Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Диффеоморфизмы 41
1.1. Неоднородное разностное уравнение 41
1.2. Липшицево свойство отслеживания 45
1.3. Гельдерово свойство отслеживания 50
1.4. Линейное косое произведение 68
1.5. Периодическое свойство отслеживания 76
Глава 2. Липшицево свойство отслеживания для векторных полей 96
2.1. Липшицево свойство отслеживания 96
2.2. Периодическое свойство отслеживания 114
Глава 3. Векторные поля в С -топологии 130
3.1. Ориентированное свойство отслеживания 130
3.2. Пример не структурно устойчивого векторного ПОЛЯ 166
3.3. Устойчивость 191
3.4. Пример векторного поля, обладающего ориентированным свойством отслеживания 201
Глава 4. Частично гиперболические системы 216
Глава 5. Действия групп 222
5.1. Конечно порожденные группы 222
5.2. Корректность определения 224
5.3. Нильпотентные группы 225
5.4. Линейные действия абелевых групп 230
5.5. Разрешимые группы 237
5.6. Свободные группы 241
Заключение 245
Список литературы
- Гельдерово свойство отслеживания
- Периодическое свойство отслеживания
- Периодическое свойство отслеживания
- Корректность определения
Введение к работе
Актуальность и степень разработанности темы исследования. Настоящая диссертация посвящена исследованию связи между свойством отслеживания для действий порожденных диффеоморфизмами, векторными полями и более сложными группами с такими формами гиперболичности как структурная устойчивость, ^-устойчивость и частичная гиперболичность.
Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой псевдотраектории динамической системы можно найти близкую к ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Аносовым [15] и Боуэном [17]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [30, 35] и обзоре [37].
Псевдотраектории возникают естесственным образом при компьютерном моделировании траекторий диффеоморфизмов и векторных полей. Действительно, если диффеоморфизм / (векторное поле X) обладает свойством отслеживания, то приближенные траектории, полученные при компьютерном моделировании (а следовательно являющиеся псевдотраекториями) соответсвующей динамической системы, отражают поведение точных траекторий на неограниченном промежутке времени.
Свойство отслеживания играет важную роль в теории динамических систем: ясно, что если диффеоморфизмы /i, j^ (векторные поля Х\, Xq) близки в С метрике, то точные траектории диффеоморфизма j'i (векторного поля Xq) будут псевдотраекториями диффеоморфизма j\ (векторного поля Х\), следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом структурной устойчивости [35]. Так же ясно, что если диффеоморфизм / или векторное поле X обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек [32] и множество цепно-рекуррентных точек [33] соответствующей динамической системы совпадают.
Хотя наиболее очевидной мотивацией для изучения свойства отслеживания является обоснование компьютерного моделирования, исходно оно было введено при изучении цепно-рекуррентных множеств и в теории структурной устойчивости.
Хорошо известно, что динамическая система обладает свойством отслеживания в окрестности гиперболического множества [15, 17]. Это утверждение часто называют леммой об отслеживании. Структурно устойчивые диффеоморфизмы (и векторные поля) обладают свойством отслеживания на всем многообразии [34, 40, 43]. Отметим, что для теории структурной устойчивости важен сам факт близости псевдотраектории и точной траектории. Для компьютерного моделирования важны количественные характеристики этой близости, а так же необходимо рассматривать псевдотраектории конечной длины.
Несмотря на то, что нетрудно построить примеры негиперболических систем, обладающих свойством отслеживания (см. например, [36, 39]), в современной теории динамических систем сложилось неформальное мнение, что свойство отслеживания и гиперболичность почти равносильны. В то же время численное моделирование показывает хорошие результаты для гораздо более широкого класса систем.
Хаммел, Гребоджи и Йорк [22, 23] рассматривали вопрос о длине отслеживаемых псевдотраекторий. В данных работах при помощи компьютерного моделирования было изучено несколько конкретных псевдотраекторий логистического тображения и отображения Эно. На основании результатов численных экспериментов была выдвинута гипотеза об ожидаемой длине отслеживаемых псевдотраекторий.
На момент начала данного исследования был изучен вопрос о структуре внутренности множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания в С -топологии. Было доказано [38, 42], что диффеоморфизмы, обладающие стандартным или орбитальным свойствами отслеживания вместе со всеми своими С^-малыми возмущениями, являются структурно устойчивыми.
Так же следует упомянуть, что Абденур и Диац [14] предположили, что для С^-типичного диффеоморфизма свойство отслеживания и структурная устойчивость эквивалентны; они доказали эту гипотезу для ручных (tame) диффеоморфизмов.
Без перехода к С -внутренностям полное описание множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания в терминах гиперболичности и трансверсальности (структурной устойчивости), было получено лишь для вариационного отслеживания [36].
