить монографии Я.Д.МамедовабЗ,64],Н.С.Курпеля и Б.А,Щувара[51],В.Вальтера [130] ,В.Лакшмикантама и С.Леелы[ПЗ], РіРабчука[і20],которые содержат важные результаты исследований дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных неравенств. Выделился класс неравенств,обобщающих результат Гронуолла, опубликованный им в 1918 г.[107],и Беллмана.и известный под названием леммы Рронуолла-Беллмана.Такие неравенства применяютя при оценке решений в теории устойчивости.Среди многочисленных обобщений леммы следует отметить работы К.Г.Валеева[25],В.Н.Лаптин-скогоі52],а также работы зарубежных авторов [97,99,101,102,114, 116,118,122,134] . В последние годы особенно появилось значительное число работ о дифференциально-функциональных неравенствах.Установлены некоторые теоремы сравнения решений,известные ранее для дифференциальных неравенству получены новые результаты.Среди работ,содержащих теоремы сравнения для решений уравнений и неравенств с отклоняющимся аргументом,имеются работы ЩВ.Азбелева и Л.Ф.Еахма-туллиной[6,7],Ю.Г.Борисовича и Л.В.Кибенка[22],Г.М.Дцанова[29,30} Ю.И.Зубко[31,32] ,Э.И.Клямко [34] ,Ю.В.Ксшленко[38]А.И.Логунова[57, 58] ,М.1Г.Михайловой и В.В.Подгорнова[68Д.Д.Мышкиса 69,70] и др.
Исследование процесса двусторонних приближений для интегрального уравнения.
Заметим,что в теории о дифференциальных нескалярных неравенствах первого порядка одним из основных направлений развития является установление достаточных условий выполнения теоремы,менее ограничительных,чем уже известные.Например,условие монотонности функции Ці, ОС) по DC со временем было заменено условием Li /или Lz I т.е.требованием монотонности функ- ции і (, , XJ 4А6УХ »B работе [128J теорема доказывается для более широкого класса функций,чем функции,обладающие условием LL .С другой стороны,некоторые известные результаты для скалярных уравнений обобщаются н& конечные системы или на уравнения в банаховом пространстве .При этом выполнение многих теорем: о дифференциальных неравенствах существенно зависит оке того,единственное или неединственное решение задачи Коши для уравнения XW=f С &( )) в точке (»tXo) . В теории о: дифференциальных неравенствах высшего порядка возникли такие задачи: а/ установление типа уравнений,к которым теорема С.А.Чашшгина вообще применима /хотя бы на ограниченном отрезке /; б/отыскание промежутка применимости теоремы; в/выделе ние типа уравнений,»: которым теорема применима на всем промежутке определения и непрерывности функции f Целью настоящей диссертационной работы является: - установление условий,менее жестких,чем уже известные,при ко -торыхтеорема С.А.Чаплыгина имеет место для нескалярных уравнений первого; порядка на всем промежутке существования; - исследование уравнений высших порядков,к которым теорема С.А.Чаплыгина может быть применена хотя бы на ограниченном промежутке; - установление условий,при которых теорема С.А.Чаплыгина верна для уравнений с запаздыванием аргумента; - применение теорем о дифференциальных неравенствах к построению и "исследованию сходимости монотонных итерационных процессор. При формулировке большинства теорем предполагается,что задача Коши соответствующего уравнения имеет решение и,вообще говоряче единственное. В процессе работы над диссертацией получены следующие результаты.
В главе I сравниваются решения дифференциальных уравнений и неравенств первого порядка в банаховом пространстве .Рассматриваются двустронние неравенства вида Установлены достаточные условия для выполнения неравенств приведем одну из теорем I. Теорема 1. 1.4.Пусть функция / і; U/ tSj і о, Т] кЕ Е - непрерывна по: совокупности переменных,квазимонотонно не убывает. по-) переменной рС при фиксированном ty-в квазимонотонно не возрастает поо \fr при фиксированном U.e «функции \МЛ) и \%6): [О, Т] - непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют неравенства на промежутке [ О, Т] .Тогда выполняется неравенство Заметим,что условие квазимонотонности /см.определение на стр. 2 2 / менеее ограничительное чем условие LL или L2 В I этой главы показано,что существуют, функции квазимонотонные s но не удовлетворяющие условию LL .Теорема I.1.4.обо- бщает результат тех теорем,где применяется условие LL ,а также результат работы (128 J на случай двусторонних неравенств. Теорема 1.1,5, содержит достаточные условия для выполнения неравенств /3/ при условиях квазимонотонности. Теорема 1.2.1. обобщает результат работы [123] ,полученный для линейных уравнений,результат работы /124] ,полученный для систем скалярных уравнений на нелинейные уравнения в банаховом пространстве с К-линеалом [27] .Приведены примеры на существенность условий теоремы I.2.1. Исследования,изложенные в 3,посвящены доказательству неравенства типа леммы Рронуолла -Беллмана: пуст &(±)&Е Удовлетворяет неравенству вся iw+scvltioGwJ ь Gl T1 где $W? WJ -скалярные функции, ({)& .Все функции непрерывные.Тогда выполняется неравенство: где L -hiajcks) # Неравенство,полученное в работе [103 J , следует из неравенства /5/,если А- і ,при менее жестких ограничениях / в работе 103J требуется 9Ц) у 0 , к Ш О , ІСФ О 1 Ш) -монотонно возрастает, Показано одно из применений теорем о дифференциальных неравенствах.
Построен алгоритм Указаны условия,при которых процесс последовательных приближений сохраняет монотонность и сходится к решению уравнения /2/. Заметим,что простые итерации в этом случае,вообще говоря,дают последовательности немонотонные и не обязательно сходящиеся. В случае $СЬ(И(1?-) -r№,U) /для скалярных функций/получаем алгоритм,рассмотренный Я.Д.Мамедовым 62 J ,при условии,что % / ) не убывает по U .Случай f(4{U):[OJJ х - Е , ji(U) -монотонно не убывает по U7 U є / рассмотрен в работе С.Атдаева и С.Аширова I6J и следует из алгоритма /6У при условии В 5 исследуется алгоритм для построения последовательных приближений к-решению интегральных уравнений.Доказывается его сходимость. Глава II содержит исследования нелинейных уравнений и неравенств порядка выше первого. Доказаны теоремы сравнения решений неравенств второго порядка и уравнений вида Частные случаи неравенств и уравнений такого вида рассматрива лись в работах 98,100,106,НО,III,II9J .Полученная здесь форму для решения уравнения при условиях U()ZU , 1Ar(o) = UJ обобщает результат работы lI9j ,где рассматривается скалярное уравнение в случае Результаты,полученные в теоремах сравнения,отличаются от ранее известных 98,100,106] ,как:и налагаемые на функции Р и f условия. Рассматриваются нелинейные уравнения И1 -го порядка вида для которых теоремы сравнения имеют место на, всем-промежутке [О, TJ при определенных условиях,налагаемых на функции Р и /. Исследуются уравнения вида для которых указан промежуток применимости теоремы С.А.Чаплыгина.
Построение и исследование двусторонних монотонных итеративных процессов
I. Построим последовательные приближения и, исследуем: их сходимость к решению задачи где P(&i3c)t fChx) , Х[-) удовлетворяют условиям теоремы 2.I.I. на промежутке [О, TJ .При этом будут использованы теоремы сравнения,рассмотренные в I второй плавы. Пусть U0() , l () удовлетворяют условиям Если выполнены условия теоремы 2.1.1.,то получим неравенства XW - решение задачи /2.3.1/. Рассмотрим алгоритм К-0,1,... і Uo(-U,tf {t) - решения системы /2.3.2/, be[o(rj . Из /2.3.3/ при /С=# пес формуле /2,1.4 / получаем Следовательно, Z/, Г«У - &М , ИМ Я (в на промежутке [О,ТІ Доказательство неравенств lAc(t)?sl/ Ok) на промежутке [о,Т] и условия теоремы 2.1.!,тогда, применяя формулу что и доказывает выполнение неравенств /2.3.4/ при любом натуральном И на промежутке [0,Т] Так как TOD по методу индукции доказываем выполнение неравенств Ъ(кС+) Ъ (А (+) ) k -it - на промежутке [О, ТІ .Имеем : Пусть пространство правильно полуупорядоченное, тогда существуют пределы последовательностей /2.3.4/ и выполнены неравенства 2. Укажем достаточные условия,при которых последовательные приближения (l/hC /t l Wl сходятся к решению задачи /2.3.1/.Рассмотрим случай,когда POi и) не возрастает по U , f(t и)7ґ0 и не убывает по U /см.теорему 2.І.І./. Пусть выполняется условие : А/ для всяких 0C r U ( ОС } Ч G /верны неравенства функции }ft-(4, д) 10 (t zf,z) ,не убывают по 2 для вся кого 2ъО 2 Є Б ,и уравнение имеет только нулевое решение на промежутке [Of Т] ,при всяком ы в ь . Составим последовательность [ ()} }К-0,13... при: помощи алгоритма Принимая во внимание равенство /2.1.3/ и условие А/,получаем неравенство Покажем,что /tc(t-) - (t) , k-0,]}... } є [0,Т} .Дока зательство проведем методом индукции : неравенство (4) - „ М } к = / О, TJ очевидно.Пусть выполнено неравенство к ) - () ,тогда из /2.3.7/ и\ условия А/ следует неравенг ство Аналогично доказывается выполнение неравенств кпС ) ь( ) » Є LOfTJ .Следовательно,существует предел последовательности / к Wf & - «ЛО - ЛО , Гі .Функция М удовлетворяет уравнению,отмеченному в условии А/,из чего сле дует, что . Доказана Теорема 2.3.1.