Важной задачей является описание множество периодических траекторий динамических систем, обладающих свойством отслеживания [27]. В связи с этим логично изучить свойство периодического отслеживания, в котором рассматривается отслеживание периодических псевдотраекторий, периодическими траекториями. Хотя это свойство было введено ранее, до сих пор неизвестно, верно ли, что любой диффеоморфизм, обладающий свойством отслеживания, так же обладает свойством периодического отслеживания [28].
В качетсве поддержки парадигмы эквивалентности отслеживания и гиперболичности Бонатти, Диац и Туркат [16] построили контрпример частично гиперболических диффеоморфизмов, не обладающих свойством отслеживания. Хирш, Пью и Шуб [24] показали, что при некоторых дополнительных условиях (экспансивность по площадкам и совместная интегрируемость) центральное слоение частично-гиперболических диффеоморфизмов устойчиво. При этом на момент написания диссертации не было известно свойство отслеживания, которым бы обладали частично гиперболические диффеоморфизмы.
Основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем состоит в необходимости репа-раметризации отслеживающих траекторий. Так же дополнительная трудность возникает ввиду возможности приближения точки покоя точками, лежащими на замкнутых траекториях. Как и в случае диффеоморфизмов, векторные поля обладают свойством отслеживания в окрестности гиперболического множества
[15] и структурно устойчивые векторные поля обладают свойством отслеживания на всем многообразии [34].
Описанные выше различия существенно затрудняют изучение свойства отслеживания. Например, в контексте С -внутренностей на момент написания диссетации было показано, что С -внутренность множества векторных полей без точек покоя, обладающих свойством отслеживания, состоит лишь из структурно устойчивых векторных полей [29], что намного слабее, чем соответсвую-щие результаты для диффеоморфизмов. При этом оставался открытым вопрос, является ли отсутсвие точек покоя принципиально важным предположением или недостатком выбранной техники.
В определении отслеживания можно накладывать различные ограничения на репараметризации. При этом остается непонятным, оказывают ли эти ограничения существенное влияние на понятие свойства отслеживания [26].
Параллельно с классической теорией динамических систем (изучающей действия групп Z и R) разрабатывалась качественная теория действий более сложных групп (см. например книгу [19] и обзор [20]). Тем не менее свойство отслеживания для дейтсвий абелевых групп было введено лишь в 2003 году в статье автора диссертации [10].
Цели и задачи диссертационной работы: Целью данного исследования было изучение количественных аспектов свойства отслеживания. В диссертации рассматриваются действия, порожденные диффеоморфизмами, векторными полями, а так же действиями конечно порожденных групп.
Для достижения цели подробно рассматривались следующие задачи.
Изучение количественных характеристик близости псевдотраекторий и траекторий у диффеоморфизмов и векторных полей
Изучение свойств псевдотраекторий конечной длины.
Изучение структруктуры С -внутренности векторных полей, обладающих различными свойствами отслеживания.
Изучение зависимости свойства отслеживания от типа репараметризаций отслеживающих траекторий.
Изучение свойства отслеживания для частично гиперболических диффеоморфизмов.
Изучение свойства отслеживания для действий конечно-порожденных групп.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми и получены автором лично. Основные из них следующие:
Впервые систематически изучаются липшицево и липшицево периодическое свойство отслеживания. Показано, что липшицево свойство отслеживания равносильно структурной устойчивости, а липшицево периодическое свойство отслеживания равносильно ^-устойчивости. Данный результат позволяет полностью охарактеризовать множество диффеоморфизмов, обладающих липшицевым и липшицевым периодическим свойством отслеживания. В доказательстве разработана технология изучения свойства отслеживания при помощи неоднородного разностного уравнения.
Рассматриваются псевдотраектории конечной длины с полиномиальной зависимостью между размером скачков псевдотраектории и точностью отслеживания точной траекторией. Введено понятие гельдерова отслеживания на конечных интервалах и приведена оценка сверху на длину отслеживаемых псевдотраекторий, которая в точности согласуется с выдвинутой ранее гипотезой Хаммел, Йорка, Гребоджи [22, 23]. В доказательстве впервые определяется понятие решений медленного роста для неоднородного разностного уравнения, и оно характеризуется в терминах экспоненциальной дихотомии.
Рассматриваются линейные косые произведения над отображением сдвига с ненулевой экспонентой Ляпунова в слое. Приводятся оценки на точность
отслеживания типичной псевдотраектории конечной длины. Этот результат позволяет предположить, что многомерный аналог гипотезы Хаммел, Йорка, Гребоджи [22, 23] о длине типичных отслеживаемых псевдотраекторий не верен. В доказательстве задача об отслеживании сводится к задаче о разорении игрока для случайных блужданий.