Пусть функции f[l,U), РС іЮ непрерывны по совокупности переменных; P(ifU) r 9 и не убывает по , Р(}М) не возрастает по Ъ( ; U CO Ж ( ) -два- жды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию /2.3.2/. Пусть,далее,выполнено условие А/. Тогда последовательные приближения У к (f) , \/к((г) ( k = (Pj t) Z) ) , определяемые равенствами /2.3.3/,сходятся к единственному решению задачи /2.3.1/ на промежутке [0,Т] «Скорость сходимости определяется неравенством где [{) удовлетворяет /2.3.7/. Аналогично доказывается следующая Теорема 2.3.2. Пусяь функции Н ы) , P( tW непрерывны по совокупности переменных, j-C t ) -& и нез убывает поз U ; PC±,U) не убывает по Ы ; Uott) , &(+) -дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условиям /2.4.2/. Пусть,далее,выполнено условие А / : для всяких X ъ-У/ % I Э G I выполняются неравенства P(t,X) - р(і,Ю У, (і,х-у) і e[o,ri Ш.х) - Ui.v) % (і, х-ц), к є [о, ті где У-(і 2)ъ0 и не убывают по 2 для 2 ъО ,уравнение имеет единственное решение с =0 при всяком Ъ( =Е } Ьв[0,Х\ч Тогда последовательные приближения Ь/ Ш (0 (k-if -) определяемые равенствами /2.3.3/ сходятся к единственному решению задачи /2.3.1/ на щШЬЩтт [0,Т] со скоростью k(t) , Теорема 2.3,1, /2.3.2./ может быть обобщена на функции вида Н ,х,Ю p(-hx,y) . Теорема 2.3,3. Пусть j-(i,Ui ) P(&iU,P) непрерывны по совокупности переменных; f(4i Uf№)?/0 ,не убывает по U и не возрастает по \} ; Pi iM,1 -) не возрастает по: Ы и не убывает, по 1/ ; іЛ W , U U) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют неравенствам Пусть выполняется условие AV : для всяких 0с} ч. в Ь ХъМ. верны неравенства причем функции \fe- у е. I L-ffz. I неотрицательные и непре рывные по совокупности переменных, не возрастают по U ,не убывают по j2 ; %C t / ) и Уі С / 2) ) не возрастают по 7- и не убывают по (J- ,урав- имеет единственное решение (t)sO при всяких 14Х1Я G Е Тогда последовательные приближения ЫкСУ,Ис№) (к 0,/ ...) определяемые равенствами сходятся к:единственному решению задачи /2.1»14/ на промежутке СФ скоростью т Доказательство аналогично) доказательству теоремы 2.3.1. Теорема 2.3.3. может быть обобщена на случай задачи Последовательные приближеня строятся при помощи равенств Начальная пара t/o(t), (/ () удовлетворяет неравенствам на промежутке [0,7]
Исследование процесса сходимости к решению осуществляется при помощи теоремы 2.1.7 и условий,указанных в теореме 2.3.3. 3. Построим и исследуем сходимость алгоритма для линейного относительно производных уравнения высшего порядка і [ %J = -Ї(,#/У) ,где функция f(hM/U) ,вообще говоря, не монотонная по и и по I/- пусть НЬ и, ) li т1 Е ХЕ Е (Е - правильно полуупорядоченное банахово пространство / непрерывная по сово купности переменных функция.Оператор ортогонального проектиро- вания Р с 7 к с" _, 0 - J г ,цце J - единич- ный оператор ъ Е Рассматривается задача где і [ОС] = XNM +QMX? fa)+ - QMlWCtfu&i помощи проекционного оператора построим последовательности,которые при определенных условиях будут сходящимися к решению задачи. Пусть существует пара функций V0(f) J Lt0(t) (U J\ TJo (O) - l o (O) - X о (к- О, ( ) и-/) удовлетворяющая систему на промежутке [0,TJ 9 выполнены условия теоремы 2.2.3., тог да / по теореме 2.2.3/ имеет место неравенство Uo(t) (Л (t) на промежутке [ 0,Т ] [ Т0 Т J # Последовательности [Jj (І)} и (lA (t)}- (hn /,2,...) строим при помощи следующего алгоритма : Последовательности ,в0сибще говоря,не монотонны. Установим достаточные условия,при которых выполняются неравенства - )1)-- .Для этого потребуем выполнения условия В /:система имеет: лишь неотрицательные решения на промежутке [Ф 7 J . Из равенств /2.3.12/ и неравенств /2.3.II/ получаем Последние неравенства перепишем в виде Согласно условию В 7 из последней пары неравенств получаем U,-UobO ) 1А -Ц, ,0 .Доказательство того,что КынЪ U , » \ruiH -» длд уи-!, )... проводится методом индукции : при Ум-О неравенства верны,пусть они верны при \w- К-/ , тогда из /2.3Л2/ получаем так как функция не. убывает, по U и не возрастает поо.