Показано, что липшицево и липшицево периодическое свойства отслеживания для векторных полей эквивалентны структурной и ^-устойчивости соответственно. Несмотря на схожесть формулировки со случаем диффеоморфизмов, техника в этом случае существенно модифицирована. Это вызвано двумя факторами: различной природой отслеживания в окрестностях точек покоя и замкнутых траекторий и возможностью накапливания точек, лежащих на замкнутых траекториях, к точкам покоя.
Построен пример не структурно устойчивого векторного поля на 4-х мерном многообразии S2 х 5*2, обладающего свойством отслеживания вместе со всеми С -малыми возмущениями. Этот пример демонстрирует принципиальное отличие случая векторных полей от случая диффеоморфизмов и показывает новый механизм отслеживания для псевдотраекторий у не структурно устойчивых векторных полей. Этот пример так же показывает, что предположение об отсутсвии точек покоя в работе [29] является существенным.
Показано, что построенный пример является в некотором роде единственным. А именно, доказано:
На многообразиях размерности не выше 3 векторные поля, обладающие ориентированным свойством отслеживания вместе со всеми своими С^-малыми возмущениями, являются структурно устойчивыми.
Векторные поля, обладающие ориентированным свойством отслеживания вместе со всеми своими С -малыми возмущениями и не содер-
жащие полулокальной конструкции специального вида (>-системы) являются структурно устойчивыми.
— Векторные поля, обладающие ориентированным свойством отслежи
вания вместе со всеми своими С -малыми возмущениями, являются
^-устойчивыми.
Построен пример векторного поля обладающего ориентированным, но не обладающего стандартным свойством отслеживания. Эти свойства отслеживания отличаются лишь ограничениями накладываемыми на репара-метризацию отслеживающей траектории. Вопрос о наличие такого векторного поля был поставлен Комуро в 1984 году [26].
Введено понятие центрального отслеживания. Показано, что любой частично гиперболический диффеоморфизм обладает центральным свойством отслеживания, т. е. любая псевдотраектория может быть отслежена псевдотраекторией со скачками вдоль центрального слоения. Это утверждение можно трактовать как лемму об отслеживании для частично гиперболических систем. Отметим, что в теореме не предполагается липшицевость центрального слоения.
Введено свойство отслеживания для действий конечно порожденных групп. Продемонстрировано, что свойство отслеживания зависит не только от гиперболичности действий отдельных элементов, но и от структуры группы. А именно:
Доказано, что для нильпотентных групп, если действие одного из элементов обладает свойством отслеживания и экспансивностью, то все действие обладает свойством отслеживания.
Приведен пример действия разрешимой группы, где наличие свойства отслеживания зависит от количественных характеристик гиперболичности действий отдельных элементов.
— Доказано, что у свободной группы нет линейных действий, обладающих свойством отслеживания.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные методы могут быть применены для исследования отслеживания и структурной устойчивости динамических систем, а также при интерпритации результатов компьютерного моделирования. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам и численным методам, а также в научно-исследовательской работе.
Методология и методы исследования. В диссертации используются методы из теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, геометрии, топологии и теории групп. Автором разработан метод изучения свойства отслеживания при помощи неоднородного разностного уравнения, описаны новые геометрические механизмы возникновения свойства отслеживания.
Степень достоверности и апробация результатов. С материалами диссертации автор выступал на следующих научных семинарах:
Санкт-Петербургский государственный университет, семинар под руководством профессора С. Ю. Пилюгина;
Санкт-Петербургское отделение математического института РАН им. Стек-лова, семинар под руководством профессора А. М. Вершика;
Санкт-Петербургское отделение математического института РАН им. Стек-лова, семинар математического общества Санкт-Петербурга;
Московский государственный университет, механико-математический факультет, семинар под руководством профессора Ю. С. Ильяшенко;
Московский государственный университет, механико-математический факультет, семинар под руководством профессоров А. А. Давыдова и А. М. Степина;
Институт РАН им. Стеклова, семинар под руководством академика Д. В. Аносова и профессора Ю. С. Ильяшенко;
Свободный Университет Берлина, Германия, семинар под руководством профессора Б. Фидлера;
Университет штата Пенсильванияи, США, семинар под руководством профессора А. Катка;
Северо-Ззападный университет, США, семинар под руководством профессоров А. Вилкинсон, Дж. Франке, К. Берне;
Университет Стони-Брукса, США, семинар под руководством М. Любича;
Университет Калифорнии, Ирвайн, США, семинар под руководством А. Городецкого;
Университет Парижа 13, Франция, семинар под руководством С. Крови-зье;
Государственный Университет Пекина, семинар под руководством Л. Вена и Ш. Гана;
Университет штата Миссури, США, семинар под руководством профессоров Ю. Латушкина и К. Чикони;
Институт Макса Планка, Лейпциг, Германия, семинар под руководством Ю. Иоста.
Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:
2014 — Международная конференция "Beyond Uniform Hyperbolicity", Бедле-во, Польша;
— Международная конференция "Dynamics, Biffurcation and Strange Attractors", Нижний Новгород, Россия;
2013 — Международная конференция "Montevideo Dynamical Systems Conference", Монтевидео, Уругвай;
Международная студенческая школа "ICTP-ESF School and Conference in Dynamical Systems", Триест, Италия;
Международная конференция "Joint Mathematical Meeting of MAA and AMS", Бостон, США;
2012 — Международная конференция "Flows on surfaces, symbolic dynamics and dynamics in moduli spaces," Москва, Россия;
Семинар "Dynamical Systems and Related Topics", Пенсильвания, США;
Шестая международная конференция "Differential and Functional Differential Equations", Москва, Россия;
Студенческая школа "Meeting on Differentiable Dynamics", ICTP, Триест, Италия;
Студенческая школа и конференция "Computational Methods in Dynamics", ICTP, Триест, Италия;
Международная конференция "Beyond Uniform Hyperbolicity 2011", Марсель, Франция;
Семинар "Topologia е Dinamica", Рио-де-Жанейро, Бразилия;
Семинар "Partial Hyperbolicity at IM-UFRJ", Рио -де- Жанейро, Бразилия;
2011 — Международная конференция "Bicentennial Workshop on Dynamical Systems", Чили;
— Международная конференция "J. Palis' 70th birthday conference", Бра
зилия;
2010 — Семинар NCTS Dynamics Day, Тайвань;
Семинар "Dynamical Systems and Related Topics", Пенсеильвания, США;
Международный семинар "Global Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity" Пекин, Китай;
Семинар "Dynamical Systems and Related Topics", Мэрилэнд, США;
2009 — Студенческая школа "School and Workshop on Dynamical Systems", ICTP, Триест, Италия;
2008 — Рабочая сессия МИАН-ПОМИ, Динамические системы, Москва, Россия;
— Международная конференция "Nonlinear Dynamics and Chaos: Advances
and Perspectives", Абердин, Великобритания.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 13 печатных работах, из них 11 статей в рецензируемых журналах и 2 статьи на сайтах рецензируемых жу риалов.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 257 страниц, из них 247 страницы текста, включая 6 рисунков и 1 таблицу. Библиография включает 124 наименований на 10 страницах.
Гельдерово свойство отслеживания
Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают (стандартным) свойством отслеживания, если для всякого є О найдется такое d 0, что для любой і-псевдотраектории g{t) найдутся такая репараметризацня h Є Rep(e) и точка р Є М, что будут выполнены неравенства dist((f (h(t),p),g(t)) e, ieR. (8) Множество векторных полей, обладающих стандартным свойством отслеживания, будем обозначать через StSh (standard shadowing). Мы используем то же обозначение StSh, что и для диффеоморфизмов. В дальнейшем из контекста всегда будет понятно, рассматривается ли сейчас случай диффеоморфизмов или векторных полей.
Отметим, что понятие репараметризации необходимо в определении свойства отслеживания. Действительно, если неравенства (8) в Определении 2.11 заменить на неравенства то многие "хорошие" векторные поля перестанут обладать свойством отслеживания. В качестве примера подобного векторного поля можно рассмотреть векторное поле на многообразии М, у которого есть гиперболическая притягивающая замкнутая траектория [89].
Введем несколько других видов свойства отслеживания. Определение 2.12. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают липшицевым свойством отслеживания, если существуют константы LQ,OIQ 0, обладающие следующим свойством: для любых d do и d-псевдотраектории д можно указать такую точку р и репараметризацию h Є Rep(Lo i), что выполнены неравенства dist((f (h(t),p),g(t)) L0d, ieR. (9) Множество векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, будем обозначать через LipSh (Lipschitz shadowing).
Определение 2.13. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают ориентированным свойством отслеживания, если по любому є О найдется такое d 0, что для любой і-псевдотраектории д можно указать такую точку р и репараметризацию h, что выполнено неравенство (8).
Таким образом, в Определении 2.13 мы не требуем близости отображения h к тождественному. Множество векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, будем обозначать через OrientSh (oriented shadowing).
Введенное выше стандартное свойство отслеживания равносильно понятию the strong pseudo orbit tracing property (РОТР), введенному Комуро [54]: ориентированное свойство отслеживания равносильно the normal РОТР введенному Комуро [54] и the pseudo orbit tracing property, введенному Томасом [116]. Отметим, что все три свойства отслеживания определяют разные понятия. Примеры векторных полей, лежащих в множестве StSh\LipSh хорошо известны и достаточно просты.
В диссертации впервые построен пример векторного поля, лежащего в OrientSh\ StSh (см. параграф 3.4). Ранее Комуро показал, что ориентированное и стандартное свойство отслеживания равносильны для векторных полей без точек покоя [54]. В той же статье он поставил вопрос: верно ли это утверждение в общем случае [54, Замечание 5.1]?
Обозначим через SS множество структурно устойчивых векторных полей. Пилюгин доказал, что верна следующая теорема [91].
Приступим к формулировке основных результатов глав 2, 3. Свойство отслеживания для векторных полей имеет несколько более сложное определение, чем в случае диффеоморфизмов, что требует иных методов решения поставленной задачи.
В главе 2 рассматриваются векторные поля с липшицевым и периодическим свойствами отслеживания. В параграфе 2.1 доказана следующая теорема. Теорема 2.11. Векторное поле X обладает липшицевым свойством отслеживания тогда и только тогда, когда X структурно устойчиво. Замечание 2.3. Отметим, что в доказательстве используются оба условия h Є Rep(Lcf) и є = Ld.
В качестве следствия из Теоремы 2.11 покажем, что векторные поля, обладающие свойствами разделения траекторий и липшицевым свойством отслеживания являются аносовскими. Определение 2.14. Будем говорить, что векторное поле X и соответствующий поток 0(/:, х) обладают свойством разделения траекторий, если найдутся такие константы а, 5 0 что если неравенства dist((f)(t,x),(f)(a(t),y)) a, ieR. выполнены для точек х, у Є Ми возрастающего гомеоморфизма а (ск(0) = 0) вещественной прямой, то у = ф(т, х), где \т\ 5.
Следствие 2.2. Векторное поле X, обладающее свойствами разделения траекторий и липшицева свойства отслеживания является аносовским.
Доказательство следствия приведено в пункте 2.1.6. В параграфе 2.2 изучается связь между -устойчивостью и периодическим свойством отслеживания.
Определение 2.15. Мы говорим, что векторное поле X обладает липшицевым периодическим свойством отслеживания (X Є LipPerSh), если найдутся такие do и L 0, что если g : El і— М является периодической d-псевдотраекторией при d do, то g(t) может быть Ld—отслежена замкнутой траекторией, т. е. найдется такая траектория x{t) векторного поля X и возрастающий гомеоморфизм a(t) вещественной прямой, удовлетворяющий неравенствам (7), (9) и дополнительному условию x(t + UJ) = x(t) при некотором U0 0. Из последнего равенства следует, что x{t) является замкнутой траекторией или точкой покоя потока ф. В параграфе 2.2 доказана следующая теорема. Теорема 2.12. Векторное поле X обладает липшицевым периодическим свойством отслеживания тогда и только тогда, когда оно Q-устойчиво. В главе 3 мы охарактеризуем множество Int (OrientSh) В разделе 3.1 изучается свойство OrientSh. При описании множества Int (OrientSh) важную роль играют системы, обладающие описанной ниже структурой. Будем говорить, что матрица А принадлежит классу /С, если все ее собственные числа имеют ненулевые вещественные части. Отметим, что точка покоя р является гиперболической, если DX(jp) Є /С. Обозначим через К\ множество вещественных матриц А Є /С, у которых есть такое вещественное собственное число а\ 0, что если С\ + d\i - собственное число матрицы А с Сі 0 и d\ 0, то с\ а\. Обозначим через К,\ множество вещественных матриц А Є /С, для которых найдется такая пара комплексно сопряженных чисел а\ ± Ъ\1 с а\ 0, что если С\ 0 - собственное число матрицы Л, то С\ а\. Отметим, что К\ П К,\ = 0, но /С = К,\ U К,\.
Периодическое свойство отслеживания
Рассмотрим точку у Є C1Z(X), не являющейся точкой покоя. Из Леммы 2.2.7 следует, что найдется такая последовательность хп Є Рег(Х), что хп
У Рассмотрим разбиение VXn = Es(xn) + Еи(хп)} соответствующее неравенствам (2.30), (2.31). Обозначим Esn,u = Es,u(xn). Переходя к подпоследовательностям, можем считать, что размерности dim і? и dimE одинаковы для всех п. Поскольку у не является точкой покоя, то
Поскольку неравенства (2.30) и (2.31) выполнены для всех замкнутых траекторий с одинаковыми константами С и А2, стандартными рассуждениями можно показать, что "углы" между Esn и Е равномерно отделены от 0 (см., например, [86]). Таким образом, переходя к подпоследовательностям, можно считать, что Esn — Еа и Е — Еи (см. Лемму 1.5.7 в разделе 1.1.5).
Следовательно, ESC\EU = {0}, dim(Es + Eu) = dim Es + dim Eu = dimV и Es + Eu = Vy. Из оценок (2.30) и (2.31) для точек хп следуют аналогичные оценки для у. Следовательно, поток косого произведения (2.17) гиперболичен, и из Теоремы 3 в [108] следует, что C1Z{X) гиперболична.