Оценка решений дифференциально-функциональных уравнений высшего порядка
Теорема 3.2,6i Пусть і(1 У, 2) удовлетворяет приведенным выше условиям при Я 2 = О ; С+), 7-(/г) и раз непрерывно дифференцируемы,удовлетворяют неравенствам на промежутке [о Т] и условиям /3,2,22/.Пусть,далее,задача имеет единственное решение и функция Коши C{t,S) ,0 для і Є І О, і 2 .Тогда выполняется неравенство Доказательство.Из неравенств /3.2.23-/ запишем Тогда имеют место неравенства По теореме 10 /49 J получаем 3. Приведем некоторые теоремы сравнения решений дифференциальных уравнений и неравенств,когда функция от запаздывания входит нелинейно. Рассмотрим систему на промежутке [О, Т]} - b,[t) і } -h кг[4) -6 ,где Теорема 3.2«7 Пусть функции U(4) №() &В уі раз непрерывно дифференцируемы,удовлетворяют систему /3,2.24/,выполнены условия функции / /?, /?г удовлетворяют условиям теоремы 3,1.3 ,функция 2(i)sO - нижнее решение задачи Пусть,далее,функция Коши CC /S) ДОЯ уравнения lf[Z]-0 неотрицательная на Доказательство. Пусть 2Ю = tyVJ U(t) ,тогда из /3»2.24/ получаем Функция р не убывает по . По теореме об интегральном неравенстве получаем Теорема 3,2.8. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.7, "\гШ-0 Функция ХСО И раз непрерывно дифференцируемое единственное решение задачи / [ос] -- КК х(Ц, хш, хСШ), icChM)), Х1ю(о) 0 , К--0,...?н-( х(у=о ,1 0. Тогда выполняется неравенство Доказательства аналогично доказательству теоремы 1,1.3, Теоремы 3.2,.6.,3,.2.7. имеют тот недостаток,чтоз нужно знать промежуток, на котором функция С (4,Ь) ъО .В некоторых случаях этот промежуток можем указать. В общем же случае можем утверждать лишь,что существует такое to Є [Оу Т] ,что C/ Sj ЪО для ІЄ[0;іа) . Рассмотрим частный случай неравенств /3.2.24/,для которых теоремы сравнения имеют место на всем промежутке. Пусть Е - полуупорядоченное банахово пространство с К - линеалом. В пространстве Е содержится телесный корпус Е+ /Э/ - модуль элемента ОС Є Е /29] .Операторы / ЭС„Хг,1/,,УО І-іС У .Уг,)
Непрерывные по совокупности переменных,принимают значения из Е ДДО Рассмотрим систему неравенств t Є [0,Т] 9Скалярные функции У,() » %СО непрерывные для і Є- [0,ТЗ и.удовлетворяют условиям -Л %№) , Пусть Ц() 9 2С ) функции h раз непрерывна дифференцируемы на промежутке / О, Т J , удовлетворяют условиям и неравенствам /3.2.26/. Теорема 3.2.8. Пусть выполнены условия : Тогда для решений системы /3.2.26/,удовлетворяющих условиям /3.2.27/,имеют место неравенства / [к)(+) / - Z( X+), К О .9)И—с на промежутке [0,Tj . Доказательство. Из системы /3.2.26/ получаем для всякого натурального К If .Пусть $-(4) ( ) % ft) 7(\Р,(У)} У(Уг( )))ї ttZtff Использовав равенство условия I/ и 3/, получаем Сначала проведем доказательство для случая уЗо /etcf .Тогда U(О)? О .По непрерывности функции 2Y O для і [OjT] следует,что 1((-6-) О на промежутке [0,4 ) [OjTJ 4 Пусть то наименьшее значение zf Є [OfTJ ,для которого неравенство Ъ((4) 0 не выполняется. Из получаем Псо условию 2/ правая часть последнего неравенства стого положительна, так как U- Ы(ь)т о для 5 s[Ojeo) .Таким.