В двух предыдущих пунктах мы доказали, что векторное поле X (и его поток ф) Удовлетворяют Аксиоме А . Следовательно, неблуждающее множество векторного поля X может быть представлено в виде непересекающегося объединения конечного числа компактных инвариантных множеств (так называемых basic sets): П(Х) = П1и---иПт, (2.36) где каждое из множеств Qi является либо гиперболической точкой покоя либо гиперболическим множеством без точек покоя, содержащим плотную полутраекторию.
Доказательство. Для упрощения доказательства как и в случае диффеоморфизмов мы докажем, что векторное поле X не содержит 1-циклов (в общем случае идея доказательства сохраняется, но обозначения становятся громоздкими). по периодичности с периодом кт + lm + Jm, мы получим периодическую йто-псевдотраекторию векторного поля X с dm — 0 при m —. Поскольку X Є LipPerSh, то найдутся такие точки рт Є Рег(Х) (для до статочно больших ш), что рт
Липшицево свойство отслеживания для -устойчивых диффеоморфизмов Доказательство Леммы 2.2.2 аналогично доказательству Леммы 1.5.3, где подобное утверждение было доказано для диффеоморфизмов. В данном разделе мы опишем лишь наиболее существенные моменты, остальная часть доказательства может быть завершена по аналогии с разделом 1.1.5.
Доказательство Леммы 2.2.2. Приведем несколько вспомогательных определений и утверждений. Будем говорить, что векторное поле X обладает липшицевым свойством отслеживания на множестве U, если найдутся такие положительные константы С, do, что если (і-псевдотраектория g{t), где d do, удовлетворяет условию {g(t) : t Є R} С U, то найдутся точка р Є U и репараметризация а, удовлетворяющие неравенствам (7) и dist(g(t),(f (a(t),p)) d, ieR. (2.37)
Будем говорить, что векторное поле X обладает свойством разделения траекторий на множестве U, если найдется такое положительное число а и 5, что если две траектории {(j)(t,p) : t Є R} и {0(, g) : t Є R} лежат в[/и найдется такая непрерывная вещественно-значная функция a{t), что выполнены неравенства dist(0(а(), g), (f)(t,p)) a, ieR. то р = 0(т, д) для некоторого г Є (—5, 5). Рассмотрим -устойчивое векторное поле X. Рассмотрим представление (2.36) множества Q(X). Мы будем использовать следующие утверждения [81].
Рассмотрим /і-периодическую і-псевдотраекторию g{t) векторного поля X, где d do. Не умаляя общности, можно считать, что ц 5 (поскольку /і не обязательно минимальный период). Из Леммы 2.2.10 следует, что найдется такая окрестность Vj: что псевдотраектория g{t) пересекает Vj] сдвигая время, предположим, что д(0) Є Vj.
В этом случае {g(t) : t Є R} С Uj. Действительно, если g{to) Uj для некоторого to} то g(to + к/і) . Uj при всех к. Из Леммы 2.2.11 следует, что если to + кц 0, то g(t) Vj для t to + кц, что противоречит периодичности g(t) и включению д(0) Є V,-.
Таким образом найдутся такая точка р, что при некоторой репараметри-зации а, удовлетворяющей соотношениям (7), выполнены неравенства. Покажем, что р является либо точкой покоя, либо замкнутой траекторией. Исходя из выбора Uj и Wj, 4 (t,p) Є Wj для всех ієЕ.
Введем ряд обозначений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Обозначим через Т множество векторных полей, у которых все точки покоя и замкнутые траектории гиперболичны. Обозначим через N множество векторных полей без точек покоя. Обозначим через KS множество полей Купки-Смейла (т. е. множество векторных полей X Є 7 , для которых устойчивые и неустойчивые многообразия точек покоя и замкнутых траекторий трансвер-сальны) [3].
Для любого є 0 будем обозначать через \[ос є (р), W oc е (р) локальные устойчивое и неустойчивое многообразия, соответствующие окрестности В(е,р). Для любой траектории 7 Є Рег(Х), точки х Є Wu( f) и 5 0 будем обозначать через Си(5} х) связную компоненту Wu(/y) П В(6,г): содержащую г.
Рассмотрим случай А1. Отождествим многообразие М в некоторой окрестности точки р с евклидовым пространством. Выберем систему координат, в которой точка р будет началом координат. Найдется такая окрестность Fx векторного поля X, что Fx С OrientSh. Легко показать, что найдется такое векторное поле X Є Fx, что точка р является негиперболической точкой покоя векторного поля X , и существует такая окрестность V С М точки р. что векторное поле Xі линейно в локальных координатах в окрестности V и при этом точка р является началом координат. Покажем, что тогда векторное поле X не обладает свойством OrientSh. Для простоты изложения переобозначим X через X и будем обозначать поток, порожденный X , через ф. В дальнейшем мы неоднократно будем возмущать векторное поле X, оставляя его в С -окрестности множества потоков, обладающих тем или иным свойством отслеживания, и обозначая новое векторное поле через X, а поток через ф.
Периодическое свойство отслеживания
В этом разделе для полноты изложения мы приведем обзор базовых понятий из теории конечно порожденных групп, сформулируем необходимые определения и утверждения. Более подробно эти понятия обсуждаются, например, в книгах [19, 24, 55, 61].
Напомним, что подгруппа Я G называется нормальной подгруппой (Я G), если дН = Нд для д Є G (мы используем обозначения дН := {gh h Є Я}, Нд := {hg \ h Є Я}).
Мы будем рассматривать в основном группы, определенные при помощи порождающего множества. Мы будем называть подмножество S группы G порождающим множеством, если для любого g Є G найдется такая конечная последовательность элементов Si,. .. , Sj Є S U S l (где как обычно S l := {s l I s Є 5 }), что g = Sj .. .S\. Естественно, обычно порождающее множество не единственно. Будем называть группу G конечно порож:денной. если у нее есть конечное порождающее множество.
Группу можно задать при помощи порождающего множества и системы соотношений между ними. Например, группа Z может быть определена следующим образом: a, b \ ab = Ьа (сначала мы записываем порождающее множество, а затем соотношения между ними).
Рассмотрим группу G. Для любых элементов g,h Є G будем называть элемент [g, h] := ghg lh l коммутатором д и h. Для подгрупп G\ и ( группы G мы будем обозначать через [G\, GQ\ подгруппу G, порожденную множеством {[ghg2] #1,02 є G}.
Определение 5.1.1. Будем называть абелевы группы нильпотентными группами класса 1. Будем называть группу G нильпотентной группой класса п, если существует нижний центральный ряд длины п, т. е. найдутся такие подгруппы G\,. .. , Gn+\ G, что G = Gx ... Gn+1 = е, где Gn ф e, Gt+1 = [G G] Vi є {1,... ,n}. Простейшим примером неабелевой нильпотентной группы является так называемая группа Гейзенберга (см. [55, 61]): а, 6, с с = [а, &], ас = са, 6с = сб . Определение 5.1.2. Будем называть группу виртуально нильпотентной. если у нее есть нормальная подгруппа конечного индекса (т.е. соответствующая фактор-группа является конечной).
Замечание 5.1.1. Отметим, что любая подгруппа конечно порожденной виртуально нильпотентной группы является конечно порожденной. В действительности это утверждение верно для более широкого класса полициклических групп (см. подробнее [24, 112]).
Виртуально нильпотентные группы играют важную роль в связи со знаменитой теоремой Громова: любая группа полиномиального роста является виртуально нильпотентной, см. строгую формулировку в [40].
Определение 5.1.3. Группа называется разрешимой, если у нее есть конечный субнормальный ряд, т. е. найдутся такие Go,..., Gn G (не обязательно конечно порожденные), что е = Gn \ . .. \ G\ \ Go = G и фактор группа Gi/Gi+\ является абелевой г Є {0,..., п — 1}. (для фиксированных т,п Є Z), являющиеся разрешимыми при т = 1. Эти группы хорошо известны в теории групп, поскольку часто являются источником контрпримеров. Так же мы будем рассматривать действия свободной группы, с п порождающими элементами Fn = а\,... ,ап \ , очевидно, не являющейся разрешимой. В этом разделе мы докажем утверждение 5.1 Порождающее множество S порождает на G так называемую словарную норму, определенную как длина кратчайшего представления в виде произведения элементов порождающего множества S. Обозначим через \g\s (или \д\. если порождающее множество понятно из контекста) словарную норму элемента д по отношению к порождающему множеству S.
Хорошо известно, что словарные нормы, соответствующие различным порождающим множествам S и S , билипшицево эквиваленты, т. е. для некоторой константы (7 1 выполнены неравенства Зафиксируем є 0. Рассмотрим число d из определения свойства отслеживания для действия Ф по отношению к порождающему множеству S для этого значения є. Из равномерной непрерывности Ф следует, что найдется такое d\ d/G\ что для д Є G: Ш\,Ш2 Є , удовлетворяющих \д\$ Си dist( x i,6o 2) d\ выполнены неравенства удовлетворяющих /г/ С . Из соотношений (5.1) следует, что для любого элемента s Є S выполнено неравенство \s\s С. А значит, исходя из неравенств (5.3), следует, что последовательность {yg}gGQ является (і-псевдотраекторией действия Ф по отношению к порождающему множеству S.
Из наших предположений следует, что псевдотраектория {уд}дЄс может быть є-отслежена некоторой точкой хе. Тем не менее неравенства(14) не зависят от выбора от выбора порождающего множества. Таким образом, Ф обладает свойством отслеживания по отношению к порождающему множеству S . Очевидно, Ф также является равномерно непрерывным по отношению к S .