обра- зом У (і ) О . Полученное противоречие и доказывает верность неравенства Ы(V 0 на всем промежутке foy Т] ф Так какс U() непрерывно меняется в зависимости от К (о) и Ы() -0 для всякого 6 Є оуТ] при J2 o ft \ ,то) следует выполнение неравенства 2/(6) ъ О для /Зо /о / Из неравенства /3.2.28/, условия 2/ и неравенства 1/(6) 0 получаем неравенство jr СО ІЗ С )/ на промежутке Замечание 3.2.4. Условие 2/ теоремы 3.2.8. выполняется,если, например, J 1(4j X 1,3 2., 1,1/z)l возрастает по «3 , и , , убывает по Хг и г Теорема 3.2.9. Пусть выполнены условия : Тогда для решений системы /3»2.26/, удовлетворяющих условиям /3.2.27/ имеют место неравенства W (t) -я ( )J К-О,... на промежутке юл . Теорема 3.2.10. Пусть X С+) И раз непрерывно дифференцируемое решение уравнения на промежутке / 0/ Т] при начальных условиях X Со) - хгш К--0,17...}И-( } XCV=#C+) на промежутке [-b,Oj # Цусть при этом:выполнено условие I / теоремы 3.2.9. и условия Тогда выполняются неравенства на. промежутке L , Доказательства теорем 3,2,9, и 3,2.10.аналогичны доказательству теоремы 3 2,8, Если: правые части неравенств /3.2.26/ имеют вид &()#СО ш рС+)2&) ,тще. №), С+) , уС+),?СО непре-рывные скалярные функции на промежутке [О, Т] ,то теорема 3,2.8. дает результат работы [НОJ и при . = /7 результат работы (123 J . Если / и i± имеют, вид A(t)y-C+) ъ-3(02( ) где - матрицы с непрерывными эле ментами, то при h-f теорема 3.2.8. обобщает результаты рабо ты [124] . то при И-Ґ получаем результат теоремы I /34 J при менее? ограничительных условиях. Рассмотрим систему неравенств и систему уравнений на промежутке [ /Т1 іДЦе функции непрерывные по совокупности переменных, ftLf &1 Б ; \P (t)) h, ({) непрерывные на промежутке [0,TJ и удовлетворяют неравенствам - h W) ±t г 6 &М - , - -, "; (Л ft), Uf ()?if/0 /7 раз непрерывно) дифференцируемые и являются решением неравенств /3.2,31/ и уравнений /3,2.32/ соответственно при начальных условиях Теоремы 3,2,8.-3.2.10. можно обобщить на случай неравенств /3.2,31/ и уравнений /3.2.32/.
В этом случае результат,т.е. выполнение неравенств получается при менее ограничительных условиях относительно / , чем это сделано в: работе [29] для случая системы скалярных неравенств первого порядка и в работе [68] для неравенств первого порядка с вектор-функциями. 3, Интегро-дифференциальные уравнения и неравенства с отклоняющимся аргументом Рассмотрим теоремы о: линейных и: нелинейных интегро-диффе-ренциальных неравенствах первого порядка с; отклоняющимся: аргументом в банаховом:пространстве. Теоремы обобщают некоторые результаты для дифференциальных неравенств первого порядка / см. главу I / и результаты работы [82J . I. Как известно,некоторые факты теории дифференциальных уравнений для скалярных функций имеют место в банаховом пространстве . Решение задачи Коши Де Р і . -постоянные, }}W ІС) Є Ссо,ТЗ) можно записать в виде функция Коши имеет вид вде Ц,($) 9 2(S) линейно независимые решения задачи /3.3Л/. Решение задачи Коши для интепро-дифференциального уравнения принимает вид В теоремах о дифференциальных неравенствах существенную роль играет знак функции Коши С / ( $) .Промежуток [О, Ге J, на котором С t-(Jt$) sO ,зависит от Р и . Число Те[Р, %) вычислено : если корни уравнения K2"tPt -fg -О вещественные разные,равны или комплексные,то имеем соответственно UW) - fifpi "%-jr- . Теорема 3.3.1. Пусть іЯ(0 , Ос [-(-) непрерывно дифференцируемые функции на промежутке [0,Т] , ЭС{-) -решение задачи.