Лемма 5.3.1. Рассмотрим конечно порожденную группу G, ее конечно порожденную нормальную подгруппу Н и равномерно непрерывное действие Ф : G х Q — Q. Если Ф# является топологически аносовским по отношению к паре (U,V), то Ф тоже является топологически аносовским по отношению к паре (U,V).
Доказательство Леммы 5.3.1. Зафиксируем симметричное порождающее множество SJJ группы Н и продолжим его до симметричного конечного порождающего множества S группы G. Исходя из утверждения 5.1, нам достаточно показать, что действие Ф обладает свойством отслеживания с этим порождающим множеством.
Рассмотрим константы А, 7 0 из определения топологически аносов-ского действия для Фя- Поскольку отображения {fs}ses равномерно непрерывны, найдется такое 5 min(A/3,7), что неравенство
Корректность определения
Также логично поставить следующий вопрос. Вопрос 5.6.1. Для каких групп найдется действие этой группы на многообразии обладающего свойством отслеживания? Тем не менее справедливо следующее. Замечание 5.6.2. Рассмотрим состоящее из двух точек дискретное пространство X. Очевидно, тождественное действие любой конечно порожденной группы на X обладает свойством отслеживания. Аналогичное утверждение верно, если X - канторовское множество.
В ходе данного исследования классифицированы диффеоморфизмы и векторные поля, обладающие липшицевым свойством отслеживания. Показано, что они удовлетворяют Аксиоме А и строгому условию трансверсальности. Разработана техника изучения диффеоморфизмов, обладающих липши-цевыми свойствами отслеживания. Данная техника на данный момент имеет множественное применение в теории динамических систем [4, 5, 78, 119, 120].
Получена верхняя оценка длины отслеживающих псевдотраекторий для негиперболических диффеоморфизмов. На примерах показано, что данная оценка является точной.
Для векторных полей изучены свойства отслеживания, соответствующие различным классам репараметризации отслеживающей траектории. Впервые показано, что свойство отслеживания существенно зависит от выбора класса репараметризации.
Приведено практически полное описание векторных полей, обладающих свойством отслеживания вместе со всеми своими С -малыми возмущениями. Показано, что подобные векторные поля являются -устойчивыми. Приведен пример не структурно устойчивого векторного поля на многообразии размерности 4, обладающего этим свойством. Показано, что на многообразиях размерности не выше 3 подобных примеров не существует. Отметим, что ранее было показано, что для диффеоморфизмов на многообразиях любой размерности аналогичных примеров не существует [95, 109]. Введено понятие -систем: векторных полей, обладающих специальной полулокальной конструкцией. Показано, что векторные поля, обладающие свойством отслеживания вместе со всеми своими С -малыми возмущениями и не являющиеся S-системами, являются структурно устойчивыми.
Введено понятие центрального отслеживания для частично гиперболи 246 ческих диффеоморфизмов. Доказано, что диффеоморфизмы, обладающие свойством динамической когерентности, обладают липшицевым центральным свойством отслеживания. Изучено свойство отслеживания для действий конечно порожденных групп. Исследована связь свойства отслеживания со структурой группы. Продемонстрировано, что для нильпотентных групп свойство отслеживания во многом аналогично случаю диффеоморфизмов, для разрешимых групп имеются существенные отличия. Для неабелевых свободных групп свойство отел вживання имеет принципиально другую природу, в частности, не существует линейных действий, обладающих свойством отслеживания.
Я хочу поблагодарить: маму и папу - самых важных в жизни людей: школьных учителей Дмитрия Валерьевича Карпова и Максима Яковлевича Пратусевича прививших мне любовь к математике; основного учителя Сергея Юрьевича Пилюгина показавший мне чудесный мир науки; преподавателей Санкт-Петербургского Государственного Университета за отличное образование; Александра Ильича Назарова служившего мне моральным примером; Александра Алексеевича Флоринского показавшего, что наука может быть веселой; Бернольда Фидлера, научившего меня быть смелым; Флавио Абде-нура помогшего сделать выбор в науке.
Я также хочу поблагодарить всех коллег без общения с которыми была бы невозможна моя научная деятельность: Наталья Борисовна Ампилова. Никита Бегун, Дмитрий Викторович Аносов, Валентин Сендерович Афрай-мович, Михаил Львович Бланк, Лан Вен, Денис Волк, Шаобо Гаи, Антон Семенович Городецкий, Павел Леонидович Гуревич, Лоренцо Диаз, Юлий Сергеевич Ильяшенко, Вадим Юрьевич Калошин, Анатолий Борисович Каток, Сергей Геннадьевич Крыжевич, Юрий Латушкин, Геннадий Алексеевич Леонов, Минг Ли, Стефано Луццатто, Алексей Осипов, Кеннет Джеймс Пал-мер, Алексей Петров, Дмитрий Тодоров, Дмитрий Тураев, Тод Фишер.